Kursseissa MAA3 ja MAA5 on tarkasteltu ympyrän tangetteja. Nämä ovat suoria, jotka sivuavat ympyrää tasan yhdessä pisteessä.

Samaan tapaan voidaan piirtää tangetti myös funktion kuvaajalle. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on piirretty funktion $f$ kuvaajalle tangentti kohtaan $x = 2$.

Tangentin kulmakerroin antaa tietoa funktion kuvaajan jyrkkyydestä tarkastelukohdassa. Alla olevasta kuvasta nähdään, että tässä tapauksessa tangetin kulmakerroin on $$\frac{-2}{\phantom{-}4} = -0{,}5.$$

Funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on toiselta nimeltään funktion derivaatta. Tämän funktion $f$ derivaatta kohdassa $x = 2$ on siis $-0{,}5$. Tämä ilmaistaan merkinnällä $$f'(2) = -0{,}5.$$

Funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin eli funktion derivaatta ilmaisee funktion arvojen kasvunopeuden kyseisessä kohdassa. Tarkastellaan esimerkiksi funktiota $f$, jonka kuvaaja on näkyvissä alla.

Kuvaajalle piirretyistä tangeteista havaitaan, että funktion arvot kasvavat voimakkaasti kohdassa $x = -1$. Kohdassa $x = 2$ kasvu on hiipumassa ja kohdassa $x = 5$ funktion arvot pienenevät. Jokaisessa kohdassa tangentin kulmakerroin eli funktion $f$ derivaatta antaa kasvunopeuden hetkellisen arvon.

Edellä on tutkittu funktioita, joiden kasvunopeus vaihtelee kohdasta toiseen. On olemassa myös funktioita, joiden arvot kasvavat koko ajan samalla nopeudella. Esimerkiksi funktion $f(x) = 2x-3$ arvo kasvaa aina kahdella, kun $x$-akselilla siirrytään yhden yksikön verran oikealle:

Tästä voidaan päätellä, että funktion $f(x) = 2x-3$ derivaatan arvo on koko ajan vakio: $$f'(x) = 2$$ kaikissa kohdissa $x$.

Edellä havaittiin, että ensimmäisen asteen polynomifunktioiden ja vakiofunktioiden kasvunopeus on vakio. Esimerkiksi funktion $g(x) = -0{,}5x + 4$ arvo pienenee aina puolikkaan verran, kun $x$-akselilla siirrytään yhden yksikön verran oikealle:

Tästä voidaan päätellä, että funktion $g(x) = -0{,}5x+4$ derivaatan arvo on koko ajan vakio: $$g'(x) = -0{,}5$$ kaikissa kohdissa $x$. Derivaatta on siis vakiofunktio, jonka arvo on koko ajan $-0{,}5$:

Tarkastellaan seuraavaksi toisen asteen potenssifunktiota $f(x) = x^2$. Alla on näkyvissä osa sen kuvaajasta ja sille piirrettyjä tangentteja.

Lisäksi havaitaan, että kohdassa $x = 0$ kuvaajan tangettina on $x$-akseli. Näiden tangenttien kulmakertoimista saadaan funktion $f$ derivaatalle seuraavat arvot:

Kun vastaavat pisteet merkitään koordinaatistoon, saadaan hieman käsitystä siitä, millainen derivaattafunktio $f'$ on.

Jos funktion kuvaajalle piirretään enemmän tangentteja ja määritetään niiden kulmakertoimet, saadaan tarkempaa tietoa derivaattafunktion arvoista. Tätä kokeillaan seuraavassa tehtävässä.

Tässä luvussa olemme tutustuneet derivaatan käsitteeseen pääasiassa graafisesti määrittämällä funktion kuvaajalle piirrettyjen tangenttien kulmakertoimia. Jotta voimme tarkastella derivaattaa myös lausekkeiden avulla, perehdymme seuraavassa luvussa funktion raja-arvon käsitteeseen. Kolmannessa luvussa harjoittelemme rationaalifunktioiden käsittelyä, minkä jälkeen voimme määritellä derivaatan käsitteen täsmällisesti niin sanottuna erotusosamäärän raja-arvona luvussa 4.

Tarkastellaan alla olevaa funktion $f$ kuvaajaa. Havaitaan, että funktio $f$ on määritelty kohdan $x = 1$ läheisyydessä sen molemmilla puolilla, mutta ei kohdassa $x = 1$.

Tutkitaan funktion $f$ arvoja kohdan $x = 1$ eri puolilla. Huomataan, että funktion $f$ arvot lähestyvät lukua 2, kun lähestytään kohtaa $x = 1$ vasemmalta. Jos kohtaa $x = 1$ lähestytään oikelta, funktion $f$ arvot lähestyvät lukua $0$. Koska funktion arvot lähestyvät eri lukua riippuen siitä, kummalta puolelta kohtaa $x = 1$ lähestytään, ei funktiolla $f$ ole raja-arvoa kohdassa $x = 1$.

Raja-arvon kannalta ei ole mitään merkitystä sillä, onko funktio määritelty tarkasteltavassa kohdassa vai ei. Oleellista on vain se, lähestyvätkö funktion arvot jotain tiettyä arvoa, kun tarkastelukohtaa lähestytään kummasta suunnasta tahansa.

Joskus funktion raja-arvoa ei ole olemassa tarkastelukohdassa, koska funktion arvot kasvavat tai pienenevät rajatta tämän kohdan läheisyydessä. Esimerkiksi alla on näkyvissä osa funktion $g$ kuvaajasta. Siitä nähdään, että funktio $g$ on kyllä määritelty välin $[-3,5]$ jokaisessa pisteessä, mutta funktiolla $f$ ei ole raja-arvoa kohdassa $x = 2$. Tämä johtuu siitä, että funktion arvot kasvavat rajatta, kun kohtaa $x = 2$ lähestytään oikealta.

Monissa tilanteissa funktion raja-arvo tarkastelukohdassa voidaan määrittää funktion lausekkeen avulla. Esimerkiksi voidaan tutkia, onko funktiolla $f(x) = x^2-9$ raja-arvoa kohdassa $x = 5$. Päätellään, että jos $x \rightarrow 5$, niin $$x^2 - 9 \rightarrow 5^2 - 9 = 25 - 9 = 16.$$ Tulos ei riipu siitä, mistä suunnasta kohtaa $x = 5$ lähestytään. Funktiolla $f$ on siis kohdassa $x = 5$ raja-arvo $$\lim_{x \rightarrow 5} f(x) = 16.$$

Paloittain määriteltyjen funktioiden raja-arvoja voidaan tutkia samaan tapaan lausekkeiden avulla. Tällöin täytyy huomata, että funktio saattaa olla määritelty eri tavoin tarkastelukohdan eri puolilla. Tarkastelukohtaa pitää sen vuoksi lähestyä erikseen sekä oikealta että vasemmalta. Lähestymissuunta ilmaistaan raja-arvon merkinnässä merkeillä $+$ ja $-$.

Vasemmalta lähestyminen: $x \rightarrow c-$

Oikealta lähestyminen: $x \rightarrow c+$

Jos esimerkiksi tutkitaan, onko funktiolla $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2+2x+4}{4}, &\text{ jos $\ x < -2$} \\[2mm] 2-\sqrt{x + 3}, &\text{ jos $\ x \geq -2$} \end{cases} $$ raja-arvoa kohdassa $x = -2$, verrataan vasemman- ja oikeanpuoleista raja-arvoa toisiinsa: \begin{align*} \lim_{x \rightarrow (-2)-} f(x) &= \lim_{x \rightarrow (-2)-}\dfrac{x^2+2x+4}{4} \\[2mm] &= \frac{(-2)^2 + 2\cdot(-2) + 4}{4} \\[2mm] &= \frac{4-4+4}{4} = 1 \end{align*} ja \begin{align*} \lim_{x \rightarrow (-2)+} f(x) &= \lim_{x \rightarrow (-2)+} (2-\sqrt{x + 3}) \\[1mm] &= 2 - \sqrt{-2+3} \\[1mm] &= 2- \sqrt{1} = 1 \end{align*} Tulos ei riipu lähestymissuunnasta, joten funktiolla $f$ on kohdassa $x = -2$ raja-arvo $$ \lim_{x \rightarrow -2} f(x) = 1. $$

Edellisessä kappaleessa havaittiin, että funktiolla voi jossakin kohdassa olla raja-arvo, joka poikkeaa funktion arvosta. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta nähdään, että $$\lim_{x \rightarrow -1} f(x) = -2$$ ja $$f(-1) = 1.$$
Tällaisessa tilanteessa sanotaan, että funktio $f$ ei ole jatkuva kohdassa $x = -1$.

Määritelmän mukaan funktio $f$ on siis jatkuva kohdassa $a$, jos sillä on kohdassa $a$ raja-arvo, joka on sama kuin funktion arvo kohdassa $a$.

Jos funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa $a$, funktio ei ole siinä jatkuva. Tämä voi näkyä funktion kuvaajassa hyppäyksenä, kuten esimerkiksi alla kohdassa $x = 2$.

Funktion kuvaajassa näkyy hyppäyksenä myös tilanne, jossa raja-arvo on kyllä olemassa mutta poikkeaa funktion arvosta, kuten esimerkiksi alla kohdassa $x = -1$.

Yllä näkyvä funktio ei siis ole jatkuva kohdassa $x = -1$.

Edellä on tarkasteltu funktion jatkuvuutta aina jossain yksittäisessä kohdassa. Seuraavaksi siirrytään tarkastelemaan tilanteita, joissa funktio on jatkuva jollakin lukusuoran välillä tai jopa koko lukusuoralla. Tällaisia funktioita ovat esimerkiksi polynomifunktiot, joihin perehdyttiin kurssissa MAA2.

Alla olevassa määritelmässä tarkastellaan sekä avoimia että suljettuja välejä. Avoimen välin mitä tahansa pistettä voidaan lähestyä sekä vasemmalta että oikealta, mutta suljetun välin päätepisteitä voidaan lähestyä vain yhdestä suunnasta: vasenta päätepistettä oikealta ja oikeaa päätepistettä vasemmalta.

Määritelmää voidaan havainnollistaa alla näkyvän funktion $f$ kuvaajan avulla. Kuvaajasta havaitaan, että funktio on jatkuva kaikissa muissa kohdissa paitsi kohdassa $x = 1$. Jos kohtaa $x = 1$ lähestytään oikealta, funktion arvot kasvavat rajatta, mutta jos kohtaa $x = 1$ lähestytään vasemmalta, funktion arvot lähestyvät lukua $-2$. Funktiolla ei tämän vuoksi ole raja-arvoa kohdassa $x = 1$ eikä se siten ole siinä jatkuva.

Tarkastellaan sitten funktion jatkuvuutta suljetuilla väleillä $[-2,1]$ ja $[1,3]$.

• suljetulla välillä $[-2,1]$ funktio $f$ on jatkuva, sillä se on jatkuva avoimella välillä $\pa -2, 1 \pe$ ja lisäksi \begin{align*} \lim_{x \rightarrow -2+} f(x) &= 4 = f(-2) \\ \lim_{x \rightarrow 1-} f(x) &= -2 = f(1) \end{align*}
• suljetulla välillä $[1,3]$ funktio $f$ ei ole jatkuva, sillä $f(1) = -2$ mutta funktion arvot kasvavat rajatta, kun kohtaa $x = 1$ lähestytään oikealta.

On mahdollista osoittaa, että jos suljetulla välillä jatkuva funktio saa välin päätepisteissä erimerkkiset arvot, on funktiolla tällä välillä ainakin yksi nollakohta. Tämä tulos tunnetaan nimellä Bolzanon lause. Sen todisti ensimmäisenä tsekkiläinen matemaatikko Bernard Bolzano vuonna 1817. Kuvasta katsottuna Bolzanon lause on helppo uskoa todeksi, mutta yleispätevän perustelun esittäminen on sen verran työlästä, että sitä käsitellään vasta yliopistotasolla.

Huomaa, että jos Bolzanon lauseen ehdot täyttyvät, voi funktiolla olla useampikin nollakohta tarkasteluvälillä. Tällainen tilanne on alla olevassa kuvassa.

Nollakohdan olemassaolon kannalta on oleellista, että funktio on jatkuva suljetulla välillä $[a,b]$. Esimerkiksi seuraavan kuvan tilanteessa funktio $f$ on kyllä määritelty suljetulla välillä $[-1,2]$ ja saa sen päätepisteissä erimerkkiset arvot: $f(-1) = 2$ ja $f(2) = -0{,}5$. Lisäksi funktio on jatkuva avoimella välillä $\pa -1, 2 \pe$, mutta sillä ei ole nollakohtaa välillä $\pa -1,2 \pe$.

Bolzanon lausetta voidaan hyödyntää esimerkiksi polynomifunktioiden nollakohtien etsimisessä ja polynomiyhtälöiden ratkaisussa, sillä polynomifunktiot ovat jatkuvia millä tahansa lukusuoran välillä. Tämän teoreeman täsmällinen todistus on niin työläs, että siihen tutustutaan vasta yliopistotasolla.

Bolzanon lauseen ja teoreeman 2 käyttöä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Jos funktio saa kahdessa eri kohdassa samanmerkkiset arvot, niiden välillä saattaa olla olemassa nollakohtia tai sitten ei. Tätä tutkitaan seuraavassa tehtävässä.

Ensimmäisessä luvussa opittiin, että funktion derivaatta on funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin. Esimerkiksi alla näkyvän funktion $f$ derivaatta kohdassa $x = 2$ on $$f'(2) = -0{,}5.$$
Funktion kuvaajalle ei kuitenkaan aina ole mahdollista piirtää yksikäsitteistä tangenttia. Erityisesti kohdat, joissa funktio ei ole jatkuva, tuottavat hankaluuksia. Miten esimerkiksi pitäisi piirtää tangentti alla näkyvän funktion kuvaajan kohtaan $x = 3$?

Alla näkyy kaksi suoraa, jotka sivuavat funktion kuvaajaa kohdassa $x = 3$. Yksikäsitteistä tangettia on mahdotonta piirtää, joten funktiolla $f$ ei ole derivaattaa kohdassa $x = 3$. Tämä voidaan ilmaista myös sanomalla, että funktio $f$ ei ole derivoituva kohdassa $x = 3$.

On mahdollista osoittaa yleispätevästi, että funktio voi olla derivoituva vain siinä tapauksessa, että se on jatkuva:

Teoreemasta 3 seuraa, että jos funktio ei ole jatkuva, se ei missään tapauksessa voi olla derivoituva. Toisaalta vaikka funktio olisi jatkuva, se ei välttämättä ole derivoituva. Esimerkiksi alla on näkyvissä itseisarvofunktion $$f(x) = \left|x\right|$$ kuvaaja. Se on katkeamaton käyrä, mistä voidaan päätellä, että itseisarvofunktio on jatkuva.

Havaitaan, että kohtaan $x = 0$ on mahdotonta piirtää yksikäsitteistä tangenttia:

Itseisarvofunktio $f(x) = \left|x\right|$ ei siten ole derivoituva kohdassa $x = 0$, vaikka onkin siinä jatkuva.

Murtolauseke tarkoittaa kahden polynomin osamäärää. Esimerkiksi lausekkeet $$\frac{4x-1}{7-x^2} \quad \text{ ja } \quad \frac{9}{y^3+5y}$$ ovat murtolausekkeita. Murtolausekkeita voidaan käsitellä samoilla säännöillä kuin murtolukuja. Tässä kappaleessa palautetaan mieleen murtolukujen laskusäännöt ja harjoitellaan soveltamaan niitä murtolausekkeisiin.

Murtolukuja ja -lausekkeita voidaan sieventää supistamalla. Supistaminen onnistuu, jos sekä osoittaja että nimittäjä voidaan muuttaa tulomuotoon ja niistä löytyy yhteinen tekijä: $$ \frac{30}{21} = \frac{3\cdot 10}{3\cdot 7} = \frac{10}{7} $$ Murtolausekkeiden tapauksessa tulomuotoon muuttaminen saattaa vaatia yhteisen tekijän erottamisen sekä osoittajassa että nimittäjässä: $$ \frac{8x+4}{6x^2+3x} = \frac{4(2x+1)}{3x(2x + 1)} = \frac{4}{3x} $$ Tässä osoittajan termeillä oli yhteinen tekijä $4$, ja nimittäjän termeillä oli yhteinen tekijä $3x$. Kun osoittaja ja nimittäjä kirjoitettiin tulomuotoon, nähtiin molemmissa tekijänä myös lauseke $2x+1$. Se voitiin supistaa pois.

Murtolukujen tapauksessa luvun ja sen vastaluvun osamäärä on helppo tunnistaa. Esimerkiksi $$\frac{\phantom{-}3}{-3} = -1.$$ Murtolausekkeiden tapauksessa vastaava tilanne voi näyttää esimerkiksi tältä: $$ \frac{x-8}{8-x} $$ Osoittajaa sieventämällä nähdään, että se on nimittäjän vastalauseke: \begin{align*} x-8 &= -8 + x \\ &=-1 \cdot (8-x). \end{align*} Osoittaja ja nimittäjä voidaan muuttaa tulomuotoon ja sen jälkeen supistaa yhteinen tekijä pois: $$ \frac{x-8}{8-x} = \frac{-1 \cdot (8-x)}{\phantom{-}1 \cdot (8-x)} = \frac{-1}{\phantom{-}1} = -1 $$

MAA2-kurssilla johdetut summan ja erotuksen tulon sekä binomien neliöiden muistikaavat ovat välillä tarpeen murtolausekkeiden supistamisessa.

Ennen yhteen- ja vähennyslaskuja murtoluvut täytyy laventaa samannimisiksi. Laventaminen tarkoittaa, että osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla. Tällöin murtoluvusta tulee eri näköinen mutta sen suuruus ei muutu. Esimerkiksi $$ \frac{1}{2} = \frac{6\cdot 1}{6 \cdot 2} = \frac{6}{12}. $$ Kun kaksi murtolukua lavennetaan samannimisiksi, yksi varma keino on laventaa ne toistensa nimittäjillä seuraavaan tapaan: \begin{align*} \frac{4}{\textcolor{blue}{5}} - \frac{3}{\textcolor{red}{7}} &= \frac{\textcolor{red}{7}\cdot 4}{\textcolor{red}{7}\cdot \textcolor{blue}{5}} - \frac{\textcolor{blue}{5}\cdot 3}{\textcolor{blue}{5}\cdot \textcolor{red}{7}} \\[2mm] &= \frac{28}{35} - \frac{15}{35} \\[2mm] &= \frac{28-15}{35} \\[2mm] &= \frac{13}{35} \end{align*} Lavennuksen jälkeen osoittajat voitiin yhdistää. Lopuksi vielä tarkistetaan, voiko tulosta supistaa. Tällä kertaa supistaminen ei onnistu, koska osoittajalla ja nimittäjällä ei ole yhteisiä tekijöitä.

Murtolausekkeiden vähennyslaskussa on tärkeää huomata, että lausekkeiden välissä oleva miinusmerkki vaikuttaa sen perässä olevan murtolausekkeen koko osoittajaan. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{1+x}{x^2} \textcolor{red}{-} \frac{\textcolor{blue}{4-x}}{x^2} &= \frac{1+x \textcolor{red}{-} \textcolor{blue}{(4-x)}}{x^2} \\[2mm] &= \frac{1+x \textcolor{red}{-} \textcolor{blue}{4}\textcolor{red}{+} \textcolor{blue}{x}}{x^2} \\[2mm] &= \frac{2x-3}{x^2} \end{align*}

Murtolukujen kerto- ja jakolaskussa laventamista ei tarvitse tehdä. Kertolaskussa osoittajat kerrotaan keskenään ja nimittäjät kerrotaan keskenään. Esimerkiksi $$ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1\cdot 3}{2\cdot 5} = \frac{3}{10} $$ Usein kannattaa jo välivaiheessa tarkistaa, onko supistaminen mahdollista. Esimerkiksi $$ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1\cdot 4}{2\cdot 5} = \frac{2\cdot 2}{2\cdot 5} = \frac{2}{5} $$ Murtolausekkeiden kertolasku voidaan tehdä samaan tapaan kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Ennen sulkujen avaamista kannattaa tarkistaa, onko osoittajassa ja nimittäjässä yhteisiä tekijöitä, jotka voisi supistaa pois. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{x^2+x}{6x-9} \cdot \frac{3x}{x+1} &= \frac{(x^2+x) \cdot 3x}{(6x-9)(x+1)} \\[2mm] &= \frac{x\textcolor{blue}{(x+1)} \cdot \textcolor{red}{3}x}{\textcolor{red}{3}(2x-3)\textcolor{blue}{(x+1)}} \\[2mm] &= \frac{x\cdot x}{2x-3} \\[2mm] &= \frac{x^2}{2x-3} \end{align*}

Jakolasku saadaan suoritettua, kun kerrotaan jakajan käänteisluvulla. Esimerkiksi $10 : 2 = 5$ ja samaan tulokseen päästään myös kertomalla jakajan käänteisluvulla: $$ 10 \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{2} = 5. $$ Murtolausekkeiden tapauksessa kannattaa jälleen tehdä mahdolliset supistukset jo ennen sulkujen avaamista. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{x^2+x}{x-1} : \textcolor{red}{\frac{x}{x^2-1}} &= \frac{x^2+x}{x-1} \cdot \textcolor{red}{\frac{x^2-1}{x}} \\[2mm] &= \frac{\textcolor{purple}{(x^2+x)}\textcolor{blue}{(x^2-1)}}{(x-1)x} \\[2mm] &= \frac{\textcolor{purple}{x(x+1)}\textcolor{blue}{(x-1)(x+1)}}{(x-1)x} \\[2mm] &= \frac{(x+1)(x+1)}{1} \\[2mm] &= (x+1)^2. \end{align*} Tässä käytettiin MAA2-kurssin luvun 3 teoreeman 3 summan ja erotuksen tulon kaavaa, jonka mukaan $$\textcolor{blue}{(x+1)(x-1) = x^2-1}.$$

Rationaalilauseke tarkoittaa polynomien ja murtolausekkeiden summaa. Myös pelkät polynomit ja pelkät murtolausekkeet luetaan mukaan rationaalilausekkeisiin. Rationaalilausekkeita ovat siis esimerkiksi \begin{align*} \frac{3x+13}{x^2} + 7x^3 - 2 \\[2mm] 6x^4-\frac{7}{9}x + 1 \\[2mm] \frac{1}{x} \end{align*} Kun rationaalilausekkeita sievennetään, voidaan käyttää murtolausekkeiden laskusääntöjä. Esimerkiksi \begin{align*} &\phantom{={}}\left(\frac{25}{x} - x\right) : (x+5) \\[2mm] &= \left(\frac{25}{x} - \frac{x^2}{x}\right) : (x+5) \\[2mm] &= \frac{25-x^2}{x} : (x+5) \\[2mm] &= \frac{25-x^2}{x} \cdot \frac{1}{x+5} \end{align*} Huomaa, että tässä jaettava sievennettiin ensin yhdeksi murtolausekkeeksi.

Tässä kappaleessa tutustutaan niin sanottuihin rationaalifunktioihin. Ne ovat funktioita, jotka on määritelty jonkin rationaalilausekkeen avulla. Esimerkiksi $$ f(x) = 4-\frac{3}{5}x^2 + \frac{6x}{x^2-2} $$ on rationaalifunktio.

Koska nollalla jakamista ei ole määritelty, rationaalifunktio ei ole määritelty kohdissa, joissa jokin siinä esiintyvistä nimittäjistä saa arvon nolla.

Kun tutkitaan, missä kohdassa jokin rationaalifunktio saa tietyn arvon, päädytään ratkaisemaan niin sanottu rationaaliyhtälö. Esimerkiksi rationaalifunktion $f$ nollakohdat voidaan löytää ratkaisemalla yhtälö $f(x) = 0$.

Rationaaliyhtälöiden ratkaisussa ensimmäinen tavoite on päästä eroon nimittäjistä. Tämä voidaan tehdä ainakin kahdella tavalla:

1. Kerrotaan yhtälön kumpikin puoli kaikkien yhtälössä esiintyvien nimittäjien tulolla, jolloin nimittäjät voidaan supistaa pois.
2. Muokataan yhtälön kumpikin puoli samannimisiksi murtolausekkeiksi sopivasti laventamalla. Tällöin voidaan päätellä, että yhtälö toteutuu, jos ja vain jos osoittajat ovat yhtä suuria.

Esimerkiksi yhtälön $$\frac{x}{2-x} + 1 = \frac{3}{x}$$ nimittäjistä voidaan hankkiutua eroon kummalla tahansa tavalla. Ennen ratkaisua kannattaa kuitenkin huomata, että yhtälö ei ole määritelty nimittäjien nollakohdissa eli jos $x = 2$ tai $x = 0$. Nämä luvut eivät siis missään tapauksessa kelpaa yhtälön ratkaisuksi.

1. tapa: Yhtälössä esiintyvät nimittäjät $2-x$ ja $x$, joten kerrotaan yhtälön molemmat puolet tulolla $x(2-x)$ ja tehdään mahdolliset supistukset sen jälkeen: \begin{align*} \frac{x}{2-x} + 1 &= \frac{3}{x} \\[2mm] \frac{x\cdot \textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(2-x)}}{2-x} + \textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(2-x)} &= \frac{3\textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(2-x)}}{x} \\[2mm] x^2 + x(2-x) &= 3(2-x) \end{align*}
2. tapa: Muokataan yhtälön kumpikin puoli samannimisiksi murtolausekkeiksi sopivasti laventamalla. \begin{align*} \frac{x}{2-x} + 1 &= \frac{3}{x} \\[2mm] \frac{x\cdot \textcolor{blue}{x}}{\textcolor{blue}{x}(2-x)} + \frac{\textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(2-x)}}{\textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(2-x)}} &= \frac{3\textcolor{red}{(2-x)}}{x\textcolor{red}{(2-x)}} \\[2mm] \frac{x^2 + x(2-x)}{x(2-x)} &= \frac{3(2-x)}{x(2-x)} \end{align*} Tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos osoittajat ovat yhtä suuria eli $$x^2 + x(2-x) = 3(2-x)$$

Kun nimittäjistä on päästy eroon tavalla tai toisella, voidaan yhtälön ratkaisemista jatkaa normaalisti: \begin{align*} x^2 + x(2-x) &= 3(2-x) \\ x^2 + 2x - x^2 &= 6-3x \\ 5x &= 6 \\ x &= \frac{6}{5} \end{align*} Lopuksi tarkistetaan, että kysymyksessä todella on alkuperäisen yhtälön ratkaisu. Tämä voidaan tehdä sijoittamalla ratkaisuehdokas alkuperäiseen yhtälöön tai tarkistamalla, ettei kysymyksessä ole minkään yhtälössä esiintyvän nimittäjän nollakohta. Tässä tarkastellun yhtälön nimittäjien nollakohdat ovat $x = 0$ ja $x = 2$, joten $x = \frac{6}{5}$ todella on yhtälön ratkaisu. (Sijoittamalla havaitaan, että jos $x = \frac{6}{5}$, niin yhtälön vasen ja oikea puoli saavat kumpikin arvon $\frac{5}{2}$.)

Edellisessä kappaleessa harjoiteltiin rationaaliyhtälöiden ratkaisemista. Esimerkiksi yhtälö $$ \frac{2}{x-1} = 4 $$ voidaan ratkaista kertomalla sen molemmat puolet nimittäjällä $x-1$, jolloin yhtälö saa muodon $$ 2 = 4(x-1). $$ Vastaava tekniikka ei kuitenkaan toimi rationaaliepäyhtälöiden ratkaisemisessa, sillä epäyhtälömerkin käyttäytyminen riippuu siitä, kerrotaanko epäyhtälöä positiivisella vai negatiisivisella luvulla. Esimerkiksi \begin{align*} 1 &< 2 \quad \mid \ \cdot 3 \\ 3 &< 6 \end{align*} mutta \begin{align*} 1 &< 2 \quad \mid \ \cdot (-7) \\ -7 &> -14. \end{align*} Jos epäyhtälö $$ \frac{2}{x-1} > 4 $$ yritetään ratkaista samalla tavalla kuin vastaava yhtälö eli kertomalla sen molemmat puolet nimittäjällä $x-1$, päädytään hankalaan tilanteeseen, koska lausekkeen $x-1$ merkki riippuu muuttujan $x$ arvosta ja vaikuttaa myös epäyhtälömerkin käyttäytymiseen. Tässä kappaleessa opitaan ratkaisemaan rationaaliepäyhtälöt tavalla, johon ei tällaisia ongelmia liity. Menetelmä perustuu rationaalifunktioiden arvojen merkin tutkimiseen.

Tarkastellaan aluksi rationaalifunktion $$ f(x) = \frac{x+2}{3x-3} $$ kuvaajaa:

Kuvaajasta nähdään, että funktion arvojen merkki vaihtuu nollakohdassa $x = -2$ ja kohdassa $x = 1$, jossa funktio ei ole määritelty. On mahdollista osoittaa, että kysymyksessä ei ole sattuma:

Teoreemasta 3 seuraa, että rationaalifunktion arvojen merkki voi vaihtua vain funktion nollakohdissa sekä kohdissa, joissa funktio ei ole määritelty. Nämä kohdat täytyy siis ottaa huomioon, kun tutkitaan rationaalifunktion merkkiä.

Tarkastellaan esimerkiksi funktiota $$ g(x) = \frac{6x-8}{12x + 15}. $$ Ratkaistaan aluksi funktion $g$ nollakohdat. Huomaa, että osamäärä on nolla täsmälleen siinä tapauksessa, että osoittaja on nolla: \begin{align*} g(x) &= 0 \\[2mm] \frac{6x - 8}{12x + 15} &= 0 \\[2mm] 6x - 8 &= 0 \\[2mm] 6x &= 8 \\[2mm] x &= \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \end{align*} Ratkaistaan myös nimittäjän nollakohdat eli kohdat, joissa funktio $g$ ei ole määritelty: \begin{align*} 12x + 15 &= 0 \\[2mm] 12x &= -15 \\[2mm] x &= -\frac{15}{12} = -\frac{5}{4} \end{align*} Laaditaan funktion merkkikaavio, johon merkitään funktion nollakohdat ja kohdat, joissa funktio ei ole määritelty.

Valitaan jokaiselta merkkikaavion väliltä jokin kohta ja lasketaan funktion arvo tässä kohdassa. Esimerkiksi \begin{align*} g(-2) &= \frac{-12-8}{-24 + 15} = \frac{-20}{-9} = \frac{20}{9} \\[2mm] g(0) &= \frac{0-8}{0+15} = -\frac{8}{15} \\[2mm] g(2) &= \frac{12-8}{24 + 15} = \frac{4}{39} \end{align*} Täydennetään tiedot funktion arvojen merkistä merkkikaavioon:
Funktio $g$ saa siis positiivisia arvoja lukusuoran väleillä $\pa -\infty, -\frac{5}{4} \pe$ ja $\pa \frac{4}{3}, \infty \pe$ ja negatiivisia arvoja lukusuoran välillä $\pa -\frac{5}{4}, \frac{4}{3} \pe$.

Rationaaliepäyhtälön ratkaisemisessa ensimmäinen askel on palauttaa tilanne rationaalifunktion merkin tarkasteluun. Käytännössä epäyhtälöä muokataan niin, että sen toiselle puolelle jää nolla. Esimerkiksi epäyhtälö $$ \frac{x}{x+1} < \frac{1}{2-x} $$ muutetaan aluksi muotoon $$ \frac{x}{x+1} - \frac{1}{2-x} < 0. $$ Epäyhtälön ratkaisut löydetään, kun tutkitaan, millä väleillä vastaavan rationaalifunktion $$ f(x) = \frac{x}{x+1} - \frac{1}{2-x} $$ arvot ovat negatiivisia.

Kohdat, joissa funktio $f$ ei ole määritelty, ovat nimittäjien nollakohdat $x = -1$ ja $x = 2$. Ratkaistaan vielä funktion $f$ nollakohdat. Käytetään edellisessä kappaleessa harjoiteltua tapaa 1: \begin{align*} f(x) &= 0 \\[2mm] \frac{x}{x+1} - \frac{1}{2-x} &= 0 \\[2mm] \frac{x}{x+1} &= \frac{1}{2-x} \\[2mm] \frac{x\textcolor{blue}{(x+1)}\textcolor{red}{(2-x)}}{x+1} &= \frac{\textcolor{blue}{(x+1)}\textcolor{red}{(2-x)}}{2-x} \\[2mm] x(2-x) &= x+1 \\[2mm] 2x - x^2 &= x + 1 \\[2mm] -x^2 + x - 1 &= 0 \end{align*} Tämän toisen asteen yhtälön diskriminantti on negatiivinen: \begin{align*} D &= 1^2 - 4\cdot (-1)\cdot (-1) \\ &= 1-4 = -3. \end{align*} Yhtälöllä ei siten ole yhtään ratkaisua (MAA 2, teoreema 6). Tämä näkyy käytännössä myös siitä, että toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa juurrettava on negatiivinen.

Funktiolla $f$ ei siis ole nollakohtia, joten merkitään merkkikaavioon vain kohdat, joissa funktio ei ole määritelty.

Valitaan jokaiselta merkkikaavion väliltä jokin kohta ja lasketaan funktion arvo tässä kohdassa. Esimerkiksi \begin{align*} f(-2) &= \frac{-2}{-1} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \\[2mm] f(0) &= 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \\[2mm] f(3) &= \frac{3}{4} - \frac{1}{-1}= \frac{7}{4} \end{align*} Täydennetään tiedot funktion arvojen merkistä merkkikaavioon:

Alkuperäinen epäyhtälö toteutuu, jos ja vain jos funktion $f$ arvot ovat negatiivisia. Epäyhtälö $$ \frac{x}{x+1} < \frac{1}{2-x} $$ siis toteutuu, jos ja vain jos $-1 < x < 2$.

Edellisessä luvussa tutustuttiin funktion raja-arvon käsitteeseen. Tässä kappaleessa tutkitaan tarkemmin rationaalifunktioiden raja-arvoja.

Edellisistä tehtävistä havaitaan, että raja-arvon olemassaolon kannalta kriittisimpiä ovat ne kohdat, joissa rationaalifunktio ei ole määritelty. Jos funktiolla on tällaisessa kohdassa raja-arvo, voidaan se löytää supistamalla funktion lauseketta. Esimerkiksi edellisen tehtävän funktio $$g(x) = \frac{x^2-1}{2x-2}$$ ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa $x = 1$. Lauseketta voidaan kuitenkin supistaa niin, että raja-arvo voidaan määrittää: \begin{align*} \frac{x^2-1}{2x-2} &= \frac{(x+1)(x-1)}{2(x-1)} \\[2mm] &= \frac{x+1}{2} \xrightarrow[x \rightarrow 1]{} \frac{1+1}{2} = 1 \end{align*} Tässä osoittaja ja nimittäjä muokattiin ensin tulomuotoon. Supistamisen jälkeen tutkittiin, mitä lausekkeelle tapahtuu, kun lähestytään kohtaa $x = 1$.

Jos rationaalifunktio on määritelty tarkastelukohdassa, saadaan raja-arvo selvitettyä ilman supistamista. Esimerkiksi $$\frac{3x}{x^2-4x} \xrightarrow[x \rightarrow 7]{} \frac{3\cdot 7}{7^2 - 4\cdot 7} = \frac{21}{21} = 1,$$ joten edellisen tehtävän funktiolle $$h(x) = \frac{3x}{x^2-4x}$$ pätee $$\lim_{x\rightarrow 7} h(x) = 1.$$ Tämä itse asiassa tarkoittaa, että funktion $h$ raja-arvo kohdassa $x = 7$ on sama kuin funktion arvo kohdassa $x = 7$: $$\lim_{x\rightarrow 7} h(x) = h(7).$$ Luvussa 2 esitetty jatkuvuuden määritelmän ehto siis toteutuu, joten funktio $h$ on jatkuva kohdassa $x = 7$.

On mahdollista osoittaa, että vastaava ilmiö koskee kaikkia rationaalifunktioita:

Teoreeman 4 mukaan rationaalifunktion raja-arvo on sama kuin funktion arvo kaikissa kohdissa, joissa funktio on määritelty. Erityistä tarkastelua vaativat vain nimittäjän nollakohdat, joissa funktio ei ole määritelty.

Tutkitaan seuraavaksi funktiota $$g(x) = \frac{x^2-16}{x^2 - 8x + 16}$$ kohdassa $x = 4$.

Havaitaan, että kohdassa $x = 4$ nimittäjä saa arvon nolla, joten funktio $g$ ei ole määritelty. Muistikaavojen \begin{align*} (a+b)(a-b) &= a^2 + b^2 \quad \text{ ja}\\ (a-b)^2 &= a^2 -2ab + b^2 \end{align*} avulla funktion lauseke saadaan muotoon, jossa supistaminen on mahdollista: \begin{align*} \frac{x^2-16}{x^2 - 8x + 16} &= \frac{(x+4)(x-4)}{(x-4)^2} \\[2mm] &= \frac{x+4}{x-4} \end{align*} Huomataan, että tulos ole määritelty kohdassa $x = 4$, vaikka kaikki mahdolliset supistukset on tehty. Tällaisessa tilanteessa funktiolla ei ole raja-arvoa, vaan funktion arvot kasvavat tai pienenevät rajatta tarkastelukohdan läheisyydessä.

Kurssin ensimmäisessä luvussa tutustuimme funktion derivaatan käsitteeseen. Opimme, että funktion derivaatta on funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin, joka kuvaa funktion kasvunopeutta kyseisessä kohdassa. Tässä kappaleessa määrittelemme derivaatan käsitteen täsmällisemmin tietynlaisena raja-arvona.

Tarkastellaan aluksi funktiota $f$ ja suoraa, joka leikkaa funktion kuvaajan (ainakin) kahdessa kohdassa kuten alla olevassa kuvassa.
Tämän suoran kulmakerroin on $$ \frac{f(x) - f(a)}{x-a} $$ Sitä sanotaan funktion $f$ erotusosamääräksi kohdassa $a$.

Kun $x \rightarrow a$, lähestyy pisteiden $(a,f(a))$ ja $(x, f(x))$ kautta kulkeva suora funktion kuvaajalle pisteeseen $(a,f(a))$ piirrettyä tangettia:

Suoran kulmakerroin puolestaan lähestyy tangentin kulmakerrointa, joten seuraava määritelmä sopii derivaatan täsmälliseksi määritelmäksi:

Esimerkiksi funktion $f(x) = x^2$ erotusosamäärä kohdassa $0{,}5$ on $$ \frac{x^2 - 0{,}5^2}{x-0{,}5} $$ Murtolauseketta voidaan muokata niin, että raja-arvo on mahdollista selvittää: \begin{align*} \frac{x^2 - 0{,}5^2}{x-0{,}5} &= \frac{(x - 0{,}5)(x + 0{,}5)}{x-0{,}5} \\[2mm] &= x + 0{,}5 \xrightarrow[x \rightarrow 0{,}5]{} 0{,}5 + 0{,}5 \\ &= 1 \end{align*} Siis funktion $f(x) = x^2$ derivaatta kohdassa $x = 0{,}5$ on $$f'(0{,}5) = 1.$$

Derivaatan arvon selvittäminen suoraan derivaatan määritelmän perusteella on monesti melko työlästä. Sen vuoksi seuraavaksi johdetaan sääntöjä, joilla voidaan helpommin muodostaa erilaisten funktioiden derivaattoja.

Kurssissa MAA2 tutustuttiin potenssifunktioihin. Potenssifunktiot ovat muotoa $f(x) = x^n$, missä $n$ on positiivinen kokonaisluku. Tässä kappaleessa määritetään potenssifunktioiden sekä vakiofunktion derivaattafunktiot.

Tarkastellaan aluksi ensimmäisen asteen potenssifunktiota $f(x) = x$. Sen erotusosamäärä kohdassa $a$ on $$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \frac{x-a}{x-a} = 1.$$ Funktion derivaatta kohdassa $a$ on erotusosamäärän raja-arvo: $$ f'(a) = \lim_{x \rightarrow a} 1 = 1. $$ Tulos ei riipu tarkastelukohdasta $a$, joten derivaattafunktio vakiofunktio $f'(x) = 1$. Tämä nähdään myös ensimmäisen asteen potenssifunktion kuvaajasta:

Kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on $1$. Funktion arvojen kasvunopeus on siis koko ajan $1$.

Edellisen tehtävän päättely voidaan toistaa minkä tahansa vakiofunktion tapauksessa, joten saadaan seuraava teoreema:

Edellisen tehtävän idea voidaan yleistää myös korkeamman asteen potenssifunktioille. Jos $n \geq 2$ on positiivinen kokonaisluku, niin \begin{align*} (x-a)(x^{n-1} + x^{n-2}a + \cdots + xa^{n-2} &+ a^{n-1}) \\[1mm] &= x^n - a^n \end{align*} Tämän yhtälön avulla erotusosamäärä saadaan supistettua niin, että raja-arvo voidaan määrittää.

Derivaattafunktio voidaan ilmaista myös derivointimerkin $\mathop{\mathrm{D}}$ avulla. Esimerkiksi tehtävissä 4.3-4.5 osoitettiin, että \begin{align*} \mathop{\mathrm{D}} \pi &= 0 \\ \mathop{\mathrm{D}} x^2 &= 2x \\ \mathop{\mathrm{D}} x^3 &= 3x^2 \end{align*} Seuraavassa tehtävässä harjoitellaan teoreeman 2 soveltamista.

Edellisessä kappaleessa tutkitiin potenssifunktioita ja vakiofunktioita. Polynomifunktiot saadaan muodostettua niistä yhteenlaskun ja vakiolla kertomisen avulla. Esimerkiksi polynomifunktio $$ p(x) = -3x^2 + 5x - 4 $$ voidaan muodostaa potenssifunktioista $f(x) = x^2$ ja $g(x) = x$ sekä vakiofunktiosta $h(x) = -4$: $$ p(x) = -3f(x) + 5g(x) + h(x). $$ Tässä kappaleessa osoitetaan, että derivaattafunktio on vastaava yhdistelmä potenssi- ja vakiofunktioiden derivaatoista: $$ p'(x) = -3f'(x) + 5g'(x) + h'(x). $$

Tarkastellaan aluksi funktioiden summan derivaattaa. Seuraavassa teoreemassa osoitetaan, että se saadaan laskemalla funktioiden derivaatat yhteen. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

Tarkastellaan seuraavaksi vakiolla kerrotun funktion derivaattaa. Kun funktio kerrotaan vakiolla, tulee sen arvo jokaisessa kohdassa kerrotuksi tällä vakiolla:

Tässä luvussa johdettujen derivointisääntöjen avulla voidaan nyt määrittää minkä tahansa polynomifunktion derivaatta. Tämä mahdollistaa myös monenlaisten geometristen ongelmien ratkaisemisen. Tarkastellaan esimerkiksi tilannetta, jossa halutaan määrittää käyrälle $y = x^2 - 4x + 5$ sellainen tangentti, joka kulkee pisteen $(1,-2)$ kautta.

Havaitaan, että piste $(1,-2)$ ei ole käyrällä, sillä jos $x = 1$, niin $$ y = 1^2 - 4\cdot 1 + 5 = 2 \neq -2. $$ Hahmotellaan etsitty tangentti kuvaan ja merkitään sivuamispisteen $x$-koordinaattia kirjaimella $a$. Koska sivuamispiste on käyrällä, sen $y$-koordinaatti on käyrän yhtälön mukaisesti $a^2-4a+5$.

Kuvasta havaitaan, että sopivia tangentteja näyttäisi olevan kaksi erilaista. Tangentin kulmakerroin kohdassa $x = a$ saadaan derivoimalla käyrää vastaava polynomifunktio $f(x) = x^2 - 4x + 5$: $$ f'(x) = 2x - 4, $$ joten $$ f'(a) = 2a - 4. $$ Muodostetaan pisteen $(a,a^2-4a+5)$ kautta kulkevan tangentin yhtälö: $$ y - (a^2-4a+5) = (2a-4)(x-a) $$ Tangentti kulkee myös pisteen $(1,-2)$ kautta, joten saadaan yhtälö $$ -2 - (a^2-4a+5) = (2a-4)(1-a). $$ Tästä voidaan ratkaista $a$: \begin{align*} -2 - (a^2-4a+5) &= (2a-4)(1-a) \\ -a^2 + 4a - 7 &= 2a -2a^2 - 4 + 4a \\ a^2 - 2a - 3 &=0 \end{align*} Toisen asteen ratkaisukaavalla ratkaisuiksi saadaan \begin{align*} a &= \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2} \\[2mm] &= \frac{2 \pm 4}{2} \\[2mm] &= 1\pm 2 \end{align*} Sopivia tangentteja siis todella on kaksi ja niiden yhtälöiksi saadaan arvoilla $a = -1$ ja $a = 3$ $$ y = -6x + 4 $$ ja $$ y = 2x - 4. $$

Funktioiden käyttäytymistä voidaan tutkia niiden kuvaajien avulla. Kuvaajasta saatava tieto on kuitenkin monesti likimääräistä eikä sopivan kuvaajan piirtäminen välttämättä aina onnistu. (Tietokonesovellukset kuten Wolfram|Alpha kyllä helpottavat kuvaajien piirtämistä huomattavasti.) Derivaatan avulla voidaan saada tarkka käsitys sellaistenkin funktioiden käyttäytymisestä, joiden tutkiminen pelkän kuvaajan avulla ei ole mahdollista.

Tässä kappaleessa tutkitaan derivaatan avulla funktion kasvamista ja vähenemistä. Aloitetaan sopimalla, mitä tarkoitetaan, kun sanotaan funktion olevan aidosti kasvava tai aidosti vähenevä.

Jo aikaisemmin on havaittu, että derivaatta kuvaa funktion kasvunopeutta. Jos derivaatta on negatiivinen, funktion arvot pienenevät, ja jos derivaatta on positiivinen, funktion arvot kasvavat. Alla olevat kuvat havainnollistavat ilmiötä. Kun vasemmalla näkyvän derivaattafunktion merkki vaihtuu, muuttuu varsinainen funktio aidosti vähenevästä aidosti kasvavaksi.

Funktion kulkusuunta ei kuitenkaan aina muutu derivaatan nollakohdassa. Esimerkiksi alla vasemmalla derivaattafunktio on positiivinen nollakohdan kummallakin puolella, ja varsinainen funktio säilyy aidosti kasvavana, vaikka kasvu derivaatan nollakohdan ympäristössä hidastuukin.

Näiden esimerkkien pohjalta seuraava teoreema on helppo uskoa todeksi, mutta yleispätevän perustelun esittäminen on jälleen niin työlästä, että sitä käsitellään vasta yliopistotasolla.

Seuraava esimerkki näyttää, miten derivaattaa ja teoreemaa 7 voidaan hyödyntää, kun tutkitaan funktion kasvamista ja vähenemistä.

Tarkastellaan funktiota $$f(x) = 2x^2(75-x) + 50.$$ Sen kuvaajan piirtäminen käsin on hankalaa, koska funktio saa kohdan $x = 0$ lähellä melko suuria arvoja. Tietokoneella piirretty kuvaaja näyttää kohdan $x = 0$ ympäristössä tältä:

Näyttää siltä, että funktio on aidosti vähenevä, kun $x \leq 0$ ja aidosti kasvava, kun $x \geq 0$. Kuvaajasta on kuitenkin näkyvissä vain melko pieni osa. Muuttuuko tilanne, jos kuvaaja piirretään laajemmalta alueelta?

Alla olevasta kuvasta näkyy, että kuvaajan muoto ei juurikaan muutu:

Varmistetaan vielä derivaatan ja teoreeman 7 avulla, että johtopäätökset ovat oikeita. Funktion $f$ derivaattafunktio saadaan määritettyä, kun funktion lauseke sievennetään ensin kertomalla sulut auki: \begin{align*} f(x) &= 2x^2(75-x) + 50 \\ &= 150x^2 - 2x^3 + 50 \end{align*} Derivaattafunktio on \begin{align*} f'(x) &= 150 \cdot 2x - 2\cdot 3x^2 + 0 \\ &= 300x - 6x^2. \end{align*} Tutkitaan, missä derivaattafunktion arvot ovat positiivisia ja missä negatiivisia. Aloitetaan etsimällä derivaattafunktion nollakohdat: \begin{align*} f'(x) &= 0 \\ 300x - 6x^2 &= 0 \\ x(300 - 6x) &= 0 \end{align*} Tulon nollasäännön mukaan alin yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$ tai $300 - 6x = 0$. Ratkaistaan vielä näistä yhtälöistä jälkimmäinen: \begin{align*} 300 - 6x &= 0 \\ -6x &= -300 \\ 6x &= 300 \\[1mm] x &= \frac{300}{6} = 50 \end{align*} Derivaattafunktiolla on siis kaksi nollakohtaa: $x_1 = 0$ ja $x_2 = 50$. Tutkitaan derivaattafunktion merkkiä laskemalla derivaattafunktion arvo näiden nollakohtien eri puolilla, esimerkiksi kohdissa $x = -1$, $x = 1$ ja $x = 51$: \begin{align*} f'(-1) &= 300 \cdot (-1) - 6\cdot (-1)^2 = -306 \\ f'(1) &= 300 \cdot 1 - 6\cdot 1^2 = 294 \\ f'(51) &= 300 \cdot 51 - 6 \cdot 51^2 = -306. \end{align*} Kootaan tiedot merkkikaavioon:

Derivaattafunktion merkkikaaviosta nähdään, että aiemmat funktion $f$ kuvaajan perusteella tehdyt päätelmät ovat osittain vääriä. Funktio $f$ on kyllä aidosti vähenevä, kun $x \leq 0$, mutta se on aidosti vähenevä myös silloin, kun $x \geq 50$, ja aidosti kasvava välillä $[0,50]$. Nämä päätelmät voidaan ilmaista myös niin sanotun kulkukaavion avulla:

Jotta funktion kulusta saadaan oikea käsitys, sen kuvaaja pitää siis piirtää välillä, joka sisältää derivaata nollakohdat $x_1 = 0$ ja $x_2 = 50$:

Huomaa, että kulkukaavion perusteella tiedetään, ettei tämän kuvan ulkopuolelta paljastu enää mitään yllätyksiä.

Funktion kulkua tutkimalla saadaan tietoa myös funktion nollakohtien lukumäärästä. Tarkastellaan esimerkiksi funktiota $$ f(x) = \frac{2}{15}x^3 - \frac{3}{10}x^2 + \frac{1}{8}x + \frac{1}{25} $$ jonka kuvaaja näyttää tältä:

Funktiolla $f$ näyttäisi olevan ainakin kaksi nollakohtaa. Tutkitaan asiaa tarkemmin funktion kulkukaavion avulla.

Funktio $f$ on polynomifunktio, joten se on jatkuva. Bolzanon lausetta (teoreema 1) voidaan nyt soveltaa väleille, joissa funktion kuvaajan ja kulkukaavion perusteella vaikuttaa olevan funktion nollakohta.

Tässä luvussa opitaan löytämään derivoituvan funktion paikalliset ääriarvot sekä mahdollinen suurin ja pienin arvo. Esimerkiksi alla näkyvällä funktiolla on useita ääriarvokohtia, joissa funktion kulkusuunta muuttuu. Näistä kohdista $x_1$ ja $x_3$ ovat minimikohtia ja $x_2$ on maksimikohta. Funktiolla ei näytä olevan suurinta arvoa, mutta pienimmän arvonsa se saa kohdassa $x_1$.

Aloitetaan sopimalla ääriarvoihin liittyvistä nimityksistä:

On mahdollista osoittaa, että derivoituvan funktion ääriarvokohdat löytyvät derivaatan nollakohdista. Ääriarvoja etsittäessä kannattaa siis selvittää derivaatan nollakohdat ja tutkia funktion kulkukaavion avulla, mitkä niistä ovat funktion maksimi- tai minimikohtia. Kulkukaaviota tarvitaan, sillä kaikki derivaatan nollakohdat eivät välttämättä ole funktion ääriarvokohtia.

Tarkastellaan funktiota $$f(x) = \frac{1}{6}x^3 + 1.$$ Sen derivaattafunktio on $$f'(x) = \frac{1}{2}x^2.$$ Derivaattafunktiolla on yksi nollakohta, $x = 0$, ja sen arvo on kaikkialla muualla positiivinen. Teoreeman 7 mukaan funktio $f$ on siten aidosti kasvava koko reaaliakselilla, vaikka kasvu derivaatan nollakohdan ympärillä onkin hidasta. Funktiolla ei siis ole yhtään ääriarvokohtaa, vaikka sen derivaattafunktiolla on nollakohta.

Tällaista derivaatan nollakohtaa, joka ei ole funktion ääriarvokohta, sanotaan funktion terassikohdaksi.

Siirrytään seuraavaksi tarkastelemaan funktion suurinta ja pienintä arvoa. Jos funktiota tarkastellaan koko lukusuoralla tai jollakin avoimella välillä, ei suurinta tai pienintä arvoa välttämättä ole olemassa.

Esimerkki tällaisesta funktiosta on $f(x) = 2x$, joka on aidosti kasvava koko lukusuoralla. Sillä ei ole suurinta eikä pienintä arvoa, tarkasteltiinpa sitä koko lukusuoralla tai jollakin avoimella välillä. Esimerkiksi välillä $\pa -1; 1{,}5 \pe$ tilanne näyttää tältä:

Joku saattaisi väittää, että välillä $\pa -1; 1{,}5 \pe$ funktio saa suurimman arvonsa kohdassa $x = 1{,}4$. Tämän väitteen voi kuitenkin kumota näyttämällä, että kohdassa $x = 1{,}45$ funktio saa suuremman arvon: $ f(1{,}4) = 2{,}8 $ mutta $ f(1{,}45) = 2{,}9. $ Tämäkään ei ole funktion $f$ suurin arvo välillä $\pa -1; 1{,}5\pe$, sillä esimerkiksi kohdassa $1{,}453$ funktio saa vieläkin suuremman arvon: $ f(1{,}453) = 2{,}906. $ Tätä päättelyä voidaan jatkaa loputtomiin eikä mitään funktion arvoa saada näytettyä kaikkein suurimmaksi, sillä aina löytyy vielä suurempi arvo.

Tilanne muuttuu kokonaan toisenlaiseksi, jos funktiota tarkastellaan suljetulla välillä:

Teoreeman 9 mukaan derivoituvalla funktiolla on suljetulla välillä aina olemassa suurin ja pienin arvo. Nämä löydetään laskemalla funktion arvo tarkasteluvälin päätepisteissä sekä derivaattafunktion niissä nollakohdissa, jotka osuvat tarkasteluvälille. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Käytännön ongelmissa halutaan monesti maksimoida jotain, esimerkiksi myyntivoittoa tai tuotannon määrää, tai minimoida jotain, esimerkiksi kustannuksia tai tarvittavan materiaalin määrää. Tällaisissa tilanteissa ongelmanratkaisun apuna voidaan usein käyttää derivaattaa ja teoreemaa 9. Ensin on kuitenkin mallinnettava ongelma matemaattiseen muotoon: valittava sopiva muuttuja, selvitettävä, millä välillä sen arvot vaihtelevat, ja muodostettava funktio, jonka suurinta tai pienintä arvoa etsitään.

Tarkastellaan esimerkiksi tilannetta, jossa pakkausvalmistaja suunnittelee leipomoiden käyttöön uutta pahvista rasiaa. Rasia muotoillaan alla olevan kuvan mukaisesti pahvineliöstä, jonka sivun pituus on 30 cm. Mitkä pitää valita rasian mitoiksi, jotta rasian tilavuus olisi mahdollisimman suuri?

Valitaan muuttujaksi esimerkiksi rasian korkeus, ja ilmaistaan rasian muut mitat sen avulla. (Tämä ei ole ainoa vaihtoehto, yhtä hyvin muuttujaksi voi valita vaikkapa rasian leveyden. Siinä tapauksessa ratkaisun idea on sama, mutta yksityiskohdista tulee vähän erinäköisiä.)

Kuvioista voidaan päätellä, että rasian korkeus vaihtelee välillä 0-15 cm. Itse asiassa näissä ääritapauksissa mitään varsinaista rasiaa ei muodostu, koska jokin rasian mitoista on nolla.

Rasian tilavuus riippuu rasian korkeudesta eli tilavuus on korkeuden funktio: $$ V(x) = (15-x)(30-2x)x. $$ Ongelma on nyt saatu mallinnettua matemaattisesti: tehtävänä on etsiä funktion $V$ suurin arvo välillä $[0,15]$. Tämä tehdään seuraavassa tehtävässä.

Ongelman mallintamista matemaattiseen muotoon voi helpottaa esimerkiksi seuraavilla keinoilla:

• Piirrä tilanteesta kuva tai laadi annetuista tiedoista taulukko.
• Kokeile laskea kysytty asia joillakin itse keksimilläsi luvuilla. Tutki, mitä laskutoimituksia käytit, ja korvaa sitten luvut kirjainsymboleilla.

Tarkastellaan vielä seuraavaa ongelmaa: Kauppias on havainnut, että 10 sentin korotus tomaattien kilohinnassa laskee päivittäistä myyntiä noin 2 kg. Kun hinta on 2,20 €/kg, tomaatteja myydään päivässä 70 kg. Millä kilohinnalla kauppiaan voitto on suurin, jos hän joutuu maksamaan tomaateista 1,05 €/kg?

Ongelmaan liittyy paljon tietoja: muun muassa myytyjen tomaattien määrä, tomaattien kilohinta ja tomaateista saatu myyntitulo. Laaditaan näistä taulukko:

Taulukon viimeiselle riville on muotoiltu tieto siitä, että jokainen 10 sentin korotus hinnassa laskee myyntiä 2 kg. Kahdesta ensimmäisestä sarakkeesta voidaan päätellä, että 10 sentin korotusten määrä $x$ on välillä $[-22, 35]$. Näissä ääritilanteissa joko kilohinta tai myyntimäärä menee nollaksi.

Myyntitulo $M(x)$ on myyntimäärän ja kilohinnan tulo: \begin{align*} M(x)&= (70 - 2x)(2{,}2 + 0{,}1x) \\ &= 154 + 7x - 4{,}4x - 0{,}2x^2 \\ &= 154 + 2{,}6x - 0{,}2x^2 \end{align*} Kauppiaan voitto saadaan tästä, kun huomioidaan, että hän joutuu itse maksamaan tomaateista 1,05 €/kg. Voitto on siten \begin{align*} V(x) &= M(x) - 1{,}05(70 - 2x) \\ &= 154 + 2{,}6x - 0{,}2x^2 - 73{,}5 + 2{,}1x \\ &= 80{,}5 + 4{,}7x - 0{,}2x^2 \end{align*} Ongelma on nyt saatu mallinnettua matemaattisesti: tehtävänä on etsiä funktion $V$ suurin arvo välillä $[-22,35]$. Tämä tehdään seuraavassa tehtävässä.

Joskus on tarpeen tutkia funktion suurimman ja pienimmän arvon olemassaoloa koko reaaliakselilla. Tällöin tarvitaan tietoa siitä, miten funktion arvot käyttäytyvät, kun muuttujan arvot kasvavat tai pienenevät rajatta. Pelkän kulkukaavion perusteella ei varmoja johtopäätöksiä ole mahdollista tehdä, vaan tarvitaan myös muunlaista tietoa funktion käyttäytymisestä. Tästä ovat osoituksena esimerkiksi funktiot $f(x) = x^3 + 3x$ ja $$ g(x) = \frac{-3x}{x^2 + 1}. $$ Funktioilla on sama kulkukaavio (seuraavassa luvussa opitaan, miten funktio $g$ derivoidaan):

Kulkukaaviosta nähdään, että kumpikin funktio on aidosti kasvava väleillä $\pa -\infty, -1]$ ja $[1, \infty\pe$ ja aidosti vähenevä välillä $[-1,1]$. Kohta $x = -1$ on molempien funktioiden maksimikohta ja kohta $x = 1$ on molempien funktioiden minimikohta. Onko näillä funktioilla suurinta tai pienintä arvoa?

Alla olevista kuvaajista näkyy, että kolmannen asteen polynomifunktiolla $f$ ei ole suurinta eikä pienintä arvoa, mutta rationaalifunktio $g$ saa suurimman arvonsa kohdassa $x = -1$ ja pienimmän arvonsa kohdassa $x = 1$.


On mahdollista osoittaa, että polynomifunktioiden suurimman ja pienimmän arvon olemassaolo riippuu polynomin korkeimman asteen termin käyttäytymisestä lukusuoran äärilaidoilla. Esimerkiksi polynomifunktion $f(x) = 0{,}5x^5 - 2x^2 - 3{,}5x + 3$ korkeimman asteen termi $0{,}5x^5$ kasvaa rajatta, kun muuttuja arvoa kasvatetaan, ja pienenee rajatta, kun muuttujan arvoa pienennetään. Tästä voidaan päätellä, ettei funktiolla $f$ ole suurinta eikä pienintä arvoa:

Polynomifunktion $g(x) = -x^4 + x + 1$ korkeimman asteen termi $-x^4$ puolestaan pienenee rajatta, kun muuttujan arvoa kasvatetaan tai pienennetään. Tästä voidaan päätellä, että funktiolla $g$ on suurin arvo, mutta ei pienintä arvoa. Tämä suurin arvo löydetään jostain funktion $g$ ääriarvokohdasta:

Tässä kappaleessa johdetaan derivointisäännöt funktioiden tulolle ja funktion potenssille. Tulon derivointisääntöä tarvitaan toden teolla vasta seuraavassa kurssissa MAA7, mutta sen avulla saadaan seuraavassa kappaleessa johdettua funktioiden osamäärän derivointisääntö. Sitä tarvitaan rationaalifunktioiden derivoimiseen.

Aloitetaan sopimalla, mitä funktioiden tulolla tarkoitetaan:

Esimerkiksi funktio $$h(x) = x^2(0{,}5x-1)$$ voidaan tulkita funktioiden $f(x) = x^2$ ja $g(x) = 0{,}5x-1$ tuloksi: $$h(x) = f(x)g(x).$$

Jos funktioiden tulon lauseke voidaan sieventää yhdeksi polynomiksi, saadaan derivaatta määritettyä aiemmin opitulla tavalla. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Edellinen tehtävä osoittaa, että funktioiden tulon derivaatta ei ole sama kuin derivaattojen tulo. Yleispätevä sääntö on monimutkaisempi ja se todistetaan seuraavassa teoreemassa. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa. Jos sievennyksen yksityiskohdat tuntuvat kovin hankalilta, keskity aluksi tunnistamaan perustelusta kolme vaihetta ja vertaa niitä teoreeman 8 perusteluun.

Funktioiden tulon yksi erikoistapaus on funktion potenssi. Esimerkiksi funktio $g(x) = (x^2 + 9x)^4$ voidaan tulkita funktion $f(x) = x^2 + 9x$ neljänneksi potenssiksi: $$g(x) = (f(x))^4.$$ Funktioiden tulon derivointisääntöä voidaan soveltaa funktion $f$ toiseen potenssiin: \begin{align*} \mathop{\mathrm{D}} (f(x))^2 &= \mathop{\mathrm{D}}f(x)f(x) \\[1mm] &= f'(x)f(x) + f(x)f'(x) \\[1mm] &= 2f(x)f'(x) \end{align*} Tämän tiedon ja tulon derivointisäännön avulla saadaan määritettyä funktion $f$ kolmannen potenssin derivaatta: \begin{align*} \mathop{\mathrm{D}} (f(x))^3 &= \mathop{\mathrm{D}}f(x)(f(x))^2 \\[1mm] &= f'(x)(f(x))^2 + f(x)\mathop{\mathrm{D}}(f(x))^2 \\[1mm] &= f'(x)(f(x))^2 + f(x)\cdot 2f(x)f'(x) \\[1mm] &= (f(x))^2f'(x) + 2(f(x))^2f'(x) \\[1mm] &= 3(f(x))^2f'(x) \end{align*}

On mahdollista osoittaa, että vastaava funktion potenssin derivointisääntö pätee kaikilla positiivisilla kokonaislukueksponenteilla:

Tässä kappaleessa johdetaan funktioiden osamäärän derivointisääntö, jonka avulla saadaan määritettyä muun muassa rationaalifunktioiden derivaatat.

Aloitetaan sopimalla, mitä funktioiden osamäärällä tarkoitetaan:

Esimerkiksi rationaalifunktio $$h(x) = \frac{5x-2}{x^2+5}$$ voidaan tulkita funktioiden $f(x) = 5x-2$ ja $g(x) = x^2+5$ osamääräksi: $$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}.$$ Funktioiden osamäärän derivointisääntö saadaan johdettua tulon derivointisäännön avulla:

Osamäärän derivointisäännön avulla saadaan yleistettyä funktion potenssin derivointisääntö myös negatiivisten eksponenttien tapaukseen:

Seuraavassa tehtävässä yleistetään potenssifunktion derivointisääntö myös negatiivisille eksponenteille.

Edellisen tehtävän tuloksena saadaan seuraava teoreema:

Nyt olemme hankkineet kaikki tiedot, joita tarvitaan rationaalifunktioiden kulun tutkimiseen. Jos haluamme esimerkiksi selvittää funktion $$ f(x) = \frac{x^2}{x-1} $$ ääriarvot, pystymme

• määrittämään derivaattafunktion osamäärän derivointisäännöllä
• ratkaisemaan derivaattafunktion nollakohdat ja kohdat, joissa alkuperäinen funktio tai sen derivaattafunktio ei ole määritelty
• laatimaan derivaattafunktiolle merkkikaavion ja täydentämään sen funktion $f$ kulkukaavioksi.

Erona aikaisempiin tilanteisiin on oikeastaan vain se, että rationaalifunktiolla ja sen derivaattafunktiolla saattaa olla kohtia, joissa niitä ei ole määritelty. Nämä täytyy ottaa huomioon merkkikaaviossa (ks. luvun 3 kappale Rationaaliepäyhtälö).

Kohdat, joissa funktio tai sen derivaattafunktio ei ole määritelty, täytyy huomioida myös silloin, kun kulkukaavion pohjalta tehdään päätelmiä funktion kasvamisesta ja vähenemisestä. Aikaisemmin luvussa 5 tarkasteltiin polynomifunktiota $$f(x) = \frac{1}{6}x^3 + 1,$$ jonka derivaattafunktio on $$f'(x) = \frac{1}{2}x^2.$$ Funktion $f$ kulkukaaviosta voidaan päätellä, että funktio $f$ on aidosti kasvava koko reaaliakselilla:

Myös funktion $f$ kuvaaja tukee tätä johtopäätöstä:

Tehtävässä 6.10 puolestaan tarkasteltiin rationaalifunktiota $$ g(x) = \frac{x}{x^2-1}, $$ jonka kulkukaavioksi saatiin

Kulkukaaviosta nähdään, että funktio $g$ on aidosti vähenevä väleillä $\left]-\infty, -1\right[$, $\left]-1, 1\right[$ ja $\left] 1, \infty\right[$. Se ei kuitenkaan ole aidosti vähenevä koko lukusuoralla, mikä nähdään funktion kuvaajasta:

Kun kulkukaavion perusteella tehdään johtopäätöksiä, täytyy siis olla tarkkana, ovatko siihen merkityt erityiskohdat derivaatan nollakohtia vai kohtia, joissa funktio tai sen derivaattafunktio ei ole määritelty. Funktion kuvaajan avulla voi usein tarkistaa, ovatko kulkukaaviosta tehdyt päätelmät oikein.

Joissakin tilanteissa funktion suurimman ja pienimmän arvon olemassaoloa ei voida päätellä pelkän kulkukaavion avulla. Esimerkiksi funktion $$ g(x) = \frac{-3x}{x^2 + 1} $$ kulkukaaviosta nähdään, että funktiolla $g$ on kaksi ääriarvoa: maksimiarvo $g(-1) = \frac{3}{2}$ ja minimiarvo $g(1) = -\frac{3}{2}$.

Se, onko maksimiarvo $g(-1) = -\frac{3}{2}$ myös funktion $g$ suurin arvo, riippuu funktion arvojen käyttäytymisestä muuttujan kasvaessa rajatta. Kulkukaaviosta nimittäin nähdään, että funktio $g$ on aidosti kasvava välillä $\left[1, \infty\right[$. Kasvavatko sen arvot tällä välillä suuremmiksi kuin maksimikohdassa $x = -1$?

Funktion $g$ lauseketta tarkastelemalla havaitaan, että nimittäjä $x^2 + 1$ on aina positiivinen. Jos $x \geq 1$, osoittaja $-3x$ on negatiivinen. Funktion $g$ arvot ovat siis negatiivisia välillä $\left[1, \infty\right[$, joten $g(-1) = \frac{3}{2}$ on funktion suurin arvo.

Tutkitaan vielä, onko minimiarvo $g(1) = -\frac{3}{2}$ funktion $g$ pienin arvo. Saako funktio $g$ tätä pienemmän arvon välillä $\left] -\infty, -1\right]$?

Funktion $g$ lausekkeesta voidaan päätellä samaan tapaan kuin edellä, että jos $x \leq -1$, niin funktion arvot ovat positiivisia. Siten $g(1) = -\frac{3}{2}$ on funktion $g$ pienin arvo. Myös funktion kuvaaja tukee näitä johtopäätöksiä:

Huomaa, että pelkän kuvaajan perusteella ei voida olla täysin varmoja, kuinka suuria tai pieniä arvoja funktio saa, kun muuttuja kasvaa tai pienenee rajatta. Edellä tehty päättely kuitenkin takaa, että $g(-1) = \frac{3}{2}$ ja $g(1) = -\frac{3}{2}$ ovat todella funktion suurin ja pienin arvo.

Taito tutkia rationaalifunktion kulkua antaa uusia mahdollisuuksia erilaisten käytännön ongelmien ratkaisemiseen. Jälleen ensimmäinen haaste on kuitenkin mallintaa ongelma matemaattisesti:

• Mitä muuttujaa tarkastellaan?
• Minkä funktion suurinta tai pienintä arvoa etsitään?
• Millä välillä muuttujan arvot vaihtelevat?

Tarkastellaan esimerkiksi seuraavaa tilannetta: Kunnan kaavoitusarkkitehti suunnittelee uutta pientaloaluetta. Alueelle halutaan kaavoittaa tontteja, joille voi rakentaa $130 \text{ m}^2$ omakotitalon. Tontit ovat suorakulmion muotoisia ja rajoittuvat yhdeltä sivultaan puroon. Rakennuksen etäisyys purosta on oltava vähintään 11 metriä ja tontin muista reunoista vähintään 5 metriä. Mitkä ovat pienimmän mahdollisen tontin mitat ja pinta-ala? Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että myös rakennuksen pohja on suorakulmion muotoinen ja sen sivut ovat yhdensuuntaiset tontin rajojen kanssa.

Aloitetaan piirtämällä tilanteesta kuva. Merkitään tontin sivujen pituuksia kirjaimilla $x$ ja $y$:

Rakennuksen pinta-alasta $130 \text{ m}^2$ saadaan ehto muuttujille $x$ ja $y$: $$ (x-10)(y-16) = 130. $$ Tästä yhtälöstä voidaan ratkaista toinen muuttujista: \begin{align*} y-16 &= \frac{130}{x-10} \\[2mm] y &= \frac{130}{x-10} + 16 \end{align*} Tontista halutaan mahdollisimman pieni, joten ryhdytään tutkimaan tontin pinta-alaa $A = xy$. Sijoitetaan tähän äskeisen pyörittelyn tulos, jolloin tontin pinta-ala saadaan ilmaistua muuttujan $x$ funktiona: \begin{align*} A(x) &= x\left(\frac{130}{x-10} + 16\right) \\[2mm] &= \frac{130x}{x - 10} + 16x. \end{align*} Mallikuvasta voidaan päätellä, että tontin leveys $x$ on suurempi kuin 10 metriä eikä sillä periaatteessa ole ylärajaa. Tehtävänä on siis etsiä funktion $A(x)$ pienin arvo, kun $x > 10$. Tämä tehdään seuraavassa tehtävässä.