1. $\log_3(81) = 4$
2. $\log_6\left(\dfrac{1}{36}\right) = -2$
3. $\lg\left(0{,}001\right) = -3$
4. $\log_5\left(\sqrt[6]{25}\right) = \log_5\left(5^\frac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{3}$
5. $\log_2\left(\dfrac{16}{\sqrt[3]{4}}\right) = \log_2\left(2^\frac{10}{3}\right) = \dfrac{10}{3}$

1. \begin{align*} \text{pH } &= -\lg(1{,}3 \cdot 10^{-4}) \\ &\approx 3{,}9. \end{align*}
2. \begin{align*} [\text{H}_3\text{O}^+] &= 10^{-7{,}4} \\ &\approx 4{,}0 \cdot 10^{-8} \text{ mol/dm}^3. \end{align*}

1. $f(k^8) = \log_k(k^8) = 8$
2. $f(k) = \log_k(k) = 1$
3. $f(1) = \log_k(1) = 0$
4. $f\left(\dfrac{1}{k}\right) = \log_k\left(\dfrac{1}{k}\right) = -1$
5. $f(k^{-3}) = \log_k(k^{-3}) = -3$

Kohdassa

1. $x = 10^3 = 1\,000$
2. $x = 10^5 = 100\,000$
3. $x = 10^9 = 1\,000\,000\,000$
4. $x = 10^0 = 1$
5. $x = 10^{-1} = 0{,}1$
6. $x = 10^{-\frac{1}{2} } = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$

1. $I = 10^{-12} \text{ W/m}^2$
2. $I = 3{,}2 \cdot 10^{-7} \text{ W/m}^2$

Noin 7 vuoden kuluttua.

Vastaus saadaan ratkaisemalla yhtälö $$ 0{,}9^x = 0{,}5. $$ Ratkaisu on $$ x = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}9)} \approx 7. $$

Noin 186 vuoden kuluttua.

Vastaus saadaan esimerkiksi ratkaisemalla yhtälö $$ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{28}} \cdot 100a = a, $$ missä $a$ on vaarattomana pidetty strontiumpitoisuus. Ratkaisu on $$ t = \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}5)} \cdot 28 \approx 186{,}0. $$

1. Noin 4,83 tunnissa eli 4 tunnissa 50 minuutissa.
2. Noin 6,80 tuntia eli noin 6 tuntia 50 minuuttia.
   Huom. juoman jäähtyminen 60-asteiseksi kestää yhteensä 11,63 tuntia ja tulos saadaan, kun tästä vähennetään a-kohdan tulos.

1. Väkiluku kasvoi noin 10,4 %, sillä $1{,}02^5 \approx 1{,}104$.
2. Väkiluku kaksinkertaistuisi 35 vuodessa.
   Vastaus saadaan esimerkiksi ratkaisemalla yhtälö $$ 1{,}02^x \cdot a = 2a, $$ missä $a$ on kunnan alkuperäinen väkiluku. Ratkaisu on $$ x = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}02)} \approx 35{,}0. $$

Logaritmin laskusääntöjen avulla lausekkeen arvoksi saadaan $$ -\frac{22}{9}. $$ Tarkemmin: \begin{align*} \frac{\ln(a) + \ln(a^3) - \ln(\sqrt[3]{a})}{\ln(\sqrt{a}) - \ln(a^2)} &= \frac{ \ln(a^\frac{11}{3} ) }{\ln(a^{ -\frac{3}{2} } ) } \\[2mm] &= \frac{\frac{11}{3}\ln(a)}{-\frac{3}{2}\ln(a)} \\[2mm] &= -\frac{11}{3} \cdot \frac{2}{3} \end{align*}

1. Logaritmien laskusääntöjen avulla saadaan \begin{align*} \log_k(\sqrt{ab}) &= \frac{1}{2}\cdot\log_k(ab) \\[2mm] &= \frac{1}{2}\cdot \left(\log_k(a) + \log_k(b)\right) \\[2mm] &= \frac{\log_k(a) + \log_k(b)}{2} \end{align*}
2. Jos neliön pinta-ala on $ab$, on sen sivun pituus lukujen $a$ ja $b$ geometrinen keskiarvo. Sama pinta-ala on suorakulmiolla, jonka sivujen pituudet ovat $a$ ja $b$.

Teoreeman 11 mukaan \begin{align*} \log_{ak} (x) &= \frac{\log_k(x)}{\log_k(ak)} \\[2mm] &= \frac{\log_k(x)}{\log_k(k) + \log_k(a)} \\[2mm] &= \frac{\log_k(x)}{1 + \log_k(a)}. \end{align*}

Talletuksen arvo ylittää 10 000 euroa 11 vuoden kuluttua.

Vastaus löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ 1{,}0215^x \cdot 8000 = 10000. $$ Sen ratkaisu on $$ x = \frac{\ln(1{,}25)}{\ln(1{,}0215)} \approx 10{,}49. $$ Tulos voidaan pyöristää ylöspäin, koska vielä 10 vuoden kuluttua talletuksen arvo ei ole ylittänyt 10 000 euroa.

Loukkaantuneiden määrä vähenisi alle puoleen 23 vuodessa.

Vastaus löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ 0{,}97^x \cdot a = 0{,}5\cdot a. $$ Sen ratkaisu on $$ x = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}97)} \approx 22{,}76. $$

Lukujen 10-kantaisille logaritmeille saadaan seuraavat likiarvot: \begin{align*} \lg\left(3^{24642}\right) &= 24642\lg(3) \approx 11\,757{,}2 \\ \lg\left(5^{17971}\right) &= 17971\lg(5) \approx 12\,561{,}2 \\ \lg\left(7^{13531}\right) &= 13531\lg(7) \approx 11\,435{,}0 \end{align*} Lukujen suuruusjärjestys on siis (pienimmästä suurimpaan) $$ 7^{13531}, \, 3^{24642}, \, 5^{17971}. $$ Luvussa $7^{13531}$ on 11 436 numeroa.
Luvussa $3^{24642}$ on 11 758 numeroa.
Luvussa $5^{17971}$ on 12 562 numeroa.

1. $x = 1$
2. $x = 3$

Luku on $\sqrt[3]{4}$.

Vastaus löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ \log_k(4x) = 4\log_k(x). $$ Logaritmin ominaisuuksien nojalla \begin{align*} \log_k(4x) &= 4\log_k(x) \\ \log_k(4x) &= \log_k(x^4) \\ 4x &= x^4 \\ x = 0 &\text{ tai } x^3 = 4 \end{align*} Koska logaritmi on määritelty vain positiivisi lle luvuille, ainoa ratkaisu on $x = \sqrt[3]{4}$.

1. $x = 5$
   Huomaa, että toinen ratkaisuehdokas $x = -3$ ei kelpaa, koska se ei toteuta yhtälön määrittelyehtoa.
2. Yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua.
   Huomaa, että ratkaisuehdokas $x = \frac{2}{3}$ ei toteuta yhtälön määrittelyehtoa.
3. $x = -2$
   Huomaa, että toinen ratkaisuehdokas $x = 2{,}5$ ei kelpaa, koska se ei toteuta yhtälön määrittelyehtoa.

Sivuamispiste on $$ \left(\frac{1}{3}, \ln\left(\frac{1}{3}\right)\right). $$ Logaritmin laskusääntöjen avulla se voidaan kirjoittaa myös muodossa $$ \left(\frac{1}{3}, -\ln\left(3\right)\right). $$ Tangentin yhtälö on tällöin $$ y = 3x - 1 - \ln(3). $$

Derivaattafunktiolla $$ f'(x) = 2x - \frac{2}{x} $$ on kaksi nollakohtaa: $x_1 = 1$ ja $x_2 = -1$. Kulkukaavio:

Kulkukaaviosta nähdään, että nämä ovat funktion $f$ minimikohtia. Minimiarvot ovat \begin{align*} f(1) &= 1 \\ f(-1) &= 1 \end{align*} Kulkukaavion avulla voidaan myös päätellä, että tämä on funktion $f$ pienin arvo ja että funktiolla $f$ ei ole suurinta arvoa.

Derivaattafunktiolla $$ g'(x) = \frac{1}{x} - 2x $$ on määrittelyjoukossa $\pa 0, \infty\pe$ yksi nollakohta $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio $g$ on kasvava, jos ja vain jos $$ 0 < x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}. $$

1. Funktio $f$ on määritelty, jos ja vain jos $\left|x\right| > 0$ eli $x \neq 0$.
2. Käsitellään kaksi tapausta:
   • Jos $x > 0$, niin $f(x) = \ln(x)$ ja $$ f'(x) = \frac{1}{x} $$
   • Jos $x < 0$, niin $f(x) = \ln(-x)$ ja yhdistetyn funktion derivointisäännön mukaan $$ f'(x) = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x} $$

Derivaattafunktiolla $$ h'(x) = -\frac{8}{x^2} + \frac{4}{x} $$ on määrittelyjoukossa $\pa 0, \infty \pe$ yksi nollakohta $x = 2$. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio $h$ saa siinä pienimmän arvonsa. Pienin arvo on $$ h(2) = 4(1 + \ln(2)). $$ Muuttujan arvojen kasvaessa rajatta lausekkeen $\ln(x)$ arvo kasvaa rajatta. Samaan aikaan lausekkeen $\frac{8}{x}$ arvo lähestyy nollaa. Tästä voidaan päätellä, että funktion $f$ arvot kasvavat rajatta, kun muuttujan arvot kasvavat rajatta. Funktion $h$ arvojoukko on siten $[4 + 4\ln(2), \infty\pe$.

1. Epäyhtälö pätee kaikilla $x > 0$, sillä funktion $f(x) = \sqrt{x} - \ln(x)$ pienin arvo $f(4) = 2 - \ln(4)$ on positiivinen.
2. Epäyhtälö ei päde kaikilla $x > 0$. Kokeilemalla huomaa, että esimerkiksi $$ \ln(10) > \sqrt[3]{10}. $$ Toinen vaihtoehto on tutkia funktion $g(x) = \sqrt[3]{x} - \ln(x)$ pienintä arvoa. Se on $g(27) = 3 - \ln(27) < 0$. Siis tutkittava epäyhtälö ei päde, jos $x = 27$.

1. Kuva:
   
2. $\left|AB\right| = \sqrt{26}$
3. Suoran yhtälö on $$ 0{,}2x - y + 2{,}8 = 0. $$ Pisteen $C = (x, \ln(x))$ etäisyys tästä suorasta on \begin{align*} &\phantom{ {} = {} } \frac{\left|0{,}2x - \ln(x) + 2{,}8\right|}{\sqrt{1{,}04}} \\[2mm] &= \frac{0{,}2x - \ln(x) + 2{,}8}{\sqrt{1{,}04}}. \end{align*}
4. Funktio on \begin{align*} f(x) &= \frac{\sqrt{26}}{2} \cdot \frac{0{,}2x - \ln(x) + 2{,}8}{\sqrt{1{,}04}} \\[2mm] &= 2{,}5x - 12{,}5\ln(x) + 35 \end{align*} Sen derivaatalla $$ f'(x) = \frac{5}{2} - \frac{25}{2x} $$ on yksi nollakohta $x = 5$. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio $A$ saa tässä pienimmän arvonsa, joka on \begin{align*} A(5) &= 47{,}5 - 12{,}5\ln(5) \\ &\approx 27{,}4. \end{align*}
5. Etsitty piste on $C = (5, \ln(5))$.

Funktion $$ f(x) = x - \ln(x) - \frac{1}{2x} $$ derivaattafunktiolla $$ f'(x) = 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} $$ ei ole yhtään nollakohtaa määrittelyjoukossa $\pa 0, \infty \pe$. Sen arvot ovat aina positiivisia, joten funktio $f$ on aidosti kasvava ja saa jokaisen arvonsa vain kerran. Näin funktiolla on enintään yksi nollakohta.

Toisaalta esimerkiksi \begin{align*} f(0{,}25) &\approx -0{,}36 < 0 \\ f(1) &= 0{,}5 > 0 \end{align*} joten jatkuvalla funktiolla $f$ on Bolzanon lauseen nojalla ainakin yksi nollakohta välillä $\left]\frac{1}{4}, 1\right[$.

Näin päädytään johtopäätökseen, että yhtälöllä $$ x - \ln(x) = \frac{1}{2x} $$ on tasan yksi ratkaisu.

Funktio $f$ on aidosti kasvava, jos ja vain jos $-1 \leq x < 0$ tai $x > 0$.
Huomaa, että funktio ei ole määritelty kohdassa $x = 0$. Derivaattafunktiolla on yksi nollakohta $x = -1$.

1. Kuva:
   
2. $A(x) = -x\ln(x)$
   Miinusmerkki tarvitaan, koska logaritmin arvo on negatiivinen ja pinta-alan pitää kuitenkin olla positiivinen.
3. $V(x) = -\pi x^2 \ln(x)$
   Ympyränlieriön pohjan säde on $x$ ja korkeus on $-\ln(x)$.
4. Suurin mahdollinen tilavuus on $$ V(e^{-\frac{1}{2}}) = \frac{\pi}{2e}. $$ Se löydetään derivaattafunktion $$ V'(x) = -\pi(x + 2x\ln(x)) $$ nollakohdasta.

1. $V(x) = \pi (\ln(x))^2 \cdot x$
   Ympyränlieriön pohjan säde on $-\ln(x)$ ja korkeus on $x$. Toiseen potenssiin korotuksen vuoksi säteen miinusmerkillä ei ole merkitystä.
2. Suurin mahdollinen tilavuus on $$ V(e^{-2}) = \frac{4\pi}{e^2}. $$ Se löydetään derivaattafunktion $$ V'(x) = \pi(\ln(x))^2 + 2\pi\ln(x) $$ nollakohdasta $x = e^{-2}$.

1. Kuvaajat näyttävät leikkaavan toisensa melko kohtisuorasti:
   
2. Olkoon leikkauspiste $(a, \ln(a))$. Siihen asetetun funktion $f$ tangentin kulmakerroin on $$ f'(a) = \frac{1}{a} $$ ja funktion $g$ tangentin kulmakerroin on $g'(a) = -a$. Niiden tulo on $-1$, joten tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Käyrät siis todella leikkaavat toisensa kohtisuorasti.

1. Erotusfunktion $$ f(x) = x\ln(x) + e^{-1} $$ derivaattafunktiolla $$ f'(x) = 1 + \ln(x) $$ on yksi nollakohta $x = e^{-1}$. Kulkukaaviosta nähdään, että tässä kohdassa funktio $f$ saa pienimmän arvonsa $$ f(e^{-1}) = -e^{-1} + e^{-1} = 0. $$ Tästä voidaan päätellä, että kaikilla $x > 0$ pätee $f(x) \geq 0$ eli $$ x + x\ln(x) \geq x - e^{-1} $$ Käyrä $y = x + x\ln(x)$ ei siis ole missään suoran kohdassa suoran $y = x - e^{-1}$ alapuolella.
2. Suoralla $y = x - e^{-1}$ ja käyrällä $y = x + x\ln(x)$ on a-kohdan perusteella tasan yksi yhteinen piste $(e^{-1},0)$. Käyrää vastaavan funktion $g(x) = x + x\ln(x)$ derivaattafunktio $$ g'(x) = 2 + \ln(x) $$ saa tässä kohdassa arvon $g'(e^{-1}) = 1$, joka on sama kuin suoran $y = x - e^{-1}$ kulmakerroin. Tästä voidaan päätellä, että suora $y = x - e^{-1}$ on käyrän $y = x + x\ln(x)$ tangentti kohdassa $x = e^{-1}$.

1. $x = e^{\ln(x)}$
2. Funktio on $f(x) = e^{x\ln(x)}$ ja sen määrittelyjoukko on $\pa 0, \infty \pe$.
3. Funktio $f$ on aidosti vähenevä välillä $\left] 0, e^{-1}\right]$ ja aidosti kasvava välillä $\left[e^{-1}, \infty\right[$.
4. Funktion $f$ pienin arvo on $$ f(e^{-1}) = \left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}} = e^{-\frac{1}{e}}. $$ Funktiolla $f$ ei ole suurinta arvoa.

1. $x = \dfrac{1}{7}$
2. Koska $\mathop{\mathrm{lb}} (4) = 2$ ja $\mathop{\mathrm{lb}} (8) = 3$, niin epäyhtälön toteuttavat arvot $4 \leq n \leq 8$.

1. $x_{10} = 3{,}146140\ldots \approx 3{,}146$.
2. Yhtälö on $$e^{x-2} = x$$ ja sen ratkaisun likiarvoksi saadaan $x_{10} = 0{,}158594 \approx 0{,}159$.

1. Lauseke on määritelty, jos ja vain jos $n \cdot 2\pi < x < \pi + n \cdot 2\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.
2. Ratkaisujen likiarvot ovat $x_1 \approx 0{,}14$, $x_2 \approx 3{,}01$, $x_3 \approx 6{,}42$ ja $x_4 \approx 9{,}29$.

1. $0$
2. $x$

$x = \dfrac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Suurin arvo on $$ f(e) = \frac{1}{e}. $$

1. Havainnoista saadaan yhtälöt \begin{align*} k \cdot 10{,}2^b &= 20 \\ k \cdot 0{,}0158^b &= 6. \end{align*} Kun yhtälöiden kummastakin puolesta otetaan logaritmi ja sovelletaan logaritmien laskusääntöjä, saadaan \begin{align*} \ln(k) + b\ln(10{,}2) &= \ln(20) \\ \ln(k) + b\ln(0{,}0158) &= \ln(6). \end{align*} Kun yhtälöt vähennetään toisistaan, saadaan ratkaistua $b$: $$ b = \frac{\ln(20) - \ln(6)}{\ln(10{,}2) - \ln(0{,}0158)} \approx 0{,}186. $$ Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan $$ k = \frac{20}{10{,}2^b} \approx 13{,}0. $$
2. Palman lintulajien määrä on $n = k \cdot 708^b \approx 44$.

1. $x = 20$
2. Derivaattafunktio sievenee muotoon $$ f'(x) = -\frac{1}{x(x+1)}. $$ Oletuksen mukaan $x > 0$, ja tällöin derivaattafunktion arvo on negatiivinen. Funktio $f$ on siis aidosti vähenevä määrittelyjoukossaan.

1. $\ln x$
2. Yhtälö on määritelty, jos ja vain jos $x > 1$. Muokataan yhtälöä logaritmin ominaisuuksien avulla: \begin{align*} \ln(x + 1) - \ln(x - 1) &= \ln 4 + \ln 2 \\[2mm] \ln\left(\frac{x + 1}{x-1}\right) &= \ln 8 \\[2mm] \frac{x + 1}{x-1} &= 8 \\[1mm] x + 1 &= 8x - 8 \\[2mm] x &= \frac{9}{7} \end{align*} Ratkaisu toteuttaa yhtälön määrittelyehdon, joten se on todella yhtälön ratkaisu.

1. $2^5 = 32$
2. $x = \dfrac{8}{5}$

Funktio on määritelty, kun nimittäjä on määritelty ja nollasta poikkeava. Siis funktio on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$ ja $x \neq 1$.

Derivaattafunktiolla $$ f'(x) = \frac{\ln(x) - 1}{(\ln(x))^2} $$ on yksi nollakohta $x = e$. Lisäksi se ei ole määritelty kohdassa $x = 1$. Laatimalla kulkukaavio huomataan, että funktio $f$ on vähenevä väleillä $\pa 0,1\pe$ ja $\pa 1, e\pe$ ja kasvava välillä $\pa e, \infty\pe$.

Funktio ei saa arvoja väliltä $[0,e\pe$. Jos $0 < x < 1$, funktion arvot ovat negatiivisia. Välillä $\pa 1, \infty\pe$ funktion pienin arvo on $f(e) = e$.

Yhtälö on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$. Merkitään $$ f(x) = x - 2\ln x. $$ Funktion $f$ derivaatan avulla saadaan selville, että funktion $f$ pienin arvo on $$ f(2) = 2 - 2\ln 2 > 0. $$ Yhtälöllä $f(x) = 0$ ei siis ole ratkaisuja.

Funktio $f$ on määritelty, jos ja vain jos $-1 < x < 0$ tai $x > 1$. Derivaattafunktiolla on määrittelyalueessa yksi nollakohta $$ x = -\frac{1}{\sqrt{3}}. $$ Kulkukaaviosta nähdään, että tämä on maksimikohta. Funktio saa siinä maksimiarvon $$ f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \ln\left(\frac{2}{3\sqrt{3}}\right). $$

Ilman itseisarvoja: $$ f(x) = \begin{cases} \ln(2-x) &\text{ jos $x < 1$} \\ -\ln(2-x) &\text{ jos $1 \leq x < 2$} \\ -\ln(x-2) &\text{ jos $2 < x \leq 3$} \\ \ln(x-2) &\text{ jos $x > 3$} \\ \end{cases} $$ Itseisarvojen vuoksi funktion arvo on aina epänegatiivinen. Pienimmän arvonsa nolla se saa kohdissa $x = 1$ ja $x = 3$.

Funktio voidaan derivoida, kun itseisarvoista on päästy eroon. Derivaattafunktion avulla nähdään, että funktio on aidosti kasvava väleillä $[1, 2\pe$ ja $[3, \infty\pe$ ja aidosti vähenevä väleillä $\pa -\infty, 1]$ ja $\pa 2, 3]$.

Koska tutkitaan lausekkeen raja-arvoa muuttujan arvon kasvaessa rajatta, voidaan olettaa, että $x > 0$. Logaritmin laskusääntöjen nojalla \begin{align*} \ln(4x + 3) &- \ln(3x+4) \\[2mm] &= \ln\left(\frac{4x + 3}{3x + 4}\right) \\[2mm] &= \ln\left(\frac{4 + \frac{3}{x} }{3 + \frac{4}{x} }\right) \\[2mm] &\xrightarrow[x \rightarrow \infty]{} \ln\left(\frac{4 + 0}{3 + 0}\right) = \ln\left(\frac{4}{3}\right). \end{align*}