Kurssissa MAA2 tutustuttiin neliöjuureen, kuutiojuureen ja korkeampiin juuriin sekä ilmaistiin potenssiyhtälöiden ratkaisuja niiden avulla. Tässä kappaleessa erilaisia juuria tutkitaan funktioiden näkökulmasta.

Aloitetaan palauttamalla mieleen neliöjuuren ja korkeampien juurten määritelmät.

Juuret määriteltiin kurssilla MAA2 potenssiyhtälöiden ratkaisuina. Koska potenssifunktion $f(x) = x^n$ ominaisuudet riippuvat siitä, onko eksponentti $n$ parillinen vai pariton, ovat myös parilliset ja parittomat juuret keskenään erilaisia. Pariton juuri voidaan ottaa myös negatiivisesta luvusta kuten esimerkiksi edellisen tehtävän d-kohdassa tehtiin. Parillinen juuri on määritelty vain silloin, kun juurrettava on epänegatiivinen.

Seuraavassa tehtävässä tutkitaan neliöjuurifunktion ominaisuuksia neliöjuuren määritelmän pohjalta.

Tehtävän 1.2 tuloksena saadaan seuraava teoreema:

Seuraavissa tehtävissä tutkitaan erilaisia neliöjuurifunktion muunnelmia.

Siirrytään seuraavaksi tutkimaan kuutiojuurta ja korkeampia juuria.

Tehtävän 1.6 tuloksena saadaan seuraava teoreema:

Muotoillaan tehtävän 1.8 päätelmät teoreemaksi:

Kun tutkitaan, missä kohdassa jokin juurifunktio saa tietyn arvon, päädytään niin sanottuun juuriyhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, missä kohdassa funktio $$f(x) = \sqrt{4x+3}$$ saa arvon $4$, joudutaan tutkimaan yhtälöä $$f(x) = 4$$ eli yhtälöä $$\sqrt{4x+3} = 4.$$ Tätä yhtälöä voidaan havainnollistaa piirtämällä juurifunktion $f(x) = \sqrt{4x+3}$ kuvaaja ja vakiofunktion $g(x) = 4$ kuvaaja samaan koordinaatistoon:

Piirroksesta nähdään, että kuvaajat leikkaavat yhdessä kohdassa eli yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu $x \approx 3$. (Tähän päätelmään tarvitaan toki myös tieto siitä, että neliöjuurifunktio saa aina vain suurempia arvoja juurrettavan kasvaessa. Muuten kuvan ulkopuolella voisi olla lisää leikkauskohtia.)

Ratkaisun tarkan arvon selvittäminen ei onnistu pelkän piirroksen avulla vaan tarvitaan muita keinoja. Määritelmän mukaan neliöjuuri on luku, jonka toinen potenssi on sama kuin juurrettava: $$ \left(\sqrt{a}\right)^2 = a $$ kaikilla $a \geq 0$. Neliöjuuresta päästään siis eroon, kun yhtälön kumpikin puoli korotetaan toiseen potenssiin: \begin{align*} \sqrt{4x + 3} &= 4 \quad \mid (\phantom{1})^2 \\ \left(\sqrt{4x + 3}\right)^2 &= 4^2 \\ 4x + 3 &= 16 \\ 4x &= 13 \\ x &= \frac{13}{4} = 3{,}25 \end{align*} Yhtälön ratkaisu on siis $x = 3{,}25$.

Toiseen potenssiin korotuksen käyttö yhtälöiden ratkaisussa poikkeaa aikaisemmin käytetyistä peruslaskutoimituksista. Yhteenlaskun voi aina kumota vähennyslaskulla ja kääntäen. Nollasta poikkeavalla luvulla kertomisen voi aina kumota jakolaskulla, ja jakolaskun voi kumota kertolaskulla. Toiseen potenssiin korotusta ei kuitenkaan voi kumota niin, että varmasti päästäisiin takaisin samaan yhtälöön, josta lähdettiin.

Jos esimerkiksi yhtälön $x = 2$ molemmat puolet korotetaan toiseen potenssiin, saadaan yhtälö $x^2 = 4$. Symbolien avulla ilmaistuna $$ x = 2 \Rightarrow x^2 = 4. $$ Yhtälöstä $x^2 = 4$ ei kuitenkaan voida varmasti päätellä, että $x = 2$, sillä myös $(-2)^2 = 4$. Toisin sanottuna $$ x^2 = 4 \not\Rightarrow x = 2. $$ Oikea päätelmä tässä tapauksessa on $$ x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \ \text{ tai } \ x = -2. $$

Toiseen potenssiin korotus auttaa pääsemään neliöjuurista eroon, mutta saattaa yllä mainitun ilmiön vuoksi tuottaa "ratkaisuja", jotka eivät todellisuudessa ole yhtälön ratkaisuja. Esimerkiksi jos ratkaistaan yhtälö $$ \sqrt{4x + 3} = -1 $$ samaan tapaan kuin edellä, saadaan seuraava päättelyketju: \begin{align*} \sqrt{4x + 3} &= -1 \quad \mid (\phantom{1})^2 \\ \left(\sqrt{4x + 3}\right)^2 &= (-1)^2 \\ 4x + 3 &= 1 \\ 4x &= -2 \\ x &= -\frac{1}{2} = -0{,}5 \end{align*} Jos ratkaisun olemassaoloa tutkitaan graafisesti, paljastuu kuitenkin, että yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua:

Päättelyssä ei sinänsä ole mitään vikaa: se osoittaa, että jos yhtälöllä $\sqrt{4x + 3} = -1$ olisi ratkaisu, se olisi $x = -0{,}5$; mikään muu luku ei voisi tulla kysymykseen. Toiseen potenssiin korotusta voi siis huoletta käyttää neliöjuuriyhtälöiden ratkaisemiseen, kunhan muistaa lopuksi tarkistaa, ovatko löytyneet ratkaisuehdokkaat oikeasti ratkaisuja. Tässäkin tapauksessa sijoittamalla huomataan, että $x = -0{,}5$ ei ole yhtälön ratkaisu. Nimittäin jos $x = -0{,}5$, niin yhtälön vasemmaksi puoleksi saadaan \begin{align*} \sqrt{4\cdot (-0{,}5) + 3} &= \sqrt{-2 + 3} \\ &= \sqrt{1} \\ &= 1. \end{align*} Yhtälön vasen ja oikea puoli eivät siis ole yhtä suuria.

Se, että kaikki ratkaisuehdokkaat eivät kelpaa neliöjuuriyhtälön ratkaisuksi, juontaa juurensa neliöjuuren määritelmään. Neliöjuuren määritelmän mukaan luvun neliöjuuri on aina epänegatiivinen: $$ \sqrt{a} \geq 0 $$ kaikilla $a \geq 0$. Tämän tiedon avulla voidaan jo etukäteen päätellä, mitkä luvut eivät ainakaan kelpaa neliöjuuriyhtälön ratkaisuiksi. Esimerkiksi aiemmin tutkitun yhtälön $$ \sqrt{4x+3} = -1 $$ tapauksessa voidaan päätellä, että sen vasen ja oikea puoli ovat erimerkkiset muuttujan $x$ arvosta riippumatta: vasen puoli on aina epänegatiivinen ja oikea puoli on aina negatiivinen. Yhtälöllä ei siten ole yhtään ratkaisua.

Tehtävän 1.11 yhtälön $$ \sqrt{x} = 2x-3. $$ tapauksessa tilanne on mutkikkaampi. Sen vasen puoli on neliöjuuren määritelmän nojalla aina epänegatiivinen, mutta oikean puolen merkki riippuu muuttujasta $x$. Yhtälö voi toteutua vain, jos myös oikea puoli on epänegatiivinen eli $2x - 3 \geq 0$. Kun tämä epäyhtälö ratkaistaan, saadaan ehto mahdollisille ratkaisuille: \begin{align*} 2x - 3 &\geq 0\\[1.5mm] 2x &\geq 3 \\[1.5mm] x &\geq \frac{3}{2} \end{align*} Tätä ehtoa kutsutaan neliöönkorotusehdoksi ja sen avulla voidaan tehtävässä 1.11 löydetyistä ratkaisuehdokkaista poimia todelliset ratkaisut: ehdokas $x_1 = 1$ ei toteuta neliöönkorotusehtoa $x \geq 1{,}5$ mutta ehdokas $x_2 = 2{,}25$ toteuttaa sen. Yhtälöllä on siis täsmälleen yksi ratkaisu, joka on $x = 2{,}25$.

Neliöönkorotusehto muodostetaan tutkimalla, millä ehdolla yhtälön vasen ja oikea puoli ovat saman merkkisiä. Aina sekään ei riitä sulkemaan kaikkia valeratkaisuja pois. Esimerkiksi yhtälön $$ \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{2x - 1\phantom{ {}^2 }} $$ kumpikin puoli on aina epänegatiivinen, joten mitään neliönkorotusehtoa ei ole. Päätellään samaan tapaan kuin edellä: \begin{align*} \sqrt{x^2 - 1} &= \sqrt{2x - 1\phantom{ {}^2 }} \quad \mid (\phantom{1})^2 \\ x^2 - 1 &= 2x - 1 \\[1mm] x^2 - 2x &= 0 \\[1mm] x(x-2) &= 0 \\[1mm] x = 0 \ &\text{ tai } \ x = 2 \end{align*} Jos ratkaisut tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön, huomaa, että joukkoon on kuitenkin jälleen soluttautunut valeratkaisu. Nimittäin jos $x = 0$, niin alkuperäisen yhtälön vasen puoli on $$ \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{0^2-1} = \sqrt{-1}, $$ joka ei ole määritelty. Ehdokas $x = 0$ ei siis kelpaa ratkaisuksi. Jos $x = 2$, alkuperäisen yhtälön vasen puoli on $$ \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{2^2-1} = \sqrt{3} $$ ja oikea puoli on $$ \sqrt{2x - 1} = \sqrt{2\cdot 2 - 1} = \sqrt{3}. $$ Alkuperäisellä yhtälöllä on siis täsmälleen yksi ratkaisu $x = 2$.

Neliöönkorotuksen avulla muodostettu uusi yhtälö voi siis tuottaa myös sellaisia valeratkaisuja, joilla alkuperäinen neliöjuuriyhtälö ei ole määritelty. Kaikkien valeratkaisujen tunnistamiseksi pitää neliöönkorotusehdon lisäksi tutkia, millä ehdoilla yhtälö on määritelty. Aikaisemmissa tehtävissä on kuvaajien avulla varmistettu, että valeratkaisut on saatu karsittua pois. Joissakin tilanteissa kuvaajan piirtäminen voi kuitenkin olla hyvin hankalaa. Tarvitaan siis menetelmä, jolla ratkaisut saadaan selvitettyä myös silloin, kun kuvaajia ei voi käyttää päättelyn tukena.

Jos kaikkien neliöönkorotus- ja määrittelyehtojen tutkiminen tuntuu liian työläältä, toinen vaihtoehto on seuloa todelliset ratkaisut valeratkaisuista sijoittamalla kaikki ratkaisuehdokkaat alkuperäiseen yhtälöön. Sijoittamalla tarkistaminen toimii aina. Neliöjuuriyhtälön ratkaisemiseksi on siis kaksi tapaa:

1. Neliöönkorotus ja tarkistus sjoittamalla:
   • Hankkiudu eroon neliöjuurista korottamalla yhtälön kumpikin puoli toiseen potenssiin.
   • Ratkaise näin saamasi yhtälö normaalisti.
   • Tutki alkuperäiseen yhtälöön sijoittamalla, mitkä ratkaisuehdokkaista ovat todellisia ratkaisuja.
2. Määrittely- ja neliöönkorotusehtojen avulla:
   • Kirjaa ylös ehdot, joilla yhtälö on määritelty.
   • Muodosta neliöönkorotusehto päättelemällä, millä ehdolla yhtälön vasen ja oikea puoli ovat saman merkkiset.
   • Hankkiudu eroon neliöjuurista korottamalla yhtälön kumpikin puoli toiseen potenssiin.
   • Ratkaise näin saamasi yhtälö normaalisti.
   • Päättele määrittely- ja neliöönkorotusehtojen avulla, mitkä ratkaisuehdokkaista ovat todellisia ratkaisuja.

Tarkastellaan tämän kappaleen lopuksi vielä korkeampien juuriyhtälöiden ratkaisemista. Jos yhtälössä esiintyy $n$:s juuri, voi ratkaisussa käyttää potenssiin $n$ korotusta. Muut huomioitavat asiat riippuvat siitä, onko kysymyksessä pariton vai parillinen juuri.

Jos yhtälössä esiintyy pariton juuri, esimerkiksi kuutiojuuri tai viides juuri, valeratkaisuista ei tarvitse huolehtia. Tämä johtuu siitä, että parittomat potenssifunktiot saavat jokaisen arvonsa vain kerran. Esimerkiksi alla olevasta kolmannen asteen potenssifunktion kuvaajasta nähdään, että $$ x = \sqrt[3]{2} \Rightarrow x^3 = 2 $$ ja $$ x^3 = 2 \Rightarrow x = \sqrt[3]{2}. $$
Jos yhtälön molemmat puolet korotetaan parittomaan potenssiin, on uusi yhtälö siis yhtäpitävä alkuperäisen yhtälön kanssa, sillä parittomaan potenssiin korotus voidaan kumota ottamalla yhtälön molemmista puolista vastaava $n$:s juuri.

Jos yhtälössä esiintyy mikä tahansa parillinen juuri, valeratkaisut täytyy tunnistaa ja karsia pois samalla tavalla kuin neliöjuuren tapauksessa tehtiin. Tämä johtuu siitä, että parilliset potenssifunktiot saavat kaikki positiiviset arvonsa kahdessa eri kohdassa. Esimerkiksi alla olevasta neljännen asteen potenssifunktion kuvaajasta nähdään, että $$ x = \sqrt[4]{2} \Rightarrow x^4 = 2 $$ mutta $$ x^4 = 2 \Rightarrow x = \sqrt[4]{2} \ \text{ tai } \ x = -\sqrt[4]{2}. $$
Parilliseen potenssiin korotusta ei siis voi kumota niin, että tuloksena olisi varmasti sama yhtälö mistä lähdettiin.

Tässä kappaleessa tutkitaan juurifunktioiden derivaattoja.

Kurssissa MAA6 opittiin, että derivaatan arvo on funktion kuvaajalle asetetun tangentin kulmakerroin.

Kun määritetään tällaisen tangentin kulmakerroin $k$ mahdollisimman monessa kohdassa $a$ ja pisteet $(a,k)$ merkitään koordinaatistoon, piirtyy näkyviin derivaattafunktion kuvaaja. Seuraavassa tehtävässä hahmotellaan neliöjuurifunktion derivaattafunktion kuvaajaa tällä menetelmällä.

Geogebra-havainnollistuksesta huomataan, että neliöjuurifunktion derivaattafunktion tarkempi tutkiminen kohdan $x = 0$ lähellä vaatii muita keinoja. Sopivaksi työkaluksi paljastuu murtopotenssin käsite. Kurssilla MAA2 määriteltiin murtopotenssit seuraavasti:

Edellisistä tehtävistä havaitaan, että juurilausekkeiden ja murtopotenssien määrittelyjoukot poikkeavat usein toisistaan. Neliöjuurifunktio $f(x) = \sqrt{x}\,$ voidaan kuitenkin ilmaista avoimella välillä $\pa 0, \infty\pe$ murtopotenssin avulla: $$ f(x) = x^{\frac{1}{2}} $$ MAA6-kurssin teoreemassa 17 osoitettiin, että potenssifunktion $g(x) =x^n$ derivaattafunktio on $$ g'(x) = nx^{n-1} $$ kaikilla kokonaisluvuilla $n$. Voisiko samanlainen sääntö päteä myös tapauksessa, jossa eksponenttina on murtoluku?

On mahdollista osoittaa, että jos $r$ on mikä tahansa rationaaliluku, niin funktio $$ h(x) = x^{r} $$ on derivoituva välillä $\pa 0, \infty \pe$. Perustelu vaatii kuitenkin taustalleen niin paljon teoriaa, että sitä ei tässä kurssissa käsitellä. Sen sijaan tähän tietoon nojautuen yleistetään potenssifunktion derivointisääntö koskemaan myös murtopotensseja. Lue seuraava teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

Seuraavissa tehtävissä sovelletaan teoreemaa 4 neliö- ja kuutiojuurifunktioiden derivaattafunktioiden määrittämiseen.

Tehtävästä 1.22 havaitaan, että murtopotensseja ja potenssifunktion derivointisääntöä voidaan käyttää juurifunktioiden derivoimiseen silloinkin, kun juurifunktio on määritelty huomattavasti laajemmassa joukossa kuin murtopotenssi. Menetelmä on sama kuin tehtävässä 1.22:

1. Ilmaise juurifunktio murtopotenssin avulla.
2. Määritä derivaattafunktio potenssin derivointisääntöä käyttäen.
3. Ilmaise derivaattafunktio juurilausekkeiden avulla.
4. Päättele, missä derivaattafunktio on määritelty.

MAA7-kurssilla teoreemassa 23 johdetun yhdistetyn funktion derivointisäännön avulla pystytään derivoimaan erilaisia juurifunktioden muunnelmia. Tätä harjoitellaan seuraavissa tehtävissä.

Kurssissa MAA6 opittiin tutkimaan funktioiden kasvamista ja vähenemistä sekä ääriarvoja derivaatan avulla. Tässä kappaleessa sovelletaan näitä taitoja juurifunktioiden kulun tutkimiseen.

Aloitetaan tutkimalla neliöjuurifunktion $f(x) = \sqrt{x}\,$ kulkua. Neliöjuurifunktion kuvaajan perusteella näyttää siltä, että funktio on kasvava. Varmistetaan asia kuitenkin vielä derivaatan avulla.

Neliöjuurifunktion $f(x) = \sqrt{x}\,$ derivaatta on tehtävän 1.21 mukaan $$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}. $$ Se on määritelty avoimella välillä $\pa 0, \infty \pe$ ja sen arvo on aina positiivinen (neliöjuuren arvo ei koskaan ole negatiivinen, joten osoittaja ja nimittäjä ovat kumpikin positiivisia). Koska derivaattafunktio on positiivinen välillä $\pa 0, \infty \pe$, on neliöjuurifunktio aidosti kasvava koko määrittelyjoukossaan eli välillä $[0, \infty\pe$. Se, että derivaatta ei ole määritelty välin toisessa päätepisteessä eli kohdassa $x = 0$, ei haittaa. Kulkukaavioon nämä yksityiskohdat on kuitenkin merkittävä:

Katkoviiva kulkukaaviossa tarkoittaa, että funktio ei ole määritelty kyseisessä kohdassa. Yllä olevasta kulkukaaviosta voidaan siis lukea, että neliöjuurifunktio on määritelty kohdassa $x = 0$ mutta sen derivaattafunktio ei ole määritelty kohdassa $x = 0$.

Juurifunktioiden ääriarvot löydetään derivaatan nollakohdista, ja kulkukaavion avulla voidaan päätellä, onko kysymyksessä maksimi- vai minimiarvo. Suljetulla välillä suurin ja pienin arvo löytyvät MAA6-kurssin teoreeman 12 mukaisesti derivaatan nollakohdista tai välin päätepisteistä.

Jos tarkasteluväli ei ole suljettu, suurimman ja pienimmän arvon olemassaolon selvittäminen voi vaatia enemmän työtä.

Tarkastellaan esimerkiksi funktiota $$ f(x) = \frac{2\sqrt{x}}{x + 1}, $$ jonka määrittelyjoukko on $[0, \infty\pe$. Osamäärän derivointisäännön (MAA6 teoreema 15) avulla derivaattafunktioksi saadaan \begin{align*} f'(x) &= \frac{2 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}(x+1) - 2\sqrt{x}}{(x+1)^2} \\[2mm] &= \frac{x^{-\frac{1}{2}}(x+1) - 2\sqrt{x}}{(x+1)^2} \\[2mm] &= \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}(x+1) - 2\sqrt{x}}{(x+1)^2} \end{align*} Derivaattafunktion nollakohdat löytyvät osoittajan nollakohdista: \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{x}}(x+1) - 2\sqrt{x} &= 0 \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{x}}(x+1) &= 2\sqrt{x} \\[2mm] x+1 &=2x \\[2mm] 1 &= x \end{align*} Lasketaan derivaattafunktion arvo nollakohdan eri puolilla. Laskimen avulla saadaan esimerkiksi \begin{align*} f'(0{,}25) &= 0{,}96 > 0 \\ f'(4) &= -0{,}06 < 0 \end{align*} Näin saadaan muodostettua kulkukaavio:

Kulkukaaviosta nähdään, että funktiolla $f$ on maksimikohta $x = 1$ mutta ei muita ääriarvokohtia. Lisäksi voidaan päätellä, että maksimiarvo $$ f\left(1\right) = \frac{2\sqrt{1}}{1 + 1} = 1 $$ on funktion $f$ suurin arvo.

Pienimmän arvo olemassaoloa ei voida tässä tapauksessa päätellä pelkän kulkukaavion perusteella. Määrittelyvälin vasemmassa päätepisteessä funktio saa arvon $$ f(0) = \frac{2\sqrt{0}}{0 + 1} = 0. $$ Funktio on kuitenkin aidosti vähenevä välillä $\left[1, \infty\right[$, joten on tutkittava, millaisia arvoja se saa tällä välillä. Pysyvätkö arvot epänegatiivisina vai saako funktio jonkin nollaa pienemmän arvon?

Jos $x \geq 1$, osoittajan $2\sqrt{x}\,$ arvo on positiivinen, samoin nimittäjän $x + 1$ arvo. Siis välillä $\left[1, \infty\right[$ funktion $$ f(x) = \frac{2\sqrt{x}}{x+1} $$ arvo on positiivinen. Tästä voidaan päätellä, että $f(0) = 0$ on funktion $f$ pienin arvo. Myös funktion kuvaaja tukee näitä johtopäätöksiä:

Huomaa, että pelkän kuvaajan perusteella ei voida olla täysin varmoja, kuinka suuria tai pieniä arvoja funktio saa, kun muuttuja kasvaa rajatta. Edellä tehty päättely kuitenkin takaa, että $f(1)=1$ ja $f(0)=0$ ovat todella funktion suurin ja pienin arvo.

Seuraavan teoreeman avulla voidaan joissakin tilanteissa välttää juurilausekkeiden derivointi. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.