Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA6 - Derivaatta

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

MAA6 - Derivaatta

Kurssin tavoitteena on, että

  • osaat määrittää rationaalifunktion nollakohdat ja ratkaista yksinkertaisia rationaaliepäyhtälöitä
  • omaksut havainnollisen käsityksen funktion raja-arvosta, jatkuvuudesta ja derivaatasta
  • osaat määrittää yksinkertaisten funktioiden derivaatat
  • osaat tutkia derivaatan avulla polynomifunktion kulkua ja määrittää sen ääriarvot
  • tiedät, kuinka rationaalifunktion suurin ja pienin arvo määritetään
  • osaat käyttää teknisiä apuvälineitä raja-arvon, jatkuvuuden ja derivaatan tutkimisessa ja rationaaliyhtälöiden ja -epäyhtälöiden ratkaisemisessa sekä polynomi- ja rationaalifunktion derivaatan määrittämisessä sovellusongelmissa.

Keskeiset sisällöt

  • rationaaliyhtälö ja -epäyhtälö
  • funktion raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta
  • polynomifunktion, funktioiden tulon ja osamäärän derivoiminen
  • polynomifunktion kulun tutkiminen ja ääriarvojen määrittäminen.

Kurssimateriaali on jaettu kuuteen lukuun: Derivaatta, Raja-arvot ja jatkuvuus, Rationaalifunktiot, Derivointisääntöjä I, Funktion kulku sekä Derivointisääntöjä II.

Pääajatus kurssimateriaalissa on, että matematiikkaa oppii parhaiten tekemällä matematiikkaa. Materiaali on tämän vuoksi kirjoitettu niin, että teet tehtäviä käytännössä koko ajan. Jokainen luku sisältää kolme eri tehtäväsarjaa. Ensimmäisen tehtäväsarjan tehtävät ovat teorian seassa. Tarkoitus on, että etenet materiaalissa tekemällä jokaisen näistä tehtävistä. Voit hyvin tehdä tehtäviä yhdessä kaverin kanssa ja voit kysyä opettajalta heti, jos et ymmärrä jotain asiaa. Asia voi olla jokin tietty tehtävä, teoriassa oleva virke tai esimerkiksi vieras matemaattinen symboli. Pääasia on, että sinä itse teet tehtävät ja ymmärrät, mitä teet. Tämän tehtäväsarjan jälkeen kyseisen luvun teoria on käsitelty ja on aika harjoitella ja syventää juuri opittua. Ennen tätä opettaja pitää ehkä yhteisen opetustuokion tai -keskustelun, jossa pohditaan yhdessä luvun keskeisiä asioita tai työskentelyssä esiin tulleita haastavia kohtia. Mahdollisen opetustuokion jälkeen jatka harjoittelua luvun lopussa olevien kahden tehtäväsarjan tehtävien avulla. Luonnollisesti mitä enemmän harjoittelet, sitä paremmaksi tulet. Kun olet valmis, tee luvun lopussa oleva(t) itsearviointitesti(t). Niiden tarkoitus on kertoa sinulle, oletko ymmärtänyt luvun olennaiset asiat ja kehittää samalla oman oppimisesi arviointia, joka on tärkeä tulevaisuuden taito. Testeissä pärjääminen ei vielä tarkoita, että osaat luvun asiat esimerkiksi kiitettävällä tasolla, vaan testit keskittyvät vahvan perusosaamisen tutkimiseen. Ennen siirtymistä seuraavaan lukuun opettaja haluaa ehkä vielä koota luvussa opittuja asioita sekä antaa palautetta oppimisesta ja sen etenemisestä yhteisessä opetuskeskustelussa.

Keith Devlin on mm. Stanfordin yliopistossa vaikuttava matemaatikko, joka julkaisee kuukausittain tekstejä matematiikasta ja matematiikan oppimisesta blogissaan Devlin’s Angle. Kesäkuussa 2006, hän julkaisi kirjoituksen otsikolla Letter to a calculus student. Kirjoitus julkaistaan tässä suomennettuna hänen luvallaan. Kirjoitukseen ei päde CC-BY-AC-lisenssi. Alaviitteissä on joitakin huomioita tekstistä ja käännöksestä.

Kirje differentiaalilaskennan opiskelijalle

Hyvä differentiaalilaskennan opiskelija[1],

aloitan lainaamalla suurta filosofia Bertrand Russellia. Hän kirjoitti esseessään Mystiikka ja logiikka (1918): "Oikein nähtynä matematiikka sisältää paitsi totuuden myös äärimmäistä kauneutta — kylmää ja ankaraa kauneutta, sellaista kuin veistos edustaa, vetoamatta miltään osin luontomme vajavuuksiin, tukeutumatta musiikin tai taiteen suurellisiin hepeneisiin; silti ylevässä puhtaudessaan matematiikka pystyy tavoittamaan ankaran täydellisyyden, jota vain taiteista suurimmat edustavat."[2]

Kauneus on todennäköisesti yksi viimeisimpiä asioita joita yhdistät differentiaalilaskentaan. Voimaa, kyllä. Käyttökelpoisuutta, sitä myös. Toivottavasti myös nerokkuutta Newtonin ja Leibnizin osalta, jotka keksivät koko jutun. Todennäköisesti näet aiheen kokoelmana tekniikoita, joilla ratkotaan ongelmia, jotka liittyvät jatkuvaan muutokseen tai pinta-alojen ja tilavuuksien laskemiseen. Nämä tekniikat eroavat kaikesta siitä, mitä tähän asti olet matematiikassa kohdannut, joten näiden sääntöjen opettelu ja seuraaminen tulee vaatimaan sinulta paljon vaivaa ja keskittymistä. Näiden sääntöjen ymmärrys ja tieto siitä miksi ne pitävät paikkansa voi tulla vasta myöhemmin, jos silloinkaan. Aiheen sisäisen kauneuden arvostus tulee tätäkin myöhemmin. Jälleen, jos silloinkaan.

Pelkään, että tässä vaiheessa uraasi on epätodennäköistä, että voisit todella nähdä aiheen kauneuden. Kauneuden – todellisen, syvällisen kauneuden, ei pintakiiltoa – saavuttaa ainoastaan kokemuksella ja tuttuudella. Nähdäkseen ja arvostaakseen todellista kauneutta musiikissa meidän on kuunneltava paljon musiikkia – vielä parempaa on oppia soittamaan soitinta. Nähdäkseen syvällisen ja pinnan alla olevan kauneuden taiteessa meidän täytyy ensin katsella suurenmoisia maalauksia, ja parhaassa tapauksessa kokeilla omin käsin värin lisäämistä kankaalle. Vain kuluttamalla suuren määrän viiniä – monen vuoden saatossa, minun on lisättävä – saavutamme makuaistin jolla erotamme hyvän viinin. Ja vasta kun olemme seuranneet monta tuntia jalkapalloa, baseballia tai muuta urheilua, voimme todella arvostaa mestareiden taituruutta. Mestareiden toiminnan tai heidän luomuksien kauneuden kuvailun lukeminen ei voi koskaan muuta kuin vihjata mitä kirjoittaja yrittää välittää.

Tavoitteeni ei siis ole, että luet nämä sanani ja toteat, "Kyllä, nyt minä ymmärrän. Voi veljet, tämä Devlin-tyyppi on oikeassa. Differentiaalilaskenta on kaunista. Mahtavaa!" Mitä toivon on, että voin edes vakuuttaa sinut siitä, että minä (ja muut matemaatikot) voivat nähdä aiheen suuren kauneuden (mukaan luettuna differentiaalilaskennan). Ja ehkä jonain päivänä, monen vuoden päästä, jos jatkat matematiikan opiskelua, muistat lukeneesi nämä sanat, ja siinä tilanteessa nyökytät päätäsi tiedostaen ja ajattelet ”Kyllä, nyt minä näen mitä hän tarkoitti. Nyt minäkin osaan nähdä sen kauneuden".

Ensimmäinen askel kohti kauneuden näkemistä differentiaalilaskennassa – tai missään muussa matematiikan osa-alueessa – on ulottaa katse tekniikoiden ja symbolien manipuloinnin taakse ja nähdä aihe sellaisena kuin se on. Kuten shakespearelainen sonetti, joka vangitsee rakkauden todellisen olemuksen, tai maalaus joka tuo esiin ihmisen muodon kauneuden, joka on pintaa syvempää, niin differentiaalilaskennan todellista kauneutta voi vain täysin arvostaa menemällä tarpeeksi syvälle.

Differentiaalilaskennan kauneus on ensisijaisesti ideoissa. Ja differentiaalilaskennassa ei ole kauniimpaa ideaa kuin kaavassa, joka määrittää derivaatan: $$\text{(*) } f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ Jotta tässä olisi järkeä, niin on tärkeää, että $h$ ei ole yhtä kuin nolla. Sillä jos annat $h$:n olla nolla, niin edellisen kaavan osamäärästä tulee $$\frac{f(x+0) - f(x)}{0} = \frac{f(x) - f(x)}{0} = \frac{0}{0}$$ ja $\frac{0}{0}$ ei ole määritelty. Silti, jos otat minkä tahansa nollasta eroavan arvon $h$:lle, kuinka pienen tahansa, niin osamäärästä $$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ ei tule derivaatta (yleensä).

Joten mikä tarkkaan ottaen $h$ on? Vastaus on, että se ei ole luku, eikä se myöskään ole symboli, jolla merkitään tuntematonta lukua. Se on muuttuja.

Kysyt, mikä se semmoinen on? "Eikö muuttuja ole vain symboli, jolla merkitään tuntematonta lukua?" Vastaus on "Ei." Sir Isaac Newton ja Gottfried Leibniz, kaksikko joka keksi differentiaalilaskennan, tiesivät eron, mutta vaikuttaa siltä, että niinkin suuri ajattelija kuin kuuluisa 1700-luvun filosofi ja teologi (piispa) George Berkeley ei tiennyt. Traktaatissaan Analyytikko, uskottomalle matemaatikolle osoitettu tutkielma, Berkeley väittää, että vaikka differentiaalilaskenta johtaa tosiin lopputuloksiin, niin sen perusta on epävarma. Hän kirjoitti derivaatoista (joita Newton kutsui fluksioneiksi):

"Ja mitä ovat nämä fluksionit? Katoavien lisäyksien nopeus. Ja mitä ovat nämä samaiset katoavat lisäykset? Ne eivät ole äärellisiä suureita, taikka äärettömän pieniä suureita, eivätkä myöskään ei mitään. Emmekö voisi kutsua niitä kuolleiden suureiden haamuiksi?"[3]

"Katoavat lisäykset" joihin hän viittaa ovat nuo $h$:t kaavassa $(*)$. Berkeleyn ongelma – ja hän ei ollut missään mielessä yksin – oli, että hän ei kyennyt näkemään kaavan hienovaraisuutta[4]. Kuten mikä tahansa suuri taideteos, tämä kaava antaa samanaikaisesti erilaisia näkökulmia tarkastella samaa asiaa. Jos katsot sitä vain yhdestä näkökulmasta, niin menetät sen todellisen merkityksen. Se myös pyytää sinulta, ei, niin kuin kaikki suuret taideteokset, se haastaa sinut käyttämään mielikuvitustasi – mennä ohittaa aistikokemuksiesi ja astua idealisoituun maailman, jonka ihmismieli on luonnut.

Lauseke yhtäsuuruusmerkin oikealla puolella kaavassa $(*)$ edustaa prosessin tulosta. Ei prosessin jota voit suorittaa askel askeleelta, vaan idealisoidun, abstraktin prosessin, joka on olemassa ainoastaan mielessä. Tämä prosessi on suhteen $$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ laskeminen aina vain pienemmillä nollastapoikkeavilla $h$:n arvoilla ja sen yksikäsitteisen luvun tunnistaminen joita kohti nämä osamäärät lähestyvät, siinä mielessä, että näiden osamäärien ja tämän luvun välinen erotus voidaan tehdä niin pieneksi kuin halutaan valitsemalla $h$:lle tarpeeksi pieni arvo. (Derivaatan matemaattinen teoria on osaltaan sen päättelyä, milloin tällainen luku on olemassa, ja osoittaa, että mikäli se on olemassa, että se on yksikäsitteinen.) Syy miksi et varsinaisesti pysty suorittamaan tätä prosessia on se että se on ääretön: se pyytää sinua kuvittelemaan aina vain pienempien ja pienempien h:n arvojen ottamista ad infinitum[5].

Hienovaraisuus joka näyttää erehdyttäneen piispa Berkeley on, että vaikka alunperin ajattelemme $h$:n merkitsevän pienempiä ja pienempiä lukuja, niin "lim" termi kaavassa $(*)$ pyytää meitä ottamaan loikan (ja se on valtava) kuvitellaksemme ei ainoastaan osamäärän laskemista äärettömän monta kertaa, vaan koko prosessin tarkastelemista yhtenä kokonaisuutena. Se on itse asiassa henkeäsalpaava loikka.[6]

Runossa Viattomuuden tunnusmerkit, runoilija William Blake kirjoitti:

Nähdä maailma hiekanjyvässä
ja taivas kedon kukassa,
kannattaa kädessään äärettömyyttä
ja viettää ikuisuutta tunnissa[7]

Sitä kaava $(*)$ pyytää sinua tekemään: kannattaa äärettömyyttä kädessäsi. Nähdä äärettömän (ja siksi loppumattoman) prosessin yhtenä suoritettuna asiana. Onko mikään taideteos, mikään muu pala inhimillistä luovuutta, koskaan vaatinut niin paljon havainnoitsijaltaan? Ja johtanut niin valtavaan seuraukseen Ihmiskunnalle? Mikäli millään maalauksella, romaanilla, runolla tai veistoksella voidaan kuvitella olevan syvällistä kauneutta, niin voidaan oikeutetusti väittää, että derivaatan määritelmällä sitä on ylivoimaisesti enemmän.

Huomioita tekstistä ja käännöksestä

[1] Englanniksi otsikko on Letter to a calculus student. Calculus englanniksi vakiintunut lyhennelmä käsitteestä differential calculus. Suomeksi tällainen lyhennelmä ei ole vakiintunut, vaikka jossakin suomenkielisessä kirjallisuudessa puhutaan kalkyylistä. Differentiaalilaskenta on tietenkin vähän luotaantyöntävä termi - muutoslaskenta voisi olla nykykuulijalle olla helpommin lähestyttävä.

[2] Käännöksen lähde Wikipedia: Matematiikan kauneus.

[3] Tämä kappale voi antaa harhaanjohtavan kuvan Newtonin, Leibnizin ja Berkeleyn tiedoista. Newton ja Leibniz tosiaan kehittivät differentiaalilaskennasta toimivan matemaattisen menetelmän, mutta Berkeleyn kritiikki sen perustan epävarmuudelle oli aiheellinen. Lisäykset, toisella nimityksellä infinitesimaalit, joita differentiaalilaskenta hyödynsi ja Berkeley kritisoi, oli määritelty äärettömän pieniksi nollasta eroaviksi luvuiksi, joilla pystyi jakamaan, mutta jotka katosivat yhteen- ja vähennyslaskussa. Vasta 1800-luvulla Karl Weierstrass määritteli differentiaalilaskennan käsitteet uudelleen niin, ettei näitä infinitesimaaleja tarvittu. Vasta tällöin differentiaalilaskenta saatiin loogisesti pätevälle pohjalle. Keskeisin käsite, jota tällöin tarvittiin, oli raja-arvo.

Tarina ei pääty tähän. Kun Weierstrassin määritelmät tulivat tunnetuiksi, infinitesimaalin käsitettä pidettiin matematiikassa pitkään täysin tarpeettomana. Vuonna 1960 Abraham Robinson kuitenkin osoitti, että on määriteltävissä reaalilukujen joukkoa laajempi lukualue, hyperreaaliluvut, jossa on myös infinitesimaalisia lukuja. Tässä lukualueessa määritellään, että luku $x$ on infinitesimaalinen, jos se on pienempi kuin minkä tahansa positiivisen kokonaisluvun käänteisluku, mistä kuitenkaan ei seuraa, että se on tasan $0$. Tähän lukualueeseen perustuu Robinsonin kehittämä epästandardi analyysi, jonka avulla derivaatalle ja monille muille käsitteille voidaan esittää vaihtoehtoiset ja täysin täsmälliset määritelmät.

Kesti siis melkein 300 vuotta vastata Berkeleyn kritiikkiin.

Alaviitteen tekstin ja Berkeleyn tekstin käännöksen lähde Wikipedia: Hyperreaaliluku

[4] Berkeleyn kritiikki oli ihan oikeutettua ks. [3].

[5] ad infinitum on latinaa ja tarkoittaa ikuisesti, loputtomasti, äärettömästi, loputtomiin.

[6] Tämän suurenmoisen loikan teki vasta Weierstrass 1800-luvulla ks. [3].

[7] Perinteistä käännöstä on muutettu vaihtamalla sana loputtomuutta sanalla äärettömyyttä. Alkuperäisen käännöksen lähde on epäselvä.

Derivaatta

Tämän luvun tavoitteena on, että yhdistät funktion derivaatan mielessäsi funktion arvojen kasvunopeuteen ja funktion kuvaajan jyrkkyyteen. Osaat

  • määrittää funktion derivaatan arvon laskemalla, mikä on funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin
  • määrittää funktion kuvaajalle piirretyn tangentin yhtälön, jos derivaatan arvo eli tangetin kulmakerroin tunnetaan
  • tunnistaa funktion kuvaajasta kohdat, joissa funktion derivaatta on nolla
  • tunnistaa funktion kuvaajasta kohdat, joissa derivaatta on positiivinen, ja kohdat, joissa derivaatta on negatiivinen
  • hahmotella ensimmäisen asteen polynomifunktion derivaattafunktion kuvaajan
  • hahmotella vakiofunktion derivaattafunktion kuvaajan.

Kursseissa MAA3 ja MAA5 on tarkasteltu ympyrän tangetteja. Nämä ovat suoria, jotka sivuavat ympyrää tasan yhdessä pisteessä.

Samaan tapaan voidaan piirtää tangetti myös funktion kuvaajalle. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on piirretty funktion $f$ kuvaajalle tangentti kohtaan $x = 2$.

Tangentin kulmakerroin antaa tietoa funktion kuvaajan jyrkkyydestä tarkastelukohdassa. Alla olevasta kuvasta nähdään, että tässä tapauksessa tangetin kulmakerroin on $$\frac{-2}{\phantom{-}4} = -0{,}5.$$

Funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on toiselta nimeltään funktion derivaatta. Tämän funktion $f$ derivaatta kohdassa $x = 2$ on siis $-0{,}5$. Tämä ilmaistaan merkinnällä $$f'(2) = -0{,}5.$$

Tutki alla olevaa kuvaa. Mikä on funktion $f$

  1. arvo kohdassa $x = -2$
  2. derivaatta kohdassa $x = -2$
  3. derivaatta kohdassa $x = 1$?

  1. $f(-2) = 1$
  2. $f'(-2) = \frac{3}{2}$
  3. $f'(1) = 0$.

Tutki alla olevaa kuvaa.

  1. Mitä on $g'(-1)$ eli mikä on funktion $g$ derivaatta kohdassa $x = -1$?
  2. Onko funktion $g$ derivaatta kohdassa $x = 3$ positiivinen vai negatiivinen?
  3. Anna esimerkki kohdasta $x$, jossa sekä funktion arvo että funktion derivaatta ovat positiivisia.
  4. Anna esimerkki kohdasta $x$, jossa funktion $g$ derivaatta on negatiivinen.
  5. Missä kohdissa funktion $g$ derivaatta on nolla? Selitä omin sanoin, miten nämä kohdat tunnistaa kuvaajasta.
  6. Kuinka monessa kohdassa funktio $g$ saa arvon nolla? Selitä omin sanoin, miten nämä kohdat tunnistaa kuvaajasta.

  1. $g'(-1) = 0$
  2. $g'(3)$ on positiivinen.
  3. Esim. $x = 4$.
  4. Esim. $x = 0$.
  5. Derivaatta on nolla kohdissa $x = -1$ ja $x = 2$.
  6. Funktio saa arvon nolla kolmessa kohdassa.

Tässä tehtävässä harjoitellaan derivaatan tai sen likiarvon määrittämistä Geogebran avulla.
Tarkastellaan funktiota $$ f(x) = 0{,}1x^4 - 0{,}3x^3 - 1{,}5x^2 + 1{,}9x + 3. $$

  1. Piirrä Geogebralla funktion $f$ kuvaaja välillä $[-3,5]$. Ohjevideo löytyy täältä.
  2. Määritä kuvaajalle kohtaan $x = -0{,}5$ piirretyn tangentin yhtälö. Katso tarvittaessa ohjeita a-kohdan videosta.
    Vinkki: Oletusarvoisesti Geogebra pyöristää luvut kahden desimaalin tarkkuuteen, mutta valikosta "Asetukset" → "Pyöristä" voit muuttaa desimaalien määrää.
  3. Määritä derivaatta $f'(-0{,}5)$ tai sen likiarvo.

  1. $y = 3{,}125x+3{,}28125$
  2. $f'(-0{,}5) = 3{,}125$

Funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin eli funktion derivaatta ilmaisee funktion arvojen kasvunopeuden kyseisessä kohdassa. Tarkastellaan esimerkiksi funktiota $f$, jonka kuvaaja on näkyvissä alla.

Kuvaajalle piirretyistä tangeteista havaitaan, että funktion arvot kasvavat voimakkaasti kohdassa $x = -1$. Kohdassa $x = 2$ kasvu on hiipumassa ja kohdassa $x = 5$ funktion arvot pienenevät. Jokaisessa kohdassa tangentin kulmakerroin eli funktion $f$ derivaatta antaa kasvunopeuden hetkellisen arvon.

Tutki alla olevaa kuvaa. Määritä derivaatan eli tangentin kulmakertoimen avulla funktion $f$ kasvunopeus kohdassa

  1. $x = -1$
  2. $x = 2$
  3. $x = 5$.
  4. Missä kohdassa funktion kasvu hetkellisesti pysähtyy?
  5. Mikä on funktion $f$ suurin arvo? Missä kohdassa funktio $f$ saa suurimman arvonsa?

  1. Funktion $f$ kasvunopeus kohdassa $x = -1$ on $f'(-1) = 2.$
  2. Funktion $f$ kasvunopeus kohdassa $x = 2$ on $f'(2) \approx 0{,}5$
  3. Funktion $f$ kasvunopeus kohdassa $x = 5$ on $f'(5) = -1$ eli funktion arvot pienenevät.
  4. Kohdassa $x = 3$.
  5. Funktion $f$ suurin arvo on $4$. Funktio saa sen kohdassa $x = 3$. Siis $f(3) = 4$.

Tutki alla olevaa kuvaa.

  1. Määritä funktion $g$ kasvunopeus kohdassa $x = -4$.
  2. Millä $x$-akselin väleillä funktion arvot ovat positiivisia eli $g(x) > 0$?
  3. Millä $x$-akselin väleillä funktion derivaatta on positiivinen eli $g'(x) > 0$?
  4. Missä kohdissa $g(x) = 0$?
  5. Missä kohdissa $g'(x) = 0$?
  6. Millä $x$-akselin väleillä funktion arvot ovat negatiivisia eli $g(x) < 0$?
  7. Millä $x$-akselin väleillä funktion derivaatta on negavinen eli $g'(x) < 0$?

  1. Funktion $g$ kasvunopeus kohdassa $x = -4$ on $g'(-4) = 4$.
  2. Funktion $g$ arvot ovat positiivisia väleillä $\pa -4, 0 \pe$ ja $\pa 4, \infty \pe$.
  3. Funktion $g$ derivaatta on positiivinen väleillä $\pa -\infty, -2\pe$ ja $\pa 2, \infty \pe$.
  4. Kohdissa $x = -4$, $x = 0$ ja $x = 4$.
  5. Kohdissa $x = -2$ ja $x = 2$.
  6. Funktion $g$ arvot ovat negatiivisia väleillä $\pa -\infty, -4\pe$ ja $\pa 0,4 \pe$.
  7. Funktion $g$ derivaatta on negatiivinen välillä $\pa -2, 2\pe$.

Edellä on tutkittu funktioita, joiden kasvunopeus vaihtelee kohdasta toiseen. On olemassa myös funktioita, joiden arvot kasvavat koko ajan samalla nopeudella. Esimerkiksi funktion $f(x) = 2x-3$ arvo kasvaa aina kahdella, kun $x$-akselilla siirrytään yhden yksikön verran oikealle:

Tästä voidaan päätellä, että funktion $f(x) = 2x-3$ derivaatan arvo on koko ajan vakio: $$f'(x) = 2$$ kaikissa kohdissa $x$.

Keksi esimerkki funktiosta $g$,

  1. jonka kasvunopeus on koko ajan $3$
  2. jonka kasvunopeus on koko ajan $-1$
  3. jonka kasvunopeus on koko ajan $0$.

Piirrä myös keksimäsi funktion kuvaaja ja tarkista sen avulla, että keksimäsi funktio on sopiva.

  1. Esimerkiksi ensimmäisen asteen polynomifunktio $g(x) = 3x-1$.
  2. Esimerkiksi ensimmäisen asteen polynomifunktio $g(x) = -x+5$
  3. Esimerkiksi vakiofunktio $g(x) = 6$.

Edellä havaittiin, että ensimmäisen asteen polynomifunktioiden ja vakiofunktioiden kasvunopeus on vakio. Esimerkiksi funktion $g(x) = -0{,}5x + 4$ arvo pienenee aina puolikkaan verran, kun $x$-akselilla siirrytään yhden yksikön verran oikealle:

Tästä voidaan päätellä, että funktion $g(x) = -0{,}5x+4$ derivaatan arvo on koko ajan vakio: $$g'(x) = -0{,}5$$ kaikissa kohdissa $x$. Derivaatta on siis vakiofunktio, jonka arvo on koko ajan $-0{,}5$:

Tarkastellaan ensimmäisen asteen polynomifunktiota $f(x) = 4x - 1$.

  1. Päättele funktion $f$ lausekkeesta, mikä on funktion $f$ kasvunopeus.
  2. Piirrä funktion $f$ kuvaaja ja tarkista sen avulla, että a-kohdan johtopäätöksesi on oikein.
  3. Piirrä derivaattafunktion $f'$ kuvaaja.

  1. Kasvunopeus on koko ajan $4$.
  2. Kuvaaja on suora, joka kulkee pisteiden $(0,-1)$ ja $(1,3)$ kautta.
  3. Kuvaaja on vaakasuora suora, joka leikkaa $y$-akselin korkeudella $4$.

Tarkastellaan vakiofunktiota $h(x) = 3$.

  1. Mikä on funktion $h$ kasvunopeus?
  2. Piirrä funktion $h$ kuvaaja ja tarkista sen avulla, että a-kohdan johtopäätöksesi on oikein.
  3. Piirrä derivaattafunktion $h'$ kuvaaja.

  1. Kasvunopeus on koko ajan $0$.
  2. Kuvaaja on vaakasuora suora, joka leikkaa $y$-akselin korkeudella $3$.
  3. Kuvaaja on vaakasuora suora, joka leikkaa $y$-akselin korkeudella $0$.

Tiedetään, että $g(0) = -3$. Lisäksi tiedetään, että funktion $g$ kasvunopeus on koko ajan $2$.

  1. Piirrä derivaattafunktion $g'$ kuvaaja.
  2. Piirrä funktion $g$ kuvaaja.
  3. Muodosta funktion $g$ lauseke.

  1. Kuvaaja on vaakasuora suora, joka leikkaa $y$-akselin korkeudella $2$.
  2. Kuvaaja on nouseva suora, jonka kulmakerroin on $2$ ja joka kulkee pisteen $\left(0, -3\right)$ kautta.
  3. $g(x) = 2x - 3$.

Tarkastellaan seuraavaksi toisen asteen potenssifunktiota $f(x) = x^2$. Alla on näkyvissä osa sen kuvaajasta ja sille piirrettyjä tangentteja.

Lisäksi havaitaan, että kohdassa $x = 0$ kuvaajan tangettina on $x$-akseli. Näiden tangenttien kulmakertoimista saadaan funktion $f$ derivaatalle seuraavat arvot:

$\phantom{-}x$ $\phantom{-}f'(x)$
$\textcolor{blue}{-2}$ $\textcolor{blue}{-4}$
$\textcolor{Purple}{-1}$ $\textcolor{Purple}{-2}$
$\phantom{-}0$ $\phantom{-}0$
$\phantom{-}\textcolor{red}{1}$ $\phantom{-}\textcolor{red}{2}$
$\phantom{-}\textcolor{DeepSkyBlue}{2}$ $\phantom{-}\textcolor{DeepSkyBlue}{4}$

Kun vastaavat pisteet merkitään koordinaatistoon, saadaan hieman käsitystä siitä, millainen derivaattafunktio $f'$ on.

Jos funktion kuvaajalle piirretään enemmän tangentteja ja määritetään niiden kulmakertoimet, saadaan tarkempaa tietoa derivaattafunktion arvoista. Tätä kokeillaan seuraavassa tehtävässä.

Tässä Geogebra-havainnollistuksessa on näkyvissä funktion $f(x) = x^2$ kuvaaja, sille pisteeseen $A = (a, a^2)$ piirretty tangentti sekä piste $P$, jonka $y$-koordinaatti on kohtaan $x = a$ piirretyn tangentin kulmakerroin. Piste $P$ on siis derivaattafunktion kuvaajan piste, sillä $P = (a,f'(a))$.

Siirrä tangettia eri kohtiin liukusäätimen avulla ja tutki, millainen derivaattafunktion kuvaaja pisteistä $P$ muodostuu.

Alla on näkyvissä erään funktion $h$ derivaattafunktion kuvaaja.

Tutki derivaattafunktion kuvaajaa ja päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Missä kohdassa derivaattafunktio saa arvon nolla?
  2. Missä kohdassa funktion $h$ kasvunopeus on nolla?
  3. Millä välillä derivaattafunktion arvo on vakio?
  4. Millä välillä funktion $h$ kasvunopeus on vakio? Mikä tämä kasvunopeus on?
  5. Millä välillä derivaattafunktion arvo on positiivinen?
  6. Millä välillä funktion $h$ arvot kasvavat?
  7. Millä välillä derivaattafunktion arvo on negatiivinen?
  8. Millä välillä funktion $h$ arvot pienenevät?
  9. Missä kohdassa funktio $h$ saa suurimman arvonsa?

Tiedetään, että $h(3) = 4$. Hahmottele alkuperäisen funktion $h$ kuvaaja.

  1. Kohdassa $x = 3$.
  2. Kohdassa $x = 3$.
  3. Välillä $\pa -\infty, 1]$.
  4. Välillä $\pa -\infty, 1]$.
  5. Välillä $\pa -\infty, 3\pe$.
  6. Välillä $\pa -\infty, 3\pe$.
  7. Välillä $\pa 3, \infty\pe$.
  8. Välillä $\pa 3, \infty\pe$.
  9. Kohdassa $x = 3$.

Tässä luvussa olemme tutustuneet derivaatan käsitteeseen pääasiassa graafisesti määrittämällä funktion kuvaajalle piirrettyjen tangenttien kulmakertoimia. Jotta voimme tarkastella derivaattaa myös lausekkeiden avulla, perehdymme seuraavassa luvussa funktion raja-arvon käsitteeseen. Kolmannessa luvussa harjoittelemme rationaalifunktioiden käsittelyä, minkä jälkeen voimme määritellä derivaatan käsitteen täsmällisesti niin sanottuna erotusosamäärän raja-arvona luvussa 4.

Tangentin kulmakerroin

Määritä alla olevan kuvan avulla seuraavat derivaatan arvot:

  1. $f'(-1)$
  2. $f'(1)$
  3. $f'(3)$
  4. $f'(5)$
  5. $f'(6)$
  6. $f'(8)$.

  1. $f'(-1) = 1$
  2. $f'(1) = 0$
  3. $f'(3) = -1$
  4. $f'(5) = -2$
  5. $f'(6) = 0$
  6. $f'(8) = 4$.

Tangentin kulmakerroin

Määritä funktion $f$ kuvaajalle seuraaviin kohtiin piirrettyjen tangettien yhtälöt:

  1. $x = -1$
  2. $x = 5$
  3. $x = 8$.

  1. $y = x + 3$
  2. $y = -2x+9$
  3. $y = 4x-30$

Tangentin kulmakerroin

Tutki alla olevaa kuvaa.

  1. Tiedetään, että $h'(-2) = 5{,}7$. Muodosta funktion $h$ kuvaajalle kohtaan $x = -2$ piirretyn tangentin yhtälö.
  2. Muodosta funktion $h$ kuvaajalle kohtaan $x = 3$ piirretyn normaalin yhtälö. (Normaali tarkoittaa suoraa, joka on kohtisuorassa tangettia vastaan.)
    Vinkki: kertaa tarvittaessa MAA5-kurssin teoreema 11.

  1. $y = 5{,}7x + 10{,}4$
  2. $y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$.

Funktion kasvunopeus

Alla näkyvä kuvaaja esittää paikallisjunan etäisyyttä päärautatieasemasta ajan funktiona.

  1. Selitä omin sanoin, mitä tapahtuu kyseisten yhdeksän minuutin aikana.
  2. Kuvaajalle on alla piirretty kolme tangenttia kohtiin $x = 2 \text{ min}$, $x = 3{,}5 \text{ min}$ ja $x = 6 \text{ min}$. Määritä näiden tangenttien kulmakertoimien likiarvot kuvasta. Mitä junaan liittyvää tietoa niistä saadaan?

Mikä on junan huippunopeus kyseisten yhdeksän minuutin aikana?

  1. Juna lähtee päärautatieasemalta, kiihdyttää vauhtiaan, hidastaa ja pysähtyy seuraavalle asemalle, lähtee uudelleen liikkeelle, kiihdyttää, hidastaa ja pysähtyy jälleen.
  2. Kulmakertoimet ovat
    • $\textcolor{red}{k = 2 \text{ km/min} = 120 \text{ km/h}}$
    • $\textcolor{blue}{k = 0{,}5 \text{ km/min} = 30 \text{ km/h}}$
    • $\textcolor{Purple}{k = 1 \text{ km/min} = 60 \text{ km/h}}$

Junan huippunopeus on $120 \text{ km/h}$.

Funktion kasvunopeus

Funktio $$ v(t) = \frac{10t}{t+4} $$ kuvaa pyöräilijän nopeutta (m/s) ajan funktiona. Aika ilmaistaan sekunneissa.

  1. Piirrä funktion $v$ kuvaaja välillä $0 \leq t \leq 10$ laskimella tai tietokoneella. Ohjevideo Geogebralla piirtämiseen löytyy täältä.
  2. Mikä on pyöräilijän nopeus hetkellä $t = 2$? Anna vastaus sekä metreinä sekunnissa että kilometreinä tunnissa (käytä yksikkömuunnoksessa tarvittaessa apuna esimerkiksi Wikipediaa).
  3. Selvitä laskimen tai tietokoneen avulla, miten pyöräilijän nopeus muuttuu hetkellä $t = 2$. Mitä nimitystä käytetään pyöräilijän nopeuden muutosnopeudelle?
  4. Miten pyöräilijän nopeus muuttuu silloin, kun hänen nopeutensa on 5 m/s eli 18 km/h?

  1. Nopeus on $\frac{10}{3}$ m/s eli 12 km/h.
  2. Pyöräilijän kiihtyvyys on noin $1{,}1 \frac{\text{ m}}{\text{ s}^2}$ eli nopeus kasvaa noin 1,1 m/s joka sekunti.
  3. Pyöräilijän kiihtyvyys on noin $0{,}63 \frac{\text{ m}}{\text{ s}^2}$ eli nopeus kasvaa noin 0,63 m/s joka sekunti.

Derivaattafunktio

Päättele funktion $f$ kuvaajasta, millä muuttujan $x$ arvoilla

  1. $f'(x) = 0$
  2. $f'(x) \geq 0$
  3. $f'(x) \leq 0$.

  1. Muuttuja $x$ arvoilla $-3$ ja $1$.
  2. Jos $x < -3$ tai $x > 1$.
  3. Jos $-3 < x < 1$.

Derivaattafunktio

Funktion $g$ derivaattafunktio on näkyvissä alla. Päättele derivaattafunktion $g'$ kuvaajasta, millä muuttujan $x$ arvoilla

  1. funktion $g$ arvot kasvavat
  2. funktion $g$ arvot pienenevät.

  1. Funktion $g$ arvot kasvavat, kun kasvunopeus eli derivaatta on positiivinen. Toisin sanottuna jos $-5 < x < -0{,}5$ tai $x > 2$
  2. Funktion $g$ arvot pienenevät, kun kasvunopeus eli derivaatta on negatiivinen. Toisin sanottuna jos $x < -5$ tai $-0{,}5 < x < 2$.

Derivaattafunktio

Alla on näkyvissä neljän funktion kuvaajat. Mitkä niistä ovat toistensa derivaattafunktioita? Etsi niin monta funktio & derivaattafunktio -paria kuin mahdollista.

Funktion $f$ derivaattafunktio on $k$ eli $f' = k$.
Funktion $h$ derivaattafunktio on $f$ eli $h' = f$.

Taulukon ylärivissä ovat funktioiden $f(x)$, $g(x)$ ja $h(x)$ kuvaajat. Alemmassa rivissä on viiden eri funktion kuvaajat. Näiden joukossa ovat myös derivaattafunktioiden $f'(x)$, $g'(x)$ ja $h'(x)$ kuvaajat.

Kopioi alla oleva taulukko vastauspaperiisi ja merkitse siihen, mikä kuvaajista 1−5 esittää kyseessä olevan funktion derivaattaa. Vastausta ei tarvitse perustella.
[Pitkä K2014/2]

$f(x)$: 4, $g(x)$: 1, $h(x)$: 3.

  1. Alle on piirretty funktio $f(x)$ kuvaaja välillä $[0,2]$. Hahmottele samanlaiseen koordinaatistoon funktion $f'(x)$ kuvaaja.
  2. Alle on piirretty funktion $g'(x)$ kuvaaja välillä $[0,2]$. Hahmottele samanlaiseen koordinaatistoon funktion $g(x)$ kuvaaja, kun lisäksi tiedetään, että $g(0) = 0$.

[Lyhyt K2016/4]

Oheisessa kuviossa on erään funktion $f(x)$ kuvaaja. Määritä kuvaajan avulla ne muuttujan $x$ arvot, joille $-2 \leq x \leq 4$ ja

  1. $f(x) = 1$
  2. $f(x) \leq 0$
  3. $f'(x) \leq 0$.

[Lyhyt S2015/3]

  1. $x = -1$ tai $x = 3$
  2. $0 \leq x \leq 2$
  3. $-2 \leq x \leq 1$.

Alla on taulukoituina erään funktion arvot $0{,}1 \text{ :n}$ välein välillä $[-1,1]$. Hahmottele funktion kuvaaja ja määritä sen avulla likimääräisesti funktion derivaatta kohdassa $x = 0$
[Lyhyt K2011/5]
Vinkki: Kannattaa valita $x$-akselilla yksiköksi esimerkiksi $0{,}1$ ja $y$-akselilla $1$. Näin kuva mahtuu mukavasti A4-koon ruutupaperille. Muista ottaa akseleilla käyttämäsi yksiköt huomioon, kun lasket derivaatan likiarvoa.

Derivaatan arvo kohdassa $x = 0$ eli funktion kuvaajalle kohtaan $x = 0$ piirretyn tangentin kulmakerroin on suunnilleen 5 tai 6.

Oheisessa kuviossa on erään funktion kuvaaja. Määritä kuvion perusteella

  1. funktion nollakohdat
  2. funktion derivaatan nollakohdat
  3. funktion suurin arvo välillä $[-2,3]$
  4. funktion pienin arvo välillä $[-2,3]$
  5. välit, joilla funktio on kasvava
  6. välit, joilla funktio on vähenevä.

[Lyhyt K2010/3]

  1. $x = -2$, $x \approx 0{,}5$ ja $x \approx 2{,}8$
  2. $x = -1$ ja $x = 2$
  3. $f(-1) \approx 3$
  4. $f(2) \approx -5$
  5. $[-2,-1]$ ja $[2,3]$
  6. $[-1,2]$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Raja-arvot ja jatkuvuus

Tämän luvun tavoitteena on, että hahmotat funktion raja-arvon ja jatkuvuuden käsitteet visuaalisesti ja tunnistat funktion kuvaajasta kohdat, joissa funktiolla ei ole derivaattaa. Osaat

  • päätellä funktion kuvaajan avulla,
    • onko funktiolla tietyssä kohdassa raja-arvo
    • onko funktio tietyssä kohdassa jatkuva
    • onko funktio tietyssä kohdassa derivoituva
  • määrittää funktion raja-arvon sekä laskemalla että kuvaajan avulla
  • soveltaa Bolzanon lausetta funktion nollakohtien tutkimiseen ja polynomiyhtälöiden ratkaisemiseen.

Tarkastellaan alla olevaa funktion $f$ kuvaajaa. Havaitaan, että funktio $f$ on määritelty kohdan $x = 1$ läheisyydessä sen molemmilla puolilla, mutta ei kohdassa $x = 1$.

Tutkitaan funktion $f$ arvoja kohdan $x = 1$ eri puolilla. Huomataan, että funktion $f$ arvot lähestyvät lukua 2, kun lähestytään kohtaa $x = 1$ vasemmalta. Jos kohtaa $x = 1$ lähestytään oikelta, funktion $f$ arvot lähestyvät lukua $0$. Koska funktion arvot lähestyvät eri lukua riippuen siitä, kummalta puolelta kohtaa $x = 1$ lähestytään, ei funktiolla $f$ ole raja-arvoa kohdassa $x = 1$.

MÄÄRITELMÄ: FUNKTION RAJA-ARVO

Oletetaan, että funktio $f$ on määritelty kohdan $a$ läheisyydessä sen molemmilla puolilla. Funktiolla $f$ on kohdassa $a$ raja-arvo $b$, jos muuttujan arvojen lähestyessä lukua $a$ kummalta puolelta tahansa, funktion $f$ arvot lähestyvät lukua $b$. Lähestymisen pitää olla sellaista, että tulemalla tarpeeksi lähelle kohtaa $a$ funktion $f$ arvot saadaan niin lähelle lukua $b$ kuin vain halutaan.

Jos funktiolla $f$ on kohdassa $a$ raja-arvo $b$, niin merkitään $$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = b.$$ Voidaan myös käyttää merkintää $$f(x) \rightarrow b, \ \text{ kun } \ x \rightarrow a.$$

Raja-arvon kannalta ei ole mitään merkitystä sillä, onko funktio määritelty tarkasteltavassa kohdassa vai ei. Oleellista on vain se, lähestyvätkö funktion arvot jotain tiettyä arvoa, kun tarkastelukohtaa lähestytään kummasta suunnasta tahansa.

Tutki alla olevaa kuvaa.

  1. Onko funktiolla $f$ raja-arvo kohdassa
    • $x = -1$
    • $x = 0$
    • $x = 2$
    • $x = 3$?
  2. Jos a-kohdassa raja-arvo on olemassa, mikä se on? Käytä vastausten ilmoittamiseen merkintätapaa $$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = b.$$
  3. Onko välillä $[-3, 5]$ jokin kohta, jossa funktio $f$ ei ole määritelty?

  1. Funktiolla $f$ on raja-arvo kohdissa $x = -1$, $x = 0$ ja $x = 3$. Funktiolla $f$ ei ole raja-arvoa kohdassa $x = 2$.
  2. Raja-arvot ovat seuraavat: \begin{align*} \lim_{x \rightarrow -1} f(x) &= 1 \\[1mm] \lim_{x \rightarrow 0} f(x) &= 3 \\[1mm] \lim_{x \rightarrow 3} f(x) &= 2 \end{align*}
  3. Funktio $f$ ei ole määritelty kohdassa $x = -1$.

Joskus funktion raja-arvoa ei ole olemassa tarkastelukohdassa, koska funktion arvot kasvavat tai pienenevät rajatta tämän kohdan läheisyydessä. Esimerkiksi alla on näkyvissä osa funktion $g$ kuvaajasta. Siitä nähdään, että funktio $g$ on kyllä määritelty välin $[-3,5]$ jokaisessa pisteessä, mutta funktiolla $f$ ei ole raja-arvoa kohdassa $x = 2$. Tämä johtuu siitä, että funktion arvot kasvavat rajatta, kun kohtaa $x = 2$ lähestytään oikealta.

Tutki alla olevaa kuvaa.

  1. Onko funktiolla $f$ raja-arvo kohdassa
    • $x = -3$
    • $x = 0$
    • $x = 1$
    • $x = 2$
    • $x = 4$?
  2. Jos a-kohdassa raja-arvo on olemassa, mikä se on? Käytä vastausten ilmoittamiseen merkintätapaa $$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = b.$$
  3. Onko välillä $[-3, 5]$ jokin kohta, jossa funktio $f$ ei ole määritelty?

  1. Funktiolla $f$ on raja-arvo kohdissa $x = -3$, $x = 1$ ja $x = 4$. Funktiolla $f$ ei ole raja-arvoa kohdissa $x = 0$ ja $x = 2$.
  2. Raja-arvot ovat seuraavat: \begin{align*} \lim_{x \rightarrow -3} f(x) &= 2 \\[1mm] \lim_{x \rightarrow 1} f(x) &= 0 \\[1mm] \lim_{x \rightarrow 4} f(x) &= 3 \end{align*}
  3. Funktio $f$ on määritelty koko välillä $[-3, 5]$. Kun kohtaa $x = 0$ lähestytään oikealta, funktion arvot pienenevät rajatta.

Määritellään funktio $f$ seuraavasti: $$f(x) = \begin{cases} 0{,}5x^2 + x - 4, &\text{ jos $\ x \leq 2$} \\ -x^2 + 8x - 11, &\text{ jos $\ x > 2$}. \end{cases} $$

  1. Piirrä funktion $f$ kuvaaja välillä $[-3, 5]$ teknisellä apuvälineellä. Ohjevideo Texas Nspirellä piirtämiseen löytyy täältä.
  2. Määritä kuvan avulla funktion $f$ raja-arvo kohdassa $x = 2$ tai selitä, miksi sitä ei ole olemassa.

  1. Raja-arvoa ei ole olemassa kohdassa $x = 2$, sillä funktion arvot lähestyvät eri lukuja riippuen siitä, lähestytäänkö kohtaa $x = 2$ vasemmalta vai oikealta.

Monissa tilanteissa funktion raja-arvo tarkastelukohdassa voidaan määrittää funktion lausekkeen avulla. Esimerkiksi voidaan tutkia, onko funktiolla $f(x) = x^2-9$ raja-arvoa kohdassa $x = 5$. Päätellään, että jos $x \rightarrow 5$, niin $$x^2 - 9 \rightarrow 5^2 - 9 = 25 - 9 = 16.$$ Tulos ei riipu siitä, mistä suunnasta kohtaa $x = 5$ lähestytään. Funktiolla $f$ on siis kohdassa $x = 5$ raja-arvo $$\lim_{x \rightarrow 5} f(x) = 16.$$

Määritä $\ {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} f(x)}\ $ tai selitä, miksi raja-arvoa ei ole olemassa, jos

  1. $f(x) = \frac{7}{8}x-3$
  2. $f(x) = x^2 + 2x - 4$
  3. $f(x) = \sqrt{x} - x$
  4. $f(x) = 9$.

  1. ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} f(x)} = \frac{1}{2}$
  2. ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} f(x)} = 20$
  3. ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} f(x)} = -2$
  4. ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} f(x)} = 9$

Paloittain määriteltyjen funktioiden raja-arvoja voidaan tutkia samaan tapaan lausekkeiden avulla. Tällöin täytyy huomata, että funktio saattaa olla määritelty eri tavoin tarkastelukohdan eri puolilla. Tarkastelukohtaa pitää sen vuoksi lähestyä erikseen sekä oikealta että vasemmalta. Lähestymissuunta ilmaistaan raja-arvon merkinnässä merkeillä $+$ ja $-$.

Vasemmalta lähestyminen: $x \rightarrow c-$

Oikealta lähestyminen: $x \rightarrow c+$

Jos esimerkiksi tutkitaan, onko funktiolla $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2+2x+4}{4}, &\text{ jos $\ x < -2$} \\[2mm] 2-\sqrt{x + 3}, &\text{ jos $\ x \geq -2$} \end{cases} $$ raja-arvoa kohdassa $x = -2$, verrataan vasemman- ja oikeanpuoleista raja-arvoa toisiinsa: \begin{align*} \lim_{x \rightarrow (-2)-} f(x) &= \lim_{x \rightarrow (-2)-}\dfrac{x^2+2x+4}{4} \\[2mm] &= \frac{(-2)^2 + 2\cdot(-2) + 4}{4} \\[2mm] &= \frac{4-4+4}{4} = 1 \end{align*} ja \begin{align*} \lim_{x \rightarrow (-2)+} f(x) &= \lim_{x \rightarrow (-2)+} (2-\sqrt{x + 3}) \\[1mm] &= 2 - \sqrt{-2+3} \\[1mm] &= 2- \sqrt{1} = 1 \end{align*} Tulos ei riipu lähestymissuunnasta, joten funktiolla $f$ on kohdassa $x = -2$ raja-arvo $$ \lim_{x \rightarrow -2} f(x) = 1. $$

Määritä $\ {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 10} f(x)}\ $ tai selitä, miksi raja-arvoa ei ole olemassa, jos $$f(x) = \begin{cases} 9x -x^2 + 3, &\text{ jos $\ x \leq 10$} \\[1mm] \sqrt{x^2 + 21} - 4, &\text{ jos $\ x > 10$}. \end{cases} $$

Raja-arvoa ei ole olemassa, sillä $$ \lim_{x \rightarrow 10-} f(x) = -7 $$ mutta $$ \lim_{x \rightarrow 10+} f(x) = 7. $$

Edellisessä kappaleessa havaittiin, että funktiolla voi jossakin kohdassa olla raja-arvo, joka poikkeaa funktion arvosta. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta nähdään, että $$\lim_{x \rightarrow -1} f(x) = -2$$ ja $$f(-1) = 1.$$
Tällaisessa tilanteessa sanotaan, että funktio $f$ ei ole jatkuva kohdassa $x = -1$.

MÄÄRITELMÄ: FUNKTION JATKUVUUS

Oletetaan, että funktio $f$ on määritelty kohdassa $a$. Funktio $f$ on jatkuva kohdassa $a$, jos $$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a).$$

Määritelmän mukaan funktio $f$ on siis jatkuva kohdassa $a$, jos sillä on kohdassa $a$ raja-arvo, joka on sama kuin funktion arvo kohdassa $a$.

Jos funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa $a$, funktio ei ole siinä jatkuva. Tämä voi näkyä funktion kuvaajassa hyppäyksenä, kuten esimerkiksi alla kohdassa $x = 2$.

Funktion kuvaajassa näkyy hyppäyksenä myös tilanne, jossa raja-arvo on kyllä olemassa mutta poikkeaa funktion arvosta, kuten esimerkiksi alla kohdassa $x = -1$.

Yllä näkyvä funktio ei siis ole jatkuva kohdassa $x = -1$.

Tutki alla olevaa kuvaa.

Onko funktio $f$ jatkuva kohdassa

  1. $x = -3$
  2. $x = 0$
  3. $x = 1$
  4. $x = 2$
  5. $x = 4$?

  1. On jatkuva.
  2. Ei ole jatkuva.
  3. On jatkuva.
  4. Ei ole jatkuva.
  5. On jatkuva.

Tutkitaan funktiota $g(x) = -x^2 + 2x + 2$.

  1. Määritä $\ {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} g(x)}\ $ tai selitä, miksi raja-arvoa ei ole olemassa.
  2. Määritä $g(3)$.
  3. Onko funktio $g$ jatkuva kohdassa $x = 3$? Selitä omin sanoin.
  4. Piirrä funktion $g$ kuvaaja välillä $[-1,4]$ ja tarkista, ettei se ole ristiriidassa vastaustesi kanssa.

  1. ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} g(x)} = -1$.
  2. $g(3) = -1$
  3. Funktio $g$ on jatkuva kohdassa $x = 3$, sillä funktion $g$ raja-arvo on tässä kohdassa sama kuin funktion $g$ arvo.

Edellä on tarkasteltu funktion jatkuvuutta aina jossain yksittäisessä kohdassa. Seuraavaksi siirrytään tarkastelemaan tilanteita, joissa funktio on jatkuva jollakin lukusuoran välillä tai jopa koko lukusuoralla. Tällaisia funktioita ovat esimerkiksi polynomifunktiot, joihin perehdyttiin kurssissa MAA2.

Alla olevassa määritelmässä tarkastellaan sekä avoimia että suljettuja välejä. Avoimen välin mitä tahansa pistettä voidaan lähestyä sekä vasemmalta että oikealta, mutta suljetun välin päätepisteitä voidaan lähestyä vain yhdestä suunnasta: vasenta päätepistettä oikealta ja oikeaa päätepistettä vasemmalta.

MÄÄRITELMÄ: FUNKTION JATKUVUUS VÄLILLÄ

Funktio $f$ on jatkuva avoimella välillä $\pa a, b\pe$, jos se on jatkuva jokaisessa välin $\pa a, b\pe$ pisteessä.
 
Funktio $f$ on jatkuva suljetulla välillä $[a,b]$, jos seuraavat ehdot toteutuvat:

  • funktio $f$ on jatkuva avoimella välillä $\pa a, b\pe$
  • ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow a+} f(x)} = f(a)$
  • ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow b-} f(x)} = f(b)$.

Määritelmää voidaan havainnollistaa alla näkyvän funktion $f$ kuvaajan avulla. Kuvaajasta havaitaan, että funktio on jatkuva kaikissa muissa kohdissa paitsi kohdassa $x = 1$. Jos kohtaa $x = 1$ lähestytään oikealta, funktion arvot kasvavat rajatta, mutta jos kohtaa $x = 1$ lähestytään vasemmalta, funktion arvot lähestyvät lukua $-2$. Funktiolla ei tämän vuoksi ole raja-arvoa kohdassa $x = 1$ eikä se siten ole siinä jatkuva.

Tarkastellaan sitten funktion jatkuvuutta suljetuilla väleillä $[-2,1]$ ja $[1,3]$.

  • suljetulla välillä $[-2,1]$ funktio $f$ on jatkuva, sillä se on jatkuva avoimella välillä $\pa -2, 1 \pe$ ja lisäksi \begin{align*} \lim_{x \rightarrow -2+} f(x) &= 4 = f(-2) \\ \lim_{x \rightarrow 1-} f(x) &= -2 = f(1) \end{align*}
  • suljetulla välillä $[1,3]$ funktio $f$ ei ole jatkuva, sillä $f(1) = -2$ mutta funktion arvot kasvavat rajatta, kun kohtaa $x = 1$ lähestytään oikealta.

Tarkastele alla näkyvää funktion $g$ kuvaajaa.
Onko funktio $g$ jatkuva välillä

  1. $\pa -1, 3 \pe$
  2. $[-1,3]$
  3. $[3,5]$
  4. $\pa -3, 3 \pe$?

Perustele vastauksesi omin sanoin.

  1. Kyllä.
  2. Ei.
  3. Kyllä.
  4. Ei.

On mahdollista osoittaa, että jos suljetulla välillä jatkuva funktio saa välin päätepisteissä erimerkkiset arvot, on funktiolla tällä välillä ainakin yksi nollakohta. Tämä tulos tunnetaan nimellä Bolzanon lause. Sen todisti ensimmäisenä tsekkiläinen matemaatikko Bernard Bolzano vuonna 1817. Kuvasta katsottuna Bolzanon lause on helppo uskoa todeksi, mutta yleispätevän perustelun esittäminen on sen verran työlästä, että sitä käsitellään vasta yliopistotasolla.

TEOREEMA

Jos funktio $f$ on määritelty ja jatkuva suljetulla välillä $[a,b]$ ja jos funktion arvot $f(a)$ ja $f(b)$ ovat erimerkkiset, niin funktiolla on (ainakin yksi) nollakohta avoimella välillä $\pa a, b\pe$.

Huomaa, että jos Bolzanon lauseen ehdot täyttyvät, voi funktiolla olla useampikin nollakohta tarkasteluvälillä. Tällainen tilanne on alla olevassa kuvassa.

Nollakohdan olemassaolon kannalta on oleellista, että funktio on jatkuva suljetulla välillä $[a,b]$. Esimerkiksi seuraavan kuvan tilanteessa funktio $f$ on kyllä määritelty suljetulla välillä $[-1,2]$ ja saa sen päätepisteissä erimerkkiset arvot: $f(-1) = 2$ ja $f(2) = -0{,}5$. Lisäksi funktio on jatkuva avoimella välillä $\pa -1, 2 \pe$, mutta sillä ei ole nollakohtaa välillä $\pa -1,2 \pe$.

Bolzanon lausetta voidaan hyödyntää esimerkiksi polynomifunktioiden nollakohtien etsimisessä ja polynomiyhtälöiden ratkaisussa, sillä polynomifunktiot ovat jatkuvia millä tahansa lukusuoran välillä. Tämän teoreeman täsmällinen todistus on niin työläs, että siihen tutustutaan vasta yliopistotasolla.

TEOREEMA

Polynomifunktio on kaikkialla jatkuva.

Bolzanon lauseen ja teoreeman 2 käyttöä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Tutkitaan funktiota $f(x) = x^3 -4x + 2$.

  1. Perustele huolellisesti, että funktiolla $f$ on ainakin yksi nollakohta välillä $\pa -3, 2\pe$. (Älä kuitenkaan piirrä funktion kuvaajaa vielä.)
  2. Laske funktion $f$ arvo kohdassa $x = -2$. Mitä voit nyt päätellä funktion $f$ nollakohtien lukumäärästä ja sijainnista?
  3. Laske funktion $f$ arvo kohdassa $x = 1$. Mitä voit nyt päätellä funktion $f$ nollakohtien lukumäärästä ja sijainnista?
  4. Tarkista vastauksesi piirtämällä funktion $f$ kuvaaja.

  1. Funktio $f$ on polynomifunktio ja sen vuoksi jatkuva välillä $[-3,2]$. Lisäksi $f(-3) = -13 < 0$ ja $f(2) = 2 >0$, joten Bolzanon lauseen mukaan sillä on ainakin yksi nollakohta välillä $\pa -3, 2\pe$.
  2. Koska $f(-3) = -13 < 0$ ja $f(-2) = 2 > 0$, niin funktiolla $f$ on ainakin yksi nollakohta välillä $\pa -3, -2\pe$.
  3. Koska $f(-3) = -13 < 0$, $f(-2) = 2 > 0$, $f(1) = -1 < 0$ ja $f(2) = 2 >0$, niin funktiolla $f$ on ainakin yksi nollakohta väleillä $\pa -3, -2\pe$, $\pa -2, 1\pe$ ja $\pa 1, 2\pe$. Funktiolla $f$ on siis ainakin kolme nollakohtaa.

Jos funktio saa kahdessa eri kohdassa samanmerkkiset arvot, niiden välillä saattaa olla olemassa nollakohtia tai sitten ei. Tätä tutkitaan seuraavassa tehtävässä.

Keksi esimerkki polynomifunktiosta, joka saa positiivisen arvon kohdissa $x = -2$ ja $x = 2$ ja jolla

  1. ei ole nollakohtaa välillä $\pa -2, 2 \pe$
  2. on nollakohta välillä $\pa -2, 2 \pe$

Tarkista vastauksesi piirtämällä keksimäsi funktioiden kuvaajat.

Kokeile esimerkiksi erilaisia toisen asteen polynomifunktioita.

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan Bolzanon lauseen soveltamista polynomiyhtälöiden ratkaisujen tutkimiseen.

Tehtävänä on osoittaa, että yhtälöllä $x^4 - 5x^3 + 6 = 0$ on ratkaisu, jonka kaksidesimaalinen likiarvo on $4{,}95$.

  1. Mikä on pienin kolmidesimaalinen luku, joka pyöristyy luvuksi $4{,}95$?
  2. Mikä on suurin kolmidesimaalinen luku, joka pyöristyy luvuksi $4{,}95$?
  3. Tehtävän voi ratkaista Bolzanon lauseen avulla, mutta mihin funktioon ja mihin suljettuun väliin sitä pitää soveltaa?
  4. Perustele, että yhtälöllä $x^4 - 5x^3 + 6 = 0$ on ratkaisu, jonka kaksidesimaalinen likiarvo on $4{,}95$.

  1. Pienin sopiva luku on $4{,}945$.
  2. Suurin sopiva luku on $4{,}954$.
  3. Funktioon $f(x) = x^4 - 5x^3 + 6$ ja väliin $[4{,}945; \,4{,}954]$.
  4. Funktio $f$ on polynomifunktio, joten se on jatkuva välillä $[4{,}945; \,4{,}954]$. Lisäksi $f(4{,}945) \approx -0{,}65 < 0$ ja $f(4{,}954) \approx 0{,}41 > 0$, joten funktiolla $f$ on ainakin yksi nollakohta välillä $\pa 4{,}945; \,4{,}954\pe$
  5. .

Jatketaan yhtälön $x^4 - 5x^3 + 6 = 0$ tarkastelua.

  1. Osoita, että yhtälöllä on ainakin yksi ratkaisu välillä $\pa 1{,}0;\,1{,}5 \pe.$
  2. Pienennä tarkasteluväliä askel askeleelta niin, että saat tarkempaa tietoa ratkaisun likiarvosta. Tavoitteena on määrittää ratkaisun likiarvo yhden desimaalin tarkkuudella, joten tarkasteluväli pitää saada niin pieneksi, että sen molempien päätepisteiden yksidesimaaliset likiarvot ovat samat.
  3. Mikä on etsityn ratkaisun likiarvo yhden desimaalin tarkkuudella?

  1. Tarkasteluväliksi sopii esimerkiksi $[1{,}15;\, 1{,}24]$ tai $[1{,}15;\, 1{,}20]$
  2. Likiarvo on $1{,}2$.

Ensimmäisessä luvussa opittiin, että funktion derivaatta on funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin. Esimerkiksi alla näkyvän funktion $f$ derivaatta kohdassa $x = 2$ on $$f'(2) = -0{,}5.$$
Funktion kuvaajalle ei kuitenkaan aina ole mahdollista piirtää yksikäsitteistä tangenttia. Erityisesti kohdat, joissa funktio ei ole jatkuva, tuottavat hankaluuksia. Miten esimerkiksi pitäisi piirtää tangentti alla näkyvän funktion kuvaajan kohtaan $x = 3$?

Alla näkyy kaksi suoraa, jotka sivuavat funktion kuvaajaa kohdassa $x = 3$. Yksikäsitteistä tangettia on mahdotonta piirtää, joten funktiolla $f$ ei ole derivaattaa kohdassa $x = 3$. Tämä voidaan ilmaista myös sanomalla, että funktio $f$ ei ole derivoituva kohdassa $x = 3$.

On mahdollista osoittaa yleispätevästi, että funktio voi olla derivoituva vain siinä tapauksessa, että se on jatkuva:

TEOREEMA

Jos funktiolla on derivaatta kohdassa $a$, niin funktio on jatkuva kohdassa $a$.

Teoreemasta 3 seuraa, että jos funktio ei ole jatkuva, se ei missään tapauksessa voi olla derivoituva. Toisaalta vaikka funktio olisi jatkuva, se ei välttämättä ole derivoituva. Esimerkiksi alla on näkyvissä itseisarvofunktion $$f(x) = \left|x\right|$$ kuvaaja. Se on katkeamaton käyrä, mistä voidaan päätellä, että itseisarvofunktio on jatkuva.

Havaitaan, että kohtaan $x = 0$ on mahdotonta piirtää yksikäsitteistä tangenttia:

Itseisarvofunktio $f(x) = \left|x\right|$ ei siten ole derivoituva kohdassa $x = 0$, vaikka onkin siinä jatkuva.

Alla on näkyvissä oleelliset osat funktion $f$ kuvaajasta. Päättele kuvaajan perusteella,

  1. missä kohdissa funktio $f$ ei ole jatkuva
  2. missä kohdissa funktio $f$ ei ole derivoituva
  3. mikä on funktion derivaatan arvo niissä kohdissa, joissa se on olemassa.

  1. Kohdissa $x = 0$ ja $x = 1$.
  2. Kohdissa $x = -1$, $x = 0$ ja $x = 1$.
    • Jos $x < -1$, niin $f'(x) = 1$.
    • Jos $-1 < x < 0$ tai $0 < x < 1$, niin $f'(x) = -0{,}5$.
    • Jos $x > 1$, niin $f'(x) = -1{,}5$.

Funktion raja-arvo

Määritellään funktio $f$ seuraavasti: $$f(x) = \begin{cases} -3x-5, &\text{ jos $\ x < -1$} \\ 1, &\text{ jos $\ x = -1$}\\ -x^2 + 4x + 3, &\text{ jos $\ x > -1$}. \end{cases} $$

  1. Piirrä funktion $f$ kuvaaja välillä $[-3, 5]$. Jos käsin piirtäminen tuottaa haasteita, niin voit piirtää kuvaajan osat teknisellä apuvälineellä ja kopioida ne paperille funktion määritelmän mukaisilla väleillä. Esimerkiksi suorasta $y=-3x-5$ otetaan mukaan vain se osa, jossa $x<-1$.
  2. Määritä kuvan avulla funktion $f$ raja-arvo kohdassa $x = -1$ tai selitä, miksi sitä ei ole olemassa.

  1. Raja-arvo on olemassa: \begin{align*} \lim_{x \rightarrow -1} f(x) &= -2 \end{align*}

Funktion raja-arvo

Määritä $\ {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 5} f(x)}\ $ tai selitä, miksi raja-arvoa ei ole olemassa, jos $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{30}{x} - x + 1, &\text{ jos $\ x \leq 5$} \\[2mm] \sqrt{4x -4} - 2, &\text{ jos $\ x > 5$}. \end{cases} $$

Tulos ei riipu siitä, kummasta suunnasta kohtaa $x = 5$ lähestytään, joten ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 5} f(x)} = 2$.

Funktion jatkuvuus

Määritellään funktio $f$ seuraavasti: $$f(x) = \begin{cases} 0{,}5x^2 + x - 5, &\text{ jos $\ x \leq 2$} \\ 8x +1 + a, &\text{ jos $\ x > 2$}. \end{cases} $$

  1. Laske, mitä on $f(2)$.
  2. Päättele, mitä funktion arvot lähestyvät, jos lähestytään kohtaa $x = 2$ oikealta.
  3. Määritä vakiolle $a$ sellainen arvo, että funktio $f$ on jatkuva kohdassa $x = 2$.

  1. $f(2) = -1$.
  2. $17 + a$
  3. $a = -18$.

Funktion jatkuvuus

Määritä vakiolle $a$ sellainen arvo, että funktio $$f(x) = \begin{cases} x-1, &\text{ jos $\ x \leq a$} \\ x^2 -3, &\text{ jos $\ x > a$} \end{cases} $$ on jatkuva kaikkialla.

$a = -1$ tai $a = 2$

Jatkuvuus ja derivoituvuus

Päättele alla olevan kuvaajan avulla,

  1. onko välillä $[4,-4]$ jokin kohta, jossa funktio $f$ ei ole määritelty
  2. onko funktion $f$ määrittelyjoukossa jokin kohta, jossa funktio ei ole jatkuva
  3. onko funktion $f$ määrittelyjoukossa jokin kohta, jossa funktio ei ole derivoituva.

  1. Funktio $f$ ei ole määritelty kohdassa $x = 0$.
  2. Määrittelyjoukossaan funktio $f$ on jatkuva.
  3. Funktion $f$ määrittelyjoukossa on kaksi kohtaa, joissa funktio ei ole derivoituva: kohdat $x = -2$ ja $x = 2$.

Funktion jatkuvuus

Oletetaan, että funktio $f$ on määritelty ja jatkuva suljetulla välillä $[a,b]$. Tehtävänä on osoittaa, että funktio saa välillä $\pa a, b\pe$ ainakin kerran jokaisen arvon, joka on päätepistearvojen $f(a)$ ja $f(b)$ välissä.

Ohje: Oleta, että $f(a) < c < f(b)$ ja sovella Bolzanon lausetta funktioon $g(x) = f(x) - c$. Muista tarkistaa, että funktio $g$ toteuttaa Bolzanon lauseen ehdot, ks. teoreema 1.

Funktio $g$ on määritelty välillä $[a,b]$. Koska funktio $f$ on jatkuva ja funktio $g$ saadaan siitä vähentämällä vakio $c$, on myös funktio $g$ jatkuva (niiden kuvaajat ovat muuten identtiset mutta koordinaatistossa eri korkeudella). Lisäksi $g(a) = f(a)-c < 0$ ja $g(b) = f(b) - c > 0$, joten Bolzanon lauseen nojalla funktiolla $g$ on ainakin yksi nollakohta välillä $\pa a, b\pe$. Tästä seuraa, että funktiolla $f$ on välillä $\pa a, b\pe$ ainakin yksi kohta, jossa se saa arvon $c$. Tämä päättely toimii mille tahansa vakiolle $c$, jolle pätee $f(a) < c < f(b)$, joten funktio saa välillä $\pa a, b\pe$ ainakin kerran jokaisen arvon, joka on päätepistearvojen $f(a)$ ja $f(b)$ välissä.

Pisteen $(2,3)$ kautta kulkeva suora leikkaa positiivisen $x$-akselin pisteessä $A = (t,0)$ ja positiivisen $y$-akselin pisteessä $B$. Merkitään $C = (2,0)$ ja tarkastellaan kolmiota $ABC$.

  1. Piirrä tilanteesta kuva.
  2. Muodosta funktio $f(t)$, joka ilmaisee kolmion ABC pinta-alan.
  3. Määritä pinta-alan raja-arvo, kun piste $A$ lähestyy pistettä $C$.

  1. $f(t) = \dfrac{3t}{2}$
  2. Kun piste $A$ lähestyy pistettä $C$, niin $t \rightarrow 2$. Raja-arvo on $$ \lim_{t \rightarrow 2} f(t) = \lim_{t \rightarrow 2}\dfrac{3t}{2} = 3. $$

Polynomifunktio $f$ toteuttaa välillä $[0,2]$ ehdon $$ 0 < f(x) < 4. $$ Tehtävänä on osoittaa, että kyseisellä välillä on ainakin yksi kohta $a$, jossa $$f(a) = a^2.$$

  1. Onko funktio $f$ jatkuva välillä $[0,2]$?
    Vinkki: teoreema 2.
  2. Merkitään $g(x) = f(x) - x^2$. Onko funktio $g$ jatkuva välillä $[0,2]$?
  3. Mitä voit päätellä funktiosta $g$ Bolzanon lauseen avulla? Kertaa tarvittaessa teoreema 1 ja tutki, täyttääkö funktio sen ehdot.
  4. Miten perustelet alkuperäisen väitteen, että funktiolla $f$ on välillä $[0,2]$ ainakin yksi kohta $a$, jossa $f(a) = a^2$?

  1. Funktio $f$ on polynomifunktio, joten se on jatkuva kaikkialla.
  2. Myös $g$ on polynomifunktio, joten sekin on jatkuva kaikkialla.
  3. Bolzanon lauseen ehdot täyttyvät, joten funktiolla $g$ on ainakin yksi nollakohta välillä $\pa 0, 2 \pe$.
  4. Jos $g(x) = 0$, niin $f(x) = x^2$. Etsityksi kohdaksi $a$ kelpaa siis funktion $g$ nollakohta.

Oletetaan, että funktio $f \colon [0,5] \to \R$ on derivoituva, $f\left(\frac{1}{2}\right) = 1$ ja derivaatalle pätee $$ \frac{1}{4} \leq f'(x) \leq \frac{3}{4}. $$ Mitä voidaan päätellä funktion arvosta $f(3)$?
[Pitkä S2009/13]
Vinkki: Muista, että derivaatta kertoo funktion arvojen muutosnopeuden. Kuinka suuri $f(3)$ voi enintään olla? Miten suuri sen on vähintään oltava?

$\frac{13}{8} \leq f(3) \leq \frac{23}{8}$.

Funktion $f \color \R \to \R$ jakso on 2, toisin sanottuna $f(x+2) = f(x)$ kaikilla reaaliluvuilla $x$. Lisäksi on $$ f(x) = \begin{cases} 1+x, &\text{ kun $-1 \leq x \leq 0$}\\ 1-x, &\text{ kun $0 \leq x \leq 1$.} \end{cases} $$ Piirrä funktion $f$ kuvaaja. Missä pisteissä $f$ ei ole derivoituva?
Piirrä funktioiden $g$ ja $h$ kuvaajat, kun $g(x) = f(x+1)$ ja $h(x) = f(x) + f(x+1)$. Missä pisteissä nämä eivät ole derivoituvia?
[Pitkä S2004/9]

Funktion $f$ kuvaaja:

Funktio $f$ ei ole derivoituva sahalaidan kärkipisteissä eli kohdissa, joissa kuvaajan pisteiden $x$-koordinaatti on kokonaisluku.
Funktiolle $g$ pätee $g(0) = f(0+1) = f(1)$, $g(1) = f(1+1) = f(2)$ ja niin edelleen. Funktion $g$ kuvaaja:

Myöskään funktio $g$ ei ole derivoituva sahalaidan kärkipisteissä eli kohdissa, joissa kuvaajan pisteiden $x$-koordinaatti on kokonaisluku.
Funktion $h$ arvo on jokaisessa kohdassa funktioiden $f$ ja $g$ arvojen summa: $h(x) = f(x) + g(x)$. Funktion $h$ kuvaaja:

Funktio $h$ on vakiofunktio, joten se on derivoituva kaikkialla.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Rationaalifunktiot

Tämän luvun tavoitteena on, että käsittelet sujuvasti rationaalilausekkeita ja sovellat tätä taitoa rationaaliyhtälöiden ja -epäyhtälöiden ratkaisemiseen sekä rationaalifunktioiden tutkimiseen. Osaat

  • sieventää murto- ja rationaalilausekkeita
  • ratkaista rationaaliyhtälön ja -epäyhtälön
  • selvittää rationaalifunktion nollakohdat sekä kohdat, joissa rationaalifunktio ei ole määritelty
  • laatia rationaalifunktion merkkikaavion
  • tutkia, onko rationaalifunktiolla tietyssä kohdassa raja-arvo, ja määrittää raja-arvon, jos se on olemassa.

Murtolauseke tarkoittaa kahden polynomin osamäärää. Esimerkiksi lausekkeet $$\frac{4x-1}{7-x^2} \quad \text{ ja } \quad \frac{9}{y^3+5y}$$ ovat murtolausekkeita. Murtolausekkeita voidaan käsitellä samoilla säännöillä kuin murtolukuja. Tässä kappaleessa palautetaan mieleen murtolukujen laskusäännöt ja harjoitellaan soveltamaan niitä murtolausekkeisiin.

Murtolukuja ja -lausekkeita voidaan sieventää supistamalla. Supistaminen onnistuu, jos sekä osoittaja että nimittäjä voidaan muuttaa tulomuotoon ja niistä löytyy yhteinen tekijä: $$ \frac{30}{21} = \frac{3\cdot 10}{3\cdot 7} = \frac{10}{7} $$ Murtolausekkeiden tapauksessa tulomuotoon muuttaminen saattaa vaatia yhteisen tekijän erottamisen sekä osoittajassa että nimittäjässä: $$ \frac{8x+4}{6x^2+3x} = \frac{4(2x+1)}{3x(2x + 1)} = \frac{4}{3x} $$ Tässä osoittajan termeillä oli yhteinen tekijä $4$, ja nimittäjän termeillä oli yhteinen tekijä $3x$. Kun osoittaja ja nimittäjä kirjoitettiin tulomuotoon, nähtiin molemmissa tekijänä myös lauseke $2x+1$. Se voitiin supistaa pois.

Tehtävänä on supistaa murtolauseke $$\dfrac{18x + 30}{12x}$$

  1. Kirjoita osoittaja tulomuodossa erottamalla mahdollisimman suuri yhteinen tekijä.
  2. Nimittäjä on jo valmiiksi tulo. Onko osoittajassa ja nimittäjässä jokin yhteinen tekijä? Supista se pois. Tarkista, jäikö osoittajaan ja nimittäjään vielä jokin yhteinen tekijä ja supista tarvittaessa uudestaan.
  3. Miltä tehtävän murtolauseke näyttää, kun se on supistettu mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon?

  1. $6(3x+5)$
  2. Osoittajassa ja nimittäjässä on molemmissa tekijänä luku 6.
  3. $\dfrac{3x+5}{2x}$

Tehtävänä on supistaa murtolauseke $$\dfrac{4x-7x^2}{9x}$$

  1. Kirjoita osoittaja tulomuodossa erottamalla yhteinen tekijä.
  2. Nimittäjä on jo valmiiksi tulo. Onko osoittajassa ja nimittäjässä jokin yhteinen tekijä? Supista se pois. Tarkista, jäikö osoittajaan ja nimittäjään vielä jokin yhteinen tekijä ja supista tarvittaessa uudestaan.
  3. Miltä tehtävän murtolauseke näyttää, kun se on supistettu mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon?

  1. $x(4-7x)$
  2. Osoittajassa ja nimittäjässä on molemmissa tekijänä $x$.
  3. $\dfrac{4-7x}{9}$

Tehtävänä on supistaa murtolauseke $$\dfrac{4x+2}{14x + 7}$$

  1. Kirjoita osoittaja tulomuodossa erottamalla mahdollisimman suuri yhteinen tekijä.
  2. Kirjoita nimittäjä tulomuodossa erottamalla mahdollisimman suuri yhteinen tekijä.
  3. Onko osoittajassa ja nimittäjässä jokin yhteinen tekijä? Supista se pois. Tarkista, jäikö osoittajaan ja nimittäjään vielä jokin yhteinen tekijä ja supista tarvittaessa uudestaan.
  4. Miltä tehtävän murtolauseke näyttää, kun se on supistettu mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon?

  1. $2(2x+1)$
  2. $7(2x+1)$
  3. Osoittajassa ja nimittäjässä on molemmissa tekijänä $2x+1$.
  4. $\dfrac{2}{7}$

Murtolukujen tapauksessa luvun ja sen vastaluvun osamäärä on helppo tunnistaa. Esimerkiksi $$\frac{\phantom{-}3}{-3} = -1.$$ Murtolausekkeiden tapauksessa vastaava tilanne voi näyttää esimerkiksi tältä: $$ \frac{x-8}{8-x} $$ Osoittajaa sieventämällä nähdään, että se on nimittäjän vastalauseke: \begin{align*} x-8 &= -8 + x \\ &=-1 \cdot (8-x). \end{align*} Osoittaja ja nimittäjä voidaan muuttaa tulomuotoon ja sen jälkeen supistaa yhteinen tekijä pois: $$ \frac{x-8}{8-x} = \frac{-1 \cdot (8-x)}{\phantom{-}1 \cdot (8-x)} = \frac{-1}{\phantom{-}1} = -1 $$

Kirjoita tässäkin tehtävässä kaikki välivaiheet huolellisesti näkyviin. Muista muuttaa osoittaja ja nimittäjä tulomuotoon ennen supistamista.

  1. Supista murtolauseke $$\dfrac{6-x}{x-6}$$
  2. Supista murtolauseke $$\dfrac{\phantom{-}5x+4}{-5x-4}$$

  1. $-1$
  2. $-1$

MAA2-kurssilla johdetut summan ja erotuksen tulon sekä binomien neliöiden muistikaavat ovat välillä tarpeen murtolausekkeiden supistamisessa.

Tehtävänä on supistaa murtolauseke $$\dfrac{x^2-25}{9x + 45}$$

  1. Kirjoita osoittaja tulomuodossa sopivan muistikaavan avulla. Kertaa tarvittaessa muistikaavat MAA2-kurssin luvun 3 teoreemasta 3.
  2. Kirjoita nimittäjä tulomuodossa erottamalla mahdollisimman suuri yhteinen tekijä.
  3. Onko osoittajassa ja nimittäjässä jokin yhteinen tekijä? Supista se pois. Tarkista, jäikö osoittajaan ja nimittäjään vielä jokin yhteinen tekijä ja supista tarvittaessa uudestaan.
  4. Miltä tehtävän murtolauseke näyttää, kun se on supistettu mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon?

  1. $(x+5)(x-5)$
  2. $9(x+5)$
  3. Osoittajassa ja nimittäjässä on molemmissa tekijänä $x+5$.
  4. $\dfrac{x-5}{9}$

Ennen yhteen- ja vähennyslaskuja murtoluvut täytyy laventaa samannimisiksi. Laventaminen tarkoittaa, että osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla. Tällöin murtoluvusta tulee eri näköinen mutta sen suuruus ei muutu. Esimerkiksi $$ \frac{1}{2} = \frac{6\cdot 1}{6 \cdot 2} = \frac{6}{12}. $$ Kun kaksi murtolukua lavennetaan samannimisiksi, yksi varma keino on laventaa ne toistensa nimittäjillä seuraavaan tapaan: \begin{align*} \frac{4}{\textcolor{blue}{5}} - \frac{3}{\textcolor{red}{7}} &= \frac{\textcolor{red}{7}\cdot 4}{\textcolor{red}{7}\cdot \textcolor{blue}{5}} - \frac{\textcolor{blue}{5}\cdot 3}{\textcolor{blue}{5}\cdot \textcolor{red}{7}} \\[2mm] &= \frac{28}{35} - \frac{15}{35} \\[2mm] &= \frac{28-15}{35} \\[2mm] &= \frac{13}{35} \end{align*} Lavennuksen jälkeen osoittajat voitiin yhdistää. Lopuksi vielä tarkistetaan, voiko tulosta supistaa. Tällä kertaa supistaminen ei onnistu, koska osoittajalla ja nimittäjällä ei ole yhteisiä tekijöitä.

Tehtävänä on sieventää summa $$\dfrac{x+2}{x} + \dfrac{5x}{x+1}$$

  1. Lavenna yhteenlaskettavat samannimisiksi.
  2. Muodosta ja sievennä osoittajien summa. Jätä lausekkeiden yhteinen nimittäjä tulomuotoon.
  3. Miltä vastaus näyttää, kun se on sievennetty mahdollisimman pitkälle?

  1. $\dfrac{(x+1)(x+2)}{(x+1)x} + \dfrac{x\cdot 5x}{x(x+1)}$
  2. $\dfrac{6x^2 + 3x + 2}{x(x+1)}$

Murtolausekkeiden vähennyslaskussa on tärkeää huomata, että lausekkeiden välissä oleva miinusmerkki vaikuttaa sen perässä olevan murtolausekkeen koko osoittajaan. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{1+x}{x^2} \textcolor{red}{-} \frac{\textcolor{blue}{4-x}}{x^2} &= \frac{1+x \textcolor{red}{-} \textcolor{blue}{(4-x)}}{x^2} \\[2mm] &= \frac{1+x \textcolor{red}{-} \textcolor{blue}{4}\textcolor{red}{+} \textcolor{blue}{x}}{x^2} \\[2mm] &= \frac{2x-3}{x^2} \end{align*}

Tehtävänä on sieventää erotus $$\dfrac{x-1}{x+2} - \dfrac{3x-7}{4x + 8}$$

  1. Lavenna murtolausekkeet samannimisiksi. Pystytkö tekemään tämän laventamalla vain ensimmäistä murtolauseketta?
  2. Muodosta ja sievennä osoittajien erotus.
  3. Miltä vastaus näyttää, kun se on sievennetty mahdollisimman pitkälle?

  1. $\dfrac{4(x-1)}{4(x+2)} - \dfrac{3x-7}{4x +8}$
  2. $\dfrac{x+3}{4x+8}$

Murtolukujen kerto- ja jakolaskussa laventamista ei tarvitse tehdä. Kertolaskussa osoittajat kerrotaan keskenään ja nimittäjät kerrotaan keskenään. Esimerkiksi $$ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1\cdot 3}{2\cdot 5} = \frac{3}{10} $$ Usein kannattaa jo välivaiheessa tarkistaa, onko supistaminen mahdollista. Esimerkiksi $$ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1\cdot 4}{2\cdot 5} = \frac{2\cdot 2}{2\cdot 5} = \frac{2}{5} $$ Murtolausekkeiden kertolasku voidaan tehdä samaan tapaan kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Ennen sulkujen avaamista kannattaa tarkistaa, onko osoittajassa ja nimittäjässä yhteisiä tekijöitä, jotka voisi supistaa pois. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{x^2+x}{6x-9} \cdot \frac{3x}{x+1} &= \frac{(x^2+x) \cdot 3x}{(6x-9)(x+1)} \\[2mm] &= \frac{x\textcolor{blue}{(x+1)} \cdot \textcolor{red}{3}x}{\textcolor{red}{3}(2x-3)\textcolor{blue}{(x+1)}} \\[2mm] &= \frac{x\cdot x}{2x-3} \\[2mm] &= \frac{x^2}{2x-3} \end{align*}

Tehtävänä on sieventää tulo $$\dfrac{12x^2}{5x+15} \cdot \dfrac{10-25x}{4x}$$

  1. Kerro osoittajat ja nimittäjät keskenään mutta älä avaa vielä sulkuja.
  2. Mieti, onko osoittajassa ja nimittäjässä yhteisiä tekijöitä, jotka voisi supistaa pois. Tee kaikki mahdolliset supistukset.
  3. Miltä vastaus näyttää, kun se on sievennetty mahdollisimman pitkälle?

  1. $\dfrac{12x^2(10-25x)}{(5x+15)4x}$
  2. Yhteisiä tekijöitä $5$ ja $4x$.
  3. $\dfrac{6x-15x^2}{x+3}$

Jakolasku saadaan suoritettua, kun kerrotaan jakajan käänteisluvulla. Esimerkiksi $10 : 2 = 5$ ja samaan tulokseen päästään myös kertomalla jakajan käänteisluvulla: $$ 10 \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{2} = 5. $$ Murtolausekkeiden tapauksessa kannattaa jälleen tehdä mahdolliset supistukset jo ennen sulkujen avaamista. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{x^2+x}{x-1} : \textcolor{red}{\frac{x}{x^2-1}} &= \frac{x^2+x}{x-1} \cdot \textcolor{red}{\frac{x^2-1}{x}} \\[2mm] &= \frac{\textcolor{purple}{(x^2+x)}\textcolor{blue}{(x^2-1)}}{(x-1)x} \\[2mm] &= \frac{\textcolor{purple}{x(x+1)}\textcolor{blue}{(x-1)(x+1)}}{(x-1)x} \\[2mm] &= \frac{(x+1)(x+1)}{1} \\[2mm] &= (x+1)^2. \end{align*} Tässä käytettiin MAA2-kurssin luvun 3 teoreeman 3 summan ja erotuksen tulon kaavaa, jonka mukaan $$\textcolor{blue}{(x+1)(x-1) = x^2-1}.$$

Tehtävänä on sieventää osamäärä $$\dfrac{3x^2-3x}{2x+8} : \dfrac{6x-6}{x^2-16}$$

  1. Muuta jakolasku kertolaskuksi ja sievennä, mutta älä avaa vielä sulkuja.
  2. Mieti, onko osoittajassa ja nimittäjässä yhteisiä tekijöitä, jotka voisi supistaa pois. Tee kaikki mahdolliset supistukset.
  3. Miltä vastaus näyttää, kun se on sievennetty mahdollisimman pitkälle?

  1. $\dfrac{(3x^2-3x)(x^2-16)}{(2x+8)(6x-6)}$
  2. Yhteisiä tekijöitä $3$, $x-1$ ja $x+4$. Huom. MAA2-kurssin luvun 3 teoreemasta 3 on apua.
  3. $\dfrac{x^2-4x}{4}$

Rationaalilauseke tarkoittaa polynomien ja murtolausekkeiden summaa. Myös pelkät polynomit ja pelkät murtolausekkeet luetaan mukaan rationaalilausekkeisiin. Rationaalilausekkeita ovat siis esimerkiksi \begin{align*} \frac{3x+13}{x^2} + 7x^3 - 2 \\[2mm] 6x^4-\frac{7}{9}x + 1 \\[2mm] \frac{1}{x} \end{align*} Kun rationaalilausekkeita sievennetään, voidaan käyttää murtolausekkeiden laskusääntöjä. Esimerkiksi \begin{align*} &\phantom{={}}\left(\frac{25}{x} - x\right) : (x+5) \\[2mm] &= \left(\frac{25}{x} - \frac{x^2}{x}\right) : (x+5) \\[2mm] &= \frac{25-x^2}{x} : (x+5) \\[2mm] &= \frac{25-x^2}{x} \cdot \frac{1}{x+5} \end{align*} Huomaa, että tässä jaettava sievennettiin ensin yhdeksi murtolausekkeeksi.

Sievennä loppuun edellisen esimerkin lauseke $$ \frac{25-x^2}{x} \cdot \frac{1}{x+5} $$

$\dfrac{5-x}{x}$
Vinkki: summan ja erotuksen tulo.

Sievennä rationaalilauseke $$ \left(\frac{1}{2a+1} + \frac{1}{2a-1}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{4a^2}\right) $$

$\dfrac{1}{a}$

Tässä kappaleessa tutustutaan niin sanottuihin rationaalifunktioihin. Ne ovat funktioita, jotka on määritelty jonkin rationaalilausekkeen avulla. Esimerkiksi $$ f(x) = 4-\frac{3}{5}x^2 + \frac{6x}{x^2-2} $$ on rationaalifunktio.

Alla on näkyvissä rationaalifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = \dfrac{8x}{1+2x^2} \ $
$\ g(x) = \dfrac{1}{x-2} \ $
$\ h(x) = \dfrac{3}{1+x^2} \ $
$\ k(x) = \dfrac{1}{x} \ $


Funktion $f$ kuvaaja on B.
Funtktion $g$ kuvaaja on A.
Funtktion $h$ kuvaaja on D.
Funtktion $g$ kuvaaja on C.

Alla on näkyvissä funktion $$f(x) = \frac{x+2}{3x-3}$$ kuvaaja.

  1. Missä kohdassa funktio $f$ ei ole määritelty? Miten tämä kohta näkyy funktion $f$ kuvaajassa?
  2. Miten voit funktion $f$ lausekkeen avulla selvittää, missä kohdassa funktio $f$ ei ole määritelty?
  3. Onko funktiolla $f$ nollakohtia? Miten ne näkyvät funktion $f$ kuvaajassa?
  4. Miten voit funktion $f$ lausekkeen avulla selvittää, onko funktiolla $f$ nollakohtia?
  5. Millä lukusuoran väleillä funktio $f$ saa positiivisia arvoja?
  6. Millä lukusuoran väleillä funktio $f$ saa negatiivisia arvoja?
  7. Missä kohdissa funktion arvojen merkki vaihtuu positiivisesta negatiiviseksi tai päinvastoin?

  1. Funktio $f$ ei ole määritelty kohdassa $x = 1$.
  2. Funktio $f$ ei ole määritelty nimittäjän nollakohdissa, sillä nollalla jakamisen tulosta ei ole määritelty.
  3. Funktiolla $f$ on nollakohta $x = -2$.
  4. Ratkaisemalla osoittajan nollakohdat, tässä tapauksessa siis yhtälön $x + 2 = 0$.
  5. Väleillä $\pa -\infty, -2 \pe$ ja $\pa 1, \infty \pe$.
  6. Välillä $\pa -2,1\pe$.
  7. Funktion nollakohdassa ja kohdassa, jossa funktio ei ole määritelty.

Koska nollalla jakamista ei ole määritelty, rationaalifunktio ei ole määritelty kohdissa, joissa jokin siinä esiintyvistä nimittäjistä saa arvon nolla.

Tutkitaan funktiota $$f(x) = \frac{6x}{x-5} + \frac{3}{x+4}.$$

  1. Missä kohdissa funktio $f$ ei ole määritelty?
  2. Ratkaise funktion $f$ nollakohdat. Aloita esimerkiksi sieventämällä funktion lauseke yhdeksi murtolausekkeeksi.
  3. Tarkista vastauksesi piirtämällä funktion $f$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella.

  1. Funktio $f$ ei ole määritelty kohdissa $x = 5$ ja $x = -4$.
  2. Funktiolla $f$ on nollakohdat $x = -5$ ja $x = \frac{1}{2}$.

Kun tutkitaan, missä kohdassa jokin rationaalifunktio saa tietyn arvon, päädytään ratkaisemaan niin sanottu rationaaliyhtälö. Esimerkiksi rationaalifunktion $f$ nollakohdat voidaan löytää ratkaisemalla yhtälö $f(x) = 0$.

Rationaaliyhtälöiden ratkaisussa ensimmäinen tavoite on päästä eroon nimittäjistä. Tämä voidaan tehdä ainakin kahdella tavalla:

  1. Kerrotaan yhtälön kumpikin puoli kaikkien yhtälössä esiintyvien nimittäjien tulolla, jolloin nimittäjät voidaan supistaa pois.
  2. Muokataan yhtälön kumpikin puoli samannimisiksi murtolausekkeiksi sopivasti laventamalla. Tällöin voidaan päätellä, että yhtälö toteutuu, jos ja vain jos osoittajat ovat yhtä suuria.

Esimerkiksi yhtälön $$\frac{x}{2-x} + 1 = \frac{3}{x}$$ nimittäjistä voidaan hankkiutua eroon kummalla tahansa tavalla. Ennen ratkaisua kannattaa kuitenkin huomata, että yhtälö ei ole määritelty nimittäjien nollakohdissa eli jos $x = 2$ tai $x = 0$. Nämä luvut eivät siis missään tapauksessa kelpaa yhtälön ratkaisuksi.

  1. tapa: Yhtälössä esiintyvät nimittäjät $2-x$ ja $x$, joten kerrotaan yhtälön molemmat puolet tulolla $x(2-x)$ ja tehdään mahdolliset supistukset sen jälkeen: \begin{align*} \frac{x}{2-x} + 1 &= \frac{3}{x} \\[2mm] \frac{x\cdot \textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(2-x)}}{2-x} + \textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(2-x)} &= \frac{3\textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(2-x)}}{x} \\[2mm] x^2 + x(2-x) &= 3(2-x) \end{align*}
  2. tapa: Muokataan yhtälön kumpikin puoli samannimisiksi murtolausekkeiksi sopivasti laventamalla. \begin{align*} \frac{x}{2-x} + 1 &= \frac{3}{x} \\[2mm] \frac{x\cdot \textcolor{blue}{x}}{\textcolor{blue}{x}(2-x)} + \frac{\textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(2-x)}}{\textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(2-x)}} &= \frac{3\textcolor{red}{(2-x)}}{x\textcolor{red}{(2-x)}} \\[2mm] \frac{x^2 + x(2-x)}{x(2-x)} &= \frac{3(2-x)}{x(2-x)} \end{align*} Tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos osoittajat ovat yhtä suuria eli $$x^2 + x(2-x) = 3(2-x)$$

Kun nimittäjistä on päästy eroon tavalla tai toisella, voidaan yhtälön ratkaisemista jatkaa normaalisti: \begin{align*} x^2 + x(2-x) &= 3(2-x) \\ x^2 + 2x - x^2 &= 6-3x \\ 5x &= 6 \\ x &= \frac{6}{5} \end{align*} Lopuksi tarkistetaan, että kysymyksessä todella on alkuperäisen yhtälön ratkaisu. Tämä voidaan tehdä sijoittamalla ratkaisuehdokas alkuperäiseen yhtälöön tai tarkistamalla, ettei kysymyksessä ole minkään yhtälössä esiintyvän nimittäjän nollakohta. Tässä tarkastellun yhtälön nimittäjien nollakohdat ovat $x = 0$ ja $x = 2$, joten $x = \frac{6}{5}$ todella on yhtälön ratkaisu. (Sijoittamalla havaitaan, että jos $x = \frac{6}{5}$, niin yhtälön vasen ja oikea puoli saavat kumpikin arvon $\frac{5}{2}$.)

Vertaile kahta edellä esitettyä tapaa, joilla rationaaliyhtälö saadaan muokattua tavalliseksi polynomiyhtälöksi.

  1. Mitä eroa näissä tavoissa on?
  2. Mitä yhteistä näissä tavoissa on?
  3. Kumpi näistä tavoista tuntuu itsellesi luontevammalta? Miksi?

Tehtävänä on ratkaista rationaaliyhtälö $$\frac{x}{1-x} + 4 = \frac{2}{3-x}$$

  1. Millä muuttujan arvoilla yhtälö ei ole määritelty?
  2. Poista yhtälöstä nimittäjät. Käytä jompaa kumpaa edellä esitetyistä tavoista. Millaiseen polynomiyhtälöön päädyt?
  3. Ratkaise polynomiyhtälö. Ovatko sen ratkaisut alkuperäisen yhtälön ratkaisuja?

  1. Arvoilla $x = 1$ ja $x = 3$.
  2. Yhtälöön $3x-x^2 + 4(1-x)(3-x) = 2-2x$.
  3. Alkuperäinen yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \frac{5}{3}$ tai $x = 2$.

Edellisessä kappaleessa harjoiteltiin rationaaliyhtälöiden ratkaisemista. Esimerkiksi yhtälö $$ \frac{2}{x-1} = 4 $$ voidaan ratkaista kertomalla sen molemmat puolet nimittäjällä $x-1$, jolloin yhtälö saa muodon $$ 2 = 4(x-1). $$ Vastaava tekniikka ei kuitenkaan toimi rationaaliepäyhtälöiden ratkaisemisessa, sillä epäyhtälömerkin käyttäytyminen riippuu siitä, kerrotaanko epäyhtälöä positiivisella vai negatiisivisella luvulla. Esimerkiksi \begin{align*} 1 &< 2 \quad \mid \ \cdot 3 \\ 3 &< 6 \end{align*} mutta \begin{align*} 1 &< 2 \quad \mid \ \cdot (-7) \\ -7 &> -14. \end{align*} Jos epäyhtälö $$ \frac{2}{x-1} > 4 $$ yritetään ratkaista samalla tavalla kuin vastaava yhtälö eli kertomalla sen molemmat puolet nimittäjällä $x-1$, päädytään hankalaan tilanteeseen, koska lausekkeen $x-1$ merkki riippuu muuttujan $x$ arvosta ja vaikuttaa myös epäyhtälömerkin käyttäytymiseen. Tässä kappaleessa opitaan ratkaisemaan rationaaliepäyhtälöt tavalla, johon ei tällaisia ongelmia liity. Menetelmä perustuu rationaalifunktioiden arvojen merkin tutkimiseen.

Tarkastellaan aluksi rationaalifunktion $$ f(x) = \frac{x+2}{3x-3} $$ kuvaajaa:

Kuvaajasta nähdään, että funktion arvojen merkki vaihtuu nollakohdassa $x = -2$ ja kohdassa $x = 1$, jossa funktio ei ole määritelty. On mahdollista osoittaa, että kysymyksessä ei ole sattuma:

TEOREEMA

Jos rationaalifunktion $f$ arvot $f(a)$ ja $f(b)$ ovat erimerkkiset, niin funktiolla on välillä $\pa a, b \pe$ (ainakin yksi) nollakohta tai kohta, jossa funktio ei ole määritelty.

Perustelu pohjautuu Bolzanon lauseeseen sekä tietoon siitä, että rationaalifunktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukossaan.

Teoreemasta 3 seuraa, että rationaalifunktion arvojen merkki voi vaihtua vain funktion nollakohdissa sekä kohdissa, joissa funktio ei ole määritelty. Nämä kohdat täytyy siis ottaa huomioon, kun tutkitaan rationaalifunktion merkkiä.

Tarkastellaan esimerkiksi funktiota $$ g(x) = \frac{6x-8}{12x + 15}. $$ Ratkaistaan aluksi funktion $g$ nollakohdat. Huomaa, että osamäärä on nolla täsmälleen siinä tapauksessa, että osoittaja on nolla: \begin{align*} g(x) &= 0 \\[2mm] \frac{6x - 8}{12x + 15} &= 0 \\[2mm] 6x - 8 &= 0 \\[2mm] 6x &= 8 \\[2mm] x &= \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \end{align*} Ratkaistaan myös nimittäjän nollakohdat eli kohdat, joissa funktio $g$ ei ole määritelty: \begin{align*} 12x + 15 &= 0 \\[2mm] 12x &= -15 \\[2mm] x &= -\frac{15}{12} = -\frac{5}{4} \end{align*} Laaditaan funktion merkkikaavio, johon merkitään funktion nollakohdat ja kohdat, joissa funktio ei ole määritelty.

Valitaan jokaiselta merkkikaavion väliltä jokin kohta ja lasketaan funktion arvo tässä kohdassa. Esimerkiksi \begin{align*} g(-2) &= \frac{-12-8}{-24 + 15} = \frac{-20}{-9} = \frac{20}{9} \\[2mm] g(0) &= \frac{0-8}{0+15} = -\frac{8}{15} \\[2mm] g(2) &= \frac{12-8}{24 + 15} = \frac{4}{39} \end{align*} Täydennetään tiedot funktion arvojen merkistä merkkikaavioon:
Funktio $g$ saa siis positiivisia arvoja lukusuoran väleillä $\pa -\infty, -\frac{5}{4} \pe$ ja $\pa \frac{4}{3}, \infty \pe$ ja negatiivisia arvoja lukusuoran välillä $\pa -\frac{5}{4}, \frac{4}{3} \pe$.

Tehtävänä on selvittää, millä väleillä funktio $$ f(x) = \frac{6-2x}{2x+1} $$ saa positiivisia arvoja ja millä negatiivisia.

  1. Määritä funktion $f$ nollakohdat.
  2. Määritä ne kohdat, joissa funktio $f$ ei ole määritelty.
  3. Laadi funktion $f$ merkkikaavio. Millä väleillä funktio $f$ saa positiivisia arvoja ja millä negatiivisia?
  4. Tarkista vastauksesi piirtämällä funktion $f$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella.

  1. $x = 3$
  2. $x = -\frac{1}{2}$

Rationaaliepäyhtälön ratkaisemisessa ensimmäinen askel on palauttaa tilanne rationaalifunktion merkin tarkasteluun. Käytännössä epäyhtälöä muokataan niin, että sen toiselle puolelle jää nolla. Esimerkiksi epäyhtälö $$ \frac{x}{x+1} < \frac{1}{2-x} $$ muutetaan aluksi muotoon $$ \frac{x}{x+1} - \frac{1}{2-x} < 0. $$ Epäyhtälön ratkaisut löydetään, kun tutkitaan, millä väleillä vastaavan rationaalifunktion $$ f(x) = \frac{x}{x+1} - \frac{1}{2-x} $$ arvot ovat negatiivisia.

Kohdat, joissa funktio $f$ ei ole määritelty, ovat nimittäjien nollakohdat $x = -1$ ja $x = 2$. Ratkaistaan vielä funktion $f$ nollakohdat. Käytetään edellisessä kappaleessa harjoiteltua tapaa 1: \begin{align*} f(x) &= 0 \\[2mm] \frac{x}{x+1} - \frac{1}{2-x} &= 0 \\[2mm] \frac{x}{x+1} &= \frac{1}{2-x} \\[2mm] \frac{x\textcolor{blue}{(x+1)}\textcolor{red}{(2-x)}}{x+1} &= \frac{\textcolor{blue}{(x+1)}\textcolor{red}{(2-x)}}{2-x} \\[2mm] x(2-x) &= x+1 \\[2mm] 2x - x^2 &= x + 1 \\[2mm] -x^2 + x - 1 &= 0 \end{align*} Tämän toisen asteen yhtälön diskriminantti on negatiivinen: \begin{align*} D &= 1^2 - 4\cdot (-1)\cdot (-1) \\ &= 1-4 = -3. \end{align*} Yhtälöllä ei siten ole yhtään ratkaisua (MAA 2, teoreema 6). Tämä näkyy käytännössä myös siitä, että toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa juurrettava on negatiivinen.

Funktiolla $f$ ei siis ole nollakohtia, joten merkitään merkkikaavioon vain kohdat, joissa funktio ei ole määritelty.

Valitaan jokaiselta merkkikaavion väliltä jokin kohta ja lasketaan funktion arvo tässä kohdassa. Esimerkiksi \begin{align*} f(-2) &= \frac{-2}{-1} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \\[2mm] f(0) &= 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \\[2mm] f(3) &= \frac{3}{4} - \frac{1}{-1}= \frac{7}{4} \end{align*} Täydennetään tiedot funktion arvojen merkistä merkkikaavioon:

Alkuperäinen epäyhtälö toteutuu, jos ja vain jos funktion $f$ arvot ovat negatiivisia. Epäyhtälö $$ \frac{x}{x+1} < \frac{1}{2-x} $$ siis toteutuu, jos ja vain jos $-1 < x < 2$.

Tehtävänä on ratkaista epäyhtälö $$ \frac{x-5}{x+3} \geq 2. $$

  1. Muokkaa epäyhtälöä niin, että sen oikealle puolelle jää nolla.
  2. Millaisen rationaalifunktion merkkiä tutkimalla löydät alkuperäisen epäyhtälön ratkaisut? Laadi tämän funktion merkkikaavio.
  3. Millä muuttujan arvoilla alkuperäinen epäyhtälö toteutuu?
  4. Harjoittele teknisen apuvälineen käyttöä rationaalifunktioiden, -yhtälöiden ja -epäyhtälöiden tutkimisessa. Katso Texas Nspiren ohjevideo halutessasi täältä ja käytä oppimaasi tämän tehtävän ratkaisemiseen tai tarkistamiseen.

  1. $\dfrac{x-5}{x+3} - 2 \geq 0$
  2. $f(x) = \dfrac{x-5}{x+3} - 2$
  3. $-11 \leq x < -3$ (huom. kohdassa $x = -3$ epäyhtälön vasen puoli ei ole määritelty).

Edellisessä luvussa tutustuttiin funktion raja-arvon käsitteeseen. Tässä kappaleessa tutkitaan tarkemmin rationaalifunktioiden raja-arvoja.

Alla on näkyvissä osa funktion $$f(x) = \frac{1}{x+1}$$ kuvaajasta.

  1. Missä kohdassa funktio $f$ ei ole määritelty?
  2. Onko funktiolla $f$ raja-arvo kohdassa
    • $x = -2$
    • $x = -1$
    • $x = 0$?
    Kertaa tarvittaessa raja-arvon määritelmä edellisestä luvusta.
  3. Jos b-kohdassa raja-arvo on olemassa, mikä se on? Käytä vastausten ilmoittamiseen merkintätapaa $$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = b.$$

  1. Funktio ei ole määritelty kohdassa $x = -1$.
  2. Funktiolla $f$ on raja-arvo kohdissa $x = -2$ ja $x = 0$. Funktiolla $f$ ei ole raja-arvoa kohdassa $x = -1$.
  3. Raja-arvot ovat seuraavat: \begin{align*} \lim_{x \rightarrow -2} f(x) &= -1 \\[1mm] \lim_{x \rightarrow 0} f(x) &= 1 \end{align*}

Alla on näkyvissä osa funktion $$g(x) = \frac{x^2-1}{2x-2}$$ kuvaajasta.

  1. Missä kohdassa funktio $g$ ei ole määritelty?
  2. Onko funktiolla $g$ raja-arvo kohdassa
    • $x = -1$
    • $x = 1$
    • $x = 3$?
  3. Jos b-kohdassa raja-arvo on olemassa, mikä se on? Käytä vastausten ilmoittamiseen merkintätapaa $$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = b.$$

  1. Funktio ei ole määritelty kohdassa $x = 1$.
  2. Funktiolla $f$ on raja-arvo kaikissa mainituissa kohdissa.
  3. Raja-arvot ovat seuraavat: \begin{align*} \lim_{x \rightarrow -1} f(x) &= 0 \\[1mm] \lim_{x \rightarrow 1} f(x) &= 1 \\[1mm] \lim_{x \rightarrow 3} f(x) &= 2 \end{align*}

Edellisistä tehtävistä havaitaan, että raja-arvon olemassaolon kannalta kriittisimpiä ovat ne kohdat, joissa rationaalifunktio ei ole määritelty. Jos funktiolla on tällaisessa kohdassa raja-arvo, voidaan se löytää supistamalla funktion lauseketta. Esimerkiksi edellisen tehtävän funktio $$g(x) = \frac{x^2-1}{2x-2}$$ ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa $x = 1$. Lauseketta voidaan kuitenkin supistaa niin, että raja-arvo voidaan määrittää: \begin{align*} \frac{x^2-1}{2x-2} &= \frac{(x+1)(x-1)}{2(x-1)} \\[2mm] &= \frac{x+1}{2} \xrightarrow[x \rightarrow 1]{} \frac{1+1}{2} = 1 \end{align*} Tässä osoittaja ja nimittäjä muokattiin ensin tulomuotoon. Supistamisen jälkeen tutkittiin, mitä lausekkeelle tapahtuu, kun lähestytään kohtaa $x = 1$.

Alla on näkyvissä osa funktion $$h(x) = \frac{3x}{x^2-4x}$$ kuvaajasta.

  1. Missä kohdissa funktio $h$ ei ole määritelty?
  2. Onko funktiolla $h$ raja-arvo kohdassa
    • $x = 0$
    • $x = 4$?
  3. Jos b-kohdassa raja-arvo on olemassa, mikä se on? Muokkaa funktion lauseketta niin, että supistaminen on mahdollista, ja määritä tarkka raja-arvo samaan tapaan kuin edellä tehtiin.

  1. Funktio ei ole määritelty kohdissa $x = 0$ ja $x = 4$.
  2. Funktiolla $f$ on raja-arvo kohdassa $x = 0$. Funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa $x = 4$.
  3. \begin{align*} \frac{3x}{x^2-4x} &= \frac{3x}{x(x-4)} \\[2mm] &= \frac{3}{x-4} \xrightarrow[x \rightarrow 0]{} \frac{\phantom{-}3}{-4} = -\frac{3}{4}. \end{align*}

Jos rationaalifunktio on määritelty tarkastelukohdassa, saadaan raja-arvo selvitettyä ilman supistamista. Esimerkiksi $$\frac{3x}{x^2-4x} \xrightarrow[x \rightarrow 7]{} \frac{3\cdot 7}{7^2 - 4\cdot 7} = \frac{21}{21} = 1,$$ joten edellisen tehtävän funktiolle $$h(x) = \frac{3x}{x^2-4x}$$ pätee $$\lim_{x\rightarrow 7} h(x) = 1.$$ Tämä itse asiassa tarkoittaa, että funktion $h$ raja-arvo kohdassa $x = 7$ on sama kuin funktion arvo kohdassa $x = 7$: $$\lim_{x\rightarrow 7} h(x) = h(7).$$ Luvussa 2 esitetty jatkuvuuden määritelmän ehto siis toteutuu, joten funktio $h$ on jatkuva kohdassa $x = 7$.

On mahdollista osoittaa, että vastaava ilmiö koskee kaikkia rationaalifunktioita:

TEOREEMA

Rationaalifunktio on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.

Teoreeman 4 mukaan rationaalifunktion raja-arvo on sama kuin funktion arvo kaikissa kohdissa, joissa funktio on määritelty. Erityistä tarkastelua vaativat vain nimittäjän nollakohdat, joissa funktio ei ole määritelty.

Tutki, onko funktiolla $$f(x) = \frac{x^3-3x^2}{x-3}$$ raja-arvo kohdassa

  1. $x = -5$
  2. $x = 3$
  3. $x = 11$.

  1. ${\displaystyle\lim_{x\rightarrow -5} f(x) = 25}$.
  2. ${\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3} f(x) = 9}$.
    (Osoittajassa ja nimittäjässä on tekijänä $x-3$, joten sen voi supistaa pois.)
  3. ${\displaystyle\lim_{x\rightarrow 11} f(x) = 121}$.

Tutkitaan seuraavaksi funktiota $$g(x) = \frac{x^2-16}{x^2 - 8x + 16}$$ kohdassa $x = 4$.

Havaitaan, että kohdassa $x = 4$ nimittäjä saa arvon nolla, joten funktio $g$ ei ole määritelty. Muistikaavojen \begin{align*} (a+b)(a-b) &= a^2 + b^2 \quad \text{ ja}\\ (a-b)^2 &= a^2 -2ab + b^2 \end{align*} avulla funktion laukseke saadaan muotoon, jossa supistaminen on mahdollista: \begin{align*} \frac{x^2-16}{x^2 - 8x + 16} &= \frac{(x+4)(x-4)}{(x-4)^2} \\[2mm] &= \frac{x+4}{x-4} \end{align*} Huomataan, että tulos ole määritelty kohdassa $x = 4$, vaikka kaikki mahdolliset supistukset on tehty. Tällaisessa tilanteessa funktiolla ei ole raja-arvoa, vaan funktion arvot kasvavat tai pienenevät rajatta tarkastelukohdan läheisyydessä.

Tutki, onko funktiolla $$f(x) = \frac{x^2-4}{4x^2-8x}$$ raja-arvo kohdassa

  1. $x = -1$
  2. $x = 0$
  3. $x = 2$
  4. $x = 5$.
  5. Katso tästä ohjevideo, miten raja-arvoja voi laskea Texas Nspirellä, ja tarkista aiemmat kohdat teknisellä apuvälineellä.

  1. ${\displaystyle\lim_{x\rightarrow -1} f(x) = -\frac{1}{4}}$.
  2. Raja-arvoa ei ole olemassa. Funktion lauseke supistuu muotoon $\frac{x+2}{4x}$, joka ei ole määritelty kohdassa $x = 0$. Pidemmälle sitä ei voi supistaa.
  3. ${\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2} f(x) = \frac{1}{2}}$.
  4. ${\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5} f(x) = \frac{7}{20}}$.

Rationaaliyhtälö

Ratkaise yhtälö

  1. $\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{x-1}{x} = 2$
  2. $\dfrac{x}{x-1} = 1 - \dfrac{1}{1-x}$

  1. $x = -\frac{1}{2}$
  2. $x \neq 1$

Rationaaliyhtälö

Ratkaise yhtälö $$ x - \frac{1}{x} = 1 $$

$x = \dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$

Rationaaliepäyhtälö

Kahdesta peräkkäisestä parittomasta kokonaisluvusta pienemmän ja suuremman osamäärä on pienempi kuin $\frac{3}{4}$. Mitä arvoja voi saada pienempi luvuista?
Vinkki: Jos pienempi luvuista on $x$, niin mikä suurempi luvuista on?

Mahdolliset arvot ovat $-1$, $1$, $3$ ja $5$.

Rationaaliyhtälö

Millä vakion $a$ arvoilla yhtälöllä $$ \frac{x}{x-1} = \frac{x+a}{x+1} $$ ei ole ratkaisua?

Jos $a = 1$ tai $a = 2$.

Rationaaliepäyhtälö

Millä muuttujan $x$ arvoilla $f(x) \leq 0$, jos

  1. $f(x) = \dfrac{x^2-6x}{x-3}$
  2. $f(x) = \dfrac{x^2-6x}{(x-3)^2}$?

  1. $x \leq 0$ tai $3 < x \leq 6$
  2. $0 \leq x \leq 6$ ja $x \neq 3$

Rationaalifunktion raja-arvo

Määritä raja-arvo tai perustele, että sitä ei ole olemassa:

  1. ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2 + x}{x}}$
  2. ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^3 - 3x^2}{x-3}}$

  1. 1
  2. 9

Rationaalifunktion raja-arvo

Määritä raja-arvo tai perustele, että sitä ei ole olemassa:

  1. ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1}{x-1}\left(\frac{2}{x+1} - \frac{1}{x}\right)}$
  2. ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \left( x + 1 + \frac{1}{x} \right)}$

  1. $\frac{1}{2}$
  2. $\frac{7}{2}$

Rationaalifunktion raja-arvo

Määritä raja-arvo tai perustele, että sitä ei ole olemassa:

  1. ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x-1}}$
  2. ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} \frac{2x^2 + x - 1}{3x^2 + 5x + 2}}$

Vinkki: MAA2-kurssin teoreema 8.

  1. 4
  2. 3

Määritä vakiolle $a$ sellainen arvo, että funktio $$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-x-2}{x-2} &\text{ jos $x \neq 2$} \\[2mm] a &\text{ jos $x = 2$} \end{cases} $$ on jatkuva kaikkialla.

$a = 3$

Tutkitaan funktiota $$ f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-x-2}. $$

  1. Missä kohdissa funktio $f$ ei ole määritelty?
  2. Voisiko funktion määritelmää täydentää niin, että funktiosta tulisi jatkuva myös niissä kohdissa, joissa se ei nyt ole määritelty?

  1. Kohdissa $-1$ ja $2$.
  2. Kohdassa $-1$ funktiolla on raja-arvo $\frac{2}{3}$, joten jos määritellään $$ f(-1) = \frac{2}{3}, $$ niin $f$ on jatkuva kohdassa $-1$. Kohdassa $2$ funktiolla ei ole raja-arvoa, joten funktion arvoa kohdassa $2$ ei ole mahdollista määritellä niin, että funktiosta tulisi jatkuva.

  1. Laske $$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}. $$
  2. Ratkaise epäyhtälö $$ \left| \frac{x^2-4}{x-2} - 4 \right| < 0{,}01. $$

[Pitkä S2011/6]
Vinkki: kertaa tarvittaessa b-kohtaa varten MAA5-kurssin luku 5.

  1. $$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \rightarrow 2} (x + 2) = 4. $$
  2. $1{,}99 < x < 2$ tai $2 < x < 2{,}01$. (Huomaa, että epäyhtälö ei ole määritelty, jos $x = 2$.)

Määritä vakio $a$ siten, että funktiolla $$ f(x) = \frac{3x^3 - x^2 - 12x + a}{x+2} $$ on raja-arvo kohdassa $x = -2$. Mikä tämä raja-arvo on?
[Pitkä S2008/12]

Funktion lauseke voidaan supistaa, jos osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen nollakohta (ks. MAA2-kurssin teoreema 9). Näin saadaan selville, että raja-arvo on olemassa, jos $a = 4$. Raja-arvo on $28$.

Ratkaise epäyhtälö $$ \frac{x^2 + 7x + 2}{x - 3} > 1. $$ [Pitkä K2007/6]

$-5 < x < -1$ tai $x > 3$.

Ratkaise

  1. epäyhtälö $\dfrac{2x+1}{x-1} \geq 3$
  2. yhtälö $\dfrac{1+x}{1-x} = \dfrac{1-x^2}{1 + x^2}$

[Pitkä S2011/3b & S2013/1b]

  1. $1 < x \leq 4$
  2. $x = 0$ tai $x = -1$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Derivointisääntöjä I

Tämän luvun tavoitteena on, että pystyt määrittämään derivaatan erotusosamäärän raja-arvona ja derivoit polynomifunktiot sujuvasti derivointisääntöjen avulla. Osaat

  • muodostaa funktion erotusosamäärän ja laskea sen raja-arvon
  • määrittää vakiofunktion ja potenssifunktioiden derivaattafunktiot
  • käyttää funktioiden summan ja vakiolla kerrotun funktion derivointisääntöjä
  • muodostaa polynomifunktion kuvaajalle asetetun tangentin yhtälön.

Kurssin ensimmäisessä luvussa tutustuimme funktion derivaatan käsitteeseen. Opimme, että funktion derivaatta on funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin, joka kuvaa funktion kasvunopeutta kyseisessä kohdassa. Tässä kappaleessa määrittelemme derivaatan käsitteen täsmällisemmin tietynlaisena raja-arvona.

Tarkastellaan aluksi funktiota $f$ ja suoraa, joka leikkaa funktion kuvaajan (ainakin) kahdessa kohdassa kuten alla olevassa kuvassa.
Tämän suoran kulmakerroin on $$ \frac{f(x) - f(a)}{x-a} $$ Sitä sanotaan funktion $f$ erotusosamääräksi kohdassa $a$.

Kun $x \rightarrow a$, lähestyy pisteiden $(a,f(a))$ ja $(x, f(x))$ kautta kulkeva suora funktion kuvaajalle pisteeseen $(a,f(a))$ piirrettyä tangettia:

Suoran kulmakerroin puolestaan lähestyy tangentin kulmakerrointa, joten seuraava määritelmä sopii derivaatan täsmälliseksi määritelmäksi:

MÄÄRITELMÄ: DERIVAATTA

Jos funktion $f$ erotusosamäärällä kohdassa $a$ on raja-arvo kohdassa $a$, niin funktio $f$ on derivoituva kohdassa $a$.
Raja-arvoa kutsutaan funktion $f$ derivaataksi kohdassa $a$ ja merkitään $f'(a)$. Siis $$ f'(a) = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

Esimerkiksi funktion $f(x) = x^2$ erotusosamäärä kohdassa $0{,}5$ on $$ \frac{x^2 - 0{,}5^2}{x-0{,}5} $$ Murtolauseketta voidaan muokata niin, että raja-arvo on mahdollista selvittää: \begin{align*} \frac{x^2 - 0{,}5^2}{x-0{,}5} &= \frac{(x - 0{,}5)(x + 0{,}5)}{x-0{,}5} \\[2mm] &= x + 0{,}5 \xrightarrow[x \rightarrow 0{,}5]{} 0{,}5 + 0{,}5 \\ &= 1 \end{align*} Siis funktion $f(x) = x^2$ derivaatta kohdassa $x = 0{,}5$ on $$f'(0{,}5) = 1.$$

Tehtävänä on määrittää funktion $f(x) = x^2$ derivaatan arvo kohdassa $3$.

  1. Muodosta funktion $f$ erotusosamäärä kohdassa $3$.
  2. Muokkaa erotusosamäärää niin, että supistaminen on mahdollista. Mikä on erotusosamäärän raja-arvo, kun $x \rightarrow 3$?
  3. Mitä on $f'(3)$?

  1. $\dfrac{x^2 - 9}{x-3}$
  2. ${\displaystyle x + 3 \xrightarrow[x\rightarrow 3]{} 6}$
  3. $f'(3) = 6$

Tehtävänä on määrittää funktion $$g(x) = \dfrac{1}{x-2}$$ derivaatan arvo kohdassa $-1$.

  1. Muodosta funktion $g$ erotusosamäärä kohdassa $-1$.
  2. Sievennä erotusosamäärä mahdollisimman pitkälle. Aloita laventamalla osoittajassa esiintyvät termit samannimisiksi.
  3. Mitä on $g'(-1)$?

  1. $\dfrac{\frac{1}{x-2} + \frac{1}{3}}{x+1}$
  2. ${\displaystyle \frac{1}{3(x-2)}}$
  3. $f'(-1) = -\frac{1}{9}$

Derivaatan arvon selvittäminen suoraan derivaatan määritelmän perusteella on monesti melko työlästä. Sen vuoksi seuraavaksi johdetaan sääntöjä, joilla voidaan helpommin muodostaa erilaisten funktioiden derivaattoja.

Kurssissa MAA2 tutustuttiin potenssifunktioihin. Potenssifunktiot ovat muotoa $f(x) = x^n$, missä $n$ on positiivinen kokonaisluku. Tässä kappaleessa määritetään potenssifunktioiden sekä vakiofunktion derivaattafunktiot.

Tarkastellaan aluksi ensimmäisen asteen potenssifunktiota $f(x) = x$. Sen erotusosamäärä kohdassa $a$ on $$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \frac{x-a}{x-a} = 1.$$ Funktion derivaatta kohdassa $a$ on erotusosamäärän raja-arvo: $$ f'(a) = \lim_{x \rightarrow a} 1 = 1. $$ Tulos ei riipu tarkastelukohdasta $a$, joten derivaattafunktio vakiofunktio $f'(x) = 1$. Tämä nähdään myös ensimmäisen asteen potenssifunktion kuvaajasta:

Kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on $1$. Funktion arvojen kasvunopeus on siis koko ajan $1$.

Tarkastellaan vakiofunktiota $g(x) = \pi$.

  1. Muodosta funktion $g$ erotusosamäärä kohdassa $a$.
  2. Määritä funktion $g$ derivaatta kohdassa $a$ erotusosamäärän raja-arvona.
  3. Riippuuko derivaatan arvo tarkastelukohdasta? Mikä on vakiofunktion derivaattafunktio?
  4. Tarkista johtopäätöksesi funktion $g$ kuvaajan avulla. Mikä on sen perusteella funktion arvojen kasvunopeus?

  1. $\dfrac{\pi - \pi}{x-a} = \dfrac{0}{x-a} = 0$
  2. ${\displaystyle g'(a) = \lim_{x \rightarrow a} 0 = 0}$
  3. Vakiofunktion derivaattafunktio on nollafunktio $g'(x) = 0$
  4. Funktion arvojen kasvunopeus on $0$.

Edellisen tehtävän päättely voidaan toistaa minkä tahansa vakiofunktion tapauksessa, joten saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Vakiofunktion $f(x) = c$ derivaattafunktio nollafunktio: $$f'(x) = 0.$$

Perustelu kuten tehtävässä 4.3.

Tehtävänä on määrittää toisen asteen potenssifunktion $f(x) = x^2$ derivaattafunktio.

  1. Muodosta funktion $f$ erotusosamäärä kohdassa $a$.
  2. Muokkaa erotusosamäärää niin, että supistaminen on mahdollista. Mikä on erotusosamäärän raja-arvo, kun $x \rightarrow a$?
  3. Mikä on toisen asteen potenssifunktion $f(x) = x^2$ derivaattafunktio?

  1. $\dfrac{x^2 - a^2}{x-a}$
  2. ${\displaystyle x+a \xrightarrow[x \rightarrow a]{} a + a = 2a}$
  3. Derivaattafunktio on $f'(x) = 2x$.

Tehtävänä on määrittää kolmannen asteen potenssifunktion $f(x) = x^3$ derivaattafunktio.

  1. Muodosta funktion $f$ erotusosamäärä kohdassa $a$.
  2. Kerro sulut auki lausekkeesta $(x-a)(x^2 + xa + a^2)$.
  3. Sievennä erotusosamäärää b-kohdan avulla. Mikä on erotusosamäärän raja-arvo, kun $x \rightarrow a$?
  4. Mikä on kolmannen asteen potenssifunktion $f(x) = x^3$ derivaattafunktio?

  1. $\dfrac{x^3 - a^3}{x-a}$
  2. $(x-a)(x^2 + xa + a^2) = x^3 - a^3$
  3. ${\displaystyle x^2 + xa + a^2 \xrightarrow[x \rightarrow a]{} 3a^2}$
  4. $f'(x) = 3x^2$.

Edellisen tehtävän idea voidaan yleistää myös korkeamman asteen potenssifunktioille. Jos $n \geq 2$ on positiivinen kokonaisluku, niin \begin{multline*} (x-a)(x^{n-1} + x^{n-2}a + \cdots + xa^{n-2} + a^{n-1}) \\ = x^n - a^n \end{multline*} Tämän yhtälön avulla erotusosamäärä saadaan supistettua niin, että raja-arvo voidaan määrittää.

TEOREEMA

Olkoon $n$ positiivinen kokonaisluku. Potenssifunktion $f(x) = x^n$ derivaattafunktio on $$f'(x) = nx^{n-1}.$$

Perustelu: Aikaisemmin on osoitettu, että teoreeman tulos pätee tapauksessa $n = 1$. Nimittäin funktion $f(x) = x$ derivaattafunktio on $$f'(x) = 1 = 1 \cdot x^0.$$ Oletetaan seuraavaksi, että $n \geq 2$. Funktion $f(x) = x^n$ erotusosamäärä kohdassa $a$ on $$ \frac{x^n-a^n}{x-a}. $$ Se supistuu muotoon $$x^{n-1} + x^{n-2}a + \cdots + xa^{n-2} + a^{n-1}.$$ Tässä summassa muuttujan $x$ eksponentti saa kaikki kokonaislukuarvot luvusta $n-1$ lukuun $0$, joten yhteenlaskettavia on $n$ kappaletta. Vakion $a$ eksponentti saa vastaavat arvot niin, että jokaisessa yhteenlaskettavassa eksponenttien summa on aina $n-1$. Kun $x \rightarrow a$, raja-arvoksi saadaan \begin{align*} &\phantom{={}} a^{n-1} + a^{n-2}a + \cdots + aa^{n-2} + a^{n-1} \\[1mm] &= a^{n-1} + a^{n-1} + \cdots + a^{n-1} + a^{n-1} \\[1mm] &= na^{n-1} \end{align*} Siis $$f'(a) = na^{n-1}.$$ Tästä voidaan päätellä, että potenssifunktio $f(x) = x^n$ on derivoituva ja sen derivaattafunktio on $f'(x) = nx^{n-1}$.

Derivaattafunktio voidaan ilmaista myös derivointimerkin $\mathop{\mathrm{D}}$ avulla. Esimerkiksi tehtävissä 4.3-4.5 osoitettiin, että \begin{align*} \mathop{\mathrm{D}} \pi &= 0 \\ \mathop{\mathrm{D}} x^2 &= 2x \\ \mathop{\mathrm{D}} x^3 &= 3x^2 \end{align*} Seuraavassa tehtävässä harjoitellaan teoreeman 2 soveltamista.

Määritä seuraavat derivaattafunktiot:

  1. $\mathop{\mathrm{D}} x^5$
  2. $\mathop{\mathrm{D}} x^9$
  3. $\mathop{\mathrm{D}} x^{14}$
  4. $\mathop{\mathrm{D}} 9$

Kertaa tarvittaessa tehtävä 4.3.

  1. $\mathop{\mathrm{D}} x^5 = 5x^4$
  2. $\mathop{\mathrm{D}} x^9 = 9x^8$
  3. $\mathop{\mathrm{D}} x^{14} = 14x^{13}$
  4. $\mathop{\mathrm{D}} 9 = 0$

Edellisessä kappaleessa tutkitiin potenssifunktioita ja vakiofunktioita. Polynomifunktiot saadaan muodostettua niistä yhteenlaskun ja vakiolla kertomisen avulla. Esimerkiksi polynomifunktio $$ p(x) = -3x^2 + 5x - 4 $$ voidaan muodostaa potenssifunktioista $f(x) = x^2$ ja $g(x) = x$ sekä vakiofunktiosta $h(x) = -4$: $$ p(x) = -3f(x) + 5g(x) + h(x). $$ Tässä kappaleessa osoitetaan, että derivaattafunktio on vastaava yhdistelmä potenssi- ja vakiofunktioiden derivaatoista: $$ p'(x) = -3f'(x) + 5g'(x) + h'(x). $$

Sievennä funktion $p(x) = -3x^2 + 5x - 4$ derivaattafunktio $$p'(x) = -3f'(x) + 5g'(x) + h'(x),$$ missä $f(x) = x^2$, $g(x) = x$ ja $h(x) = -4$.

$p'(x)= -6x + 5$

Tarkastellaan aluksi funktioiden summan derivaattaa. Seuraavassa teoreemassa osoitetaan, että se saadaan laskemalla funktioiden derivaatat yhteen. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Oletetaan, että funktiot $f$ ja $g$ ovat derivoituvia. Summan $f+g$ derivaatta on funktioiden $f$ ja $g$ derivaattojen summa: $$(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)$$ eli $$\mathop{\mathrm{D}}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)$$

Perustelu: Summan $f+g$ erotusosamäärä kohdassa $a$ on $$ \frac{(f(x) + g(x)) - (f(a) + g(a))}{x-a}. $$ Muokataan tätä erotusmäärää niin, että siitä erottuvat funktioiden $f$ ja $g$ erotusosamäärät: \begin{align*} &\phantom{={}}\frac{(f(x) + g(x)) - (f(a) + g(a))}{x-a} \\[2mm] &= \frac{f(x) + g(x) - f(a) - g(a)}{x-a} \\[2mm] &= \frac{f(x) - f(a) + g(x) - g(a)}{x-a} \\[2mm] &= \frac{f(x) - f(a)}{x-a} + \frac{g(x) - g(a)}{x-a} \end{align*} Summan erotusosamäärä on siis funktioiden $f$ ja $g$ erotusosamäärien summa. Koska funktiot $f$ ja $g$ ovat derivoituvia, näillä erotusosamäärillä on raja-arvot: \begin{multline*} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} + \frac{g(x) - g(a)}{x-a} \\ \xrightarrow[x \rightarrow a]{} f'(a) + g'(a) \end{multline*} Näin on osoitettu, että $$(f+g)'(a) = f'(a) + g'(a).$$

Määritä seuraavat derivaattafunktiot teoreeman 3 avulla:

  1. $\mathop{\mathrm{D}} (x^4 + x)$
  2. $\mathop{\mathrm{D}} (x^7 + x^2 - 25)$

  1. $\mathop{\mathrm{D}} (x^4 + x^3) = 4x^3 + 3x^2$
  2. $\mathop{\mathrm{D}} (x^7 + x^2 - 25) = 7x^6 + 2x$

Tutkitaan funktiota $f(x) = x^2 + x$.

  1. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$.
  2. Mikä on funktion $f$ arvojen kasvunopeus kohdassa $x = 1$?
  3. Missä kohdassa funktion arvojen kasvunopeus on nolla?
  4. Mikä on funktion kuvaajalle kohtaan $x = -2$ piirretyn tangentin kulmakerroin?
  5. Mikä on funktion kuvaajalle kohtaan $x = -2$ piirretyn tangentin yhtälö?

Piirrä funktion $f$ kuvaaja ja vertaa vastauksiasi siihen. Ovatko vastaukset järkeviä?

  1. $f'(x) = 2x + 1$.
  2. $f'(1) = 3$.
  3. $x = -\frac{1}{2}$
  4. $f'(-2) = -3$.
  5. $y = -3x-4$

Tarkastellaan seuraavaksi vakiolla kerrotun funktion derivaattaa. Kun funktio kerrotaan vakiolla, tulee sen arvo jokaisessa kohdassa kerrotuksi tällä vakiolla:

Funktioiden $f$ ja $kf$ kuvaajat näkyvät yllä olevassa kuvassa. Mikä on vakion $k$ arvo tässä tapauksessa?

$k = 2$

Oletetaan, että funktio $f$ on derivoituva. Tehtävänä on määrittää vakiolla kerrotun funktion $kf$ derivaatta.

  1. Muodosta funktion $kf$ erotusosamäärä kohdassa $a$.
  2. Muokkaa erotusosamäärää niin, että siitä erottuu funktion $f$ erotusosamäärä.
  3. Mikä on funktion $kf$ erotusosamäärän raja-arvo, kun $x \rightarrow a$?

  1. $\dfrac{kf(x) - kf(a)}{x-a}$
  2. $k\cdot \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a}$
  3. $kf'(a)$

Tehtävän 4.11 tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Oletetaan, että funktio $f$ on derivoituva. Vakiolla kerrotun funktion $kf$ derivaatta on funktion $f$ derivaatta kerrottuna samalla vakiolla: $$(kf)'(x) = kf'(x)$$ eli $$\mathop{\mathrm{D}} kf(x) = kf'(x).$$

Perustelu tehtävässä 4.11.

Määritä seuraavat derivaattafunktiot teoreemojen 3 ja 4 avulla:

  1. $\mathop{\mathrm{D}} 7x^9$
  2. $\mathop{\mathrm{D}} (2x^5 - 4x^3 + 6x)$
  3. $\mathop{\mathrm{D}} (17x^2 - 8x^6 - 56)$

  1. $63x^8$
  2. $10x^4 - 12x^2 + 6$
  3. $34x - 48x^5$

Tutkitaan funktiota $$f(x) = \frac{3}{2}x^2 - 10x + 20.$$

  1. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$.
  2. Muuttuvatko funktion $f$ arvot voimakkaammin kohdassa $x = 2$ vai kohdassa $x = 4$?
  3. Missä kohdassa funktion arvojen kasvunopeus on nolla?
  4. Harjoittele teknisen apuvälineen käyttöä derivointitehtävissä. Katso esimerkiksi tästä Texas Nspiren käyttöön ohjevideo ja ratkaise kohdat (a)-(c) teknisen apuvälineen avulla.
  5. Funktion $f$ kuvaaja on paraabeli. Määritä paraabelin huipun koordinaatit.

Piirrä funktion $f$ kuvaaja ja vertaa vastauksiasi siihen. Ovatko vastaukset järkeviä?

  1. $f'(x) = 3x - 10$
  2. Arvot muuttuvat voimakkaammin kohdassa $x = 2$, jossa funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on $-4$.
  3. Kohdassa $x = \frac{10}{3}$.
  4. Huippu on $\left(\frac{10}{3}, \frac{10}{3}\right)$.

Tässä luvussa johdettujen derivointisääntöjen avulla voidaan nyt määrittää minkä tahansa polynomifunktion derivaatta. Tämä mahdollistaa myös monenlaisten geometristen ongelmien ratkaisemisen. Tarkastellaan esimerkiksi tilannetta, jossa halutaan määrittää käyrälle $y = x^2 - 4x + 5$ sellainen tangentti, joka kulkee pisteen $(1,-2)$ kautta.

Havaitaan, että piste $(1,-2)$ ei ole käyrällä, sillä jos $x = 1$, niin $$ y = 1^2 - 4\cdot 1 + 5 = 2 \neq -2. $$ Hahmotellaan etsitty tangentti kuvaan ja merkitään sivuamispisteen $x$-koordinaattia kirjaimella $a$. Koska sivuamispiste on käyrällä, sen $y$-koordinaatti on käyrän yhtälön mukaisesti $a^2-4a+5$.

Kuvasta havaitaan, että sopivia tangentteja näyttäisi olevan kaksi erilaista. Tangentin kulmakerroin kohdassa $x = a$ saadaan derivoimalla käyrää vastaava polynomifunktio $f(x) = x^2 - 4x + 5$: $$ f'(x) = 2x - 4, $$ joten $$ f'(a) = 2a - 4. $$ Muodostetaan pisteen $(a,a^2-4a+5)$ kautta kulkevan tangentin yhtälö: $$ y - (a^2-4a+5) = (2a-4)(x-a) $$ Tangentti kulkee myös pisteen $(1,-2)$ kautta, joten saadaan yhtälö $$ -2 - (a^2-4a+5) = (2a-4)(1-a). $$ Tästä voidaan ratkaista $a$: \begin{align*} -2 - (a^2-4a+5) &= (2a-4)(1-a) \\ -a^2 + 4a - 7 &= 2a -2a^2 - 4 + 4a \\ a^2 - 2a - 3 &=0 \end{align*} Toisen asteen ratkaisukaavalla ratkaisuiksi saadaan \begin{align*} a &= \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2} \\[2mm] &= \frac{2 \pm 4}{2} \\[2mm] &= 1\pm 2 \end{align*} Sopivia tangentteja siis todella on kaksi ja niiden yhtälöiksi saadaan arvoilla $a = -1$ ja $a = 3$ $$ y = -6x + 4 $$ ja $$ y = 2x - 4. $$

Määritä käyrälle $$ y = x^2 - x + 1 $$ kohtaan $x = -1$ piirretyn normaalin yhtälö.

$y = \frac{1}{3}x + \frac{10}{3}$.

Käyrän tangentti

Mihin paraabelin $$ y = x^2 - 2x $$ pisteeseen asetettu tangetti on suoran $$ 4x - y + 3 = 0 $$ suuntainen?

Pisteeseen $(3,3)$.

Käyrän tangentti

Määritä käyrälle $$ y = 4 + 3x - x^2 $$ kohtaan $x = 2$ piirretyn tangetin ja koordinaattiakselien rajoittaman kolmion pinta-ala.

Pinta-ala on 32.

Polynomifunktion derivaatta

Avain pudotetaan kerrostalon kolmannen kerroksen ikkunasta, joka on 15 metrin korkeudella maan pinnasta. Avaimen sijaintikorkeus ajan funktiona on likimain $$ f(t) = 15 - 4{,}9t^2. $$ Tässä aika ilmaistaan sekunteina ja sijaintikorkeus metreinä.

  1. Kuinka korkealla avain on 1,5 sekunnin kuluttua?
  2. Mikä on avaimen nopeus 1,5 sekunnin kuluttua?
    Vinkki: nopeus on sijaintikorkeuden muutosnopeus eli derivaatta.
  3. Millä nopeudella avain osuu maahan?

Pyöristä vastaukset kahden merkitsevän numeron tarkkuuteen.

  1. Noin 4,0 metrin korkeudella.
  2. Noin 15 m/s.
  3. Noin 17 m/s.

Polynomifunktion derivaatta

Pallo heitetään suoraan ylöspäin alkunopeudella 12 m/s, jolloin sen sijaintikorkeus ajan funktiona on likimain $$ f(t) = 12t - 4{,}9t^2. $$ Tässä aika ilmaistaan sekunteina ja sijaintikorkeus metreinä.

  1. Mikä on kappaleen nopeus 1 sekunnin kuluttua?
  2. Mikä on kappaleen nopeus 2 sekunnin kuluttua?
  3. Millä hetkellä kappale saavuttaa lentoratansa lakipisteen?
  4. Kuinka korkealla kappale käy?

Pyöristä vastaukset kahden merkitsevän numeron tarkkuuteen.

  1. Noin 2,2 m/s ylöspäin.
  2. Noin 7,6 m/s alaspäin.
  3. Noin 1,2 sekunnin kuluttua.
  4. Noin 7,3 metrin korkeudessa.

Polynomifunktion derivaatta

Lentokoneen lähtökiihdytyksessä kulkema matka ajan funktiona on likimain $$ s(t) = 1{,}05t^2. $$ Tässä aika ilmaistaan sekunteina ja matka metreinä.

  1. Mikä on lentokoneen nopeus $10$ sekunnin kuluttua? Anna vastaus sekä metreinä sekunnissa että kilometreinä tunnissa (käytä yksikkömuunnoksessa tarvittaessa apuna esimerkiksi Wikipediaa).
  2. Mikä on lentokoneen nopeus, kun se on liikkunut 500 metrin matkan?
  3. Kuinka pitkä kiitotien on vähintään oltava, jos koneen lentoonlähtönopeus on 250 km/h?

Pyöristä vastaukset kahden merkitsevän numeron tarkkuuteen.

  1. Noin 21 m/s eli noin 76 km/h.
  2. Noin $46$ m/s eli noin 165 km/h.
  3. Vähintään 1200 m (tässä vastauksen pyöristäminen normaalisääntöjen mukaan alaspäin ei tunnu turvallisuuden kannalta järkevältä).

Polynomifunktion derivaatta

Jos auton renkaat kaarteessa menettävät otteen tiehen, auto jatkaa matkaansa kaarteen tangetin suuntaisesti. Auto saapuu kaarteeseen $$ y = \frac{1}{2}\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + 2 $$ kovalla vauhdilla ylhäältä vasemmalta ja suistuu tieltä kohdassa $x = 2$.

  1. Missä pisteessä auto päätyy $x$-akselia pitkin virtaavaan jokeen?
  2. Kuinka pitkän matkan auto on kulkenut pitkin peltoa ennen jokeen suistumista? Koordinaatiston yksikkö vastaa kymmentä metriä maastossa.

  1. Pisteessä $\left(\frac{25}{4}, 0\right)$.
  2. Etäisyys on $\dfrac{17}{8}\sqrt{5} \approx 4{,}7$ eli noin 47 metriä.

Käyrän tangentti

Käyrän $$ y = \left(2 + \frac{x}{2}\right)\left(3- \frac{x}{2}\right) $$ ja $x$-akselin leikkauspisteisiin piirretyt tangentit rajoittavat yhdessä $x$-akselin kanssa kolmion. Laske tämän kolmion pinta-ala.

Pinta-ala on 62,5.

Käyrän tangetti

Määritä sen kulman suuruus, jonka käyrät $y = x^3$ ja $y = 2-x^2$ muodostavat leikkauspisteessään.
Huom. kahden käyrän välinen kulma on leikkauspisteeseen piirrettyjen tangenttien välinen kulma.

Käyrien välinen kulma on $45^\circ$.
(Leikkauspiste on $(1,1)$.)

Polynomifunktion derivaatta

Jos funktion lausekkeessa esiintyy useita kirjaimia, on oltava tarkkana sen suhteen, mikä niistä on muuttuja. Derivoi funktio

  1. $f(x) = tx^3-t^2x$
  2. $g(t) = tx^3-t^2x$

  1. $f'(x) = 3tx^2 - t^2$
  2. $g'(t) = x^3 - 2tx$

Polynomifunktion derivaatta

Tehtävänä on selvittää, minkä käyrän piirtää paraabelin $$ y = \frac{1}{2}x^2 + ax + a $$ huippu, kun $a$ saa kaikki reaalilukuarvot.

  1. Määritä paraabelin huipun koordinaatit.
  2. Ilmaise paraabelin huipun $y$-koordinaatti $x$-koordinaatin avulla. Millaisen käyrän yhtälö tällöin muodostuu?

  1. $\left(-a, -\frac{1}{2}a^2 + a\right)$.
  2. Paraabeli $y = -\frac{1}{2}x^2 - x$.
    Huomaa, että a-kohdassa huipun $x$-koordinaatti on $-a$.

Käyrän tangentti

Määritä pisteestä $(1,-1)$ paraabelille $$ y = \frac{1}{2}x^2 - 1 $$ piirrettyjen tangettien yhtälöt.

$y = -1$ ja $y = 2x-3$.

Käyrän tangentti

Tehtävänä on osoittaa, että käyrät $y = x^2$ ja $$ y = -x^2 + 2x - \frac{1}{2} $$ sivuavat toisiaan.

  1. Määritä käyrien leikkauspisteet.
  2. Näytä, että käyrillä on yhdessä leikkauspisteessä yhteinen tangentti.

  1. Leikkauspisteitä on yksi: $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$.
  2. Kohdassa $x = \frac{1}{2}$ käyriä vastaavien polynomifunktioden derivaatan arvo on sama: \begin{align*} f'(0{,}5) &= 2\cdot 0{,}5 = 1 \\ g'(0{,}5) &= -2\cdot 0{,}5 + 2 = 1 \end{align*} Leikkauspisteeseen asetettujen tangenttien kulmakertoimet ovat siis samat, joten kysymyksessä on yksi yhteinen tangetti.

Käyrän tangentti

Osoita, että paraabelit $$y = ax^2 + 2x$$ ja $$ y = ax^2 - \frac{1}{2}x $$ leikkaavat toisensa kohtisuorasti origossa riippumatta kertoimen $a$ arvosta.

Kumpikin paraabeli kulkee pisteen $(0,0)$, joten ne leikkaavat toisensa origossa. Vastaavien polynomifunktioiden derivaattafunktioiden arvot origossa ovat \begin{align*} f'(0) &= 2a \cdot 0 + 2 = 2 \\[2mm] g'(0) &= 2a \cdot 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \end{align*} Koska paraabeleille origoon asetettujen tangenttien kulmakertoimien tulo on $-1$, ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan (ks. MAA5-kurssin teoreema 11).

Käyrän tangentti

Onko mahdollista valita vakiolle $a$ sellainen arvo, että käyrän $y = x^3$ pisteeseen $(1,1)$ asetettu tangentti sivuaa myös käyrää $y = a - x^2$?

Kyllä, $a = -\frac{17}{4}$.
Ohjeita:

  • Muodosta käyrän $y = x^3$ pisteeseen $(1,1)$ asetetun tangentin yhtälö.
  • Määritä käyrän $y = a-x^2$ tangentin kulmakerroin.
  • Selvitä, missä kohdassa tangenteilla on sama kulmakerroin.
  • Selvitä sivuamispisteen $y$-koordinaatti ja ratkaise sen avulla $a$.

Derivaatan määritelmä

Tarkastellaan funktiota $f(x) = 4x - x^2$. Tehtävänä on määrittää $f'(1)$ derivaatan määritelmään nojautuen.

  1. Muodosta funktion $f$ erotusosamäärä kohdassa $1$.
  2. Jaa erotusosamäärän osoittaja tekijöihin MAA2-kurssin teoreeman 8 avulla.
  3. Mitä on $f'(1)$?

  1. $\dfrac{-x^2+4x-3}{x-1}$
  2. $-x^2+4x-3 = -(x-1)(x-3)$
  3. $f'(1) = 2$

Derivaatan määritelmä

Tehtävänä on johtaa funktion $$ f(x) = \frac{x-1}{x+1} $$ derivaattafunktion lauseke derivaatan määritelmän avulla.

  1. Muodosta funktion $f$ erotusosamäärä kohdassa $a$.
  2. Lavenna erotusosamäärän osoittajassa esiintyvät murtolausekkeet samannimisiksi ja sievennä niiden erotus mahdollisimman pitkälle.
  3. Tee kaikki mahdolliset supistukset.
  4. Mitä on $f'(a)$?

  1. $\dfrac{\frac{x-1}{x+1} - \frac{a-1}{a+1}}{x-a}$
  2. $\dfrac{\frac{2(x-a)}{(x+1)(a+1)}}{x-a}$
  3. $\dfrac{2}{(x+1)(a+1)}$
  4. $f'(a) = \dfrac{2}{(a+1)^2}$

Määritä paraabelin $y = 2x^2 + bx + 3$ huippu ja totea, että se kertoimen $b$ arvosta riippumatta sijaitsee paraabelilla $y = −2x^2 + 3$.
[Pitkä K2005/5]

Huipun $x$-koordinaatti on derivaatan nollakohta $-\frac{1}{4}b$. Sen avulla saadaan laskettua $y$-koordinaatti $-\frac{1}{8}b^2 + 3$. Nämä toteuttavat paraabelin $y = −2x^2 + 3$ yhtälön riippumatta kertoimen $b$ arvosta.

Määritä käyrän $y = x^3$ pisteeseen $(2,8)$ piirretyn tangentin yhtälö. Missä pisteessä tangentti leikkaa $y$-akselin? Määritä tangentin, $y$-akselin ja suoran $y = 8$ määräämän kolmion pinta-ala.
[Pitkä K2001/2]

Tangentin yhtälö on $y = 12x - 16$. Tangentti leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,-16)$. Kolmion pinta-ala on $24$.

Osoita erotusosamäärää tutkimalla, että funktio $$ f(x) = \frac{x}{1 + \left|x\right|} $$ on derivoituva kohdassa $x = 0$.
[Pitkä K2015/13a]

\begin{align*} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \frac{1}{1 + \left|x\right|} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 1 \end{align*}

  1. Millä muuttujan $x$ arvoilla polynomin $P(x) = x^4 - x^3 + x$ derivaatta saa arvon $1$?
  2. Määritellään funktiot $f(x) = x^3 - 3x$ ja $g(x) = \frac{1}{2}f(2x)$, kun $x \in \R$. Laske derivaatta $g'(1)$.
    Vinkki: aloita sieventemällä funktion $g$ lauseke.
[Pitkä S2013/2a & K2014/3b]

  1. Muuttujan arvoilla $x = 0$ ja $x = \frac{3}{4}$
  2. $g'(1) = 9$

Millä parametrin $k$ arvoilla käyrien $y = kx^2$ ja $y = k(x-2)^2$ leikkauspisteeseen piirretyt tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan?

[Pitkä S2013/4]

Parametrin arvoilla $k = \pm\frac{1}{2}$.

  1. Määritä sellainen kerroin $a$, että funktio $$ f(x) = \begin{cases} ax^2, &\text{ jos $x \leq -1$,} \\[2mm] \dfrac{x^2}{1+x^2}, &\text{ jos $x > -1$.} \end{cases} $$ on jatkuva kaikkialla.
  2. Onko funktio $f(x)$ tällöin derivoituva kaikkialla?

[Pitkä K2011/11a&b]
Vinkki: b-kohdassa tutki erotusosamäärän raja-arvoa kahdessa tapauksessa: jos $x \rightarrow (-1)-$ ja jos $x \rightarrow (-1)+$.

  1. $a = \frac{1}{2}$
  2. Funktio ei ole derivoituva kohdassa $x = -1$, sillä erotusosamäärän vasemman- ja oikeanpuoleinen raja-arvo ovat tässä kohdassa erisuuruiset. Vasemmanpuoleinen raja-arvo on $-1$ ja oikeanpuoleinen on $-\frac{1}{2}$.

Neljännen asteen polynomilla $3x^4 - 8x^3 - 18x^2 + 7$ ja sen derivaatalla on yhteinen nollakohta. Määritä tämä yhteinen nollakohta.
[Pitkä K2009/4]

$x = -1$

Tiedetään, että funktio $f$ kasvaa varsin tarkoin lineaarisesti (suoraviivaisesti) välillä $[1{,}9995; 2{,}0005]$. Lisäksi tiedetään funktion arvot $f(2) = 3{,}7458053$ ja $f(2{,}0005) = 3{,}7458664$. Määritä tämän perusteella likiarvo derivaatalle $f'(2)$.
[Pitkä K2006/12]

$f'(x) \approx 0{,}1222$.

Olkoon funktio $f$ jatkuva origossa. Määritä erotusosamäärän avulla funktion $g(x) = xf(x)$ derivaatta origossa. Voidaanko tulosta soveltaa funktioon $f(x) = \left|x\right| + 1$?
[Pitkä K2005/12]

\begin{align*} \frac{g(x) - g(0)}{x-0} &= \frac{xf(x) - 0\cdotf(0)}{x} \\[2mm] &= \frac{xf(x)}{x} \\[2mm] &= f(x) \xrightarrow[x \rightarrow 0]{} f(0) \end{align*} Tulosta voidaan soveltaa funktioon $f(x) = \left|x\right| + 1$, sillä se on jatkuva origossa. Funktiolla $g(x) = x\left|x\right| + x$ on siis origossa derivaatta $g'(0) = f(0) = 1$.

Määritä funktion $$ f(x) = \frac{1}{x} $$ derivaatta kohdassa $x = 2$ laskemalla erotusosamäärän raja-arvo.
[Pitkä S2004/10]

\begin{align*} \frac{f(x) - f(2)}{x-2} &= \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}{x-2} \\[2mm] &= \frac{\frac{2-x}{2x}}{x-2} \\[2mm] &= \frac{-(x-2)}{2x} \cdot \frac{1}{x-2} \\[2mm] &= \frac{-1}{2x} \xrightarrow[x \rightarrow 2]{} -\frac{1}{4} \end{align*} Siis $f'(2) = -\frac{1}{4}$.

Määritä se paraabelin $y = x^2-2x-3$ piste, jossa paraabelin tangentin suuntakulma on $+45^\circ$.
[Pitkä K2004/5]

Piste on $\left(\frac{3}{2}, -\frac{15}{4}\right)$.

Olkoon $f(x) = x^2 - 3x - 5$.

  1. Ratkaise yhtälö $f(x) = 0$.
  2. Millä muuttujan $x$ arvoilla on $f'(x) = 1$?
  3. Piirrä derivaattafunktion $f'$ kuvaaja.

[Pitkä S2003/1]

  1. $x = \frac{1}{2}(3 \pm \sqrt{29})$
  2. $x = 2$
  3. Kuvaaja on suora, jonka yhtälö on $y = 2x -3$. Se kulkee siis pisteiden $(0,-3)$ ja $(1,-1)$ kautta.

Osoita, että käyrillä $x^2 -6x - 3 + 4y = 0$ ja $2x^2 + 1 - y = 0$ on yksi yhteinen piste, jossa ne sivuavat toisiaan, so. niillä on yhteinen tangetti. Määritä tämän tangentin yhtälö.
[Pitkä S2001/4]

Käyrillä on yksi yhteinen piste: $\left(\frac{1}{3}, \frac{11}{9}\right)$. Käyriä vastaavien polynomifunktioiden derivaatat saavat saman arvo kohdassa $x = \frac{1}{3}$, joten niillä on tässä yhteisessä pisteessä yhteinen tangentti. Tangetin yhtälö on $12x - 9y + 7 = 0$.

Paraabelin $y = ax^2 + bx − 3$ huippu on pisteessä $\left(\frac{3}{2}, 1\right)$. Määritä kertoimet $a$ ja $b$.
[Lyhyt K2007/12]

$a = -\frac{16}{9}$ ja $b = \frac{16}{3}$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Funktion kulku

Tämän luvun tavoitteena on, että hallitset funktion kulun tutkimisen derivaatan avulla. Osaat

  • tutkia derivaatan merkkikaavion avulla, millä väleillä funktio on aidosti kasvava ja millä aidosti vähenevä
  • määrittää funktion ääriarvokohdat ja ääriarvot funktion kulkukaavion avulla
  • määrittää derivoituvan funktion suurimman ja pienimmän arvon suljetulla välillä
  • päätellä, onko polynomifunktiolla suurinta tai pienintä arvoa.

Funktioiden käyttäytymistä voidaan tutkia niiden kuvaajien avulla. Kuvaajasta saatava tieto on kuitenkin monesti likimääräistä eikä sopivan kuvaajan piirtäminen välttämättä aina onnistu. (Tietokonesovellukset kuten Wolfram|Alpha kyllä helpottavat kuvaajien piirtämistä huomattavasti.) Derivaatan avulla voidaan saada tarkka käsitys sellaistenkin funktioiden käyttäytymisestä, joiden tutkiminen pelkän kuvaajan avulla ei ole mahdollista.

Tässä kappaleessa tutkitaan derivaatan avulla funktion kasvamista ja vähenemistä. Aloitetaan sopimalla, mitä tarkoitetaan, kun sanotaan funktion olevan aidosti kasvava tai aidosti vähenevä.

MÄÄRITELMÄ: AIDOSTI KASVAVA JA AIDOSTI VÄHENEVÄ FUNKTIO

Funktio $f$ on aidosti kasvava lukusuoran välillä, jos tällä välillä muuttujan arvon kasvaessa myös funktion arvo kasvaa eli ehdosta $x_1 < x_2$ seuraa aina $f(x_1) < f(x_2)$.

Funktio $f$ on aidosti vähenevä lukusuoran välillä, jos tällä välillä muuttujan arvon kasvaessa funktion arvo pienee eli ehdosta $x_1 < x_2$ seuraa aina $f(x_1) > f(x_2)$.

Aidosti monotoninen funktio tarkoittaa funktiota, joka on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä.

Tutki alla olevaa funktion $f$ kuvaajaa.

  1. Onko funktio $f$ aidosti kasvava
    • välillä $[1,3]$
    • välillä $[-3,0]$?
  2. Onko funktio $f$ aidosti vähenevä
    • välillä $[-6,-2]$
    • välillä $[3,5]$?

  1. Funktio $f$ on aidosti kasvava välillä $[1,3]$.
    Funktio $f$ ei ole aidosti kasvava välillä $[-3,0]$, sillä $f(-1) = f(0)$ vaikka $-1 < 0$.
  2. Funktio $f$ ei ole aidosti vähenevä välillä $[-6,-2]$, sillä $f(-3) < f(-2)$.
    Funktio $f$ on aidosti vähenevä välillä $[3,5]$.

Tiedetään, että funktio $f$ on aidosti kasvava välillä $[0,8]$, aidosti vähenevä välillä $[8,10]$ ja $f(5) = 256$. Päättele vastaukset alla oleviin kysymyksiin. Voit havainnollistaa tilannetta piirroksilla.

  1. Mikä funktion arvoista $f(1)$, $f(4)$ ja $f(7)$ on suurin? Entä pienin?
  2. Kaverisi laski, että $f(6) = 244$. Voiko tulos olla oikein?
  3. Mikä funktion arvoista $f(7)$, $f(8)$ ja $f(9)$ on suurin?
  4. Missä kohdassa funktio $f$ saa suurimman arvonsa välillä $[0,10]$?
  5. Missä kohdassa funktio $f$ saa pienimmän arvonsa välillä $[0,10]$?

  1. Näistä arvoista $f(7)$ on suurin ja $f(1)$ on pienin, koska $f$ on aidosti kasvava välillä $[0,8]$.
  2. Tulos ei ole oikein, koska $f(5) = 256$ ja funktio on aidosti kasvava välillä $[0,8]$. Tästä seuraa, että $f(6) > 256$.
  3. Näistä arvoista suurin on $f(8)$. Muut ovat sitä pienempiä, koska $f$ on aidosti kasvava välillä $[0,8]$ ja aidosti vähenevä välillä $[8,10]$.
  4. Kohdassa $x = 8$.
  5. Kohdassa $x = 0$ tai $x = 10$. Annetuista tiedoista ei voi päätellä, kummassa kohdassa arvo on pienempi.

Jo aikaisemmin on havaittu, että derivaatta kuvaa funktion kasvunopeutta. Jos derivaatta on negatiivinen, funktion arvot pienenevät, ja jos derivaatta on positiivinen, funktion arvot kasvavat. Alla olevat kuvat havainnollistavat ilmiötä. Kun vasemmalla näkyvän derivaattafunktion merkki vaihtuu, muuttuu varsinainen funktio aidosti vähenevästä aidosti kasvavaksi.

Funktion kulkusuunta ei kuitenkaan aina muutu derivaatan nollakohdassa. Esimerkiksi alla vasemmalla derivaattafunktio on positiivinen nollakohdan kummallakin puolella, ja varsinainen funktio säilyy aidosti kasvavana, vaikka kasvu derivaatan nollakohdan ympäristössä hidastuukin.

Näiden esimerkkien pohjalta seuraava teoreema on helppo uskoa todeksi, mutta yleispätevän perustelun esittäminen on jälleen niin työlästä, että sitä käsitellään vasta yliopistotasolla.

TEOREEMA

  • Jos $f'(x) \geq 0$ kaikissa välin kohdissa ja $f(x) = 0$ enintään yksittäisissä kohdissa, niin funktio $f$ on aidosti kasvava tällä välillä.

  • Jos $f'(x) \leq 0$ kaikissa välin kohdissa ja $f(x) = 0$ enintään yksittäisissä kohdissa, niin funktio $f$ on aidosti vähenevä tällä välillä.

  • Jos $f'(x) = 0$ kaikissa välin kohdissa, niin $f$ saa vakioarvon tällä välillä.

Seuraava esimerkki näyttää, miten derivaattaa ja teoreemaa 7 voidaan hyödyntää, kun tutkitaan funktion kasvamista ja vähenemistä.

Tarkastellaan funktiota $$f(x) = 2x^2(75-x) + 50.$$ Sen kuvaajan piirtäminen käsin on hankalaa, koska funktio saa kohdan $x = 0$ lähellä melko suuria arvoja. Tietokoneella piirretty kuvaaja näyttää kohdan $x = 0$ ympäristössä tältä:

Näyttää siltä, että funktio on aidosti vähenevä, kun $x \leq 0$ ja aidosti kasvava, kun $x \geq 0$. Kuvaajasta on kuitenkin näkyvissä vain melko pieni osa. Muuttuuko tilanne, jos kuvaaja piirretään laajemmalta alueelta?

Alla olevasta kuvasta näkyy, että kuvaajan muoto ei juurikaan muutu:

Varmistetaan vielä derivaatan ja teoreeman 7 avulla, että johtopäätökset ovat oikeita. Funktion $f$ derivaattafunktio saadaan määritettyä, kun funktion lauseke sievennetään ensin kertomalla sulut auki: \begin{align*} f(x) &= 2x^2(75-x) + 50 \\ &= 150x^2 - 2x^3 + 50 \end{align*} Derivaattafunktio on \begin{align*} f'(x) &= 150 \cdot 2x - 2\cdot 3x^2 + 0 \\ &= 300x - 6x^2. \end{align*} Tutkitaan, missä derivaattafunktion arvot ovat positiivisia ja missä negatiivisia. Aloitetaan etsimällä derivaattafunktion nollakohdat: \begin{align*} f'(x) &= 0 \\ 300x - 6x^2 &= 0 \\ x(300 - 6x) &= 0 \end{align*} Tulon nollasäännön mukaan alin yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$ tai $300 - 6x = 0$. Ratkaistaan vielä näistä yhtälöistä jälkimmäinen: \begin{align*} 300 - 6x &= 0 \\ -6x &= -300 \\ 6x &= 300 \\[1mm] x &= \frac{300}{6} = 50 \end{align*} Derivaattafunktiolla on siis kaksi nollakohtaa: $x_1 = 0$ ja $x_2 = 50$. Tutkitaan derivaattafunktion merkkiä laskemalla derivaattafunktion arvo näiden nollakohtien eri puolilla, esimerkiksi kohdissa $x = -1$, $x = 1$ ja $x = 51$: \begin{align*} f'(-1) &= 300 \cdot (-1) - 6\cdot (-1)^2 = -306 \\ f'(1) &= 300 \cdot 1 - 6\cdot 1^2 = 294 \\ f'(51) &= 300 \cdot 51 - 6 \cdot 51^2 = -306. \end{align*} Kootaan tiedot merkkikaavioon:

Derivaattafunktion merkkikaaviosta nähdään, että aiemmat funktion $f$ kuvaajan perusteella tehdyt päätelmät ovat osittain vääriä. Funktio $f$ on kyllä aidosti vähenevä, kun $x \leq 0$, mutta se on aidosti vähenevä myös silloin, kun $x \geq 50$, ja aidosti kasvava välillä $[0,50]$. Nämä päätelmät voidaan ilmaista myös niin sanotun kulkukaavion avulla:

Jotta funktion kulusta saadaan oikea käsitys, sen kuvaaja pitää siis piirtää välillä, joka sisältää derivaata nollakohdat $x_1 = 0$ ja $x_2 = 50$:

Huomaa, että kulkukaavion perusteella tiedetään, ettei tämän kuvan ulkopuolelta paljastu enää mitään yllätyksiä.

Tehtävänä on selvittää, missä funktio $$ f(x) = 3x^4 - 8x^3 - 90x^2 + 24 $$ on aidosti kasvava ja missä aidosti vähenevä.

  1. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$.
  2. Etsi derivaattafunktion nollakohdat. Kertaa tarvittaessa MAA2-kurssin tehtävä 4.11.
  3. Laske derivaattafunktion arvo nollakohtien eri puolilla ja muodosta derivaattafunktion merkkikaavio.
  4. Missä funktio $f$ on aidosti kasvava? Entä aidosti vähenevä? Täydennä merkkikaavio funktion $f$ kulkukaavioksi, mutta ilmaise johtopäätöksesi myös sanallisesti.
  5. Mistä kohdista ryhtyisit kulkukaavion perusteella etsimään funktion $f$ pienintä arvoa?

  1. $f'(x) = 12x^3 - 24x^2 - 180x$.
  2. Derivaattafunktiolla on kolme nollakohtaa: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$ ja $x_3 = 5$.

Funktion kulkua tutkimalla saadaan tietoa myös funktion nollakohtien lukumäärästä. Tarkastellaan esimerkiksi funktiota $$ f(x) = \frac{2}{15}x^3 - \frac{3}{10}x^2 + \frac{1}{8}x + \frac{1}{25} $$ jonka kuvaaja näyttää tältä:

Funktiolla $f$ näyttäisi olevan ainakin kaksi nollakohtaa. Tutkitaan asiaa tarkemmin funktion kulkukaavion avulla.

Tehtävänä on muodostaa edellä tarkastellun funktion $$ f(x) = \frac{2}{15}x^3 - \frac{3}{10}x^2 + \frac{1}{8}x + \frac{1}{25} $$ kulkukaavio.

  1. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$ ja etsi sen nollakohdat.
  2. Laske derivaattafunktion arvo nollakohtien eri puolilla ja muodosta derivaattafunktion merkkikaavio.
  3. Täydennä derivaattafunktion merkkikaavio funktion $f$ kulkukaavioksi.

  1. Derivaattafunktio on $f'(x) = \frac{2}{5}x^2 - \frac{3}{5}x + \frac{1}{8}$. Sen nollakohdat ovat $x_1 = \frac{1}{4}$ ja $x_2 = \frac{5}{4}$.

Funktio $f$ on polynomifunktio, joten se on jatkuva. Bolzanon lausetta (teoreema 1) voidaan nyt soveltaa väleille, joissa funktion kuvaajan ja kulkukaavion perusteella vaikuttaa olevan funktion nollakohta.

Tarkastellaan funktiota $$ f(x) = \frac{2}{15}x^3 - \frac{3}{10}x^2 + \frac{1}{8}x + \frac{1}{25} $$ välillä $\left[\frac{1}{4}, \frac{5}{4}\right]$, jossa se edellisen tehtävän kulkukaavion mukaan on aidosti vähenevä.

  1. Laske funktion arvo välin $\left[\frac{1}{4}, \frac{5}{4}\right]$ kummassakin päätepisteessä.
  2. Mitä voit a-kohdan ja Bolzanon lauseen (luvun 2 teoreema 1) perusteella päätellä funktion nollakohtien määrästä välillä $\left]\frac{1}{4}, \frac{5}{4}\right[$?
  3. Kulkukaavion mukaan funktio $f$ on aidosti vähenevä välillä $\left]\frac{1}{4}, \frac{5}{4}\right[$. Mitä voit päätellä funktion nollakohtien määrästä välillä $\left]\frac{1}{4}, \frac{5}{4}\right[$ tämän perusteella?
  4. Kuinka monta nollakohtaa funktiolla $f$ on välillä $\left]\frac{1}{4}, \frac{5}{4}\right[$?

  1. $f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{131}{2400}$ ja $f\left(\frac{5}{4}\right) = -\frac{29}{2400}$
  2. Koska $f\left(\frac{1}{4}\right) > 0$ ja $f\left(\frac{5}{4}\right) < 0$ ja funktio $f$ on polynomifunktiona jatkuva kaikkialla, on funktiolla $f$ Bolzanon lauseen mukaan ainakin yksi nollakohta välillä $\left]\frac{1}{4}, \frac{5}{4}\right[$.
  3. Koska $f$ on aidosti vähenevä välillä $\left[\frac{1}{4}, \frac{5}{4}\right]$, se ei saa mitään arvoa tällä välillä kahta kertaa. Näin ollen funktiolla $f$ on enintään yksi nollakohta välillä $\left]\frac{1}{4}, \frac{5}{4}\right[$.
  4. Edellisistä kohdista voidaan päätellä, että funktiolla $f$ on tasan yksi nollakohta välillä $\left]\frac{1}{4}, \frac{5}{4}\right[$.

Tarkastellaan funktiota $$ f(x) = \frac{2}{15}x^3 - \frac{3}{10}x^2 + \frac{1}{8}x + \frac{1}{25} $$ välillä $\left]-\infty, \frac{1}{4}\right]$, jossa se kulkukaavion mukaan on aidosti kasvava.

  1. Valitse väliltä $\left]-\infty, \frac{1}{4}\right[$ jokin kohta $b$. Laske funktion arvo välin $\left[b, \frac{1}{4}\right]$ kummassakin päätepisteessä. (Voit hyödyntää edellisen tehtävän tulosta.)
  2. Mitä voit a-kohdan ja Bolzanon lauseen perusteella päätellä funktion nollakohtien määrästä välillä $\left]b, \frac{1}{4}\right[$? (Jos Bolzanon lauseen ehdot eivät täyty, valitse jokin toinen kohta $b$).
  3. Kulkukaavion mukaan funktio $f$ on aidosti kasvava välillä $\left]-\infty, \frac{1}{4}\right[$. Mitä voit päätellä funktion nollakohtien määrästä välillä $\left]-\infty, \frac{1}{4}\right[$ tämän perusteella?
  4. Kuinka monta nollakohtaa funktiolla $f$ on välillä $\left]-\infty, \frac{1}{4}\right[$?

  1. Valitaan esimerkiksi $b = -1$. Tällöin $f(b) = f(-1) = -\frac{311}{600}$ ja $f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{131}{2400}$.
  2. Koska $f\left(-1\right) < 0$ ja $f\left(\frac{1}{4}\right) > 0$ ja funktio $f$ on polynomifunktiona jatkuva kaikkialla, on funktiolla $f$ Bolzanon lauseen mukaan ainakin yksi nollakohta välillä $\left]-1, \frac{1}{4}\right[$.
  3. Koska $f$ on aidosti kasvava välillä $\left]-\infty, \frac{1}{4}\right[$, se ei saa mitään arvoa tällä välillä kahta kertaa. Näin ollen funktiolla $f$ on enintään yksi nollakohta välillä $\left]-\infty, \frac{1}{4}\right[$.
  4. Edellisistä kohdista voidaan päätellä, että funktiolla $f$ on tasan yksi nollakohta välillä $\left]-\infty, \frac{1}{4}\right[$.

Jatkoa edellisiin tehtäviin.

  1. Päättele samaan tapaan kuin edellisessä tehtävässä, kuinka monta nollakohtaa funktiolla $f$ on välillä $\left]\frac{5}{4}, \infty\right[$. Perustele vastauksesi huolellisesti.
  2. Kuinka monta nollakohtaa funktiolla $f$ on yhteensä?

  1. Funktio $f$ on kaikkialla jatkuva. Lisäksi $f\left(\frac{5}{4}\right) = -\frac{29}{2400}$ ja $f\left(2\right) = \frac{47}{300}$, joten Bolzanon lauseen mukaan funktiolla $f$ on ainakin yksi nollakohta välillä $\left]\frac{5}{4}, 2\right[$. Toisaalta funktio $f$ on aidosti kasvava välillä $\left]\frac{5}{4}, \infty\right[$, joten sillä on tällä välillä enintään yksi nollakohta. Siis funktiolla $f$ on tasan yksi nollakohta välillä $\left]\frac{5}{4}, \infty\right[$.
  2. Edellisten tehtävien perusteella funktiolla $f$ on täsmälleen kolme nollakohtaa.

Tässä luvussa opitaan löytämään derivoituvan funktion paikalliset ääriarvot sekä mahdollinen suurin ja pienin arvo. Esimerkiksi alla näkyvällä funktiolla on useita ääriarvokohtia, joissa funktion kulkusuunta muuttuu. Näistä kohdista $x_1$ ja $x_3$ ovat minimikohtia ja $x_2$ on maksimikohta. Funktiolla ei näytä olevan suurinta arvoa, mutta pienimmän arvonsa se saa kohdassa $x_1$.

Aloitetaan sopimalla ääriarvoihin liittyvistä nimityksistä:

MÄÄRITELMÄ: ÄÄRIARVOKOHTA JA ÄÄRIARVO

Kohta $x_0$ on funktion $f$ maksimikohta, jos funktio $f$ suurin arvo jollakin kohdan $x_0$ sisältävällä avoimella välillä saavutetaan kohdassa $x_0$. Tällöin $f(x_0)$ on funktion maksimiarvo.

Kohta $x_0$ on funktion $f$ minimikohta, jos funktio $f$ pienin arvo jollakin kohdan $x_0$ sisältävällä avoimella välillä saavutetaan kohdassa $x_0$. Tällöin $f(x_0)$ on funktion minimiarvo.

Maksimi- ja minimikohdat ovat funktion ääriarvokohtia. Maksimi- ja minimiarvot ovat funktion ääriarvoja.

On mahdollista osoittaa, että derivoituvan funktion ääriarvokohdat löytyvät derivaatan nollakohdista. Ääriarvoja etsittäessä kannattaa siis selvittää derivaatan nollakohdat ja tutkia funktion kulkukaavion avulla, mitkä niistä ovat funktion maksimi- tai minimikohtia. Kulkukaaviota tarvitaan, sillä kaikki derivaatan nollakohdat eivät välttämättä ole funktion ääriarvokohtia.

TEOREEMA

Oletetaan, että funktio $f$ on derivoituva tarkasteluvälillä. Jos $x_0$ on funktion $f$ ääriarvokohta, niin $f'(x_0) = 0$.

Tarkastellaan funktiota $$f(x) = \frac{1}{6}x^3 + 1.$$ Sen derivaattafunktio on $$f'(x) = \frac{1}{2}x^2.$$ Derivaattafunktiolla on yksi nollakohta, $x = 0$, ja sen arvo on kaikkialla muualla positiivinen. Teoreeman 7 mukaan funktio $f$ on siten aidosti kasvava koko reaaliakselilla, vaikka kasvu derivaatan nollakohdan ympärillä onkin hidasta. Funktiolla ei siis ole yhtään ääriarvokohtaa, vaikka sen derivaattafunktiolla on nollakohta.

Tällaista derivaatan nollakohtaa, joka ei ole funktion ääriarvokohta, sanotaan funktion terassikohdaksi.

Tehtävänä on määrittää funktion $$ f(x) = 4x^5 - 5x^4 - 80x^3 $$ ääriarvokohdat ja ääriarvot.

  1. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$.
  2. Etsi derivaattafunktion nollakohdat. Kertaa tarvittaessa MAA2-kurssin tehtävä 4.11.
  3. Laske derivaattafunktion arvo nollakohtien eri puolilla ja muodosta derivaattafunktion merkkikaavio.
  4. Täydennä merkkikaavio funktion $f$ kulkukaavioksi ja päättele sen perusteella, mitkä derivaattafunktion nollakohdista ovat funktion ääriarvokohtia.
  5. Luettele funktion $f$ maksimikohdat ja niitä vastaavat maksimiarvot, sekä minimikohdat ja niitä vastaavat minimiarvot.
  6. Varmista, että osaat selvittää ääriarvokohdat ja ääriarvot teknisen apuvälineen avulla. Texas Nspiren käyttöön on ohjevideo tässä.

  1. $f'(x) = 20x^4 - 20x^3 - 240x^2$.
  2. Derivaattafunktiolla on kolme nollakohtaa: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$ ja $x_3 = 4$.
  3. Maksimikohta $x = -3$ ja maksimiarvo $f(3) = 783$, minimikohta $x = 4$ ja minimiarvo $f(4) = -2304$

Siirrytään seuraavaksi tarkastelemaan funktion suurinta ja pienintä arvoa. Jos funktiota tarkastellaan koko lukusuoralla tai jollakin avoimella välillä, ei suurinta tai pienintä arvoa välttämättä ole olemassa.

Esimerkki tällaisesta funktiosta on $f(x) = 2x$, joka on aidosti kasvava koko lukusuoralla. Sillä ei ole suurinta eikä pienintä arvoa, tarkasteltiinpa sitä koko lukusuoralla tai jollakin avoimella välillä. Esimerkiksi välillä $\pa -1; 1{,}5 \pe$ tilanne näyttää tältä:

Joku saattaisi väittää, että välillä $\pa -1; 1{,}5 \pe$ funktio saa suurimman arvonsa kohdassa $x = 1{,}4$. Tämän väitteen voi kuitenkin kumota näyttämällä, että kohdassa $x = 1{,}45$ funktio saa suuremman arvon: $ f(1{,}4) = 2{,}8 $ mutta $ f(1{,}45) = 2{,}9. $ Tämäkään ei ole funktion $f$ suurin arvo välillä $\pa -1; 1{,}5\pe$, sillä esimerkiksi kohdassa $1{,}453$ funktio saa vieläkin suuremman arvon: $ f(1{,}453) = 2{,}906. $ Tätä päättelyä voidaan jatkaa loputtomiin eikä mitään funktion arvoa saada näytettyä kaikkein suurimmaksi, sillä aina löytyy vielä suurempi arvo.

Tilanne muuttuu kokonaan toisenlaiseksi, jos funktiota tarkastellaan suljetulla välillä:

TEOREEMA

Derivoituva funktio saa suljetulla välillä $[a,b]$ suurimman ja pienimmän arvonsa derivaattafunktion nollakohdissa tai välin päätepisteissä $a$ ja $b$.

Teoreeman 9 mukaan derivoituvalla funktiolla on suljetulla välillä aina olemassa suurin ja pienin arvo. Nämä löydetään laskemalla funktion arvo tarkasteluvälin päätepisteissä sekä derivaattafunktion niissä nollakohdissa, jotka osuvat tarkasteluvälille. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Tehtävänä on määrittää funktion $$ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 14x + 7 $$ suurin ja pienin arvo välillä $[-6,12]$.

  1. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$.
  2. Etsi derivaattafunktion nollakohdat. Mitkä niistä kuuluvat tarkasteluvälille $[-6,12]$?
  3. Laske funktion arvo välin $[-6,12]$ päätepisteissä sekä niissä derivaattafunktion nollakohdissa, jotka osuvat välille $[-6,12]$.
  4. Mikä on funktion $f$ suurin arvo välillä $[-6,12]$? Entä pienin arvo?

  1. $f'(x) = x^2 - 5x - 14$.
  2. Derivaattafunktiolla on kaksi nollakohtaa: $x_1 = -2$ ja $x_2 = 7$.
  3. Suurin arvo on $f(12) = 55$ ja pienin arvo on $$f(7) = -\dfrac{595}{6} = -99\dfrac{1}{6}.$$

Käytännön ongelmissa halutaan monesti maksimoida jotain, esimerkiksi myyntivoittoa tai tuotannon määrää, tai minimoida jotain, esimerkiksi kustannuksia tai tarvittavan materiaalin määrää. Tällaisissa tilanteissa ongelmanratkaisun apuna voidaan usein käyttää derivaattaa ja teoreemaa 9. Ensin on kuitenkin mallinnettava ongelma matemaattiseen muotoon: valittava sopiva muuttuja, selvitettävä, millä välillä sen arvot vaihtelevat, ja muodostettava funktio, jonka suurinta tai pienintä arvoa etsitään.

Tarkastellaan esimerkiksi tilannetta, jossa pakkausvalmistaja suunnittelee leipomoiden käyttöön uutta pahvista rasiaa. Rasia muotoillaan alla olevan kuvan mukaisesti pahvineliöstä, jonka sivun pituus on 30 cm. Mitkä pitää valita rasian mitoiksi, jotta rasian tilavuus olisi mahdollisimman suuri?

Valitaan muuttujaksi esimerkiksi rasian korkeus, ja ilmaistaan rasian muut mitat sen avulla. (Tämä ei ole ainoa vaihtoehto, yhtä hyvin muuttujaksi voi valita vaikkapa rasian leveyden. Siinä tapauksessa ratkaisun idea on sama, mutta yksityiskohdista tulee vähän erinäköisiä.)

Kuvioista voidaan päätellä, että rasian korkeus vaihtelee välillä 0-15 cm. Itse asiassa näissä ääritapauksissa mitään varsinaista rasiaa ei muodostu, koska jokin rasian mitoista on nolla.

Rasian tilavuus riippuu rasian korkeudesta eli tilavuus on korkeuden funktio: $$ V(x) = (15-x)(30-2x)x. $$ Ongelma on nyt saatu mallinnettua matemaattisesti: tehtävänä on etsiä funktion $V$ suurin arvo välillä $[0,15]$. Tämä tehdään seuraavassa tehtävässä.

  1. Määritä funktion $$V(x) = (15-x)(30-2x)x$$ suurin arvo välillä $[0,15]$.
    Vinkki: tee aluksi kaikki kertolaskut ja sievennä funktion $V$ lauseke yhdeksi polynomiksi.
  2. Mitkä pitää valita edellisen esimerkin pahvirasian mitoiksi, jotta rasian tilavuus olisi mahdollisimman suuri?
  3. Mikä on rasian suurin mahdollinen tilavuus?

  1. Funktion $V$ suurin arvo välillä $[0,15]$ on $V(5) = 1000$.
  2. Korkeus 5 cm, leveys 20 cm ja syvyys 10 cm.
  3. Suurin mahdollinen tilavuus on $1000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ l}$.

Ongelman mallintamista matemaattiseen muotoon voi helpottaa esimerkiksi seuraavilla keinoilla:

  • Piirrä tilanteesta kuva tai laadi annetuista tiedoista taulukko.
  • Kokeile laskea kysytty asia joillakin itse keksimilläsi luvuilla. Tutki, mitä laskutoimituksia käytit, ja korvaa sitten luvut kirjainsymboleilla.

Tarkastellaan vielä seuraavaa ongelmaa: Kauppias on havainnut, että 10 sentin korotus tomaattien kilohinnassa laskee päivittäistä myyntiä noin 2 kg. Kun hinta on 2,20 €/kg, tomaatteja myydään päivässä 70 kg. Millä kilohinnalla kauppiaan voitto on suurin, jos hän joutuu maksamaan tomaateista 1,05 €/kg?

Ongelmaan liittyy paljon tietoja: muun muassa myytyjen tomaattien määrä, tomaattien kilohinta ja tomaateista saatu myyntitulo. Laaditaan näistä taulukko:

Hinta (€/kg) Myynti (kg) Myyntitulo (€)
$2{,}20$ $70$ $70 \cdot 2{,}20 = 154$
$2{,}20 + 0{,}10x$ $70-2x$ $154 + 2{,}6x - 0{,}2x^2$

Taulukon viimeiselle riville on muotoiltu tieto siitä, että jokainen 10 sentin korotus hinnassa laskee myyntiä 2 kg. Kahdesta ensimmäisestä sarakkeesta voidaan päätellä, että 10 sentin korotusten määrä $x$ on välillä $[-22, 35]$. Näissä ääritilanteissa joko kilohinta tai myyntimäärä menee nollaksi.

Myyntitulo $M(x)$ on myyntimäärän ja kilohinnan tulo: \begin{align*} M(x)&= (70 - 2x)(2{,}2 + 0{,}1x) \\ &= 154 + 7x - 4{,}4x - 0{,}2x^2 \\ &= 154 + 2{,}6x - 0{,}2x^2 \end{align*} Kauppiaan voitto saadaan tästä, kun huomioidaan, että hän joutuu itse maksamaan tomaateista 1,05 €/kg. Voitto on siten \begin{align*} V(x) &= M(x) - 1{,}05(70 - 2x) \\ &= 154 + 2{,}6x - 0{,}2x^2 - 73{,}5 + 2{,}1x \\ &= 80{,}5 + 4{,}7x - 0{,}2x^2 \end{align*} Ongelma on nyt saatu mallinnettua matemaattisesti: tehtävänä on etsiä funktion $V$ suurin arvo välillä $[-22,35]$. Tämä tehdään seuraavassa tehtävässä.

  1. Määritä funktion $$V(x) = 80{,}5 + 4{,}7x - 0{,}2x^2$$ suurin arvo välillä $[-22,35]$.
  2. Mikä kauppiaan kannattaa asettaa tomaattien kilohinnaksi, jos hän haluaa mahdollisimman suuren voiton?
  3. Mikä on päivittäisen myynnin arvo b-kohdan kilohinnalla? Entä kuinka suuri on kauppiaan saama voitto?

  1. Funktion $V$ suurin arvo välillä $[-22,35]$ on $V(11{,}75) = 108{,}1125$.
  2. Kilohinnaksi kannattaa asettaa $2{,}20 + 11{,}75 \cdot 0{,}1 \approx 3{,}38$ €/kg.
  3. Päivittäisen myynnin arvo on noin 157 € ja kauppiaan saama voitto noin 108 €.

Festivaalin anniskelualueen rajaamiseen on käytettävissä 30 m pitkän varaston seinä sekä lisäksi 120 metriä mellakka-aitaa. Anniskelualueesta halutaan pinta-alaltaan mahdollisimman suuri suorakulmio. Tehtävänä on selvittää, miten aidat kannattaa asettaa.

  1. Piirrä tilanteesta kuva.
  2. Valitse muuttuja ja ilmaise suorakulmion mitat sen avulla. Millä välillä muuttujan arvot vaihtelevat?
  3. Muodosta funktio, joka ilmaisee suorakulmion pinta-alan, ja määritä sen suurin arvo tarkasteluvälillä.
  4. Miten aidat kannattaa asettaa, jotta anniskelualueen pinta-ala on mahdollisimman suuri? Mikä sen ala silloin on?

  1. Esimerkiksi
  2. Leveys $30 +x$, korkeus $45-x$. (Korkeus saadaan yhtälöstä $2x+30+2y = 120$.)
  3. $A(x) = 1350 + 15x - x^2$, suurin arvo $A(7{,}5) = 1406{,}25$.
  4. Leveys 37,5 metriä ja korkeus 37,5 metriä eli neliön muotoinen alue, jonka pinta-ala on noin 1406 neliömetriä.

Joskus on tarpeen tutkia funktion suurimman ja pienimmän arvon olemassaoloa koko reaaliakselilla. Tällöin tarvitaan tietoa siitä, miten funktion arvot käyttäytyvät, kun muuttujan arvot kasvavat tai pienenevät rajatta. Pelkän kulkukaavion perusteella ei varmoja johtopäätöksiä ole mahdollista tehdä, vaan tarvitaan myös muunlaista tietoa funktion käyttäytymisestä. Tästä ovat osoituksena esimerkiksi funktiot $f(x) = x^3 + 3x$ ja $$ g(x) = \frac{-3x}{x^2 + 1}. $$ Funktioilla on sama kulkukaavio (seuraavassa luvussa opitaan, miten funktio $g$ derivoidaan):

Kulkukaaviosta nähdään, että kumpikin funktio on aidosti kasvava väleillä $\pa -\infty, -1]$ ja $[1, \infty\pe$ ja aidosti vähenevä välillä $[-1,1]$. Kohta $x = -1$ on molempien funktioiden maksimikohta ja kohta $x = 1$ on molempien funktioiden minimikohta. Onko näillä funktioilla suurinta tai pienintä arvoa?

Alla olevista kuvaajista näkyy, että kolmannen asteen polynomifunktiolla $f$ ei ole suurinta eikä pienintä arvoa, mutta rationaalifunktio $g$ saa suurimman arvonsa kohdassa $x = -1$ ja pienimmän arvonsa kohdassa $x = 1$.


On mahdollista osoittaa, että polynomifunktioiden suurimman ja pienimmän arvon olemassaolo riippuu polynomin korkeimman asteen termin käyttäytymisestä lukusuoran äärilaidoilla. Esimerkiksi polynomifunktion $f(x) = 0{,}5x^5 - 2x^2 - 3{,}5x + 3$ korkeimman asteen termi $0{,}5x^5$ kasvaa rajatta, kun muuttuja arvoa kasvatetaan, ja pienenee rajatta, kun muuttujan arvoa pienennetään. Tästä voidaan päätellä, ettei funktiolla $f$ ole suurinta eikä pienintä arvoa:

Polynomifunktion $g(x) = -x^4 + x + 1$ korkeimman asteen termi $-x^4$ puolestaan pienenee rajatta, kun muuttujan arvoa kasvatetaan tai pienennetään. Tästä voidaan päätellä, että funktiolla $g$ on suurin arvo, mutta ei pienintä arvoa. Tämä suurin arvo löydetään jostain funktion $g$ ääriarvokohdasta:

Mitä voit päätellä polynomifunktion korkeimman asteen termistä, jos

  1. funktiolla ei ole suurinta eikä pienintä arvoa
  2. funktiolla on suurin arvo mutta ei pienintä arvoa
  3. funktiolla on pienin arvo mutta ei suurinta arvoa?

Korkeimman asteen termi on muotoa $ax^n$, missä

  1. $n \geq 1$ on pariton kokonaisluku.
  2. $n \geq 2$ on parillinen kokonaisluku ja $a < 0$.
  3. $n \geq 2$ on parillinen kokonaisluku ja $a > 0$.

Ääriarvot

Määritä funktion $f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x + 5$ suurin ja pienin arvo välillä $[-2,0]$.

Suurin arvo on $f(-2) = 9$ ja pienin arvo on $f(-1) = -2$.

Funktion kulku

Alla on näkyvissä erilaisten funktioiden kuvaajia. Muodosta niistä niin monta funktio & derivaattafunktio -paria kuin mahdollista.

Funktio D ja sen derivaattafunktio C
Funktio E ja sen derivaattafunktio A
Funktio F ja sen derivaattafunktio B.

Funktion kulku

Suorakulmaisen kolmion toisen kateetin päätepisteet ovat origo ja piste $(x,0)$. Hypotenuusan toinen päätepiste on origossa ja toinen päätepiste on pisteiden $(0,6)$ ja $(6,0)$ välisellä janalla.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja määritä hypotenuusan päätepisteiden koordinaatit.
  2. Määritä kolmion pinta-ala muuttujan $x$ funktiona.
  3. Millä muuttujan $x$ arvoilla pinta-alafunktio on aidosti kasvava ja millä aidosti vähenevä?
  4. Onko pinta-alalla suurin tai pienin arvo? Jos on, niin mikä?

  1. Hypotenuusan päätepisteiden koordinaatit ovat $(0,0)$ ja $(x, 6-x)$.
  2. $A(x) = 3x - \frac{1}{2}x^2$, missä $0 \leq x \leq 6$.
  3. Aidosti kasvava välillä $[0,3]$ ja aidosti vähenevä välillä $[3,6]$.
  4. Pinta-alan suurin arvo on $A(3) = 4{,}5$ ja pienin arvo on $A(0) = 0$ (myös $A(6) = 0$).

Ääriarvot

Pahvilevy, joka on mitoiltaan 5 cm $\times$ 12 cm, taivutetaan 5 cm pitkän tulitikkurasian koteloksi niin, että toinen raapaisupinta tulee kaksinkertaiseksi. Tehtävänä on laskea rasian suurin mahdollinen tilavuus.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva. Valitse, mitä kotelon mitoista merkitset kirjaimella $x$, ja ilmaise muut mitat sen avulla.
    Vinkki: kannattaa piirtää kuva myös auki levitetystä pahvilevystä ja merkitä siihen näkyviin taitoskohdat.
  2. Muodosta funktio, joka ilmaisee rasian tilavuuden. Millä välillä valitsemasi muuttujan $x$ arvot vaihtelevat?
  3. Mikä on rasian suurin mahdollinen tilavuus?

  1. Yksi mahdollinen valinta:
  2. $V(x) = 5x\left(\frac{12-3x}{2}\right)$, missä $0 \leq x \leq 4$.
  3. Suurin mahdollinen tilavuus on $V(2) = 30 \text{ cm}^3$.

Funktion kulku

Tarkastellaan yhtälöä $x^3 + x + a = 0$.

  1. Osoita, että tällä yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu riippumatta vakion $a$ arvosta.
  2. Millä vakion $a$ arvoilla ratkaisu on välillä $\pa 1, 2\pe$?

  1. Polynomifunktion $f(x) = x^3 + x + a$ derivaattafunktio $f'(x) = 3x^2 + 1$ on aina positiivinen, joten funktio $f$ on aidosti kasvava koko lukusuoralla. Sillä on siis enintään yksi nollakohta.
    Toisaalta
    • jos $a > 0$, niin $f(0) = a > 0$ ja $f(-a) = -a^3 < 0$
    • jos $a = 0$, niin $f(0) = 0$
    • jos $a < 0$, niin $f(0) = a < 0$ ja $f(-a) = -a^3 > 0$
    joten funktiolla $f$ on ainakin yksi nollakohta.
    Näistä tiedoista voidaan päätellä, että yhtälöllä $x^3 + x + a = 0$ on täsmälleen yksi ratkaisu riippumatta vakion $a$ arvosta.
  2. $-10 < a < -2$

Ääriarvot

Urheiluhallissa, johon mahtuu 2050 katsojaa, järjestetään koripallo-ottelu. Yleisömäärä riippuu lipun hinnasta $x$ likimain funktion $$ f(x) = 1980 + 21x - 2x^2 $$ mukaisesti.

  1. Millä lipun hinnalla otteluun saadaan suurin yleisömäärä? Kuinka paljon yleisöä tällöin on?
  2. Mikä lipun hinta tuottaa järjestäjille suurimman pääsylipputulot? Kuinka paljon yleisöä tällöin on?
  3. Kuinka paljon vähemmän tuloja järjestäjät saavat a-kohdassa kuin b-kohdassa?

  1. 5,25 euroa, jolloin yleisöä on noin 2035.
  2. 22 euroa, jolloin yleisöä on noin 1474.
  3. Noin 21 744 euroa vähemmän.

Ääriarvot

Paraabelin $y = 4-x^2$ ja $x$-akselin rajoittamaan alueeseen piirretään puolisuunnikas, jonka yhtenä sivuna on paraabelin $x$-akselista erottama jana. Tehtävänä on selvittää, mikä on tällaisen puolisuunnikkaan korkeus, kun sen pinta-ala on suurin mahdollinen.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva.
  2. Muodosta funktio, joka ilmaisee puolisuunnikkaan pinta-alan.
    Vinkki: jaa puolisuunnikas osiin ja laske pinta-ala niiden summana tai kertaa MAA3-kurssin teoreema 10.
  3. Mikä on puolisuunnikkaan korkeus, kun sen pinta-ala on suurin mahdollinen?

  1. $A(x) = 8 + 4x - 2x^2 - x^3$
  2. Puolisuunnikkaan korkeus on $\dfrac{32}{9}$.
    (Tällöin $x = \frac{2}{3}$.)

Ääriarvot

Monet lentoyhtiöt noudattavat käsimatkatavaran suhteen niin sanottua 115 senttimetrin sääntöä: Käsimatkatavaralaukun on mahduttava suorakulmaiseen särmiöön, jonka pituuden, leveyden ja korkeuden summa ei ylitä 115 senttimetriä. Määritä millimetrin tarkkuudella mitat mahdollisimman tilavalle käsimatkatavaraksi kelpaavalle laukulle, jonka pituus on 1,5 kertaa niin suuri kuin korkeus.

Korkeus 307 mm, pituus 460 mm ja leveys 383 mm.
Laukun tilavuuden ilmaisee funktio $v(x) = 172{,}5x^2 - 3{,}75x^3$, missä $x$ on laukun korkeus. Laukun pituus on $1{,}5x$ ja leveys $115 - 2{,}5x$.

Ääriarvot

Määritä vakio $a$ siten, että funktion $$f(x) = x^3 + 4x^2 + 5x + a$$ pienin arvo välillä $[-2,0]$ on $1$. Mikä tällöin on funktion suurin arvo kyseisellä välillä?

Vakio $a = 3$, jolloin funktion suurin arvo on $f\left(0\right) = 3$.

Ääriarvot

Suorakulmion muotoisen pahvilevyn kulmiin leikataan viillot ja siitä taitellaan toisesta päädystään avoin, kanneton laatikko. (Kuvan punaiset yhtenevät neliöt taitetaan laatikon sisäpuolelle ja laatikon sivuseinät kiinnitetään niiden avulla takaseinään.) Määritä kuvan punaisten neliöiden sivun pituus niin, että laatikon tilavuus on mahdollisimman suuri. Pahvilevyn pituus on 60 cm ja leveys 45 cm. Mikä on laatikon suurin mahdollinen tilavuus?

Punaisen neliön sivun pituus on 10 cm. Suurin mahdollinen tilavuus on $12\,500 \text{ cm}^3$ eli 12,5 litraa.

Ääriarvot

Neliön $ABCD$ sivuilta $BC$ ja $CD$ valitaan pisteet $P$ ja $Q$, jotka ovat yhtä kaukana kärjestä $C$. Tehtävänä on selvittää, mikä on kolmion $APQ$ pinta-alan suurin arvo. Neliön sivun pituus on $a$.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva. Merkitse pisteiden $P$ ja $C$ etäisyyttä jollakin kirjaimella. Mitkä muut etäisyydet saat ilmaistua helposti sen avulla?
  2. Muodosta funktio, joka ilmaisee kolmion $APQ$ pinta-alan. Millä välillä muuttujan arvot voivat vaihdella?
    Vinkki: saatko muodostettua kolmion pinta-alan joidenkin pinta-alojen erotuksena?
  3. Mikä on kolmion $APQ$ pinta-alan suurin arvo? Hahmottele kuva suurimmasta mahdollisesta kolmiosta $APQ$.

  1. Esimerkiksi
  2. $A(x) = ax - \frac{1}{2}x^2$, missä $0 \leq x \leq a$.
  3. Kolmion pinta-alan suurin arvo on $\frac{1}{2}a^2$.

Funktion kulku

Kumpi funktion $$ f(x) = 15x^3 - 198x^2 - 123\,456\,789 $$ arvoista on suurempi?

  1. $f(7{,}99999)$ vai $f(8)$
  2. $f(10)$ vai $f(10{,}00001)$?

  1. Funktio on aidosti vähenevä välillä $[0;\,8{,}8]$, joten $f(7{,}99999)$ on suurempi.
  2. Funktio on aidosti kasvava välillä $[8{,}8; \infty\pe$, joten $f(10{,}00001)$ on suurempi.

Ääriarvot

Suorakulmio, jonka piiri on 18, pyörähtää yhden sivunsa ympäri. Mikä on muodostuvat ympyrälieriön suurin mahdollinen tilavuus?

Vinkki: piirrä tilanteesta mallikuva.

Suurin tilavuus on $108\pi$.

Funktion kulku

Tarkastellaan funktiota $$ g(x) = 4x^3 - 3x^2 + 6x + 2. $$

  1. Osoita, että funktio $g$ on kaikkialla aidosti kasvava.
  2. Missä kohdassa funktion $g$ arvot kasvavat hitaimmin? Toisin sanottuna, missä kohdassa funktion $g$ kuvaaja nousee loivimmin?
    Vinkki: etsi kasvunopeuden eli derivaatan $g'(x)$ minimikohta tutkimalla derivaattafunktion derivaattaa eli funktion $g$ toista derivaattaa $g''(x)$.

  1. Derivaattafunktio $g'(x) = 12x^2 - 6x + 6$ on kaikkialla positiivinen. Tämä voidaan perustella ainakin kahdella tavalla:
    Toisen asteen ratkaisukaavalla nähdään, että yhtälöllä $g'(x) = 0$ ei ole ratkaisuja ja lisäksi esimerkiksi $g'(0) = 6 > 0$.
    Derivaattafunktion lauseke on myös mahdollista täydentää neliöksi: \begin{align*} g'(x) &= 12\left(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\right) \\[2mm] &=12\left(x^2 - 2\cdot \frac{1}{4}x + \frac{1}{4^2} - \frac{1}{4^2} + \frac{1}{2}\right) \\[2mm] &=12\left(\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{4^2} + \frac{1}{2}\right) \\[2mm] &=12\left(\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{7}{16}\right) \\[2mm] &=12\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{21}{4} > 0. \end{align*}
  2. Toisella derivaatalla $g''(x) = 24x - 6$ on nollakohta $x = \frac{1}{4}$. Kun laaditaan toiselle derivaatalle $g''$ merkkikaavio ja täydennetään sen funktion $g'$ kulkukaavioksi, havaitaan, että funktio $g'$ saa pienimmäin arvonsa kohdassa $x = \frac{1}{4}$. Funktion $g$ arvot kasvavat siis hitaimmin kohdassa $x = \frac{1}{4}$.

Ääriarvot

Tukki on suoran ympyräkartion muotoinen. Tukin pituus on 18 metriä ja tyven läpimitta 0,96 metriä. Tukista halutaan veistää suoran ympyrälieriön muotoinen pölkky, jonka tilavuus on mahdollisimman suuri. Kuinka pitkä ja kuinka paksu tilavuudeltaan suurin pölkky on?

Vinkki: Piirrä tukin poikkileikkauksesta mallikuva. Kertaa tarvittaessa MAA3-kurssista suorakulmaisen kolmion geometriaa ja avaruusgeometriaa.

Pölkyn pituus on 6 m ja läpimitta 64 cm.

Ääriarvot

Tehtävänä on osoittaa, että luvun neliön ja neljännen potenssin keskiarvo on aina vähintään yhtä suuri kuin saman luvun kuutio.

  1. Muotoile väite jonkin kirjainsymbolin avulla.
  2. Muodosta funktio, jonka kulkua tutkimalla saat osoitettua a-kohdan epäyhtälön todeksi.
  3. Perustele, että tehtävän väite on tosi.

  1. $ \dfrac{x^2 + x^4}{2} \geq x^3 $
  2. Esimerkiksi $f(x) = x^2 + x^4 - 2x^3$.
  3. Riittää osoittaa, että funktion $f$ pienin arvo on nolla.

Ääriarvot

Tehtävänä on määrittää lausekkeen $11x^2 + 4xy^2$ suurin ja pienin arvo, kun piste $(x,y)$ on ympyrällä $x^2 + y^2 = 1$.

  1. Ratkaise ympyrän yhtälöstä muuttujan $y$ toinen potenssi. Millä välillä $y$:n arvot voivat vaihdella?
  2. Sijoita a-kohdan tulos lausekkeeseen $11x^2 + 4xy^2$, jolloin saat yhden muuttujan polynomin.
  3. Määritä b-kohdan polynomia vastaavan polynomifunktion suurin ja pienin arvo suljetulla välillä, jonka päätepisteet päättelit a-kohdassa.

  1. $y^2 = 1 - x^2$
    Koska $x^2 \geq 0$, niin $y^2 \leq 1$. Siten $-1 \leq y \leq 1$.
  2. $11x^2 + 4x(1-x^2)$
  3. Funktio on $f(x) = 11x^2 + 4x - 4x^3$. Sen suurin arvo välillä $[-1, 1]$ on $f(-1) = 11 = f(1)$ ja pienin $f\left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{37}{108}.$

Suorakulmion yksi kärki on origossa, ja siitä lähtevät kaksi sivua sijaitsevat positiivisilla koordinaattiakseleilla. Neljäs kärki sijaitsee paraabelilla $y = 4 − x^2$ alueessa $x \geq 0$, $y \geq 0$. Määritä suorakulmion suurimman mahdollisen pinta-alan tarkka arvo.
[Pitkä S2016/4]

Suurin mahdollinen pinta-ala on $$\frac{16}{9}\sqrt{3}.$$

Alla olevassa kuviossa on erään funktion $f(x)$ derivaattafunktion $f'(x)$ kuvaaja välillä $-1 < x < 5$. Määritä kuvaajan perusteella

  1. derivaattafunktion $f'(x)$ nollakohdat
  2. ne välit, joilla funktio $f(x)$ on kasvava
  3. funktion $f(x)$ paikalliset ääriarvokohdat ja niiden tyypit.

[Pitkä K2016/4]

  1. Nollakohtia on kaksi: $x = 0$ ja $x = 3$.
  2. Funktio on aidosti kasvava, kun $0 \leq x < 5$.
  3. Funktiolla on minimikohta $x = 0$, koska siinä funktio muuttuu aidosti vähenevästä aidosti kasvavaksi (derivaatan merkki muuttuu negatiivisesta positiiviseksi).
    (Kannattaa tehdä derivaatan merkkikaavio ja funktion kulkukaavio.)

Määritä polynomifunktion $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 2$ suurin ja pienin arvo välillä $[2,6]$.
[Pitkä S2012/5]

Suurin arvo on $f(2) = -44$ ja pienin arvo on $f(5) = -98$.

Osoita, että funktioilla $f(x) = −4x^3$ ja $g(x) = x^3 + x$ ei ole ääriarvoja, mutta summafunktiolla $h(x) = f(x) + g(x)$ on. Mitkä ovat nämä ääriarvot?
[Lyhyt S2004/10]

Funktion $f$ derivaatta saa arvon nolla vain kohdassa $x = 0$ ja on kaikkialla muualla negatiivinen, joten funktio $f$ on aidosti vähenevä koko lukusuoralla eikä sillä siten ole ääriarvoja.
Funktion $g$ derivaatta on kaikkialla positiivinen, joten funktio $g$ on aidosti kasvava koko lukusuoralla eikä silläkään ole ääriarvoja.
Funktion $h$ kulkukaavion perusteella sillä on minimiarvo $h\left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{2}{9}$ ja maksimiarvo $h\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{9}$.

Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion kateetin pituus on $a$. Kolmion sisälle asetetaan kuvion mukaisesti pienempi tasakylkinen kolmio, jonka yksi kärki sijaitsee alkuperäisen kolmion hypotenuusalla. Lisäksi jana $AB$ on hypotenuusan suuntainen. Määritä pienemmän kolmion suurin mahdollinen pinta‐ala.
[Pitkä S2015/7]

Suurin mahdollinen pinta-ala on $\frac{1}{8}a^2$.

Italialainen Fibonacci laski vuonna 1225 yhtälön $x^3 + 2x^2 + 10x - 20 = 0$ juurelle likiarvon $x \approx 1{,}368808108$. Osoita, että yhtälöllä on täsmälleen yksi juuri reaalilukujen joukossa.
[Pitkä K2015/12a]

Derivaattafunktiolla ei ole nollakohtia, joten funktio $f$ on aidosti monotoninen. Alkuperäisellä yhtälöllä on siten korkeintaan yksi juuri. Koska esimerkiksi $f(1) = -7 < 0$ ja $f(2) = 16 > 0$, niin yhtälöllä on täsmälleen yksi juuri (ja se on välillä $\left]1,2\right[$).

Tarkastellaan paraabelin kaarta $y = 3x - 5x^2$, missä $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$. Mikä kaaren piste on kauimpana origosta?
[Pitkä S2014/6]
Vinkki: Piirrä tilanteesta kuva. Tarkastele etäisyyden toista potenssia, jotta et joudu derivoimaan neliöjuurifunktiota.

Kysytty piste on $\left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right)$.

Määritä polynomin $x(x+3)(5-x)$ suurin ja pienin arvo välillä $[-1,5]$.
[Pitkä K2011/5]

Suurin arvo on $36$ ja pienin arvo on $-12$.

Paraabelin $y = x^2$ pisteeseen $(x_0,y_0)$, $x_0 \in \left]0, 1\right]$, piirretty tangentti, $x$-akseli ja suora $x = 1$ muodostavat kolmion. Millä arvolla $x_0$ tämä kolmio on pinta-alaltaan suurin?
[Pitkä K2009/7]

Arvolla $x_0 = \frac{2}{3}$.

Millä $a$:n arvoilla funktio $f(x) = −x^2 + ax + a − 3$ saa vain negatiivisia arvoja?
[Pitkä S2005/4]

Arvolla $-6 < a < 2$.

Neljännen asteen polynomifunktiolla on paikallinen maksimi 16, kun $x = −1$. Origossa polynomifunktio saa arvon 11. Funktion kuvaajan pisteeseen $(1, 11)$ piirretyn tangentin kulmakerroin on 0. Muodosta yhtälöryhmä, josta polynomifunktion kertoimet voidaan ratkaista. Ratkaise tämä laskinta käyttämättä. Mikä on kyseinen polynomifunktio?
[Pitkä K2005/10]

$f(x) = -\frac{5}{2}x^4 + \frac{5}{4}x^3 + 5x^2 - \frac{15}{4}x + 11$

  1. Mihin käyrän $y = -x^3 + x^2 + 3x$ pisteeseen asetetun tangentin kulmakerroin on suurin mahdollinen?
  2. Määritä a-kohdan tangentin yhtälö.

[Lyhyt K2014/13]

  1. Pisteeseen $\left(\frac{1}{3}, \frac{29}{27}\right)$.
  2. Tangentin yhtälö on $$ y = \frac{10}{3}x - \frac{1}{27} $$

Mittaustuloksina on saatu xy-koordinaatiston pisteet $(1; 1{,}2)$, $(2; 3{,}1)$ ja $(4; 5{,}5)$. Näiden lomitse sovitetaan origon kautta kulkeva suora $y = kx$, jossa kulmakerroin $k$ määritetään pienimmän neliösumman menetelmällä: kunkin $x$-arvon kohdalla lasketaan suoran $y = kx$ antaman $y$-arvon ja mitatun $y$-arvon erotus, ja kerroin $k$ valitaan siten, että erotusten neliöiden summa $$ (k \cdot 1 − 1{,}2)^2 + (k \cdot 2 − 3{,}1)^2 + (k \cdot 4 − 5{,}5)^2 $$ on mahdollisimman pieni. Määritä $k$ tällä tavoin. Piirrä kuvio.
[Lyhyt S2008/13]

$k = 1{,}4$

Pienien alumiinista valmistettavien suoran ympyräkartion muotoisten valaisinkupujen korkeuden ja pohjaympyrän halkaisijan summa on 18,6 cm. Määritä kartion pohjaympyrän säde siten, että kartion tilavuus on mahdollisimman suuri. Määritä tämä tilavuus.
[Lyhyt K2006/13]

Suurin tilavuus saadaan, kun pohjaympyrän säde on 6,2 cm. Suurin tilavuus on $\text{249{,}6 cm}^3$.

Olkoot $\va = \vi + 2\vj + 3\vk$ ja $\vb = 2\vi + 5\vk$. Millä parametrin $-2 \leq t \leq 2$ arvolla vektorin $\vc_t = t\va + (1-t)\vb$ pituus on mahdollisimman pieni?
[Pitkä K2017/3]
Vinkki: tarkastele pituuden neliötä, jotta et joudu tekemisiin neliöjuuren kanssa.

$t = \frac{4}{3}$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Derivointisääntöjä II

Tämän luvun tavoitteena on, että laajennat derivointitaitojasi ja sovellat edellisissä luvuissa oppimiasi asioita rationaalifunktioiden tutkimiseen. Osaat

  • derivoida funktioiden tulon ja osamäärän sekä funktion potenssin
  • tutkia rationaalifunktion kulkua derivaatan avulla
  • määrittää rationaalifunktion ääriarvot sekä suurimman ja pienimmän arvon, jos ne ovat olemassa.

Tässä kappaleessa johdetaan derivointisäännöt funktioiden tulolle ja funktion potenssille. Tulon derivointisääntöä tarvitaan toden teolla vasta seuraavassa kurssissa MAA7, mutta sen avulla saadaan seuraavassa kappaleessa johdettua funktioiden osamäärän derivointisääntö. Sitä tarvitaan rationaalifunktioiden derivoimiseen.

Aloitetaan sopimalla, mitä funktioiden tulolla tarkoitetaan:

MÄÄRITELMÄ: FUNKTIOIDEN TULO

Funktioiden $f$ ja $g$ tulo tarkoittaa funktiota, jonka arvo kohdassa $x$ on funktioiden $f$ ja $g$ arvojen tulo: $$(fg)(x) = f(x)g(x).$$

Esimerkiksi funktio $$h(x) = x^2(0{,}5x-1)$$ voidaan tulkita funktioiden $f(x) = x^2$ ja $g(x) = 0{,}5x-1$ tuloksi: $$h(x) = f(x)g(x).$$

Jos funktioiden tulon lauseke voidaan sieventää yhdeksi polynomiksi, saadaan derivaatta määritettyä aiemmin opitulla tavalla. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Tutkitaan funktioiden $f(x) = x^3-5$ ja $g(x) = 4x^2+7$ tulon derivaattaa.

  1. Muodosta ja sievennä tulofunktion $(fg)(x)$ lauseke.
  2. Määritä derivaattafunktio $(fg)'(x)$.
  3. Määritä derivaatafunktiot $f'(x)$ ja $g'(x)$. Laske niiden tulo.
  4. Vertaa tulon derivaattaa $(fg)'(x)$ ja derivaattojen tuloa $f'(x)g'(x)$. Mitä huomaat?

Vinkki: kertaa tarvittaessa teoreemat 6-9 luvusta 4.

  1. $(fg)(x) = 4x^5 + 7x^3 - 20x^2 - 35$
  2. $(fg)'(x) = 20x^4 + 21x^2 - 40x$
  3. $f'(x)g'(x) = 24x^3$
  4. Tulon derivaatta ei ole derivaattojen tulo. (Tulon derivaatta esimerkiksi kohdassa $x = 1$ on $(fg)'(1) = 1$ mutta derivaattojen tulo on $f'(1)g'(1) = 24$.)

Edellinen tehtävä osoittaa, että funktioiden tulon derivaatta ei ole sama kuin derivaattojen tulo. Yleispätevä sääntö on monimutkaisempi ja se todistetaan seuraavassa teoreemassa. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa. Jos sievennyksen yksityiskohdat tuntuvat kovin hankalilta, keskity aluksi tunnistamaan perustelusta kolme vaihetta ja vertaa niitä teoreeman 8 perusteluun.

TEOREEMA

Oletetaan, että funktio $f$ ja $g$ ovat derivoituvia. Tulofunktion $fg$ derivaattafunktio on $$(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ eli $$\mathop{\mathrm{D}} f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$$

Perustelu: Tulon $fg$ erotusosamäärä kohdassa $a$ on $$ \frac{f(x)g(x) - f(a)g(a)}{x-a}. $$ Joku on keksinyt, että osoittajassa kannattaa lisätä ja vähentää sama termi $\textcolor{red}{f(a)g(x)}$: \begin{align*} &\phantom{ {} = {} } f(x)g(x) - f(a)g(a) \\[2mm] &= f(x)g(x) \textcolor{red}{ - f(a)g(x)} \\ &\phantom{ {} = f(x)g(x) {} } \textcolor{red}{ + f(a)g(x)} - f(a)g(a) \\[2mm] &= (f(x)-f(a))g(x) \\ &\phantom{ {} = (f(x) {} }+ f(a)(g(x)-g(a)) \end{align*} Erotusosamäärä saadaan näin muotoon \begin{multline*} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}g(x) + f(a)\frac{g(x) - g(a)}{x-a} \end{multline*} Koska funktiot $f$ ja $g$ ovat derivoituvia, niiden erotusosamäärillä on raja-arvot. Lisäksi koska funktio $g$ on derivoituva, se on myös jatkuva (teoreema 3). Siten $g(x) \rightarrow g(a)$, kun $x \rightarrow a$. Siis \begin{multline*} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}g(x) + f(a)\frac{g(x) - g(a)}{x-a} \\[2mm] \xrightarrow[x \rightarrow a]{} f'(a)g(a) + f(a)g'(a) \end{multline*} Näin on osoitettu, että $$(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a).$$

Tehtävänä on määrittää funktion $h(x) = (x^2-4x)(x^3+6x)$ arvojen kasvunopeus kohdassa $x = 3$.

  1. Määritä derivaattafunktio $h'(x)$ teoreeman 13 avulla.
  2. Mikä on funktion $h$ arvojen kasvunopeus kohdassa $x = 3$?
  3. Kasvavatko vai pienenevätkö funktion $h$ arvot kohdassa $x = 3$?

  1. $h'(x) = (2x-4)(x^3 + 6x) + (x^2-4x)(3x^2+6)$
  2. $h'(3) = -9$
  3. Funktion $h$ arvot pienenevät kohdassa $x = 3$, koska kasvunopeus on negatiivinen.

Funktioiden tulon yksi erikoistapaus on funktion potenssi. Esimerkiksi funktio $g(x) = (x^2 + 9x)^4$ voidaan tulkita funktion $f(x) = x^2 + 9x$ neljänneksi potenssiksi: $$g(x) = (f(x))^4.$$ Funktioiden tulon derivointisääntöä voidaan soveltaa funktion $f$ toiseen potenssiin: \begin{align*} \mathop{\mathrm{D}} (f(x))^2 &= \mathop{\mathrm{D}}f(x)f(x) \\[1mm] &= f'(x)f(x) + f(x)f'(x) \\[1mm] &= 2f(x)f'(x) \end{align*} Tämän tiedon ja tulon derivointisäännön avulla saadaan määritettyä funktion $f$ kolmannen potenssin derivaatta: \begin{align*} \mathop{\mathrm{D}} (f(x))^3 &= \mathop{\mathrm{D}}f(x)(f(x))^2 \\[1mm] &= f'(x)(f(x))^2 + f(x)\mathop{\mathrm{D}}(f(x))^2 \\[1mm] &= f'(x)(f(x))^2 + f(x)\cdot 2f(x)f'(x) \\[1mm] &= (f(x))^2f'(x) + 2(f(x))^2f'(x) \\[1mm] &= 3(f(x))^2f'(x) \end{align*}

  1. Määritä funktion $f$ neljännen potenssin derivaatta $\mathop{\mathrm{D}} (f(x))^4$ samaan tapaan kuin edellä.
    Vinkki: Tulkitse funktion $f$ neljäs potenssi kahden funktion tulona. Hyödynnä teoreemaa 13 ja edellä johdettuja derivaattoja.
  2. Määritä funktion $g(x) = (x^2 + 9x)^4$ derivaatta a-kohdan tuloksen avulla.

  1. $\mathop{\mathrm{D}} (f(x))^4 = 4(f(x))^3f'(x)$.
  2. $g'(x) = 4(x^2 + 9x)^3(2x + 9)$.

On mahdollista osoittaa, että vastaava funktion potenssin derivointisääntö pätee kaikilla positiivisilla kokonaislukueksponenteilla:

TEOREEMA

Oletetaan, että funktio $f$ on derivoituva. Olkoon $n$ on positiivinen kokonaisluku. Tällöin $$\mathop{\mathrm{D}} (f(x))^n = n(f(x))^{n-1}f'(x).$$

Teoreema voidaan perustella esimerkiksi matemaattisella induktiolla, johon tutustutaan kurssissa MAA11.

Tutkitaan funktiota $f(x) = (2x^2 - 8x)^4$.

  1. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$.
  2. Määritä funktion kuvaajalle kohtaan $x = 1$ piirretyn tangentin kulmakerroin.
  3. Mikä on funktion kuvaajalle kohtaan $x = 1$ piirretyn tangentin yhtälö?
  4. Missä kohdissa funktion kuvaajalle piirretty tangetti on vaakasuora?
  5. Piirrä teknisellä apuvälineellä funktion $f(x)$ kuvaaja ja kohtaan $x=1$ piirretty tangentti. Saitko tangentin yhtälöksi saman kuin c)-kohdassa? Ohjeen Geogebralla piirtämiseen löydät täältä.

  1. $f'(x) = 4(2x^2 - 8x)^3(4x-8)$.
  2. $f'(1) = 3456$
  3. $y = 3456x - 2160$
  4. Derivaattafunktion nollakohdissa $x = 0$, $x = 2$, $x = 4$.

Tässä kappaleessa johdetaan funktioiden osamäärän derivointisääntö, jonka avulla saadaan määritettyä muun muassa rationaalifunktioiden derivaatat.

Aloitetaan sopimalla, mitä funktioiden osamäärällä tarkoitetaan:

MÄÄRITELMÄ: FUNKTIOIDEN OSAMÄÄRÄ

Funktioiden $f$ ja $g$ osamäärä tarkoittaa funktiota, jonka arvo kohdassa $x$ on funktioiden $f$ ja $g$ arvojen osamäärä: $$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}.$$

Esimerkiksi rationaalifunktio $$h(x) = \frac{5x-2}{x^2+5}$$ voidaan tulkita funktioiden $f(x) = 5x-2$ ja $g(x) = x^2+5$ osamääräksi: $$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}.$$ Funktioiden osamäärän derivointisääntö saadaan johdettua tulon derivointisäännön avulla:

TEOREEMA

Oletetaan, että funktiot $f$ ja $g$ ovat derivoituvia. Niiden osamäärän derivaattafunktio on $$\mathop{\mathrm{D}} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)g(x)- f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

Perustelu: Merkitään $$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)},$$ jolloin $f(x) = h(x)g(x)$. Funktion $f$ derivaatta saadaan tulon derivointisäännöllä: $$ f'(x) = h'(x)g(x) + h(x)g'(x). $$ Tästä yhtälöstä voidaan ratkaista funktion $h$ derivaatta: \begin{align*} h'(x)g(x) &= f'(x) - h(x)g'(x) \\[2mm] h'(x) &= \frac{1}{g(x)}\left(f'(x) - h(x)g'(x) \right) \end{align*} Kun funktion $h$ paikalle sijoitetaan funktioiden $f$ ja $g$ osamäärä, saadaan lauseke sievennettyä: \begin{align*} h'(x) &= \frac{1}{g(x)}\left(f'(x) - \frac{f(x)}{g(x)}g'(x) \right) \\[2mm] &= \frac{f'(x)}{g(x)} - \frac{f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \\[2mm] &= \frac{f'(x)g(x)}{(g(x))^2} - \frac{f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \\[2mm] &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \end{align*}

Tutkitaan funktiota $h(x) = \dfrac{5x^2+1}{x}$.

  1. Missä kohdassa funktio $h$ ei ole määritelty?
  2. Määritä derivaattafunktio $h'(x)$. Missä kohdassa derivaattafunktio ei ole määritelty?
  3. Missä kohdissa funktion $h$ kuvaajalle piirretty tangetti on yhdensuuntainen suoran $y = 4x - 1$ kanssa?
  4. Mitkä ovat c-kohdan tangenttien yhtälöt?

  1. Funktio $h$ ei ole määritelty kohdassa $x = 0$.
  2. Derivaattafunktio on $$h'(x) = \dfrac{5x^2-1}{x^2}.$$ Se ole määritelty kohdassa $x = 0$.
  3. Kohdissa $x = -1$ ja $x = 1$.
  4. $y = 4x - 2$ ja $y = 4x + 2$.

Osamäärän derivointisäännön avulla saadaan yleistettyä funktion potenssin derivointisääntö myös negatiivisten eksponenttien tapaukseen:

TEOREEMA

Olkoon $n$ mikä tahansa kokonaisluku. Jos $f$ on derivoituva funktio, niin $$\mathop{\mathrm{D}} (f(x))^n = n(f(x))^{n-1}f'(x).$$

Perustelu: Oletetaan, että $f$ on derivoituva funktio. Tapaus, jossa kokonaisluku $n$ on positiivinen, on käsitelty teoreemassa 14.
Jos $n = 0$, funktio $(f(x))^n$ on vakiofunktio, ja sen derivaatta on nolla. Toisaalta tässä tapauksessa myös \begin{align*} n(f(x))^{n-1}f'(x) &= 0 \cdot (f(x))^{-1}f'(x) \\ &= 0, \end{align*} joten derivointisääntö antaa oikean tuloksen.
Tutkitaan vielä tapaus, jossa kokonaisluku $n$ on negatiivinen. Merkitään sen vastalukua kirjaimella $k$, jolloin $k$ on positiivinen. (Siis $k = -n$ eli $n = -k$.) Sovelletaan potenssien laskusääntöjä kurssilta MAY1 sekä funktioiden osamäärän ja funktion potenssin derivointisääntöjä: \begin{align*} \mathop{\mathrm{D}} (f(x))^n &= \mathop{\mathrm{D}} \frac{1}{(f(x))^{-n}} \\[2mm] &= \mathop{\mathrm{D}} \frac{1}{(f(x))^{k}} \\[2mm] &= \frac{0 - k(f(x))^{k-1}f'(x)}{(f(x))^{2k}} \\[2mm] &= -\frac{k(f(x))^{k-1}f'(x)}{(f(x))^{2k}} \\[2mm] &= -k(f(x))^{k-1-2k}f'(x) \\[2mm] &= -k(f(x))^{-k-1}f'(x) \\[2mm] &= n(f(x))^{n-1}f'(x) \end{align*} Huomaa, että funktion potenssin derivointisääntöä (teoreema 14) voidaan käyttää yllä olevassa päättelyssä, koska $k$ on positiivinen.

Tutkitaan funktiota $g(x) = (1-5x)^{-2}$.

  1. Missä kohdassa funktio $g$ ei ole määritelty?
  2. Määritä derivaattafunktio $g'(x)$. Missä kohdassa derivaattafunktio ei ole määritelty?
  3. Laadi derivaattafunktion merkkikaavio ja päättele, millä lukusuoran väleillä funktio $g$ on aidosti kasvava ja millä aidosti vähenevä.
  4. Tarkista vastauksesi piirtämällä funktion $g$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella.

  1. Funktio $g$ ei ole määritelty kohdassa $x = \frac{1}{5}$.
  2. Derivaattafunktio on $g'(x) = 10(1-5x)^{-3}$. Se ole määritelty kohdassa $x = \frac{1}{5}$.
  3. Funktio $g$ on aidosti kasvava välillä $\left]-\infty, \frac{1}{5}\right[$ ja aidosti vähenevä välillä $\left]\frac{1}{5}, \infty\right[$

Seuraavassa tehtävässä yleistetään potenssifunktion derivointisääntö myös negatiivisille eksponenteille.

Olkoon $n$ kokonaisluku. Tarkastellaan funktiota $g(x) = x^n$.

  1. Mikä on sellainen funktio $f(x)$, että $g(x) = \left(f(x)\right)^n$?
  2. Mikä on derivaattafunktio $f'(x)$?
  3. Määritä funktion $g$ derivaattafunktio a-kohdan ja teoreeman 16 avulla.
    Vinkki: hyödynnä myös b-kohdan tulosta.

  1. $f(x) = x$
  2. $f'(x) = 1$
  3. \begin{align*} g'(x) &= \mathop{\mathrm{D}} \left(f(x)\right)^n \\ &= n\left(f(x)\right)^{n-1}f'(x) \\ &= nx^{n-1}\cdot 1 \\ &= nx^{n-1} \end{align*}

Edellisen tehtävän tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Olkoon $n$ mikä tahansa kokonaisluku. Funktion $g(x) = x^n$ derivaattafunktio on $$g'(x) = nx^{n-1}.$$

Perustelu tehtävässä 6.7.

Tehtävänä on derivoida funktio $$ f(x) = \frac{1}{x^6}. $$

  1. Ilmaise funktion lauseke negatiivisen eksponentin avulla ja määritä derivaattafunktio potenssin derivointisääntöä käyttäen.
  2. Määritä derivaattafunktio osamäärän derivointisäännön avulla.
  3. Vertaa a- ja b-kohdan tuloksia. Ovatko ne samat? Kumpi ratkaisutapa on mielestäsi helpompi? Minkä vuoksi? Selitä omin sanoin.

  1. $f(x) = x^{-6}$ ja $f'(x) = -6x^{-7}$
  2. $f'(x) = \dfrac{0-6x^5}{x^{12}}$
  3. Tulokset ovat samat, koska kumpikin sievenee muotoon $$f'(x) = -\dfrac{6}{x^7}.$$

Nyt olemme hankkineet kaikki tiedot, joita tarvitaan rationaalifunktioiden kulun tutkimiseen. Jos haluamme esimerkiksi selvittää funktion $$ f(x) = \frac{x^2}{x-1} $$ ääriarvot, pystymme

  • määrittämään derivaattafunktion osamäärän derivointisäännöllä
  • ratkaisemaan derivaattafunktion nollakohdat ja kohdat, joissa alkuperäinen funktio tai sen derivaattafunktio ei ole määritelty
  • laatimaan derivaattafunktiolle merkkikaavion ja täydentämään sen funktion $f$ kulkukaavioksi.

Erona aikaisempiin tilanteisiin on oikeastaan vain se, että rationaalifunktiolla ja sen derivaattafunktiolla saattaa olla kohtia, joissa niitä ei ole määritelty. Nämä täytyy ottaa huomioon merkkikaaviossa (ks. luvun 3 kappale Rationaaliepäyhtälö).

Tehtävänä on määrittää funktion $$ f(x) = \frac{x^2}{x-1} $$ ääriarvot.

  1. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$.
  2. Määritä derivaattafunktion nollakohdat ja kohdat, joissa alkuperäinen funktio tai sen derivaattafunktio ei ole määritelty.
  3. Laadi derivaattafunktion merkkikaavio. Muista merkitä siihen myös kohdat, joissa alkuperäinen funktio tai derivaattafunktio ei ole määritelty.
  4. Täydennä derivaattafunktion merkkikaavio funktion $f$ kulkukaavioksi. Mitkä ovat funktion ääriarvot?

  1. $f'(x) = \dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}$
  2. Nollakohdat $x_1 = 0$ ja $x_2 = 2$. Funktio ja sen derivaattafunktio eivät ole määritelty nimittäjän nollakohdassa $x = 1$.
  3. Paikallinen maksimiarvo $f(0) = 0$ ja minimiarvo $f(2) = 4$.

Tehtävänä on tutkia, onko funktiolla $$ g(x) = \frac{x}{x^2-1} $$ ääriarvoja.

  1. Määritä derivaattafunktio $g'(x)$.
  2. Määritä derivaattafunktion nollakohdat ja kohdat, joissa alkuperäinen funktio tai sen derivaattafunktio ei ole määritelty.
  3. Laadi derivaattafunktion merkkikaavio. Muista merkitä siihen myös kohdat, joissa alkuperäinen funktio tai sen derivaattafunktio ei ole määritelty.
  4. Täydennä derivaattafunktion merkkikaavio funktion $g$ kulkukaavioksi. Onko funktiolla $g$ ääriarvoja?

  1. $g'(x) = \dfrac{-x^2-1}{(x^2-1)^2}$
  2. Derivaattafunktiolla ei ole nollakohtia. Funktio ja sen derivaattafunktio eivät ole määritelty nimittäjän nollakohdissa $x_1 = 1$ ja $x_2 = -1$.
  3. Funktion kulkukaavio on

    Funktiolla $g$ ei ole ääriarvoja.

Kohdat, joissa funktio tai sen derivaattafunktio ei ole määritelty, täytyy huomioida myös silloin, kun kulkukaavion pohjalta tehdään päätelmiä funktion kasvamisesta ja vähenemisestä. Aikaisemmin luvussa 5 tarkasteltiin polynomifunktiota $$f(x) = \frac{1}{6}x^3 + 1,$$ jonka derivaattafunktio on $$f'(x) = \frac{1}{2}x^2.$$ Funktion $f$ kulkukaaviosta voidaan päätellä, että funktio $f$ on aidosti kasvava koko reaaliakselilla:

Myös funktion $f$ kuvaaja tukee tätä johtopäätöstä:

Tehtävässä 6.10 puolestaan tarkasteltiin rationaalifunktiota $$ g(x) = \frac{x}{x^2-1}, $$ jonka kulkukaavioksi saatiin

Kulkukaaviosta nähdään, että funktio $g$ on aidosti vähenevä väleillä $\left]-\infty, -1\right[$, $\left]-1, 1\right[$ ja $\left] 1, \infty\right[$. Se ei kuitenkaan ole aidosti vähenevä koko lukusuoralla, mikä nähdään funktion kuvaajasta:

Kun kulkukaavion perusteella tehdään johtopäätöksiä, täytyy siis olla tarkkana, ovatko siihen merkityt erityiskohdat derivaatan nollakohtia vai kohtia, joissa funktio tai sen derivaattafunktio ei ole määritelty. Funktion kuvaajan avulla voi usein tarkistaa, ovatko kulkukaaviosta tehdyt päätelmät oikein.

Tehtävänä on tutkia, on funktiolla $$ f(x) = \frac{x^2}{x^2+1} $$ suurinta tai pienintä arvoa.

  1. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$.
  2. Laadi funktion $f$ kulkukaavio.
  3. Onko funktiolla $f$ paikallisia ääriarvoja?
  4. Onko funktiolla $f$ suurinta arvoa? Entä pienintä? Pystytkö perustelemaan vastaukset pelkän kulkukaavion avulla?

  1. $f'(x) = \dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$
  2. Funktiolla $f$ on minimiarvo $f(0) = 0$.
  3. Funktio on aidosti vähenevä välillä $\left] -\infty, 0\right]$ ja aidosti kasvava välillä $\left[0, \infty\right[$, joten funktion $f$ pienin arvo on $f(0) = 0$. Funktiolla $f$ ei ole suurinta arvoa.

Joissakin tilanteissa funktion suurimman ja pienimmän arvon olemassaoloa ei voida päätellä pelkän kulkukaavion avulla. Esimerkiksi funktion $$ g(x) = \frac{-3x}{x^2 + 1} $$ kulkukaaviosta nähdään, että funktiolla $g$ on kaksi ääriarvoa: maksimiarvo $g(-1) = \frac{3}{2}$ ja minimiarvo $g(1) = -\frac{3}{2}$.

Se, onko maksimiarvo $g(-1) = -\frac{3}{2}$ myös funktion $g$ suurin arvo, riippuu funktion arvojen käyttäytymisestä muuttujan kasvaessa rajatta. Kulkukaaviosta nimittäin nähdään, että funktio $g$ on aidosti kasvava välillä $\left[1, \infty\right[$. Kasvavatko sen arvot tällä välillä suuremmiksi kuin maksimikohdassa $x = -1$?

Funktion $g$ lauseketta tarkastelemalla havaitaan, että nimittäjä $x^2 + 1$ on aina positiivinen. Jos $x \geq 1$, osoittaja $-3x$ on negatiivinen. Funktion $g$ arvot ovat siis negatiivisia välillä $\left[1, \infty\right[$, joten $g(-1) = \frac{3}{2}$ on funktion suurin arvo.

Tutkitaan vielä, onko minimiarvo $g(1) = -\frac{3}{2}$ funktion $g$ pienin arvo. Saako funktio $g$ tätä pienemmän arvon välillä $\left] -\infty, -1\right]$?

Funktion $g$ lausekkeesta voidaan päätellä samaan tapaan kuin edellä, että jos $x \leq -1$, niin funktion arvot ovat positiivisia. Siten $g(1) = -\frac{3}{2}$ on funktion $g$ pienin arvo. Myös funktion kuvaaja tukee näitä johtopäätöksiä:

Huomaa, että pelkän kuvaajan perusteella ei voida olla täysin varmoja, kuinka suuria tai pieniä arvoja funktio saa, kun muuttuja kasvaa tai pienenee rajatta. Edellä tehty päättely kuitenkin takaa, että $g(-1) = \frac{3}{2}$ ja $g(1) = -\frac{3}{2}$ ovat todella funktion suurin ja pienin arvo.

Tehtävänä on tutkia, on funktiolla $$ f(x) = \frac{4x}{x^2+3} $$ suurinta tai pienintä arvoa.

  1. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$.
  2. Laadi funktion $f$ kulkukaavio.
  3. Onko funktiolla $f$ paikallisia ääriarvoja?
  4. Onko funktiolla $f$ suurinta arvoa? Entä pienintä? Perustele vastauksesi huolellisesti samaan tapaan kuin edellä.

  1. $f'(x) = \dfrac{12-4x^2}{(x^2+3)^2}$
  2. Funktiolla $f$ on minimiarvo $f(-\sqrt{3}) = -\frac{2}{3}\sqrt{3}$ ja maksimiarvo $f(\sqrt{3}) = \frac{2}{3}\sqrt{3}$.
  3. Funktion $f$ on aidosti vähenevä välillä $\left[\sqrt{3}, \infty\right[$ mutta sen arvot ovat tällä välillä positiivisia, joten minimiarvo $f(-\sqrt{3}) = -\frac{2}{3}\sqrt{3}$ on funktion $f$ pienin arvo.
    Funktion $f$ arvot ovat negatiivisia välillä $\left]-\infty, -\sqrt{3}\right]$, joten maksimiarvo $f(\sqrt{3}) = \frac{2}{3}\sqrt{3}$ on funktion $f$ suurin arvo.

Taito tutkia rationaalifunktion kulkua antaa uusia mahdollisuuksia erilaisten käytännön ongelmien ratkaisemiseen. Jälleen ensimmäinen haaste on kuitenkin mallintaa ongelma matemaattisesti:

  • Mitä muuttujaa tarkastellaan?
  • Minkä funktion suurinta tai pienintä arvoa etsitään?
  • Millä välillä muuttujan arvot vaihtelevat?

Tarkastellaan esimerkiksi seuraavaa tilannetta: Kunnan kaavoitusarkkitehti suunnittelee uutta pientaloaluetta. Alueelle halutaan kaavoittaa tontteja, joille voi rakentaa $130 \text{ m}^2$ omakotitalon. Tontit ovat suorakulmion muotoisia ja rajoittuvat yhdeltä sivultaan puroon. Rakennuksen etäisyys purosta on oltava vähintään 11 metriä ja tontin muista reunoista vähintään 5 metriä. Mitkä ovat pienimmän mahdollisen tontin mitat ja pinta-ala? Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että myös rakennuksen pohja on suorakulmion muotoinen ja sen sivut ovat yhdensuuntaiset tontin rajojen kanssa.

Aloitetaan piirtämällä tilanteesta kuva. Merkitään tontin sivujen pituuksia kirjaimilla $x$ ja $y$:

Rakennuksen pinta-alasta $130 \text{ m}^2$ saadaan ehto muuttujille $x$ ja $y$: $$ (x-10)(y-16) = 130. $$ Tästä yhtälöstä voidaan ratkaista toinen muuttujista: \begin{align*} y-16 &= \frac{130}{x-10} \\[2mm] y &= \frac{130}{x-10} + 16 \end{align*} Tontista halutaan mahdollisimman pieni, joten ryhdytään tutkimaan tontin pinta-alaa $A = xy$. Sijoitetaan tähän äskeisen pyörittelyn tulos, jolloin tontin pinta-ala saadaan ilmaistua muuttujan $x$ funktiona: \begin{align*} A(x) &= x\left(\frac{130}{x-10} + 16\right) \\[2mm] &= \frac{130x}{x - 10} + 16x. \end{align*} Mallikuvasta voidaan päätellä, että tontin leveys $x$ on vähintään 10 metriä eikä sillä periaatteessa ole ylärajaa. Tehtävänä on siis etsiä funktion $A(x)$ pienin arvo, kun $x \geq 10$. Tämä tehdään seuraavassa tehtävässä.

Jatkoa edelliseen esimerkkiin. Tehtävänä on määrittää funktion $$ A(x) = \frac{130x}{x - 10} + 16x $$ pienin arvo, kun $x \geq 10$, tai osoittaa, että pienintä arvoa ei ole olemassa.

  1. Määritä derivaattafunktio $A'(x)$.
  2. Laadi funktion $A$ kulkukaavio.
  3. Onko funktiolla $A$ pienin arvo välillä $\left[10, \infty\right[$?
  4. Mitkä ovat pienimmän mahdollisen tontin mitat desimetrin tarkkuudella? Entä mikä on sen pinta-ala?

  1. $A'(x) = \dfrac{-1300}{(x-10)^2} + 16$
  2. Funktion $A$ pienin arvo on \begin{align*} A\left(10+\frac{5}{2}\sqrt{13}\right) &= 130 + 80\sqrt{13} \\[2mm] &\approx 578. \end{align*}
  3. Leveys $x \approx 19{,}0 \text{ m}$, pituus $y \approx 30{,}4 \text{ m}$. Pinta-ala noin $578 \text{ m}^2$.

Suoran ympyrälieriön muotoisen ananassäilykepurkin tilavuus on $6{,}2 \text{ dl}$. Tehtävänä on selvittää, miten purkin korkeus ja pohjan säde pitäisi valita, jotta purkin valmistaminen vaatisi mahdollisimman vähän peltiä.

  1. Piirrä kuva suorasta ympyrälieriöstä. Merkitse sen korkeutta ja pohjaympyrän sädettä joillakin kirjaimilla.
  2. Muodosta säilykepurkin tilavuuden avulla yhtälö, jossa esiintyvät sekä lieriön korkeus että pohjaympyrän säde.
    Vinkki: Kertaa tarvittaessa lieriön geometriaa MAA3-kurssista. Muunna lieriön tilavuus kuutiosenttimetreiksi esimerkiksi Wikipedian avulla.
  3. Valitse toinen muuttujista ja muodosta funktio, jonka pienintä arvoa etsitään.
  4. Tutki derivaatan avulla, onko funktiolla pienin arvo.
  5. Miten säilykepurkin korkeus ja pohjan säde pitäisi valita, jotta purkin valmistaminen vaatisi mahdollisimman vähän peltiä? Anna vastaukset millimetrin tarkkuudella.

  1. Esimerkiksi korkeus $h$ ja pohjan säde $r$.
  2. Tilavuus on $\pi r^2h = 620 \text{ cm}^3$.
  3. Purkin pinta-ala on $$A(r) = 2\pi r^2 + \frac{1240}{r}$$
  4. Derivaattafunktiolla $$A'(r) = 4\pi r - \frac{1240}{r^2}$$ on nollakohta \begin{align*} r &= \sqrt[3]{\frac{310}{\pi}} \\[2mm] &\approx 4{,}6 \text{ cm}. \end{align*} Funktion $A$ kulkukaavion perusteella funktio $A$ saa siinä pienimmän arvonsa.
  5. Pohjan säde 46 mm ja korkeus 92 mm.

Tulon derivaatta

Määritä derivaattafunktio $f'(x)$, jos

  1. $f(x) = (2x + 1)(x^3-3x+4)$
  2. $f(x) = (1-x^3)^4$
  3. $f(x) = x^3(5x^2-7)^4$

  1. $f'(x) = 8x^3 + 3x^2 - 12x + 5$
  2. $f'(x) = -12x^2(1-x^3)^3$
  3. \begin{align*} f'(x) &= 40x^4(5x^2 - 7)^3 + 3x^2(5x^2-7)^4 \\ &= x^2(5x^2-7)^3(55x^2-21) \end{align*}

Tulon derivaatta

Tiedetään, että $f(4) = -3$ ja $f'(4) = 2$. Määritä funktion $$g(x) = x^2f(x)$$ derivaatan arvo kohdassa $x = 4$.

$g'(4) = 8$.
Vinkki: tulon derivointisäännön mukaan $g'(x) = 2xf(x) + x^2f'(x)$.

Tulon derivaatta

Tarkastellaan funktiota $$f(x) = (x^2 - 1)^5.$$ Määritä tämän funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakertoimen suurin ja pienin arvo välillä $[-1,1]$.

Kulmakertoimen suurin arvo on $$ \frac{5\cdot 2^{13}}{3^9} \left(= \frac{40960}{19683}\right) $$ ja pienin arvo on $$ -\frac{5\cdot 2^{13}}{3^9} \left(= -\frac{40960}{19683}\right) $$ Vinkki: etsi derivaattafunktion suurin ja pienin arvo välillä $[-1,1]$ tutkimalla funktion toista derivaattaa.

Osamäärän derivaatta

Määritä derivaattafunktio $f'(x)$, jos

  1. $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$
  2. $f(x) = -\dfrac{3}{x}$
  3. $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$
  4. $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2-1}$

  1. $f'(x) = -\dfrac{2}{x^3}$
  2. $f'(x) = \dfrac{3}{x^2}$
  3. $f'(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2}$
  4. $f'(x) = \dfrac{x^4-3x^2}{(x^2-1)^2}$

Osamäärän derivaatta

Tiedetään, että $f(2) = -1$ ja $f'(2) = 5$. Määritä funktion $$g(x) = \frac{f(x)}{1-x^2}$$ derivaatan arvo kohdassa $x = 2$.

$g'(2) = -\dfrac{19}{9}$.
Vinkki: osamäärän derivointisäännön mukaan $$g'(x) = \dfrac{(1-x^2)f'(x) + 2xf(x)}{(1-x^2)^2}.$$

Osamäärän derivaatta

Oletetaan, että $a > 0$. Osoita, että käyrän $$ y = \frac{1}{x} $$ pisteeseen $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ piirretty tangetti muodostaa koordinaattiakselien kanssa kolmion, jonka pinta-ala ei riipu vakion $a$ arvosta.

Kolmion pinta-ala on 2.
Tangentin kulmakerroin on $-\frac{1}{a^2}$. Tangentin yhtälöksi saadaan $$ y = -\frac{1}{a^2}x + \frac{2}{a}. $$ Se leikkaa $y$-akselin korkeudella $\frac{2}{a}$ ja $x$-akselin kohdassa $2a$. Kolmion pinta-ala on $$\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{2}{a} = 2.$$

Osamäärän derivaatta

Määritä pisteestä $(1,-3)$ käyrälle $$ y = \frac{1}{x} $$ piirretyn tangentin yhtälö.

Vinkki: kertaa tarvittaessa tehtävän 4.13 jälkeinen esimerkki luvusta 4.

Sopivia tangentteja on kaksi: $y = -x-2$ ja $y = -9x+6$.

Rationaalifunktion kulku

Tarkastellaan funktiota $$ f(x) = \frac{x^2}{2-x} $$

  1. Määritä funktion $f$ ääriarvokohdat ja ääriarvot.
  2. Onko funktiolla $f$ suurinta tai pienintä arvoa?

  1. Funktio $f$ saa minimiarvon $f(0) = 0$ kohdassa $x = 0$ ja maksimiarvon $f(4) = -8$ kohdassa $x = 4$.
  2. Funktion $f$ kulkukaavion perusteella voidaan päätellä, että funktiolla $f$ ei ole suurinta eikä pienintä arvoa.

Rationaalifunktion kulku

Lasketaan positiivisen luvun ja sen käänteisluvun summa. Mikä on summan pienin mahdollinen arvo?

Summan pienin mahdollinen arvo on 2.

Rationaalifunktion kulku

Tarkastellaan funktiota $$ f(x) = \frac{x+1}{x^2 + 3} $$

  1. Määritä funktion $f$ suurin ja pienin arvo välillä $[-5,3]$.
  2. Onko funktiolla $f$ suurinta ja pienintä arvoa, jos tarkastellaan koko lukusuoraa?

  1. Välillä $[-5,3]$ funktion $f$ suurin arvo on $f(1) = \frac{1}{2}$ ja pienin arvo on $f(-3) = - \frac{1}{6}$.
  2. Yllä mainintut ovat funktion $f$ suurin ja pienin arvo myös siinä tapauksessa, että tarkasteluvälinä on koko lukusuora. Kulkukaavion perusteella $f$ on aidosti vähenevä välillä $\pa -\infty, -3]$ mutta funktion lausekkeesta nähdään, että funktion arvot ovat tällä välillä negatiivisia, joten ne ovat pienempiä kuin $f(1) = \frac{1}{2}$. Toisaalta kulkukaavion perusteella $f$ on aidosti vähenevä myös välillä $[1, \infty\pe$, mutta sen arvot ovat tällä välillä positiivisia, joten ne ovat suurempia kuin $f(-3) = - \frac{1}{6}$.

Rationaalifunktion kulku

Ulkoilualueelle suunnitellaan uutta koirapuistoa, jonka pinta-alaksi on sovittu $2\,400 \text{ m}^2$. Puisto on suorakulmion muotoinen ja se jaetaan väliaidalla kahdeksi pienemmäksi suorakulmioksi, joista toinen varataan pienille ja toinen isoille koirille. Selvitä, miten koirapuiston mitat pitää valita, jotta aitauksen rakentamiseen tarvitaan mahdollisimman vähän aitaa.

Puiston leveys 40 m ja pituus 60 m, väliaita lyhyemmän sivun suuntainen eli sen pituus 40 m.

Rationaalifunktion kulku

Kasvihuonevalmistaja suunnittelee uutta kasvihuonemallia, jonka tilavuus on $100 \text{ m}^3$. Kasvihuoneen kehikko valmistetaan teräsputkesta alla olevan kuvion mukaisesti (yhteinäiset paksut viivat kuvaavat teräsputkea). Kasvihuoneen päädyt ovat tasakylkisiä suorakulmaisia kolmioita. Suunnittele kasvihuoneen mitat niin, että teräsputkea tarvitaan mahdollisimman vähän. Anna vastaukset millimetrin tarkkuudella.

Päätykolmion sivun pituus noin 4,641 m ja kasvihuoneen pituus noin 9,283 m.

Rationaalifunktion kulku

Tarkastellaan funktiota $$ g(x) = \frac{4x-1}{x^2} $$

  1. Määritä funktion $g$ ääriarvokohdat ja ääriarvot.
  2. Onko funktiolla $g$ suurinta tai pienintä arvoa?

  1. Funktio $g$ saa maksimiarvon $g\left(\frac{1}{2}\right) = 4$ kohdassa $x = \frac{1}{2}$.
  2. Funktion $g$ kulkukaavion perusteella voidaan päätellä, että funktiolla $g$ ei ole pienintä arvoa.
    Välillä $\pa -\infty, 0\pe$ funktio $g$ on aidosti vähenevä mutta sen arvot ovat negatiivisia, joten se ei tällä välillä saa suurempaa arvoa kuin $g\left(\frac{1}{2}\right) = 4$. Tästä tiedosta ja funktion $g$ kulkukaaviosta voidaan päätellä, että $g\left(\frac{1}{2}\right) = 4$ on funktion $g$ suurin arvo.

Rationaalifunktion kulku

Päiväkodin pihalle suunnitellaan hiekkapohjaista leikkialuetta, johon tulee muun muassa erilaisia kiipeilytelineitä ja keinut. Suorakulmion muotoisen leikkialueen pinta-alan pitäisi olla $350 \text{ m}^2$ ja se ympäröidään kivetyksellä, jonka leveys leikkialueen sivuilla on 1,0 metriä ja päädyissä 3,0 metriä. Määritä leikkialueen mitat niin, että kivetyksen pinta-ala on mahdollisimman pieni.

Leikkialueen päädyn pituus noin 10,8 metriä ja sivun pituus noin 32,4 metriä.

Rationaalifunktion kulku

Mitä arvoja funktio $$ f(x) = \frac{x^2 + 3}{x} $$ saa välillä $[1,4]$?

Funktio saa kaikki arvot väliltä $$\left[2\sqrt{3}, \frac{19}{4}\right].$$ Funktio on määritelty välillä $[1,4]$ ja rationaalifunktiona jatkuva koko määrittelyjoukossaan. Se saa välillä $[1,4]$ pienimmän arvonsa derivaattafunktion $$ f'(x) = \frac{x^2-3}{x^2} $$ nollakohdassa $x = \sqrt{3}$: $$f(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$$ ja suurimman arvonsa välin toisessa päätepisteessä: $$f(4) = \frac{19}{4}.$$ (Välin toisessa päätepisteessä funktion arvo on tätä pienempi.) Koska funktio $f$ on jatkuva, se saa välillä $\pa \sqrt{3}, 4 \pe$ ainakin kerran jokaisen arvon, joka on päätepistearvojen $2\sqrt{3}$ ja $\frac{19}{4}$ välissä (ks. tehtävä 2.19).

Rationaalifunktion kulku

  1. Mihin paraabelin $y = 9-x^2$ pisteeseen piirretty tangentti rajaa koordinaattiakselien kanssa pinta-alaltaan pienimmän kolmion?
  2. Kun paraabeli $y = 9 - x^2$ pyörähtää $y$-akselin ympäri, tangentin ja koordinaattiakselien rajaama kolmio piirtää suoran ympyräkartion. Mikä näin muodostuvan ympyräkartion pienin mahdollinen tilavuus on?

  1. Kysytyksi pisteeksi kelpaavat pisteet $\left(\sqrt{3}, 6\right)$ ja $\left(-\sqrt{3}, 6\right)$.
  2. Pienin mahdollinen tilavuus on $$ \frac{729\pi}{16}. $$ Se saavutetaan, jos tangentti piirretään kohtaan $x = \frac{3}{2}\sqrt{2}$ tai kohtaan $x = -\frac{3}{2}\sqrt{2}$.

Rationaalifunktion kulku

Säiliön, jonka tilavuus on $0{,}8 \text{ m}^3$, muodostuu suorasta ympyrälieriöstä ja kattona olevasta puolipallosta. Suunnittele säiliön mitat (pohjan säde ja lieriöosan korkeus) niin, että säiliön valmistamiseen kuluu mahdollisimman vähän teräslevyä. Anna vastaukset millimetrin tarkkuudella.

Vinkki: kertaa tarvittaessa avaruusgeometriaa MAA3-kurssin luvusta 3.

Pohjan säde ja lieriöosan korkeus kumpikin noin 535 mm.
Ohjeita: Tilavuudesta saadaan yhtälö $$\pi r^2h + \frac{2}{3}\pi r^3 = 0{,}8.$$ Teräslevyn pinta-ala on $$ \pi r^2 + 2\pi rh + 2\pi r^2. $$

  1. Laske funktion $$ f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x} + 1 $$ derivaatan arvo kohdassa $x = 2$.
  2. Määritä $f'(-3)$, kun $$ f(x) = \frac{x^2}{x+1}. $$
  3. Derivoi funktio $$ f(x) = \frac{1-2x^2}{1+x^2}. $$

[Pitkä S2016/2b & S2010/1c & S2008/2a]

  1. $f'(2) = 0$
  2. $f'(-3) = \dfrac{3}{4}$
  3. $ f'(x) = -\dfrac{6x}{(1+x^2)^2} $

Tehtaassa valmistetaan tölkitettyjä säilykehedelmiä. Päärynänpuolikkaita pakataan suoran ympyrälieriön muotoiseen peltitölkkiin. Tölkin pohja- ja kansilevyjen materiaalin hinta on 2,00 €/$\text{m}^2$ ja vaipan materiaalin hinta 1,00 €/$\text{m}^2$. Suunnittele materiaalikustannuksiltaan mahdollisimman halpa peltitölkki, jonka tilavuus on $1\,000 \text{ cm}^3$. Anna vastauksena tölkin korkeuden ja pohjan halkaisijan suhteen tarkka arvo.
[Pitkä K2016/11]

Kysytty suhde on $h:2r = 2$.

Laskeva suora kulkee pisteen $(3, 4)$ kautta siten, että sen ja koordinaattiakselien rajoittaman kolmion ala on mahdollisimman pieni. Määritä suoran kulmakerroin ja vastaava pienin ala.
[Pitkä S2005/9]
Vinkki: Piirrä tilanteesta mallikuva. Kertaa tarvittaessa MAA5-kurssin teoreema 9.

Kun pinta-ala on mahdollisimman pieni, kulmakerroin on $-\frac{4}{3}$ ja pinta-ala on $24$.

Oletetaan, että $a > 0$ ja $b > 0$. Suora kulkee kiinteän pisteen $(a,b)$ kautta ja muodostaa positiivisten koordinaattiakselien kanssa kolmion. Mikä on tällaisen kolmion pienin mahdollinen pinta-ala?
[Pitkä S2010/10]
Vinkki: Piirrä tilanteesta mallikuva. Valitse muuttujaksi suoran kulmakerroin $k$.

Kolmion pienin mahdollinen pinta-ala saavutetaan, kun suoran kulmakerroin on $k = -\frac{b}{a}$. Pienin pinta-ala on $2ab$.

Suorakulmion kaksi kärkeä on $x$-akselilla ja kaksi käyrällä $$ y = \frac{4}{2 + x^2} $$ Mitkä ovat suorakulmion sivujen pituudet, kun sen pinta-ala on suurin mahdollinen?
[Pitkä K2010/7]

Suorakulmion sivujen pituudet ovat $2\sqrt{2}$ ja $1$.

Tulta syöksevät lohikäärmeet Draco ja Nid vartioivat solaa, ja solassa kulkeva joutuu menemään niiden välistä. Lohikäärmeiden välinen etäisyys on 200 kyynärää. Tulisuihkun vaikutus on suoraan verrannollinen lohikäärmeen kokoon ja kääntäen verrannollinen lohikäärmeestä mitatun etäisyyden kolmanteen potenssiin. Draco on kaksi kertaa niin suuri kuin Nid. Mistä kohtaa lohikäärmeiden välistä kulkijan on vaellettava, jotta hän selviäisi mahdollisimman vähällä? Anna vastaus kyynärän tarkkuudella.
[Pitkä K2006/10]
Vinkki: Tarkastele tilannetta, jossa kulkija on etäisyydellä $x$ Dracosta. Jos Dracon tulisuihkun vaikutus on $$ \frac{2a}{x^3}, $$ niin mikä on Nidin tulisuihkun vaikutus? Millä etäisyydellä niiden yhteisvaikutus on pienin?

Noin 109 kyynärän päässä Dracosta.

Olkoon $$ f(x) = \frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}. $$ Kumpi on suurempi, $f(a)$ vai $f(b)$, kun $a = 1 + 10^{-1500}$ ja $b = 1 + 2\cdot 10^{-1500}$?
[Pitkä S2005/7]

Kulkukaaviosta nähdään, että funktio on aidosti vähenevä, kun $x > 1$. Koska $1 < a < b$, on siis $f(a) > f(b)$.

Rautalanka, jonka pituus on 120 cm, katkaistaan kahteen osaan. Toinen osa taivutetaan neliöksi, toinen ympyräksi. Miten lanka on katkaistava, jotta ympyrän ja neliön alojen summa olisi mahdollisimman pieni?
[Lyhyt S2007/12]

Ympyrän osuus langasta on noin 52,8 cm ja neliön 67,2 cm.

Yksikkösäteisen pallon sisällä on tilavuudeltaan mahdollisimman suuri suora ympyräpohjainen lieriö. Määritä lieriön korkeus ja pohjaympyrän säde. Laske lieriön ja pallon tilavuuksien suhde.
[Pitkä K2003/8]

Lieriön korkeus on $\frac{2}{\sqrt{3}}$ ja pohjaympyrän säde on $\sqrt{\frac{2}{3}}$. Lieriön ja pallon tilavuuksien suhde on $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Suunnittele sellainen suoran lieriön muotoinen juomalasi, jonka pohjan paksuus on 5,0 mm, seinämän paksuus 2,0 mm, vetoisuus 2,0 dl ja jonka valmistamiseen tarvitaan mahdollisimman vähän lasia. Ilmoita lasin korkeus ja ulkopuolelta mitattu pohjan halkaisija.
[Pitkä K2017/7]

Lasin korkeus on noin 78,6 mm ja pohjan halkaisija noin 62,8 mm.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.