Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA7 - Trigonometriset funktiot

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

MAA7 - Trigonometriset funktiot

Kurssin tavoitteena on, että

  • tutkit trigonometrisia funktioita yksikköympyrän symmetrioiden avulla
  • osaat ratkaista sellaisia trigonometrisia yhtälöitä, jotka ovat tyyppiä $\sin f(x) = a$ tai $\sin f(x) = \sin g(x)$
  • tunnet trigonometristen funktioiden yhteydet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ja $$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$$
  • osaat derivoida yhdistettyjä funktioita
  • osaat tutkia trigonometrisia funktioita derivaatan avulla
  • osaat hyödyntää trigonometrisia funktioita mallintaessasi jaksollisia ilmiöitä
  • osaat käyttää teknisiä apuvälineitä trigonometristen funktioiden tutkimisessa, trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa ja trigonometristen funktioiden derivaattojen määrittämisessä sovellusongelmissa.

Keskeiset sisällöt

  • suunnattu kulma ja radiaani
  • trigonometriset funktiot symmetria- ja jaksollisuusominaisuuksineen
  • trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen
  • yhdistetyn funktion derivaatta
  • trigonometristen funktioiden derivaatat.

Kurssimateriaali on jaettu kolmeen lukuun: Trigonometriaa yksikköympyrässä, Trigonometriset funktiot ja Yhdistetty funktio.

Pääajatus kurssimateriaalissa on, että matematiikkaa oppii parhaiten tekemällä matematiikkaa. Materiaali on tämän vuoksi kirjoitettu niin, että teet tehtäviä käytännössä koko ajan. Jokainen luku sisältää kolme eri tehtäväsarjaa. Ensimmäisen tehtäväsarjan tehtävät ovat teorian seassa. Tarkoitus on, että etenet materiaalissa tekemällä jokaisen näistä tehtävistä. Voit hyvin tehdä tehtäviä yhdessä kaverin kanssa ja voit kysyä opettajalta heti, jos et ymmärrä jotain asiaa. Asia voi olla jokin tietty tehtävä, teoriassa oleva virke tai esimerkiksi vieras matemaattinen symboli. Pääasia on, että sinä itse teet tehtävät ja ymmärrät, mitä teet. Tämän tehtäväsarjan jälkeen kyseisen luvun teoria on käsitelty ja on aika harjoitella ja syventää juuri opittua. Ennen tätä opettaja pitää ehkä yhteisen opetustuokion tai -keskustelun, jossa pohditaan yhdessä luvun keskeisiä asioita tai työskentelyssä esiin tulleita haastavia kohtia. Mahdollisen opetustuokion jälkeen jatka harjoittelua luvun lopussa olevien kahden tehtäväsarjan tehtävien avulla. Luonnollisesti mitä enemmän harjoittelet, sitä paremmaksi tulet. Kun olet valmis, tee luvun lopussa oleva(t) itsearviointitesti(t). Niiden tarkoitus on kertoa sinulle, oletko ymmärtänyt luvun olennaiset asiat ja kehittää samalla oman oppimisesi arviointia, joka on tärkeä tulevaisuuden taito. Testeissä pärjääminen ei vielä tarkoita, että osaat luvun asiat esimerkiksi kiitettävällä tasolla, vaan testit keskittyvät vahvan perusosaamisen tutkimiseen. Ennen siirtymistä seuraavaan lukuun opettaja haluaa ehkä vielä koota luvussa opittuja asioita sekä antaa palautetta oppimisesta ja sen etenemisestä yhteisessä opetuskeskustelussa.

Trigonometriaa yksikköympyrässä

Tämän luvun tavoitteena on, että saat vahvan visuaalisen mielikuvan sinistä, kosinista ja tangentista yksikköympyrässä. Osaat

  • merkitä suunnatun kulman yksikköympyrään ja määrittää graafisesti likiarvot kulman sinille, kosinille ja tangentille
  • merkitä yksikköympyrään kulmat, joilla on sama sini, kosini tai tangentti kuin annetulla kulmalla $\alpha$
  • käyttää yksikköympyrää sinin, kosinin ja tangentin tarkkojen arvojen ja merkin määrittämiseen
  • määrittää trigonometristen yhtälöiden kaikki ratkaisut yksikköympyrän avulla.

Tässä kappaleessa yleistetään kulman sinin käsite kaikille suunnatuille kulmille, tutkitaan sinin ominaisuuksia ja opitaan ratkaisemaan erilaisia siniyhtälöitä yksikköympyrän avulla. Aloitetaan palauttamalla mieleen kulman sinin aikaisempia määritelmiä.

Kurssilla MAA3 kulman sini määriteltiin aluksi suorakulmaisen kolmion avulla: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman $\alpha$ sini tarkoittaa kulman vastaisen kateetin suhdetta hypoteenuusaan. Alla olevan kuvion merkinnöillä \begin{align*} \sin \alpha &= \textcolor{red}{\dfrac{\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{c}}} \end{align*} Myöhemmin samalla kurssilla otettiin käyttöön uusi määritelmä, joka kattaa myös tylppäkulmaiset kolmiot. Jos $0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$, määritellään kulman $\alpha$ sini seuraavasti: Piirretään origosta lähtevä jana, jonka pituus on 1 ja joka muodostaa positiivisen $x$-akselin kanssa kulman $\alpha$. Kulman $\alpha$ sini on tämän janan toisen päätepisteen $y$-koordinaatti:

Tarkastele alla olevaa kuvaa.

  1. Määritä $\sin \beta$.
  2. Selvitä laskimella kulman $\beta$ suuruus. Anna vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. Kertaa tarvittaessa MAA3-kurssin tehtävä 1.20 ja sitä edeltävä teoriaosuus.
  3. Merkitse kulma $\beta$ koordinaatistoon ja päättele jokin toinen kulma, jolla on sama sinin arvo. Kertaa tarvittaessa MAA3-kurssin tehtävä 1.27.

  1. $\sin \beta = \dfrac{55}{73}$.
  2. $\beta \approx 48{,}9^\circ$
  3. Sopiva kulma on $180^\circ - 48{,}9^\circ = 131{,}1^\circ$.

Mikä tahansa kulma voidaan sijoittaa koordinaatistoon niin, että kulman kärki on origossa ja kulman toinen kylki on positiivisella $x$-akselilla. Kulman toisen kyljen ja yksikköympyrän leikkauspistettä sanotaan kulman kehäpisteeksi:

MÄÄRITELMÄ: YKSIKKÖYMPYRÄ JA KULMAN KEHÄPISTE

Ympyrää, jonka keskipiste on origo ja säde 1, sanotaan yksikköympyräksi. Jos kulma $\alpha$ sijoitetaan koordinaatistoon niin, että sen kärki on origossa ja toinen kylki positiivisella $x$-akselilla, kulman $\alpha$ kehäpiste on kulman toisen kyljen ja yksikköympyrän leikkauspiste $A$:

Yllä oleva määritelmä ei vielä riittävän tarkasti määrää, miten esimerkiksi $55^\circ$ kulma on sijoitettava koordinaatistoon. Alla on näkyvissä kaksi mahdollista tapaa, joissa molemmissa kulman kärki on origossa ja toinen kylki positiivisella $x$-akselilla:

Ongelma ratkaistaan ottamalla käyttöön suunnatun kulman käsite:

MÄÄRITELMÄ: SUUNNATTU KULMA

Suunnattu kulma ilmaisee kierron suunnan ja suuruuden. Kierto vastapäivään on positiivinen:

Kierto myötäpäivään on negatiivinen:
Suunnattu kulma merkitään koordinaatistoon niin, että sen alkukylki on positiivisella $x$-akselilla. Kierron suuruus määrää, mihin suunnatun kulman loppukylki asettuu.

Monella eri kulmalla voi olla sama kehäpiste. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa koordinaatistoon on merkitty kulmat $\beta$ ja $\gamma$, joilla on sama kehäpiste. Sama kehäpiste on esimerkiksi myös kulmalla $\alpha = 665^\circ$, joka saadaan kulmasta $\gamma$ lisäämällä yksi kierros eli täyskulma: $\alpha = \gamma + 360^\circ$.

Keksi neljä kulmaa, joilla on sama kehäpiste kuin alla olevissa kuvissa:

  1. Esimerkiksi $-90^\circ$, $270^\circ$, $630^\circ$ ja $990^\circ$.
  2. Esimerkiksi $-315^\circ$, $45^\circ$, $405^\circ$ ja $765^\circ$.
  3. Esimerkiksi $-225^\circ$, $135^\circ$, $495^\circ$ ja $855^\circ$.

Kehäpisteen käsitteen avulla voimme nyt laajentaa sinin määritelmän kaikille suunnattuille kulmille:

MÄÄRITELMÄ: SUUNNATUN KULMAN SINI

Kulman $\alpha$ sini on kulman $\alpha$ kehäpisteen $y$-koordinaatti:

Määritä tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla seuraavat sinin arvot kahden desimaalin tarkkuudella:

  1. $\sin 15^\circ$
  2. $\sin 120^\circ$
  3. $\sin 185^\circ$
  4. $\sin (-160^\circ )$
  5. $\sin (-55^\circ )$

  1. $\sin 15^\circ \approx 0{,}26$
  2. $\sin 120^\circ \approx 0{,}87$
  3. $\sin 185^\circ \approx -0{,}09$
  4. $\sin (-160^\circ ) \approx -0{,}34$
  5. $\sin (-55^\circ ) \approx -0{,}82$

Seuraavissa tehtävissä tutkitaan sinin ominaisuuksia yksikköympyrän avulla.

Päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin. Voit käyttää apuna alla näkyvää yksikköympyrää tai tätä Geogebra-havainnollistusta.

  1. Mikä on suurin arvo, jonka kulman sini voi saada?
  2. Mikä on pienin arvo, jonka kulman sini voi saada?
  3. Onko sinin suurimman ja pienimmän arvon välillä jonkin arvo, jota sini ei koskaan saa? Selitä omin sanoin.

  1. Sinin suurin mahdollinen arvo on $1$.
  2. Sinin pienin mahdollinen arvo on $-1$.
  3. Sini saa kaikki arvot väliltä $[-1,1]$.
    Perustelu: Valitaan jokin arvo väliltä $[-1,1]$. Otetaan tätä arvoa vastaavalta korkeudelta yksikköympyrän kehäpiste. Tätä kehäpistettä vastaavan kulman sini on yhtä suuri kuin valittu arvo.

Päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin. Voit käyttää apuna alla näkyvää yksikköympyrää tai tätä Geogebra-havainnollistusta.

  1. Keksi jokin kulma, joka on välillä $\pa 90^\circ, 270^\circ \pe$ ja jonka sini on positiivinen.
  2. Keksi jokin kulma, joka on välillä $\pa 0^\circ, 360^\circ \pe$ ja jonka sini on negatiivinen.
  3. Missä koordinaatiston neljänneksessä kulman kehäpisteen pitää olla, jotta kulman sini on positiivinen?
    Kertaa tarvittaessa koordinaatiston neljännesten numerointi kurssin MAA4 luvusta 1.
  4. Missä koordinaatiston neljänneksessä kulman kehäpisteen pitää olla, jotta kulman sini on negatiivinen?

  • Mikä tahansa kulma väliltä $\pa 90^\circ, 180^\circ \pe$.
  • Mikä tahansa kulma väliltä $\pa 180^\circ, 360^\circ \pe$.
  • I tai II neljänneksessä, koska silloin kehäpisteen $y$-koordinaatti on positiivinen.
  • III tai IV neljänneksessä, koska silloin kehäpisteen $y$-koordinaatti on negatiivinen.
  • Edellisten tehtävien tuloksista saadaan seuraava teoreema:

    TEOREEMA

    Kulman sinin arvo on aina lukujen $-1$ ja $1$ välissä: kaikilla kulmilla $\alpha$ pätee $$ -1 \leq \sin \alpha \leq 1. $$ Kulman sini on positiivinen, jos kulman kehäpiste on koordinaatiston I tai II neljänneksessä. Muussa tapauksessa kulman sini on negatiivinen.

    Perustelu tehtävissä 1.4-1.5.

    Opiskelija löytää repustaan taulukkokirjasta irtirepeytyneen sivun, josta näkyy, että $$\sin 75^\circ = \frac{1}{4}\left(\sqrt{6} + \sqrt{2}\right).$$ Merkitse kulma $75^\circ$ yksikköympyrään ja päättele symmetrioiden avulla seuraavat sinin arvot:

    1. $\sin 105^\circ$
    2. $\sin (-75^\circ)$
    3. $\sin 255^\circ$

    Vinkki: Aloita merkitsemällä jokainen kulma yksikköympyrään.

    1. $\sin 105^\circ = \frac{1}{4}\left(\sqrt{6} + \sqrt{2}\right)$
    2. $\sin (-75^\circ) = -\frac{1}{4}\left(\sqrt{6} + \sqrt{2}\right)$
    3. $\sin 255^\circ = -\frac{1}{4}\left(\sqrt{6} + \sqrt{2}\right)$

    Tässä tehtävässä tutkitaan, miten sinin arvo muuttuu, jos suunnatun kulman kehäpiste ja loppukylki peilataan $y$- tai $x$-akselin suhteen. Peilaus $y$-akselin suhteen tehdään kuvittelemalla $y$-akseli peiliksi ja miettimällä, mihin kehäpisteen ja loppukyljen peilikuva muodostuu. Peilaus $x$-akselin suhteen tehdään vastaavasti, mutta peiliksi kuvitellaan $x$-akseli.

    1. Jos alla näkyvän suunnatun kulman $\beta$ kehäpiste ja loppukylki peilataan $y$-akselin suhteen, saadaan kulma $\gamma$. Mitä pystyt päättelemään luvuista $\sin \beta$ ja $\sin \gamma$? Selitä omin sanoin ja piirroksin.
    2. Jos alla näkyvän suunnatun kulman $\beta$ kehäpiste ja loppukylki peilataan $x$-akselin suhteen, saadaan kulma $\alpha$. Mitä pystyt päättelemään luvuista $\sin \beta$ ja $\sin \alpha$? Selitä omin sanoin ja piirroksin.

    1. Sinin arvot ovat samat: $\sin \beta = \sin \gamma$.
    2. Sinin arvot ovat toistensa vastalukuja: $\sin \beta = -\sin \alpha$.

    Tehtävän 1.7 johtopäätöksistä saadaan seuraava teoreema:

    TEOREEMA

    Kulmalla $\alpha$ ja sen suplementtikulmalla $180^\circ - \alpha$ on sama sini: $$ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha $$
    Kulman $\alpha$ ja sen vastakulman $-\alpha$ sinit ovat toistensa vastalukuja: $$ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha $$

    Perustelu tehtävässä 1.7.

    Seuraavissa tehtävissä ryhdytään tutkimaan siniyhtälöiden ratkaisuja.

    Tarkastellaan siniyhtälöä $$ \sin \alpha = -0{,}5. $$ Laskimen nappulan $\bbox[3px,border:2px solid black]{\texttt{sin}^{-1}}\ $ avulla löydetään yksi kulma, joka toteuttaa yhtälön. Tässä tapauksessa laskin antaa kulman $-30^\circ$. (Voit kokeilla, saatko omasta laskimestasi saman kulman.)

    1. Piirrä yksikköympyrä ja siihen laskimen antama kulma $-30^\circ$.
    2. Mitkä seuraavista kulmista toteuttavat tutkittavan yhtälön? Piirrä ne kaikki yksikköympyrään. Mitä yhteistä kulmilla on? Entä mitä eroa?
      • $-30^\circ + 360^\circ$
      • $-30^\circ + 2 \cdot 360^\circ$
      • $-30^\circ + 5 \cdot 360^\circ$
      • $-30^\circ + 100 \cdot 360^\circ$
      • $-30^\circ + (-1) \cdot 360^\circ$
      • $-30^\circ + (-7) \cdot 360^\circ$
    3. Miten voisit ilmaista kaikki edellä luetellut kulmat mahdollisimman lyhyesti kirjaimen $n$ avulla? Mitä kirjain $n$ tässä merkinnässä kuvaa?
    4. Päättele yksikköympyrän avulla jokin toinen kulma, joka toteuttaa yhtälön ja jolla on eri kehäpiste kuin edellä luetelluilla kulmilla.
    5. Ilmaise kirjaimen $n$ avulla kaikki kulmat, joilla on sama kehäpiste kuin d-kohdan kulmalla. Toteuttavatko ne yhtälön $\sin \alpha = -0{,}5$?

    1. Kaikki luettelon kulmat toteuttavat yhtälön. Niillä on sama kehäpiste, mutta ne eroavat toisistaan jollain määrällä täysiä kierroksia (eli täyskulmia) positiiviseen tai negatiiviseen kiertosuuntaan.
    2. Kulmat ovat $-30^\circ + n \cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku (kulmaan $-30^\circ$ lisättävien tai siitä vähennettävien täysien kierrosten määrä).
    3. Esimerkiksi $210^\circ$.
    4. Kulmat ovat $210^\circ + n \cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku. Näillä kulmilla on sama kehäpiste kuin kulmalla $210^\circ$, joten ne kaikki toteuttavat yhtälön $\sin \alpha = -0{,}5$.

    Tarkastellaan siniyhtälöä $$ \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}. $$

    1. Ratkaise laskimella yksi kulma, joka toteuttaa yhtälön. Löydät sen nappulan $\bbox[3px,border:2px solid black]{\texttt{sin}^{-1}}\ $ avulla.
    2. Piirrä yksikköympyrä ja siihen a-kohdassa löytämäsi kulma. Millä toisella kulmalla on sama sini mutta eri kehäpiste?
      Vinkki: edellinen teoreema.
    3. Mitä ovat ne kulmat, joilla on sama kehäpiste kuin a-kohdan kulmalla?
    4. Mitä ovat ne kulmat, joilla on sama kehäpiste kuin b-kohdan kulmalla?
    5. Milloin yhtälö $\,\sin \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,$ toteutuu?

    1. Laskin antaa kulman $45^\circ$.
    2. Sama sini on suplementtikulmalla $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
    3. Kulmat saadaan a-kohdan kulmasta lisäämällä tai vähentämällä mikä tahansa määrä täysiä kierroksia eli täyskulmia: $45^\circ + n\cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    4. Kulmat saadaan b-kohdan kulmasta lisäämällä tai vähentämällä mikä tahansa määrä täysiä kierroksia eli täyskulmia: $135^\circ + n\cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    5. Yhtälö $$\sin \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$ toteutuu, jos ja vain jos \begin{align*} \alpha &= 45^\circ + n\cdot 360^\circ \text{ tai} \\ \alpha &= 135^\circ + n\cdot 360^\circ, \end{align*} missä $n$ on kokonaisluku.

    Edellisen tehtävän päättelyä voidaan soveltaa minkä tahansa kulman tapauksessa, joten saadaan seuraava teoreema. Huomaa, että tiettyä kehäpistettä vastaa aina äärettömän monta kulmaa, jotka saadaan toisistaan lisäämällä tai vähentämällä täysiä kierroksia.

    TEOREEMA

    Oletetaan, että $\alpha_0$ on yksi kulma, joka toteuttaa yhtälön $\sin \alpha = a$. Yhtälön ratkaisu on tällöin \begin{align*} \alpha &= \alpha_0 + n \cdot 360^\circ \text{ tai} \\ \alpha &= 180^\circ - \alpha_0 + n \cdot 360^\circ, \end{align*} missä $n$ on kokonaisluku.

    Perustelu samaan tapaan kuin tehtävässä 1.9.

    Ratkaise seuraavat yhtälöt ja havainnollista ratkaisuja yksikköympyrässä:

    1. $\sin \alpha = 0{,}5$
    2. $\sin \alpha = 1$
    3. $5\sin \alpha = -5$
    4. $3\sin \alpha = 0$
    5. $2\sin \alpha = -\sqrt{3}$

    Vinkki kohtiin (c)-(e): selvitä ensin, mitä on $\sin \alpha$, ja ratkaise yhtälö tämän jälkeen normaalisti.

    1. $\alpha = 30^\circ + n\cdot 360^\circ$ tai $\alpha = 150^\circ + n\cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    2. $\alpha = 90^\circ + n\cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    3. $\alpha = -90^\circ + n\cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    4. $\alpha = n\cdot 180^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    5. $\alpha = -60^\circ + n\cdot 360^\circ$ tai $\alpha = 240^\circ + n\cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Seuraavissa tehtävissä tutkitaan erilaisia siniyhtälön muunnelmia.

    Tässä tehtävässä tutkitaan yhtälöitä $$2\sin \alpha = 1$$ ja $$\sin 2\alpha = 1.$$

    1. Mitä eroa yhtälöissä näyttää olevan? Selitä omin sanoin, mitä huomaat.
    2. Opiskelija ratkaisi yhtälön $2\sin \alpha = 1$. Tuloksen mukaan yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $$ \alpha = 30^\circ + n \cdot 360^\circ $$ tai $$ \alpha = 150^\circ + n \cdot 360^\circ, $$ missä $n$ on kokonaisluku.
      Havainnollista yksikköympyrässä kulmia $\alpha$. Miksi nämä kulmat $\alpha$ toteuttavat yhtälö $2\sin \alpha = 1$?
    3. Opiskelija ratkaisi yhtälön $\sin 2\alpha = 1$. Tuloksen mukaan yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $$ \alpha = 45^\circ + n \cdot 180^\circ, $$ missä $n$ on kokonaisluku. Havainnollista yksikköympyrässä kulmia $\alpha$ ja päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin:
      • Mitä ovat ne kulmat, joiden sini on $1$?
      • Miksi kulmat $\alpha$ toteuttavat yhtälön $\sin 2\alpha = 1$?
      • Miksi ratkaisun kulmat $\alpha$ poikkeavat toisistaan vain oikokulman $180^\circ$ verran eivätkä kokonaista kierrosta?

    1. Kulmat toteuttavat yhtälön $2\sin \alpha = 1$, sillä niille pätee $$ \sin \alpha = \frac{1}{2}. $$
    2. Kulmat $\alpha$ yksikköympyrässä:
      • Kulmat, joiden sini on $1$, ovat $90^\circ + n \cdot 360$, missä $n$ on kokonaisluku.
      • Kulmat $\alpha = 45^\circ + n \cdot 180^\circ$ toteuttavat yhtälön $\sin 2\alpha = 1$, sillä $2\alpha = 90^\circ + n \cdot 360$.
      • Kun yhtälöstä $$2\alpha = 90^\circ + n \cdot 360$$ ratkaistaan $\alpha$, pitää koko yhtälön oikea puoli jakaa luvulla 2.

    Tehtävänä on ratkaista yhtälö $$ \sin 3\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}. $$

    1. Selvitä laskimen avulla yksi kulma, jonka sinin arvo on $\frac{1}{\sqrt{2}}$.
    2. Päättele yksikköympyrän avulla kaikki kulmat, joiden sinin arvo on $\frac{1}{\sqrt{2}}$.
      Vinkki: teoreema 3.
    3. Muodosta b-kohdan avulla yhtälöt, jotka ilmaisevat kulman $3\alpha$ mahdolliset arvot.
    4. Ratkaise c-kohdan yhtälöistä kulma $\alpha$.
    5. Merkitse yksikköympyrään ne ratkaisut, jotka ovat välillä $[0^\circ, 360^\circ \pe$.

    1. Laskin antaa kulman $45^\circ$.
    2. Sopivat kulmat ovat $45^\circ + n \cdot 360^\circ$ ja $135^\circ + n \cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    3. Yhtälöt ovat $$ 3\alpha = 45^\circ + n \cdot 360^\circ $$ ja $$ 3\alpha = 135^\circ + n \cdot 360^\circ, $$ missä $n$ on kokonaisluku.
    4. Yhtälö $\sin 3\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ toteutuu, jos ja vain jos $$ \alpha = 15^\circ + n \cdot 120^\circ $$ tai $$ \alpha = 45^\circ + n \cdot 120^\circ, $$ missä $n$ on kokonaisluku.
    5. Ratkaisut yksikköympyrässä:

    Tässä kappaleessa yleistetään kulman kosinin käsite kaikille suunnatuille kulmille, tutkitaan kosinin ominaisuuksia ja opitaan ratkaisemaan erilaisia kosiniyhtälöitä yksikköympyrän avulla. Aloitetaan palauttamalla mieleen kulman kosinin aikaisempia määritelmiä.

    Kurssilla MAA3 kulman kosini määriteltiin aluksi suorakulmaisen kolmion avulla: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman $\alpha$ kosini tarkoittaa kulman viereisen kateetin suhdetta hypoteenuusaan. Alla olevan kuvion merkinnöillä \begin{align*} \cos \alpha &= \textcolor{red}{\dfrac{\boldsymbol{b}}{\boldsymbol{c}}} \end{align*} Tästä juontaa juurensa myös kosinin nimi. Kulman $\alpha$ kosini on nimittäin kolmion toisen terävän kulman, ns. komplementtikulman sini: \begin{align*} \cos \alpha &= \textcolor{red}{\dfrac{\boldsymbol{b}}{\boldsymbol{c}}} = \sin (90^\circ - \alpha). \end{align*} Kosini muistuttaa monilta ominaisuuksiltaan siniä. Kun opiskelet tätä kappaletta, pidä mielessä edellisen kappaleen asiat ja kokeile, pystytkö jo ennalta arvaamaan kosinin uuden määritelmän ja siitä seuraavat kosinin ominaisuudet.

    Jos $0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$, määriteltiin kulman $\alpha$ kosini MAA3-kurssilla seuraavasti: Piirretään origosta lähtevä jana, jonka pituus on 1 ja joka muodostaa positiivisen $x$-akselin kanssa kulman $\alpha$. Kulman $\alpha$ kosini on tämän janan toisen päätepisteen $x$-koordinaatti:

    Tarkastele alla olevaa kuvaa.

    1. Määritä $\cos \beta$.
    2. Selvitä laskimella kulman $\beta$ suuruus. Anna vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. Kertaa tarvittaessa MAA3-kurssin tehtävä 1.20 ja sitä edeltävä teoriaosuus.
    3. Merkitse kulma $\beta$ koordinaatistoon. Onko välillä $[0^\circ, 180^\circ]$ jokin toinen kulma, jolla on sama kosini?

    1. $\cos \beta = \dfrac{36}{85}$.
    2. $\beta \approx 64{,}9^\circ$
    3. Millään välin $[0^\circ, 180^\circ]$ kulmalla ei ole samaa kosinin arvoa.

    Kosinin määritelmä voidaan laajentaa kaikille suunnattuille kulmille vastaavalla tavalla kuin sinin tapauksessa tehtiin:

    MÄÄRITELMÄ: SUUNNATUN KULMAN KOSINI

    Kulman $\alpha$ kosini on kulman $\alpha$ kehäpisteen $x$-koordinaatti:

    Määritä tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla seuraavat kosinin arvot kahden desimaalin tarkkuudella:

    1. $\cos 40^\circ$
    2. $\cos 105^\circ$
    3. $\cos 205^\circ$
    4. $\cos (-60^\circ )$

    1. $\cos 40^\circ \approx 0{,}77$
    2. $\cos 105^\circ \approx -0{,}26$
    3. $\cos 205^\circ \approx -0{,}91$
    4. $\cos (-60^\circ ) = 0{,}5$

    Seuraavissa tehtävissä tutkitaan kosinin ominaisuuksia yksikköympyrän avulla.

    Päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin. Voit käyttää apuna alla näkyvää yksikköympyrää tai tätä Geogebra-havainnollistusta.

    1. Mikä on suurin arvo, jonka kulman kosini voi saada?
    2. Mikä on pienin arvo, jonka kulman kosini voi saada?
    3. Onko kosinin suurimman ja pienimmän arvon välillä jonkin arvo, jota kosini ei koskaan saa? Selitä omin sanoin.

    1. Kosinin suurin mahdollinen arvo on $1$.
    2. Kosinin pienin mahdollinen arvo on $-1$.
    3. Kosini saa kaikki arvot väliltä $[-1,1]$.
      Perustelu: Valitaan jokin arvo väliltä $[-1,1]$. Otetaan tätä arvoa vastaavalta $x$-akselin kohdalta yksikköympyrän kehäpiste. Tätä kehäpistettä vastaavan kulman kosini on yhtä suuri kuin valittu arvo.

    Päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin. Voit käyttää apuna alla näkyvää yksikköympyrää tai tätä Geogebra-havainnollistusta.

    1. Keksi jokin kulma, joka on välillä $\pa 180^\circ, 360^\circ \pe$ ja jonka kosini on positiivinen.
    2. Keksi jokin kulma, joka on välillä $\pa 0^\circ, 180^\circ \pe$ ja jonka kosini on negatiivinen.
    3. Missä koordinaatiston neljänneksessä kulman kehäpisteen pitää olla, jotta kulman kosini on positiivinen?
      Kertaa tarvittaessa koordinaatiston neljännesten numerointi kurssin MAA4 luvusta 1.
    4. Missä koordinaatiston neljänneksessä kulman kehäpisteen pitää olla, jotta kulman kosini on negatiivinen?

    1. Mikä tahansa kulma väliltä $\pa 270^\circ, 360^\circ]$.
    2. Mikä tahansa kulma väliltä $\pa 90^\circ, 180^\circ]$.
    3. I tai IV neljänneksessä, koska silloin kehäpisteen $x$-koordinaatti on positiivinen.
    4. II tai III neljänneksessä, koska silloin kehäpisteen $x$-koordinaatti on negatiivinen.

    Edellisten tehtävien tuloksista saadaan seuraava teoreema:

    TEOREEMA

    Kulman kosinin arvo on aina lukujen $-1$ ja $1$ välissä: kaikilla kulmilla $\alpha$ pätee $$ -1 \leq \cos \alpha \leq 1. $$ Kulman kosini on positiivinen, jos kulman kehäpiste on koordinaatiston I tai IV neljänneksessä. Muussa tapauksessa kulman kosini on negatiivinen.

    Perustelu tehtävissä 1.15-1.16.

    Matematiikan professori löytää salkustaan taulukkokirjasta irtirepeytyneen sivun, josta näkyy, että $$\cos 108^\circ = -\frac{1}{4}\left(\sqrt{5} - 1\right).$$ Merkitse kulma $108^\circ$ yksikköympyrään ja päättele symmetrioiden avulla seuraavat kosinin arvot:

    1. $\cos 72^\circ$
    2. $\cos (-72^\circ)$
    3. $\cos 252^\circ$

    Vinkki: Aloita merkitsemällä jokainen kulma yksikköympyrään.

    1. $\cos 72^\circ = \frac{1}{4}\left(\sqrt{5} - 1\right)$
    2. $\cos (-72^\circ) = \frac{1}{4}\left(\sqrt{5} - 1\right)$
    3. $\cos 252^\circ = -\frac{1}{4}\left(\sqrt{5} - 1\right)$

    Tässä tehtävässä tutkitaan, miten kosinin arvo muuttuu, jos suunnatun kulman kehäpiste ja loppukylki peilataan $x$- tai $y$-akselin suhteen. Peilaus $x$-akselin suhteen tehdään kuvittelemalla $x$-akseli peiliksi ja miettimällä, mihin kehäpisteen ja loppukyljen peilikuva muodostuu. Peilaus $y$-akselin suhteen tehdään vastaavasti, mutta peiliksi kuvitellaan $y$-akseli.

    1. Jos alla näkyvän suunnatun kulman $\beta$ kehäpiste ja loppukylki peilataan $x$-akselin suhteen, saadaan kulma $\alpha$. Mitä pystyt päättelemään luvuista $\cos \beta$ ja $\cos \alpha$? Selitä omin sanoin ja piirroksin.
    2. Jos alla näkyvän suunnatun kulman $\beta$ kehäpiste ja loppukylki peilataan $y$-akselin suhteen, saadaan kulma $\gamma$. Mitä pystyt päättelemään luvuista $\cos \beta$ ja $\cos \gamma$? Selitä omin sanoin ja piirroksin.

    1. Kosinin arvot ovat samat: $\cos \beta = \cos \alpha$.
    2. Kosinin arvot ovat toistensa vastalukuja: $\cos \beta = -\cos \gamma$.

    Tehtävän 1.18 johtopäätöksistä saadaan seuraava teoreema:

    TEOREEMA

    Kulmalla $\alpha$ ja sen vastakulmalla $-\alpha$ on sama kosini: $$ \cos(-\alpha) = \cos \alpha $$
    Kulman $\alpha$ ja sen suplementtikulman $180^\circ - \alpha$ kosinit ovat toistensa vastalukuja: $$ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha $$

    Perustelu tehtävässä 1.18.

    Seuraavassa tehtävässä ryhdytään tutkimaan kosiniyhtälöiden ratkaisuja.

    Tarkastellaan kosiniyhtälöä $$ \cos \alpha = \frac{1}{2}. $$

    1. Ratkaise laskimella yksi kulma, joka toteuttaa yhtälön. Löydät sen nappulan $\bbox[3px,border:2px solid black]{\texttt{cos}^{-1}}\ $ avulla.
    2. Piirrä yksikköympyrä ja siihen a-kohdassa löytämäsi kulma. Millä toisella kulmalla on sama kosini?
      Vinkki: edellinen teoreema.
    3. Mitä ovat ne kulmat, joilla on sama kehäpiste kuin a-kohdan kulmalla?
    4. Mitä ovat ne kulmat, joilla on sama kehäpiste kuin b-kohdan kulmalla?
    5. Milloin yhtälö $\,\cos \alpha = \dfrac{1}{2}\,$ toteutuu?

    1. Laskin antaa kulman $60^\circ$.
    2. Sama kosini on vastakulmalla $-60^\circ$.
    3. Kulmat saadaan a-kohdan kulmasta lisäämällä tai vähentämällä mikä tahansa määrä täysiä kierroksia eli täyskulmia: $60^\circ + n\cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    4. Kulmat saadaan b-kohdan kulmasta lisäämällä tai vähentämällä mikä tahansa määrä täysiä kierroksia eli täyskulmia: $-60^\circ + n\cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    5. Yhtälö $$\cos \alpha = \dfrac{1}{2}$$ toteutuu, jos ja vain jos \begin{align*} \alpha &= \phantom{-}60^\circ + n\cdot 360^\circ \text{ tai} \\ \alpha &= -60^\circ + n\cdot 360^\circ, \end{align*} missä $n$ on kokonaisluku.

    Edellisen tehtävän päättelyä voidaan soveltaa minkä tahansa kulman tapauksessa, joten saadaan seuraava teoreema:

    TEOREEMA

    Oletetaan, että $\alpha_0$ on yksi kulma, joka toteuttaa yhtälön $\cos \alpha = a$. Yhtälön ratkaisu on tällöin \begin{align*} \alpha &= \phantom{-}\alpha_0 + n \cdot 360^\circ \text{ tai} \\ \alpha &= -\alpha_0 + n \cdot 360^\circ, \end{align*} missä $n$ on kokonaisluku.

    Perustelu samaan tapaan kuin tehtävässä 1.19.

    Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan kosiniyhtälöiden ratkaisemista. Vastaavia siniyhtälöitä ratkotiin jo aikaisemmin tehtävissä 1.10-1.12.

    Ratkaise seuraavat yhtälöt ja havainnollista ratkaisuja yksikköympyrässä:

    1. $\cos \alpha = 0$
    2. $\cos \alpha = -1$
    3. $2\cos \alpha = \sqrt{3}$
    4. $-\frac{1}{4}\cos \alpha = -\frac{1}{4}$
    5. $\sqrt{2}\cos \alpha = -1$

    1. $\alpha = 90^\circ + n\cdot 180^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    2. $\alpha = 180^\circ + n\cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    3. $\alpha = 30^\circ + n\cdot 360^\circ$ tai $\alpha = -30^\circ + n\cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    4. $\alpha = n\cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    5. $\alpha = 135^\circ + n\cdot 360^\circ$ tai $\alpha = -135^\circ + n\cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Tehtävänä on ratkaista yhtälö $$ \cos 4\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}. $$

    1. Selvitä laskimen avulla yksi kulma, jonka kosinin arvo on $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
    2. Päättele yksikköympyrän avulla kaikki kulmat, joiden kosinin arvo on $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
      Vinkki: teoreema 6.
    3. Muodosta b-kohdan avulla yhtälöt, jotka ilmaisevat kulman $4\alpha$ mahdolliset arvot.
    4. Ratkaise c-kohdan yhtälöistä kulma $\alpha$.
    5. Merkitse yksikköympyrään ne ratkaisut, jotka ovat välillä $[0^\circ, 360^\circ \pe$.

    1. Laskin antaa kulman $30^\circ$.
    2. Sopivat kulmat ovat $30^\circ + n \cdot 360^\circ$ ja $-30^\circ + n \cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    3. Yhtälöt ovat $$ 4\alpha = 30^\circ + n \cdot 360^\circ $$ ja $$ 4\alpha = -30^\circ + n \cdot 360^\circ, $$ missä $n$ on kokonaisluku.
    4. Yhtälö $\cos 4\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ toteutuu, jos ja vain jos $$ \alpha = 7{,}5^\circ + n \cdot 90^\circ $$ tai $$ \alpha = -7{,}5^\circ + n \cdot 90^\circ, $$ missä $n$ on kokonaisluku.
    5. Ratkaisut yksikköympyrässä:

    Tutkitaan seuraavaksi, miten kulman sini ja kosini liittyvät toisiinsa. Tässä auttaa Pythagoraan lause (MAA3-kurssin teoreema 4).

    Tässä tehtävässä johdetaan yhtälö, joka yhdistää toisiinsa kulman sinin ja kosinin arvot.

    1. Piirrä yksikköympyrä ja siihen jonkin kulma $\alpha$, jonka kehäpiste ei ole koordinaattiakseleilla. Voit katsoa mallia alla olevasta kuvasta.
    2. Täydennä kuvaan suorakulmainen kolmio, jonka
      • kateetit ovat koordinaattiakselien suuntaiset
      • hypotenuusa yhdistää origon ja kulman $\alpha$ kehäpisteen $(a,b)$.
      Mitkä ovat kateettien pituudet? Entä hypotenuusan pituus?
    3. Miten b-kohdan kolmion sivujen pituudet liittyvät toisiinsa Pythagoraan lauseen mukaan?
    4. Lausu kulman $\alpha$ kehäpisteen koordinaatit kosinin ja sinin avulla. Sijoita ne c-kohdan yhtälöön.
    5. Toteutuuko d-kohdan yhtälö, jos kulman $\alpha$ kehäpiste on koordinaattiakselilla? Tarkista kaikki neljä mahdollista tapausta.

    1. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa kateettien pituudet ovat $\left|a\right|$ ja $b$. Hypotenuusan pituus on 1, koska kysymyksessä on yksikköympyrä.
    2. Pythagoraan lauseen mukaan $a^2 + b^2 = 1$. Huomaa, ettei itseisarvomerkkejä tarvita toiseen potenssiin korotuksen vuoksi.
    3. Kehäpiste on $(a,b) = (\cos \alpha, \sin \alpha)$. Yhtälö on $$ (\cos \alpha)^2 + (\sin \alpha)^2 = 1. $$
    4. Jos kehäpiste on koordinaattiakselilla, se on $(1,0)$, $(-1,0)$, $(0,1)$ tai $(0,-1)$. Havaitaan, että d-kohdan yhtälö toteutuu myös näissä tapauksissa.

    Sinin ja kosinin potenssit merkitään yleensä kirjoittamalla eksponentti jo ennen kulmaa: $\sin^2\!\alpha$ ja $\cos^2\!\alpha$. Nämä ovat siis lyhennysmerkintöjä, joiden avulla voidaan yhdet sulut jättää pois: \begin{align*} \sin^2\! \alpha &= (\sin \alpha)^2 \\ \cos^2\! \alpha &= (\cos \alpha)^2 \end{align*} Muotoillaan tehtävän 1.22 tuloksena syntyvä teoreema näitä merkintöjä käyttäen:

    TEOREEMA

    Jokaisen kulman sinin ja kosinin neliöiden summa on 1: $$ \sin^2\! \alpha + \cos^2 \! \alpha = 1. $$

    Perustelu tehtävässä 1.22.

    Teoreeman 7 tulosta voidaan hyödyntää muun muassa sinin ja kosinin tarkkojen arvojen määrittämisessä sekä joidenkin yhtälöiden ratkaisussa. Tätä harjoitellaan seuraavissa tehtävissä.

    Tehtävänä on määritää kulman $\alpha$ sinin tarkka arvo, kun tiedetään, että $$ \cos \alpha = \frac{35}{37} $$ ja että $180^\circ \leq \alpha \leq 360^\circ$.

    1. Selvitä edellisen teoreeman avulla, mikä on lausekkeen $\sin^2\! \alpha$ tarkka arvo.
    2. Mitä voit päätellä kulman $\alpha$ sinin merkistä tiedon $180^\circ \leq \alpha \leq 360^\circ$ perusteella?
    3. Päättele a- ja b-kohtien perusteella, mikä on kulman $\alpha$ sinin tarkka arvo.

    1. $\sin^2\! \alpha = \dfrac{144}{1369}$
    2. Sinin arvo on negatiivinen (tai nolla).
    3. $\sin \alpha = -\sqrt{\dfrac{144}{1369}} = -\dfrac{12}{37}$

    Tehtävänä on ratkaista yhtälö $$ 2\sin^2\! \alpha + \cos \alpha = \frac{3}{2}. $$

    1. Muokkaa yhtälöä teoreeman 7 avulla niin, että siinä esiintyy vain kosinin potensseja. Toisin sanottuna korvaa $\sin^2\! \alpha$ sopivalla lausekkeella.
    2. Muokkaa yhtälö muotoon $$ a\cos^2\! \alpha + b\cos \alpha + c = 0. $$
    3. Ratkaise $\cos \alpha$ toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla (MAA2-kurssin teoreema 5).
    4. Kohdan (c) tuloksena saat kaksi yhtälöä kulman $\alpha$ kosinille. Ratkaise nämä yhtälöt normaaliin tapaan.
      Vinkki: katso tarvittaessa mallia tehtävästä 1.19.

    1. Teoreeman 7 mukaan $\sin^2\! \alpha = 1 - \cos^2\! \alpha$. Tällä sijoituksella yhtälö saadaan muotoon $$ 2 - 2\cos^2\! \alpha + \cos \alpha = \frac{3}{2} $$
    2. $$ - 2\cos^2\! \alpha + \cos \alpha + \frac{1}{2} = 0 $$
    3. $$ \cos \alpha = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{-4} $$
    4. Yhtälö $\cos \alpha = \frac{-1 + \sqrt{5}}{-4}$ toteutuu, jos ja vain jos $\alpha = 108^\circ + n \cdot 360^\circ$ tai $\alpha = -108^\circ + n \cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
      Yhtälö $\cos \alpha = \frac{-1 - \sqrt{5}}{-4}$ toteutuu, jos ja vain jos $\alpha = 36^\circ + n \cdot 360^\circ$ tai $\alpha = -36^\circ + n \cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Tässä kappaleessa laajennetaan kulman tangentin määritelmä suunnatuille kulmille yksikköympyrän avulla, tutkitaan tangentin ominaisuuksia ja opitaan ratkaisemaan erilaisia tangenttiyhtälöitä.

    Kurssilla MAA3 kulman tangentti määriteltiin suorakulmaisen kolmion avulla: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman $\alpha$ tangentti tarkoittaa kulman vastaisen kateetin suhdetta viereiseen kateettiin. Alla olevan kuvion merkinnöillä \begin{align*} \tan \alpha &= \textcolor{red}{\dfrac{\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{b}}} \end{align*}

    Tarkastele alla olevaa kuvaa.

    1. Määritä $\tan \gamma$.
    2. Selvitä laskimella kulman $\gamma$ suuruus. Anna vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. Kertaa tarvittaessa MAA3-kurssin tehtävä 1.20 ja sitä edeltävä teoriaosuus.

    1. $\tan \gamma = \dfrac{56}{33}$.
    2. $\gamma \approx 59{,}5^\circ$

    Sini ja kosini määriteltiin aikaisemmin kaikille suunnatuille kulmille kulman kehäpisteen avulla. Tangentin määrittelemiseksi tarvitaan samantyyppinen uusi käsite, kulman tangenttipiste:

    MÄÄRITELMÄ: KULMAN TANGENTTIPISTE

    Piirretään yksikköympyrälle $y$-askelin suuntainen tangentti pisteeseen $(1,0)$. Tämän tangenttisuoran ja suunnatun kulman $\alpha$ loppukyljen tai sen jatkeen leikkauspiste $B$ on kulman $\alpha$ tangenttipiste:

    Lähes kaikkien suunnattujen kulmien loppukylki tai sen jatke leikkaa jossain vaiheessa yksikköympyrälle pisteeseen $(1,0)$ asetetun tangentin. On kuitenkin olemassa kulmia, joiden loppukylki ei koskaan leikkaa tätä tangenttisuoraa. Mitä nämä kulmat ovat?

    Voit käyttää päättelyssä yllä olevaa kuvaa. Keksitkö ainakin neljä kulmaa, joista kahdella on eri kehäpiste?

    Jos kulman loppukylki on $y$-akselilla, ei se eikä sen jatke leikkaa yksikköympyrälle pisteeseen $(1,0)$ asetettua tangentia. Nämä kulmat ovat $90^\circ + n \cdot 180^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Tangenttipisteen käsitteen avulla voimme nyt laajentaa tangentin määritelmän lähes kaikille suunnattuille kulmille:

    MÄÄRITELMÄ: SUUNNATUN KULMAN TANGENTTI

    Oletetaan, että kulman $\alpha$ kehäpiste ei ole $y$-akselilla eli $\alpha \neq 90^\circ + n \cdot 180^\circ$ kaikilla kokonaisluvuilla $n$.
    Kulman $\alpha$ tangentti on kulman $\alpha$ tangenttipisteen $y$-koordinaatti:

    Määritä tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla seuraavat tangentin arvot kahden desimaalin tarkkuudella:

    1. $\tan 40^\circ$
    2. $\tan 145^\circ$
    3. $\tan 205^\circ$
    4. $\tan (-75^\circ )$

    1. $\tan 40^\circ \approx 0{,}84$
    2. $\tan 145^\circ \approx -0{,}70$
    3. $\tan 205^\circ \approx 0{,}47$
    4. $\tan (-75^\circ ) \approx -3{,}73$

    Seuraavassa tehtävässä tutkitaan tangentin ominaisuuksia yksikköympyrän avulla.

    Päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin. Voit käyttää apuna alla näkyvää yksikköympyrää tai tätä Geogebra-havainnollistusta.

    1. Keksi jotkin kulmat $\alpha$ ja $\beta$, jotka ovat välillä $\pa 180^\circ, 360^\circ \pe$ ja joille pätee $\tan \alpha > 0$ ja $\tan \beta < 0$.
    2. Missä koordinaatiston neljänneksessä kulman kehäpisteen pitää olla, jotta kulman tangentti on positiivinen? Entä negatiivinen?
    3. Mitä arvoja kulman tangentti voi saada?

    1. Mitkä tahansa $\alpha \in \pa 180^\circ, 270^\circ\pe$ ja $\beta \in \pa 270^\circ, 360^\circ\pe$.
    2. Tangentti on positiivinen, jos ja vain jos kulman kehäpiste on I tai III neljänneksessä. Tangentti on negatiivinen, jos ja vain jos kulman kehäpiste on II tai IV neljänneksessä.
    3. Kulman tangentti saa kaikki reaalilukuarvot, kun kulma käy läpi esimerkiksi välin $\pa -90^\circ, 90^\circ \pe$.
      Perustelu: Valitaan jokin reaaliluku $t$. Piirretään jana, joka yhdistää pisteen $(1,t)$ origoon. Tämä jana on jonkin kulman $-90^\circ < \alpha < 90^\circ$ loppukylki ja piste $(1,t)$ on kulman $\alpha$ tangenttipiste. Siten $\tan \alpha = t$.

    Edellisen tehtävän tuloksista saadaan seuraava teoreema:

    TEOREEMA

    Kulman tangentti voi olla mikä tahansa reaaliluku. Kulman tangentti on positiivinen, jos kulman kehäpiste on koordinaatiston I tai III neljänneksessä. Muussa tapauksessa kulman tangentti on negatiivinen.

    Perustelu tehtävässä 1.28.

    Siivooja löytää käytävältä taulukkokirjasta irtirepeytyneen sivun, josta näkyy, että $$\tan 195^\circ = 2 - \sqrt{3}.$$ Merkitse kulma $195^\circ$ yksikköympyrään ja päättele symmetrioiden avulla seuraavat tangentin arvot:

    1. $\tan 15^\circ$
    2. $\tan 165^\circ$
    3. $\tan 345^\circ$

    Vinkki: Aloita merkitsemällä jokainen kulma yksikköympyrään.

    1. $\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$
    2. $\tan 165^\circ = \sqrt{3} - 2$
    3. $\tan 345^\circ = \sqrt{3} - 2$

    Tässä tehtävässä tutkitaan, miten tangentin arvo muuttuu, jos suunnatun kulman kehäpiste ja loppukylki peilataan $x$- tai $y$-akselin suhteen.

    1. Jos alla näkyvän suunnatun kulman $\beta$ kehäpiste ja loppukylki peilataan $x$-akselin suhteen, saadaan kulma $\alpha$. Mitä pystyt päättelemään luvuista $\tan \beta$ ja $\tan \alpha$? Selitä omin sanoin ja piirroksin.
    2. Jos alla näkyvän suunnatun kulman $\beta$ kehäpiste ja loppukylki peilataan $y$-akselin suhteen, saadaan kulma $\gamma$. Mitä pystyt päättelemään luvuista $\tan \beta$ ja $\tan \gamma$? Selitä omin sanoin ja piirroksin.

    1. Tangentin arvot ovat toistensa vastalukuja: $\tan \alpha = -\tan \beta$.
    2. Tangentin arvot ovat toistensa vastalukuja: $\tan \gamma = -\tan \beta$.

    Tehtävän 1.30 johtopäätöksistä saadaan seuraava teoreema:

    TEOREEMA

    Kulman $\alpha$ ja sen vastakulman $-\alpha$ tangentit ovat toistensa vastalukuja: $$ \tan(-\alpha) = -\tan \alpha $$
    Kulman $\alpha$ ja sen suplementtikulman $180^\circ - \alpha$ tangentit ovat toistensa vastalukuja: $$ \tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha $$

    Perustelu tehtävässä 1.30.

    Seuraavassa tehtävässä tutkitaan tangenttiyhtälöiden ratkaisuja.

    Tarkastellaan tangenttiyhtälöä $$ \tan \alpha = -\sqrt{3}. $$

    1. Ratkaise laskimella yksi kulma, joka toteuttaa yhtälön. Löydät sen nappulan $\bbox[3px,border:2px solid black]{\texttt{tan}^{-1}}\ $ avulla.
    2. Piirrä yksikköympyrä ja siihen a-kohdassa löytämäsi kulma. Päättele yksikköympyrän avulla, millä kulmalla on sama tangentti mutta eri kehäpiste.
    3. Milloin yhtälö $\,\tan \alpha = -\sqrt{3}\,$ toteutuu?

    1. Laskin antaa kulman $-60^\circ$.
    2. Sama tangentti mutta eri kehäpiste on kulmalla $-60^\circ + 180^\circ = 120^\circ$.
    3. Yhtälö $$\tan \alpha = -\sqrt{3}$$ toteutuu, jos ja vain jos $\alpha = 120^\circ + n \cdot 180^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Edellisen tehtävän päättelyä voidaan soveltaa minkä tahansa kulman tapauksessa, joten saadaan seuraava teoreema:

    TEOREEMA

    Oletetaan, että $\alpha_0$ on yksi kulma, joka toteuttaa yhtälön $\tan \alpha = a$. Yhtälön ratkaisu on tällöin \begin{align*} \alpha &= \alpha_0 + n \cdot 180^\circ, \end{align*} missä $n$ on kokonaisluku.

    Perustelu samaan tapaan kuin tehtävässä 1.31.

    Ratkaise seuraavat yhtälöt ja havainnollista ratkaisuja yksikköympyrässä:

    1. $\tan \alpha = 1$
    2. $-2\tan \alpha = 0$
    3. $\sqrt{3}\tan \alpha = -1$
    4. $\sqrt{2} + \tan \alpha = 1$

    1. $\alpha = 45^\circ + n\cdot 180^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    2. $\alpha = n\cdot 180^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    3. $\alpha = -30^\circ + n\cdot 180^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    4. $\alpha = -22{,}5^\circ + n\cdot 180^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Tehtävänä on ratkaista yhtälö $$ \tan 6\alpha = 2 + \sqrt{3}. $$

    1. Selvitä laskimen avulla yksi kulma, jonka tangentin arvo on $2 + \sqrt{3}$.
    2. Päättele yksikköympyrän avulla kaikki kulmat, joiden tangentin arvo on $2 + \sqrt{3}$.
      Vinkki: teoreema 10.
    3. Muodosta b-kohdan avulla yhtälö, joka ilmaisee kulman $6\alpha$ mahdolliset arvot.
    4. Ratkaise c-kohdan yhtälöstä kulma $\alpha$.
    5. Merkitse yksikköympyrään ne ratkaisut, jotka ovat välillä $[0^\circ, 360^\circ \pe$.

    1. Laskin antaa kulman $75^\circ$.
    2. Sopivat kulmat ovat $75^\circ + n \cdot 180^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    3. Yhtälö on $$ 6\alpha = 75^\circ + n \cdot 180^\circ, $$ missä $n$ on kokonaisluku.
    4. Yhtälö $\tan 6\alpha = 2 + \sqrt{3}$ toteutuu, jos ja vain jos $$ \alpha = 12{,}5^\circ + n \cdot 30^\circ, $$ missä $n$ on kokonaisluku.
    5. Ratkaisut yksikköympyrässä:

    Tutkitaan seuraavaksi, miten tangentti liittyy siniin ja kosiniin.

    Tässä tehtävässä johdetaan yhtälö, joka yhdistää toisiinsa kulman tangentin, sinin ja kosinin arvot.

    1. Alla on näkyvissä yksikköympyrä ja siinä kaksi suorakulmaista kolmiota: $OCA$ ja $ODB$. Mikä on janan $OD$ pituus? Ilmaise janojen $OC$, $AC$ ja $BD$ pituudet kulman $\alpha$ avulla.
    2. Mitä voit päätellä suhteista $\dfrac{BD}{OD}$ ja $\dfrac{AC}{OC}$?
    3. Millaisen yhtälön saat a- ja b-kohtien avulla kulman $\alpha$ tangentin, sinin ja kosinin välille?

    1. $OD = 1$, $OC = \cos \alpha$, $AC = \sin \alpha$ ja $BD = \tan \alpha$.
    2. Kolmioissa $OCA$ ja $ODB$ on kaksi yhtä suurta kulmaa (kulma $\alpha$ ja suora kulma), joten ne ovat yhdenmuotoiset (MAA3-kurssin teoreema 3). Tästä seuraa, että $$ \dfrac{BD}{OD} = \dfrac{AC}{OC} $$
    3. Yhtälö on $$ \dfrac{\tan \alpha}{1} = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$ eli $$ \tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$

    Tehtävän 1.34 tulos saadaan laajennettua seuraavaksi yleispäteväksi teoreemaksi:

    TEOREEMA

    Kulman $\alpha$ tangentti on sinin ja kosinin osamäärä: $$ \tan \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos \alpha}. $$

    Perustelu: Tapaus, jossa kulman $\alpha$ kehäpiste on koordinaatiston I neljänneksessä, on käsitelty tehtävässä 1.34. Tapausta, jossa kehäpiste on II neljänneksessä, on havainnollistettu kuvassa alla.

    Kolmioissa $OCA$ ja $ODB$ on kaksi yhtä suurta kulmaa (suorat kulmat sekä kuvaan merkityt ristikulmat), joten ne ovat yhdenmuotoiset. Tästä seuraa, että $$ \dfrac{BD}{OD} = \dfrac{AC}{OC}. $$ Kun tähän yhtälöön sijoitetaan janojen pituudet $BD = -\tan \alpha$, $OD = 1$, $AC = \sin \alpha$ ja $OC = -\cos \alpha$, päädytään sievennyksen jälkeen yhtälöön $$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}. $$ Huomaa, että tässä tapauksessa kulman $\alpha$ tangentti ja kosini ovat negatiivisia, joten vastaavat janojen pituudet ovat niiden vastalukuja: $BD = -\tan \alpha$ ja $OC = -\cos \alpha$. Miinusmerkit kuitenkin katoavat sievennyksessä.
    Tapaukset, joissa kulman kehäpiste on koordinaatiston III tai IV neljänneksessä, voidaan käsitellä vastaavalla tavalla.

    Teoreeman 11 avulla voidaan määrittää tangentin tarkkoja arvoja ja ratkaista joitakin trigonometrisia yhtälöitä kuten seuraavissa tehtävissä tehdään.

    Määritä $\tan \alpha$, kun tiedetään, että $$ \sin \alpha = \dfrac{12}{37} $$ ja että $$ \cos \alpha = -\frac{35}{37}. $$ Missä neljänneksessä kulman $\alpha$ kehäpiste sijaitsee?

    Sinin ja kosinin merkeistä voidaan päätellä, että kulman $\alpha$ kehäpiste sijaitsee II neljänneksessä. Tangentin arvo on $$ \tan \alpha = -\dfrac{12}{35} $$

    Tehtävänä on ratkaista asteen kymmenesosan tarkkuudella yhtälö $$ 4\sin \alpha - 9 \cos \alpha = 0. $$

    1. Toteutuuko yhtälö, jos $\cos \alpha = 0$?
      Vinkki: Mieti yksikköympyrän avulla, mitä on $\sin \alpha$, jos $\cos \alpha = 0$.
    2. Muokkaa yhtälöä niin, että saat selville suhteen $$ \frac{\sin\alpha}{\cos \alpha}. $$ Miksi voit olettaa, että jakaja $\cos \alpha \neq 0$?
      Vinkki: a-kohta.
    3. Muodosta vastaava tangenttiyhtälö teoreeman 11 avulla ja ratkaise se.
      Vinkki: teoreema 10.

    1. Yhtälö ei toteudu, jos $\cos \alpha = 0$. Nimittäin tässä tapauksessa $\sin \alpha = \pm 1$ ja $$ 4\sin \alpha - 9 \cos \alpha = \pm 4 \neq 0. $$
    2. Koska yhtälö ei toteudu, kun $\cos \alpha = 0$, voidaan olettaa, että $\cos \alpha \neq 0$. Tällöin yhtälöstä saadaan ratkaistua $$ \frac{\sin\alpha}{\cos \alpha} = \frac{9}{4}. $$
    3. Yhtälön $$ \tan \alpha = \frac{9}{4} $$ ratkaisuiksi saadaan laskimen ja yksikköympyrän avulla $$ \alpha \approx 66{,}0^\circ + n \cdot 180^\circ, $$ missä $n$ on kokonaisluku.

    Sini ja kosini

    Laske lausekkeen $4\sin 3\alpha - \cos 2\alpha$ arvo, kun

    1. $\alpha = 90^\circ$
    2. $\alpha = 180^\circ$

    Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrän avulla. Voit tarkistaa tulokset laskimella.

    1. $4\sin 270^\circ - \cos 180^\circ = -3$
    2. $4\sin 540^\circ - \cos 360^\circ = -1$

    Sini

    Merkitse kulma $\beta$ yksikköympyrään ja päättele, millä välin $[0^\circ, 360^\circ \pe$ kulmilla on sama sinin arvo kuin kulmalla $\beta$.

    1. $\beta = 790^\circ$
    2. $\beta = 560^\circ$

    Vinkki: tutki ensin, kuinka monta täyttä kierrosta kulmaan $\beta$ sisältyy.

    1. Sama sinin arvo on kulmilla $70^\circ$ ja $110^\circ$.
      Huom. kulma $70^\circ$ löydetään vähentämällä annetusta kulmasta kaksi täyttä kierrosta.
    2. Sama sinin arvo on kulmilla $200^\circ$ ja $340^\circ$.
      Huom. kulma $200^\circ$ löydetään vähentämällä annetusta kulmasta yksi täysi kierros.

    Kosini

    Merkitse kulma $\beta$ yksikköympyrään ja päättele, millä välin $[0^\circ, 360^\circ \pe$ kulmilla on sama kosinin arvo kuin kulmalla $\beta$.

    1. $\beta = 1210^\circ$
    2. $\beta = -400^\circ$

    Vinkki: tutki ensin, kuinka monta täyttä kierrosta kulmaan $\beta$ sisältyy.

    1. Sama kosinin arvo on kulmilla $130^\circ$ ja $230^\circ$.
      Huom. kulma $130^\circ$ löydetään vähentämällä annetusta kulmasta kolme täyttä kierrosta.
    2. Sama kosinin arvo on kulmilla $40^\circ$ ja $320^\circ$.
      Huom. kulma $320^\circ$ löydetään lisäämällä annettuun kulmaan kaksi täyttä kierrosta.

    Sini

    Tässä tehtävässä määritetään kulmien $30^\circ$, $150^\circ$, $210^\circ$ ja $330^\circ$ sinin tarkka arvo.

    1. Päättele alla olevan muistikolmion avulla, mitä on $\sin 30^\circ$.
    2. Merkitse kulmat $30^\circ$, $150^\circ$, $210^\circ$ ja $330^\circ$ yksikköympyrään.
    3. Päättele yksikköympyrän avulla, mitä ovat $\sin 150^\circ$, $\sin 210^\circ$ ja $\sin 330^\circ$.

    1. $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
    2. Kulmat yksikköympyrässä:
    3. $$\sin 30^\circ = \frac{1}{2} = \sin 150^\circ$$ ja $$\sin 210^\circ = -\frac{1}{2} = \sin 330^\circ$$

    Kosini

    Tässä tehtävässä määritetään kulmien $45^\circ$, $135^\circ$, $225^\circ$ ja $315^\circ$ kosinin tarkka arvo.

    1. Päättele alla olevan muistikolmion avulla, mitä on $\cos 45^\circ$.
    2. Merkitse kulmat $45^\circ$, $135^\circ$, $225^\circ$ ja $315^\circ$ yksikköympyrään.
    3. Päättele yksikköympyrän avulla, mitä ovat $\cos 135^\circ$, $\cos 225^\circ$ ja $\cos 315^\circ$.

    1. $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$
    2. Kulmat yksikköympyrässä:
    3. $$\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos 315^\circ$$ ja $$\cos 135^\circ = -\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos 225^\circ$$

    Sini ja kosini

    Tehtävänä on määrittää lausekkeen $$ \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cos \left(\frac{\alpha}{5}\right) $$ arvo, jos $\alpha = 600^\circ$.

    1. Päättele tarkka arvo alla olevan muistikolmion ja yksikköympyrän avulla.
    2. Laske likiarvo laskimen avulla ja anna vastaus neljän merkitsevän numeron tarkkuudella.

    1. \begin{align*} \sin 300^\circ + \cos 120^\circ &= -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} \\ &= \frac{-1-\sqrt{3}}{2} \end{align*}
    2. Likiarvo on $-1{,}366$.

    Sini ja kosini

    Ratkaise yhtälö $$ \sin \alpha \cos \alpha = 0. $$ Vinkki: palauta tarvittaessa mieleesi MAA2-kurssin teoreema 4.

    $\alpha = n\cdot 90^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku (tulon nollasäännön nojalla yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $\sin \alpha = 0$ tai $\cos \alpha = 0$).

    Sini ja kosini

    Ratkaise yhtälöt

    1. $\sin^2 \alpha = 1$
    2. $\cos^2 \alpha = \frac{1}{2}.$

    Varmista yksikköympyrän avulla, että huomaat kaikki mahdolliset ratkaisut.

    1. $\alpha = 90^\circ + n \cdot 180^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
      Huom. alkuperäinen yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $\sin \alpha = 1$ tai $\sin \alpha = -1$.
    2. $\alpha = 45^\circ + n \cdot 90^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
      Huom. alkuperäinen yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ tai $\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

    Sini ja kosini

    Millä vakion $k$ arvoilla yhtälöllä on ratkaisuja?

    1. $k + \sin \alpha = 2$
    2. $k - 1 = \cos \alpha$

    Vinkki: kertaa tarvittaessa ensimmäisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen kurssista MAA2.

    1. $1 \leq k \leq 3$
    2. $0 \leq k \leq 2$

    Sini ja kosini

    Määritä kulman $\alpha$ kosinin tarkka arvo, jos

    1. $\sin \alpha = \dfrac{2}{3}$ ja kulma $\alpha$ on tylppä
    2. $\sin \alpha = -\dfrac{4}{5}$ ja $-90^\circ < \alpha < 90^\circ$.

    1. $\cos \alpha = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
    2. $\cos \alpha = \dfrac{3}{5}$

    Sini ja kosini

    Sievennä lauseke:

    1. $\cos^3\! \alpha + \cos \alpha \sin^2\! \alpha$
    2. $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2$.

    Vinkki: teoreema 7.

    1. $\cos \alpha$
    2. $1 + 2\sin \alpha \cos \alpha$

    Sini ja kosini

    Ratkaise yhtälö $$ 5 - 7\sin \alpha - 2\cos^2\! \alpha = 0. $$ Vinkki: teoreema 7.

    $\alpha = 30^\circ + n \cdot 360^\circ$ tai $\alpha = 150^\circ + n \cdot 360^\circ$.

    Sini

    Tehtävänä on ratkaista yhtälö $$ \sin 2\alpha = \sin \alpha. $$

    1. Merkitse yksikköympyrään jokin kulma $\alpha$, jonka kehäpiste ei ole koordinaattiakselilla.
    2. Merkitse yksikköympyrään muut kulmat, joilla on sama sinin arvo kuin a-kohdan kulmalla. Ilmaise ne kulman $\alpha$ avulla.
    3. Muodosta b-kohdan avulla kaksi yhtälöä kulmalle $2\alpha$.
    4. Mikä on yhtälön $\sin 2\alpha = \sin \alpha$ ratkaisu?

    1. Kulmat ovat $\alpha + n \cdot 360^\circ$ ja $180^\circ - \alpha + n \cdot 360^\circ$:
    2. Yhtälö $\sin 2\alpha = \sin \alpha$ toteutuu, jos ja vain jos $$ 2\alpha = \alpha + n \cdot 360^\circ $$ tai $$ 2\alpha = 180^\circ - \alpha + n \cdot 360^\circ, $$ missä $n$ on kokonaisluku.
    3. Yhtälö $\sin 2\alpha = \sin \alpha$ toteutuu, jos ja vain jos $$ \alpha = n \cdot 360^\circ $$ tai $$ \alpha = 60^\circ + n \cdot 120^\circ, $$ missä $n$ on kokonaisluku.

    Sini ja kosini

    Ratkaise yhtälöt

    1. $\sin 3\alpha = \sin \alpha$
    2. $\cos 3\alpha = \cos 2\alpha$

    1. $$ \alpha = n \cdot 180^\circ $$ tai $$ \alpha = 45^\circ + n \cdot 90^\circ, $$ missä $n$ on kokonaisluku.
    2. $$ \alpha = n \cdot 72^\circ, $$ missä $n$ on kokonaisluku.
      Huom. tämä sisältää myös ratkaisut, joissa $\alpha = n \cdot 360^\circ$.

    Kosini

    Tehtävänä on ratkaista yhtälö $$ \cos (20^\circ - \alpha) = \cos \alpha. $$

    1. Merkitse yksikköympyrään jokin kulma $\alpha$, jonka kehäpiste ei ole koordinaattiakselilla.
    2. Merkitse yksikköympyrään muut kulmat, joilla on sama kosinin arvo kuin a-kohdan kulmalla. Ilmaise ne kulman $\alpha$ avulla.
    3. Muodosta b-kohdan avulla kaksi yhtälöä kulmalle $20^\circ - \alpha$.
    4. Mikä on yhtälön $\cos (20^\circ - \alpha) = \cos \alpha$ ratkaisu?

    1. Kulmat ovat $\alpha + n \cdot 360^\circ$ ja $- \alpha + n \cdot 360^\circ$:
    2. Yhtälö $\cos (20^\circ - \alpha) = \cos \alpha$ toteutuu, jos ja vain jos $$ 20^\circ - \alpha = \alpha + n \cdot 360^\circ $$ tai $$ 20^\circ - \alpha = - \alpha + n \cdot 360^\circ, $$ missä $n$ on kokonaisluku.
    3. Yhtälö $\cos (20^\circ - \alpha) = \cos \alpha$ toteutuu, jos ja vain jos $$ \alpha = 10^\circ + n \cdot 180^\circ, $$ missä $n$ on kokonaisluku.

    Sini

    Ratkaise yhtälö $$ \sin (4\alpha + 75^\circ) = \sin \alpha. $$

    1. $$ \alpha = -25^\circ + n \cdot 120^\circ $$ tai $$ \alpha = 21^\circ + n \cdot 72^\circ, $$ missä $n$ on kokonaisluku.
    2. $$ \alpha = n \cdot 72^\circ, $$ missä $n$ on kokonaisluku.
      Huom. tämä sisältää myös ratkaisut, joissa $\alpha = n \cdot 360^\circ$.

    Tangentti

    Tässä tehtävässä määritetään kulmien $60^\circ$, $120^\circ$, $240^\circ$ ja $300^\circ$ tangentin tarkka arvo.

    1. Päättele alla olevan muistikolmion avulla, mitä on $\tan 60^\circ$.
    2. Merkitse kulmat $60^\circ$, $120^\circ$, $240^\circ$ ja $300^\circ$ yksikköympyrään. Piirrä näkyviin myös suora $x = 1$ ja kulmien tangenttipisteet.
    3. Päättele b-kohdan kuvan avulla, mitä ovat $\tan 120^\circ$, $\tan 240^\circ$ ja $\tan 300^\circ$.

    1. $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$
    2. Kulmat yksikköympyrässä:
    3. $$\tan 60^\circ = \sqrt{3} = \tan 240^\circ$$ ja $$\tan 120^\circ = -\sqrt{3} = \tan 300^\circ$$

    Tangentti

    Määritä kulman $\alpha$ tangentti, kun tiedetään, että $$ \sin \alpha = -\frac{45}{53} $$ ja $$ \cos \alpha = -\frac{28}{53}. $$ Missä neljänneksessä kulman $\alpha$ kehäpiste sijaitsee?

    Kulman kehäpiste on III neljänneksessä ja $\tan \alpha = \dfrac{45}{28}$.

    Tangentti

    Ratkaise yhtälöt asteen kymmenesosan tarkkuudella:

    1. $\tan \alpha = 2{,}5$
    2. $\tan 3\alpha = -6$

    1. $\alpha \approx 68{,}2^\circ + n \cdot 180^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    2. $\alpha \approx -26{,}8^\circ + n \cdot 60^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Tangentti

    Tiedetään, että $\tan \alpha = -2$ ja $\cos \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$. Mikä on kulman $\alpha$ sinin tarkka arvo?

    $\sin \alpha = -\dfrac{2}{\sqrt{5}}$

    Tangentti

    Ratkaise yhtälö

    1. $\sin \alpha = \cos \alpha$
    2. $\sin \alpha + \sqrt{3}\cos \alpha = 0$

    1. $\alpha = 45^\circ + n \cdot 180^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    2. $\alpha = 120^\circ + n \cdot 180^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Tangentti

    Tiedetään, että $\tan \alpha = 4$ ja $180^\circ < \alpha < 360^\circ$. Tehtävänä on määrittää kulman $\alpha$ sinin ja kosinin tarkat arvot.

    1. Hahmottele kulma $\alpha$ yksikköympyrään. Missä neljänneksessä sen kehäpiste sijaitsee?
    2. Piirrä suorakulmainen kolmio. Valitse sen kateettien pituudet niin, että kolmion toisen terävän kulman $\beta$ tangentti on 4. Mikä on tällöin hypotenuusan pituus?
    3. Määritä b-kohdan suorakulmaisen kolmion avulla $\sin \beta$ ja $\cos \beta$.
    4. Päättele yksikköympyrän avulla, mitä ovat $\sin \alpha$ ja $\cos \alpha$.

    1. Kulman $\alpha$ kehäpiste on III neljänneksessä, koska $180^\circ < \alpha < 360^\circ$ ja tangentin arvo on positiivinen.
    2. Kateettien pituudet 1 ja 4, hypotenuusan pituus $\sqrt{17}$
    3. $\sin \beta = \dfrac{4}{\sqrt{17}}\ $ ja $\ \cos \beta = \dfrac{1}{\sqrt{17}}$.
    4. $\sin \alpha = \dfrac{4}{\sqrt{17}}\ $ ja $\ \cos \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{17}}$.

    Tangentti

    Kulma $\alpha$ toteuttaa yhtälön $$ 5\sin \alpha + 7\cos\alpha = 0. $$ Määritä kulman $\alpha$ sinin ja kosinin tarkat arvot.

    Kulman $\alpha$ tangentin arvoksi saadaan $\tan \alpha = -\dfrac{7}{5}$. Tästä voidaan päätellä, että kulma on II tai IV neljänneksessä. Sinin ja kosinin arvoiksi saadaan $$ \sin \alpha = \frac{7}{\sqrt{74}} \ \text{ ja } \ \cos \alpha = -\frac{5}{\sqrt{74}} $$ tai $$ \sin \alpha = -\frac{7}{\sqrt{74}} \ \text{ ja } \ \cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{74}} $$

    Tangentti

    Tehtävänä on ratkaista yhtälö $$ \tan 3\alpha = \tan \alpha. $$

    1. Mitä ovat ne kulmat $\alpha$, joilla lauseke $\tan \alpha$ ei ole määritelty?
    2. Mitä ovat ne kulmat $\alpha$, joilla lauseke $\tan 3\alpha$ ei ole määritelty?
    3. Merkitse yksikköympyrään jokin kulma $\alpha$, jonka kehäpiste ei ole koordinaattiakselilla.
    4. Merkitse yksikköympyrään muut kulmat, joilla on sama tangentin arvo kuin c-kohdan kulmalla. Ilmaise ne kulman $\alpha$ avulla.
    5. Muodosta d-kohdan avulla yhtälö kulmalle $3\alpha$.
    6. Mikä on yhtälön $\tan 3\alpha = \tan \alpha$ ratkaisu? Ota huomioon a- ja b-kohtien määrittelyehdot.

    1. Lauseke $\tan \alpha$ ei ole määritelty, jos $\alpha = 90^\circ + n \cdot 180^\circ$.
    2. Lauseke $\tan 3\alpha$ ei ole määritelty, jos $\alpha = 30^\circ + n \cdot 60^\circ$.
    3. Kulmat ovat $\alpha + n \cdot 180^\circ$:
    4. Yhtälö $\tan 3\alpha = \tan \alpha$ toteutuu, jos ja vain jos $$ 3\alpha = \alpha + n \cdot 180^\circ, $$ missä $n$ on kokonaisluku.
    5. Yhtälö $\tan 3\alpha = \tan \alpha$ toteutuu, jos ja vain jos $$ \alpha = n \cdot 180^\circ, $$ missä $n$ on kokonaisluku.
      Huom. Ratkaisuehdokkaiksi saadaan $\alpha = n \cdot 90^\circ$, missä $n$ kokonaisluku. Näistä määrittelyehto kuitenkin sulkee pois ne kulmat, joiden kehäpiste on $y$-akselilla.

    Ratkaise yhtälöt

    1. $\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
    2. $\cos 2x + \cos 3x = 0.$

    [Pitkä S2009/2c & Pitkä K2013/9]

    1. $x = 90^\circ + 2n \cdot 360^\circ$ tai $x = 270^\circ + 2n \cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    2. $x = (2n+1)\cdot 180^\circ$ tai $x = \dfrac{2n-1}{5}\cdot 180^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Millä vakion $a$ arvoilla yhtälöllä $$ \sin x = 5 - a^2\sin x $$ on ratkaisuja?
    [Pitkä K2006/5]

    Arvoilla $a \leq -2$ ja arvoilla $a \geq 2$.

    Ratkaise yhtälöt

    1. $3\tan \left(\dfrac{x}{2}\right) + 3 = 0$
    2. $2\sin^2 \! x + 3\cos x - 3 = 0$
    [Pitkä K2012/10]

    1. $x = -90^\circ + n \cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    2. $x = n \cdot 360^\circ$ tai $x = \pm 60^\circ + n \cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Huvipuiston maailmanpyörän halkaisija on 34 metriä ja sen keskipiste on 18 metrin korkeudessa. Pyörä pyörähtää yhden kierroksen minuutissa.

    1. Muodosta lauseke, joska ilmaisee, millä korkeudella maailmanpyörän vaunu on $t$ sekuntia sen jälkeen, kun se on ylöspäin mennessään ollut pyörän keskipisteen tasalla.
    2. Minä ajanhetkinä vaunu on 25 metrin korkeudessa? Anna vastaukset sekunnin tarkkuudella.

    1. $18 \text{ m } + 17 \text{ m } \cdot \sin (t \cdot 6^\circ)$
    2. Noin 4 sekunnin ja 26 sekunnin kuluttua siitä, kun vaunu on ylöspäin mennessään ollut pyörän keskipisteen tasalla.

    Osoita, että lausekkeen $$ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 $$ arvo ei riipu kulmasta $\alpha$.

    Lauseke sievenee muotoon $$ 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha + 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = 2. $$

    Tiedetään, että kulma $\alpha$ toteuttaa yhtälön $$ 4\sin x + 3\cos x = 0. $$ Määritä lausekkeen $3\sin \alpha + 2\cos\alpha$ arvo.

    Lausekkeen arvo on joko $\frac{1}{5}$, jos kulma $\alpha$ on II neljänneksessä, tai $-\frac{1}{5}$, jos kulma $\alpha$ on IV neljänneksessä.

    Osoita, että $$ \frac{1}{\cos^2\, \alpha} - \tan^2\, \alpha = 1 $$ kaikilla kulmilla $\alpha$.

    Sievennetään: \begin{align*} \frac{1}{\cos^2\, \alpha} - \tan^2\, \alpha &= \frac{1}{\cos^2\, \alpha} - \left(\frac{\sin\alpha}{\cos \alpha}\right)^2 \\[2mm] &= \frac{1 - \sin^2\! \alpha}{\cos^2\, \alpha} \\[2mm] &= \frac{\cos^2\! \alpha}{\cos^2\, \alpha} = 1 \end{align*}

    Määritä kaikki kulmat $\beta$, joiden

    1. sini on yhtä suuri kuin kulman $\alpha$ sinin vastaluku
    2. kosini on yhtä suuri kuin kulman $\alpha$ kosinin vastaluku.

    Ilmoita vastauksessa kulmat $\beta$ kulman $\alpha$ avulla.
    Vinkki: hahmottele kulma $\alpha$ yksikköympyrään ja päättele sen avulla, missä kulman $\beta$ kehäpiste voi sijaita.

    1. Sopivat kulmat ovat $\beta = -\alpha + n \cdot 360^\circ$ ja $\beta = 180^\circ + \alpha + n \cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.
    2. Sopivat kulmat ovat $\beta = 180^\circ -\alpha + n \cdot 360^\circ$ ja $\beta = \alpha - 180^\circ + n \cdot 360^\circ$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Ratkaise yhtälö $$ \left(\sin \alpha + \sqrt{3}\right)^2 = \frac{27}{4} $$ [Pitkä K1987/4]

    $\alpha = 60^\circ + n \cdot 360^\circ$ tai $\alpha = 120^\circ + n \cdot 360^\circ$

    Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

    Trigonometriset funktiot

    Tämän luvun tavoitteena on, että tunnet trigonometristen funktioiden kuvaajat ja perusominaisuudet ja ymmärrät niiden yhteyden yksikköympyrään. Osaat

    • käyttää radiaania kulman yksikkönä
    • hahmotella sini-, kosini- ja tangenttifunktioiden kuvaajat kynän ja paperin avulla
    • päätellä, miten erilaiset kertoimet ja vakiot vaikuttavat sini- ja kosinifunktioiden kuvaajien muotoon
    • ratkaista trigonometrisia yhtälöitä sekä yksikköympyrän avulla että graafisesti koordinaatistossa
    • muodostaa trigonometristen funktioiden derivaattafunktiot.

    Edellisessä luvussa määriteltiin kulman $\alpha$ sini ja kosini yksikköympyrän avulla. Jokaista suunnattua kulmaa vastaa täsmälleen yksi sinin ja kosinin arvo, joten siniä ja kosinia voidaan ajatella myös funktioina. Jotta näiden funktioiden kuvaajat voidaan piirtää tavalliseen koordinaatistoon, pitää niiden määrittely- eli lähtöjoukkona olla reaalilukujen joukko. Tämä tarkoittaa, että kulman suuruus pitää ilmaista asteiden sijaan pelkkänä reaalilukuna. Tätä varten määritellään uusi kulman yksikkö, radiaani.

    MÄÄRITELMÄ: RADIAANI

    Kulman suuruus radiaaneina on kulmaa vastaavan ympyrän kaaren pituuden suhde ympyrän säteeseen: $$ \alpha = \frac{b}{r} $$

    Jos kulma mitataan radiaanin määritelmän mukaisesti, tuloksena todella on pelkkä reaaliluku.

    Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa mittauksessa käytetyn ympyrän säde on 40,0 mm ja kulmaa vastaavan kaaren pituus on 31,4 mm, jolloin kulmaksi $\alpha$ saadaan $$ \alpha = \frac{31{,}4 \text{ mm}}{40{,}0 \text{ mm}} = 0{,}785. $$ Pituuden yksiköt supistuvat pois ja tulos on paljas luku. Jos halutaan korostaa, että yksikkönä on asteen sijaan radiaani, voidaan merkitä myös $\alpha = 0{,}785 \text{ rad}$. Yleensä kuitenkin merkitään lyhyesti $\alpha = 0{,}785$.

    Tässä tehtävässä määritetään oikokulman $180^\circ$ suuruus radiaaneina.

    1. Mikä on yksikköympyrän säteen pituus? Entä yksikköympyrän kehän pituus?
      Vinkki: kertaa tarvittaessa MAA3-kurssin teoreema 13.
    2. Päättele a-kohdan avulla, mikä on oikokulmaa vastaavan yksikköympyrän kaaren pituus.
    3. Mikä on oikokulman suuruus radiaaneina?

    1. Yksikköympyrän säteen pituus on $r = 1$ ja kehän pituus on $p = 2\pi r = 2\pi$.
    2. Oikokulmaa vastaavan kaaren pituus on puolet koko yksikköympyrän kehästä eli $\pi$.
    3. Oikokulman suuruus on $\dfrac{\pi}{1}$ eli $\pi$ (radiaania).

    Edellisen tehtävän tuloksesta saadaan seuraava teoreema:

    TEOREEMA

    Oikokulma $180^\circ$ on $\pi$ radiaania.

    Perustelu tehtävässä 2.1.

    Monien muiden kulmien suuruus radiaaneina saadaan pääteltyä miettimällä, miten suuri osa oikokulmasta on kysymyksessä. Esimerkiksi kulma $135^\circ$ on kolme neljäsosaa oikokulmasta, joten sen suuruus radiaaneina on $\frac{3}{4}\pi$.

    Piirrä yksikköympyrä, merkitse siihen seuraavat kulmat ja päättele niiden suuruus radiaaneina. Käytä apuna teoreemaa 12.

    1. $30^\circ$
    2. $60^\circ$
    3. $90^\circ$
    4. $120^\circ$
    5. $150^\circ$
    6. $180^\circ$
    7. $210^\circ$
    8. $240^\circ$
    9. $270^\circ$
    10. $300^\circ$
    11. $330^\circ$
    12. $360^\circ$

    Vinkki: minkä kulman monikertoja kaikki yllä mainitut kulmat ovat?

    Kaikki kulmat ovat kulman $30^\circ$ monikertoja.

    1. $\frac{1}{6}\pi$
    2. $\frac{1}{3}\pi$
    3. $\frac{1}{2}\pi$
    4. $\frac{2}{3}\pi$
    5. $\frac{5}{6}\pi$
    6. $\pi$
    7. $\frac{7}{6}\pi$
    8. $\frac{4}{3}\pi$
    9. $\frac{3}{2}\pi$
    10. $\frac{5}{3}\pi$
    11. $\frac{11}{6}\pi$
    12. $2\pi$

    Piirrä yksikköympyrä, merkitse siihen seuraavat kulmat ja päättele niiden suuruus asteina. Käytä apuna teoreemaa 12.

    1. $\frac{1}{4}\pi$
    2. $\frac{1}{2}\pi$
    3. $\frac{3}{4}\pi$
    4. $\pi$
    5. $\frac{5}{4}\pi$
    6. $\frac{3}{2}\pi$
    7. $\frac{7}{4}\pi$
    8. $2\pi$

    Vinkki: minkä kulman monikertoja kaikki yllä mainitut kulmat ovat?

    Kaikki kulman ovat kulman $\frac{1}{4}\pi$ monikertoja.

    1. $45^\circ$
    2. $90^\circ$
    3. $135^\circ$
    4. $180^\circ$
    5. $225^\circ$
    6. $270^\circ$
    7. $315^\circ$
    8. $360^\circ$

    Kulman yksikkö voidaan vaihtaa asteista radiaaneiksi tai päinvastoin myös verrannon avulla. Seuraavassa selvitetään esimerkin vuoksi, kuinka monta astetta on 1 radiaani.

    Tiedetään, että $180^\circ$ vastaa $\pi$ radiaania. Voidaan muodostaa verranto $$ \frac{x}{1} = \frac{180^\circ}{\pi}, \qquad \left(\frac{\text{asteet}}{\text{radiaanit}}\right) $$ jossa $x$ on 1 radiaanin kulma asteina. Saadaan $$ x = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}3^\circ. $$ Yhden radiaanin kulma on siis noin 57,3 astetta. Sitä vastaava ympyrän kaari on yhtä pitkä kuin ympyrän säde, joten yksikköympyrässä yhden radiaanin kulma näyttää tältä:

    Muuta seuraavat kulma asteista radiaaneksi tai päinvastoin verrannon avulla.

    1. $15^\circ$
    2. $1^\circ$
    3. $\dfrac{1}{5}\pi$
    4. $\dfrac{7}{10}\pi$

    1. $\dfrac{1}{12}\pi \approx 0{,}262$
    2. $\dfrac{1}{180}\pi \approx 0{,}017$
    3. $36^\circ$
    4. $126^\circ$

    Palataan vielä hetkeksi pohtimaan edellä esitettyä radiaanin määritelmää. Riippuuko sen antama kulman suuruus siitä, miten mittauksessa käytetty ympyrä valitaan? Jos ympyrän sädettä kasvatetaan, antaako määritelmä kuitenkin kulmalle saman arvon?

    MAA3-kurssin teoreemassa 14 osoitettiin, että ympyrän kaaren pituus $b$ riippuu keskuskulmasta $\alpha$ ja ympyrän säteestä $r$: $$ b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r. $$ Radiaanin määritelmässä esiintyvä osamäärä ei siis riipu ympyrän säteestä: \begin{align*} \frac{b}{r} &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{2\pi r}{r} \\[2mm] &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi. \end{align*} Havaitaan, että kulman $\alpha$ suuruus radiaaneina saadaan myös vertaamalla kulmaa $\alpha$ täyskulmaan ja ottamalla vastaava osuus luvusta $2\pi$.

    Sinifunktion kuvaaja saadaan muodostettua yksikköympyrän avulla, kun kulma ilmaistaan radiaaneina. Kuvaajaa hahmotellaan seuraavissa tehtävissä.


    Päättele yksikköympyrän avulla, mitä on $\sin x$, jos kulma on radiaaneissa ilmaistuna

    1. $x = -\frac{1}{2}\pi$
    2. $x = 0$
    3. $x = \frac{1}{2}\pi$
    4. $x = \pi$
    5. $x = \frac{3}{2}\pi$
    6. $x = 2\pi$

    Hahmottele sinifunktion kuvaajaa merkitsemällä pisteet $(x, \sin x)$ koordinaatistoon.

    1. $\sin\left(-\frac{1}{2}\pi \right) = -1$
    2. $\sin 0 = 0$
    3. $\sin\left(\frac{1}{2}\pi \right) = 1$
    4. $\sin \pi = 0$
    5. $\sin\left(\frac{3}{2}\pi \right) = -1$
    6. $\sin 2\pi = 0$

    Edellisen tehtävän yksittäiset pisteet eivät anna vielä kunnollista käsitystä sinifunktion kuvaajasta. Kun kuvaajan pisteitä lasketaan huomattavasti enemmän, muodostuu niistä vähitellen yhtenäinen kuvaaja. Tätä havainnollistetaan seuraavassa tehtävässä.

    Tutki sinifunktion kuvaajaa tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla. Päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

    1. Miten kulma $\alpha$ näkyy yksikköympyrässä? Entä sinifunktion kuvaajassa?
    2. Miten sinin arvo $\sin\alpha$ näkyy yksikköympyrässä? Entä sinifunktion kuvaajassa?
    3. Missä $x$-akselin kohdissa sinifunktio saa arvon nolla?
    4. Mikä on sinifunktion suurin arvo? Missä $x$-akselin kohdissa se saavutetaan?
    5. Mikä on sinifunktion pienin arvo? Missä $x$-akselin kohdissa se saavutetaan?
    6. Miten kuvaajasta näkyy, että sinifunktio on jaksollinen funktio, jonka jakso on $2\pi$?

    1. Kulma $\alpha$ näkyy yksikköympyrässä suunnattuna kulmana ja sinifunktion kuvaajassa kuvaajan pisteen $x$-koordinaattina.
    2. Sinin arvo $\sin\alpha$ on yksikköympyrän kehäpisteen $y$-koordinaatti ja sinifunktion kuvaajan pisteen $y$-koordinaatti.
    3. Kohdissa $x = n\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.
    4. Sinifunktion suurin arvo on $1$ ja se saavutetaan kohdissa $x = \frac{\pi}{2} + n\cdot 2\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.
    5. Sinifunktion pienin arvo on $-1$ ja se saavutetaan kohdissa $x = -\frac{\pi}{2} + n\cdot 2\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.
    6. Sinifunktion arvot toistuvat aina $2\pi$ välein eli $\sin (x + 2\pi) = \sin x$ kaikilla kulmilla $x$.

    Kootaan edellisen tehtävän havainnot vielä teoreemaksi. Perustelussa voidaan nojautua yksikköympyrään.

    TEOREEMA

    Sinifunktion arvojoukko on suljettu väli $[-1,1]$.

    Sinifunktio on jaksollinen funktio. Sen jakso on $2\pi$ eli kaikilla muuttujan $x$ arvoilla pätee $$ \sin(x + 2\pi) = \sin x. $$

    Perustelu:

    • Yksikköympyrästä nähdään, että sinin suurin mahdollinen arvo on $1$, pienin mahdollinen arvo $-1$ ja sini saa kaikki arvot väliltä $[-1,1]$. Asiaa on käsitelty tarkemmin tehtävässä 1.4.
    • Kulmilla $x$ ja $x + 2\pi$ on yksikköympyrässä sama kehäpiste, joten $\sin(x + 2\pi) = \sin x$.

    Sinifunktio saa kaikki arvonsa millä tahansa välillä, jonka pituus on jakson pituus $2\pi$. Alla on näkyvissä joitakin esimerkkejä, joissa sinifunktion yksi jakso on merkitty punaisella:

    Päättele yllä näkyvän sinifunktion kuvaajan avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

    1. Teoreeman 2 mukaan kulman ja sen vastakulman sinit ovat toistensa vastalukuja eli $$\sin(-x) = -\sin x$$ kaikilla kulmilla $x$. Miten tämä näkyy sinifunktion kuvaajassa? Selitä omin sanoin.
    2. Onko sinifunktio jatkuva?
    3. Onko sinifunktio derivoituva?

    Vinkki: Kertaa tarvittaessa b- ja c-kohdissa MAA6-kurssin luku 2.

    1. Kuvaaja on symmetrinen origon suhteen:
    2. Sinifunktion kuvaaja on katkematon käyrä, joten sinifunktio näyttäisi olevan jatkuva.
    3. Sinifunktion kuvaajan jokaiseen pisteeseen voidaan asettaa tangentti tasan yhdellä tavalla, joten sinifunktio näyttäisi olevan derivoituva.

    Seuraavissa tehtävissä tutkitaan, miten erilaisilla kertoimilla voidaan vaikuttaa sinifunktion kuvaajan muotoon.

    Yhdistä funktio ja sen kuvaaja. Vastaa sen jälkeen tehtävän lopussa oleviin kysymyksiin.

    • $f(x) = 3 \sin x$
    • $g(x) = 2 \sin 3x$
    • $h(x) = \sin 5x$
    1. Mikä on funktion $f(x) = 3 \sin x$ suurin arvo? Entä pienin? Mikä on funktion $f$ jakso?
    2. Mikä on funktion $g(x) = 2 \sin 3x$ suurin arvo? Entä pienin? Kuinka monta funktion $g$ jaksoa mahtuu $2\pi$ mittaisen välin sisään? Mikä on funktion $g$ jakso?
    3. Kuinka monta funktion $h(x) = \sin 5x$ jaksoa mahtuu $2\pi$ mittaisen välin sisään? Mikä on funktion $h$ jakso?

    Funktion $f$ kuvaaja on B.
    Funktion $g$ kuvaaja on C.
    Funktion $h$ kuvaaja on A.

    1. Funktion $f(x) = 3 \sin x$ suurin arvo on $3$ ja pienin $-3$. Sen jakso on $2\pi$.
    2. Funktion $g(x) = 2 \sin 3x$ suurin arvo on $2$ ja pienin $-2$. Kolme sen jaksoa mahtuu $2\pi$ mittaisen välin sisään, joten yhden jakson pituus on $\frac{2\pi}{3}$.
    3. Funktion $h(x) = \sin 5x$ suurin arvo on $1$ ja pienin $-1$. Viisi sen jaksoa mahtuu $2\pi$ mittaisen välin sisään, joten yhden jakson pituus on $\frac{2\pi}{5}$.

    Tutki edellisen tehtävän tuloksia ja päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

    1. Miten kerroin $k$ vaikuttaa funktion $f(x) = k\sin x$ kuvaajan muotoon? Voit tutkia asiaa myös tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla.
    2. Miten kerroin $k$ vaikuttaa funktion $g(x) = \sin kx$ kuvaajan muotoon? Voit tutkia asiaa myös tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla.

    Tutkitaan vielä lopuksi, miten siniyhtälöiden ratkaisuja voidaan havainnollistaa koordinaatistossa.

    Tehtävänä on ratkaista yhtälö $$ 3\sin x = 1. $$

    1. Alla ovat näkyvissä funktioiden $f(x) = 3\sin x$ ja $g(x) = 1$ kuvaajat. Miten yhtälön $3\sin x = 1$ ratkaisut näkyvät kuvassa?
    2. Ratkaise yhtälö $$ 3\sin x = 1 $$ yksikköympyrän avulla samalla tekniikalla kuin luvussa 1, mutta käytä kulman yksikkönä asteen sijaan radiaania. Anna vastaukset kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
      Vinkki: kertaa tarvittaessa tehtävä 1.9.

    1. Yhtälön ratkaisuja ovat ne kohdat, joissa funktiot saavat saman arvon eli niiden kuvaajat leikkaavat:
    2. $x \approx 0{,}340 + n \cdot 2\pi$ tai $x \approx 2{,}80 + n \cdot 2\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Tutkitaan yhtälön $\sin x = 0{,}5x$ ratkaisuja.

    1. Mikä on funktion $f(x) = \sin x$ suurin arvo? Entä pienin? Pystytkö näiden tietojen avulla rajaamaan $x$-akselin välin, jolla yhtälön $\sin x = 0{,}5x$ ratkaisujen täytyy olla?
    2. Piirrä funktioiden $f(x) = \sin x$ ja $g(x) = 0{,}5x$ kuvaajat samaan koordinaatistoon ja määritä yhtälön $\sin x = 0{,}5x$ ratkaisujen likiarvot graafisesti.

    1. Koska $-1 \leq \sin x \leq 1$ kaikilla kulmilla $x$, yhtälön ratkaisut toteuttavat epäyhtälön $$ -1 \leq 0{,}5x \leq 1 $$ eli $$ -2 \leq x \leq 2. $$
    2. Ratkaisut ovat $x \approx \pm 1{,}9$ ja $x = 0$:

    Kosinifunktion kuvaaja saadaan muodostettua yksikköympyrän avulla samaan tapaan kuin edellisessä luvussa. Kuvaajaa hahmotellaan seuraavissa tehtävissä.


    Päättele yksikköympyrän avulla, mitä on $\cos x$, jos kulma on radiaaneissa ilmaistuna

    1. $x = -\frac{1}{2}\pi$
    2. $x = 0$
    3. $x = \frac{1}{2}\pi$
    4. $x = \pi$
    5. $x = \frac{3}{2}\pi$
    6. $x = 2\pi$

    Hahmottele kosinifunktion kuvaajaa merkitsemällä pisteet $(x, \cos x)$ koordinaatistoon.

    1. $\cos\left(-\frac{1}{2}\pi \right) = 0$
    2. $\cos 0 = 1$
    3. $\cos\left(\frac{1}{2}\pi \right) = 0$
    4. $\cos \pi = -1$
    5. $\cos\left(\frac{3}{2}\pi \right) = 0$
    6. $\cos 2\pi = 1$

    Yksittäiset pisteet eivät anna vielä kunnollista käsitystä kosinifunktion kuvaajasta. Kun kuvaajan pisteitä lasketaan huomattavasti enemmän, muodostuu niistä vähitellen yhtenäinen käyrä. Tätä havainnollistetaan seuraavassa tehtävässä.

    Tutki kosinifunktion kuvaajaa tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla. Päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

    1. Miten kulma $\alpha$ näkyy yksikköympyrässä? Entä kosinifunktion kuvaajassa?
    2. Miten kosinin arvo $\cos\alpha$ näkyy yksikköympyrässä? Entä kosinifunktion kuvaajassa?
    3. Missä $x$-akselin kohdissa kosinifunktio saa arvon nolla?
    4. Mikä on kosinifunktion suurin arvo? Missä $x$-akselin kohdissa se saavutetaan?
    5. Mikä on kosinifunktion pienin arvo? Missä $x$-akselin kohdissa se saavutetaan?
    6. Miten kuvaajasta näkyy, että kosinifunktio on jaksollinen funktio, jonka jakso on $2\pi$?

    1. Kulma $\alpha$ näkyy yksikköympyrässä suunnattuna kulmana ja kosinifunktion kuvaajassa kuvaajan pisteen $x$-koordinaattina.
    2. Kosinin arvo $\cos\alpha$ on yksikköympyrän kehäpisteen $x$-koordinaatti ja kosinifunktion kuvaajan pisteen $y$-koordinaatti.
    3. Kohdissa $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.
    4. Kosinifunktion suurin arvo on $1$ ja se saavutetaan kohdissa $x = n\cdot 2\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.
    5. Kosinifunktion pienin arvo on $-1$ ja se saavutetaan kohdissa $x = \pi + n\cdot 2\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.
    6. Kosinifunktion arvot toistuvat aina $2\pi$ välein eli $\cos (x + 2\pi) = \cos x$ kaikilla kulmilla $x$.

    Kootaan edellisen tehtävän havainnot teoreemaksi. Perustelussa voidaan nojautua yksikköympyrään.

    TEOREEMA

    Kosinifunktion arvojoukko on suljettu väli $[-1,1]$.

    Kosinifunktio on jaksollinen funktio. Sen jakso on $2\pi$ eli kaikilla muuttujan $x$ arvoilla pätee $$ \cos(x + 2\pi) = \cos x. $$

    Perustelu:

    • Yksikköympyrästä nähdään, että kosinin suurin mahdollinen arvo on $1$, pienin mahdollinen arvo $-1$ ja kosini saa kaikki arvot väliltä $[-1,1]$. Asiaa on käsitelty tarkemmin tehtävässä 1.15.
    • Kulmilla $x$ ja $x + 2\pi$ on yksikköympyrässä sama kehäpiste, joten $\cos(x + 2\pi) = \cos x$.

    Kosinifunktio saa kaikki arvonsa millä tahansa välillä, jonka pituus on jakson pituus $2\pi$. Alla on näkyvissä joitakin esimerkkejä, joissa kosinifunktion yksi jakso on merkitty punaisella:

    Päättele yllä näkyvän kosinifunktion kuvaajan avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

    1. Teoreeman 5 mukaan kulman ja sen vastakulman kosinit ovat samat eli $$\cos(-x) = \cos x$$ kaikilla kulmilla $x$. Miten tämä näkyy kosinifunktion kuvaajassa? Selitä omin sanoin.
    2. Onko kosinifunktio jatkuva?
    3. Onko kosinifunktio derivoituva?

    Vinkki: Kertaa tarvittaessa b- ja c-kohdissa MAA6-kurssin luku 2.

    1. Kuvaaja on symmetrinen $y$-akselin suhteen:
    2. Kosinifunktion kuvaaja on katkematon käyrä, joten kosinifunktio näyttäisi olevan jatkuva.
    3. Kosinifunktion kuvaajan jokaiseen pisteeseen voidaan asettaa tangentti tasan yhdellä tavalla, joten kosinifunktio näyttäisi olevan derivoituva.

    Yhdistä funktio ja sen kuvaaja. Vastaa sen jälkeen tehtävän lopussa oleviin kysymyksiin.

    • $f(x) = \cos \dfrac{x}{2}$
    • $g(x) = -\cos 4x$
    • $h(x) = 0{,}5\cos x$
    1. Mikä on funktion $h(x) = 0{,}5\cos x$ suurin arvo? Entä pienin? Mikä on funktion $h$ jakso?
    2. Mikä on funktion $g(x) = -\cos 4x$ suurin arvo? Entä pienin? Kuinka monta funktion $g$ jaksoa mahtuu $2\pi$ mittaisen välin sisään? Mikä on funktion $g$ jakso?
    3. Mikä on funktion $f(x) = \cos \dfrac{x}{2}$ jakso?

    Funktion $f$ kuvaaja on C.
    Funktion $g$ kuvaaja on A.
    Funktion $h$ kuvaaja on B.

    1. Funktion $h(x) = 0{,}5\cos x$ suurin arvo on $0{,}5$ ja pienin $-0{,}5$. Sen jakso on $2\pi$.
    2. Funktion $g(x) = -\cos 4x$ suurin arvo on $1$ ja pienin $-1$. Neljä sen jaksoa mahtuu $2\pi$ mittaisen välin sisään, joten yhden jakson pituus on $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
    3. Funktion $f(x) = \cos \frac{x}{2}$ jakso on $4\pi$.

    Edellä on tutkittu kertoimien vaikutusta sini- ja kosinifunktioiden kuvaajiin. Tutkitaan vielä tämän kappaleen lopuksi, miten erilaiset vakiot vaikuttavat kosinifunktion kuvaajaan.

    1. Miten vakio $a$ vaikuttaa funktion $g(x) = \cos x + a$ kuvaajaan? Tutki asiaa tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla.
    2. Miten vakio $a$ vaikuttaa funktion $f(x) = \cos (x+a)$ kuvaajaan? Tutki asiaa tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla.
    3. Mikä pitää valita vakion $a$ arvoksi, jotta funktion $f(x)$ kuvaaja on sama kuin sinifunktion kuvaaja?

    1. Kuvaaja siirtyy $y$-akselin suunnassa ylös tai alas.
    2. Kuvaaja siirtyy $x$-akselin suunnassa oikealle tai vasemmalle.
    3. Vakio $a = -\frac{\pi}{2} + n\cdot 2\pi$, missä $n$ on kokonaisluku. Siis $$ \cos \left(x -\frac{\pi}{2} + n \cdot 2\pi\right) = \sin x. $$

    Suurin osa trigonometrian kaavoista voidaan johtaa seuraavaan teoreemaan koottujen niin sanottujen sinin ja kosinin summakaavojen avulla. Näiden summakaavojen yleispätevä ja yksityiskohtainen perustelu on sen verran työläs, että siihen ei tässä syvennytä. Sen sijaan tutkitaan, millaisia yhteyksiä sinin ja kosinin välille saadaan näiden summakaavojen avulla, ja harjoitellaan samalla kaavojen soveltamista. Kaavojen ulkoa opettelu ei ole tarpeen, koska ne voi tarvittaessa tarkistaa taulukkokirjasta tai netistä.

    TEOREEMA

    Kulmien $\alpha + \beta$ ja $\alpha - \beta$ sini ja kosini saadaan laskettua seuraavasti: \begin{align*} \sin(\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\[1mm] \sin(\alpha - \beta) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\[1mm] \cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\[1mm] \cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{align*}

    Yksikköympyrän ja Pythagoraan lauseen avulla perustellun teoreeman 7 nojalla tiedetään, että kaikilla kulmilla $x$ pätee $$ \sin^2\! x + \cos^2\! x = 1. $$ Seuraavassa tehtävässä tutkitaan sini- ja kosinifunktioiden yhteyttä toisesta näkökulmasta teoreeman 15 avulla. Tehtävä on jatkoa tehtävän 2.16 havainnoille.

    Sovella teoreemaa 15 ja sievennä mahdollisimman pitkälle lauseke

    1. $\cos \left(x -\dfrac{\pi}{2}\right)$
    2. $\sin \left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$.

    1. \begin{align*} \cos \left(x -\tfrac{\pi}{2}\right) &= \cos x \cos \tfrac{\pi}{2} + \sin x \sin \tfrac{\pi}{2} \\ &= 0 + \sin x \cdot 1\\ &= \sin x \end{align*}
    2. \begin{align*} \sin \left(x +\tfrac{\pi}{2}\right) &= \sin x \cos \tfrac{\pi}{2} + \cos x \sin \tfrac{\pi}{2} \\ &= 0 + \cos x \cdot 1 \\ &= \cos x \end{align*}

    Tehtävästä 2.17 saadaan seuraava teoreema, joka vahvistaa tehtävän 2.16 havainnon:

    TEOREEMA

    Kaikilla kulmilla $x$ pätee \begin{align*} \cos \left(x -\frac{\pi}{2}\right) &= \sin x \\[2mm] \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right) &= \cos x \end{align*}

    Perustelu tehtävässä 2.17.

    Teoreeman 16 mukaan kosinifunktio saa kaikki arvot $\frac{\pi}{2}$ verran ennen kuin sinifunktio: Vastaavasti sinifunktio saa kaikki arvot $\frac{\pi}{2}$ verran kosinifunktion jälkeen: Sinifunktion ja kosinifunktion niin sanottu vaihe-ero on siis $\frac{\pi}{2}$ eli neljäsosa niiden jakson pituudesta.

    Tehtävissä 2.8 ja 2.15 tutkittiin erilaisten kertoimien vaikutusta sini- ja kosinifunktioiden jakson pituuteen. Seuraavaksi tutkitaan tarkemmin funktioita, jotka määritellään lausekkeilla $\sin 2x$ ja $\cos 2x$.

    Alla on näkyvissä kolmen eri funktion kuvaajat.

    1. Kuvassa A on funktion $f(x) = \sin 2x$ kuvaaja. Mikä on sen jakson pituus?
    2. Kuvassa B on funktioiden $g(x) = \sin x$ ja $h(x) = \cos x$ kuvaajat. Minkä värinen on sinifunktion kuvaaja? Entä minkä värinen on kosinifunktion kuvaaja?
    3. Muodosta kuvan B funktioista $g(x) = \sin x$ ja $h(x) = \cos x$ jollakin laskutoimituksella uusi funktio $v(x)$, jolla on samat nollakohdat kuin kuvan A funktiolla.
      Vinkki: MAA2-kurssin teoreema 4.
    4. Piirrä funktion $v$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella ja vertaa sitä kuvassa A näkyvään funktion $f(x) = \sin 2x$ kuvaajaan. Mitä havaitset?
    5. Mikä pitää valita kertoimen $k$ arvoksi, jotta $f(x) = k\cdot v(x)$?

    Koordinaatiston ruudun leveys on $\frac{1}{2}\pi$ ja korkeus $1$.

    1. Funktion $f(x) = \sin 2x$ jakson pituus on $\pi$.
    2. Sinifunktion kuvaaja on punainen, kosinifunktion kuvaaja on sininen.
    3. Yksi mahdollisuus on määritellä $v(x) = \sin x \cos x$.
    4. Keskellä kuvassa C näkyvissä funktion $v(x) = \sin x \cos x$ kuvaaja:

      Havaitaan, että nollakohdat ovat oikein, mutta funktion suurin ja pienin arvo ovat itseisarvoltaan liian pieniä verrattuna funktion $f(x) = \sin 2x$ kuvaajaan.
    5. Sopiva kerroin on $k = 2$. Siis $f(x) = 2v(x)$ eli $\sin 2x = 2\sin x\cos x$.

    Alla on näkyvissä eri funktioiden kuvaajia.

    1. Ylimmässä kuvassa A on funktion $f(x) = \cos 2x$ kuvaaja. Mikä on sen jakson pituus?
    2. Alimmassa kuvassa C on funktioiden $g(x) = \sin x$ ja $h(x) = \cos x$ kuvaajat. Millä operaatiolla niistä saadaan muodostettua funktiot $v(x)$ ja $w(x)$, joiden kuvaajat ovat keskimmäisessä kuvassa B?
      Vinkki: funktiot $v(x)$ ja $w(x)$ saavat vain epänegatiivisia arvoja, joten kannattaa miettiä, millaisten operaatioiden tulos on aina positiivinen tai nolla.
    3. Muodosta kuvan B funktioista $v(x)$ ja $w(x)$ jollakin laskutoimituksella uusi funktio $s(x)$, jolla on samat nollakohdat kuin kuvan A funktiolla.
    4. Piirrä funktion $s$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella ja vertaa sitä kuvassa A näkyvään funktion $f(x) = \cos 2x$ kuvaajaan. Mitä havaitset?

    Koordinaatiston ruudun leveys on $\frac{1}{2}\pi$ ja korkeus $1$.

    1. Funktion $f(x) = \cos 2x$ jakson pituus on $\pi$.
    2. Toiseen potenssiin korotus muuttaa negatiivisetkin arvot positiivisiksi: $v(x) = \sin^2\! x$ ja $w(x) = \cos^2\! x$.
      Huomaa, että tässä käytetään jälleen potenssin lyhennysmerkintää: $\cos^2\! x = (\cos x)^2$ ja $\sin^2\! x = (\sin x)^2$.
    3. \begin{align*} s(x) &= w(x) - v(x) \\[2mm] &= \cos^2\! x - \sin^2\! x \end{align*}
    4. Keskellä kuvassa D näkyvissä funktion $s(x) = \cos^2\! x - \sin^2\! x$ kuvaaja:

      Havaitaan, että kuvien A ja D funktiot ovat samat. Siis $f(x) = w(x) - v(x)$ eli $\cos 2x = \cos^2\! x - \sin^2\! x$.

    Edellisten tehtävien havainnot voidaan perustella yleispätevästi teoreeman 15 avulla.

    Sovella teoreemaa 15 ja sievennä mahdollisimman pitkälle lauseke

    1. $\sin 2x$
    2. $\cos 2x$.

    Vinkki: miten voit kirjoittaa kulman $2x$ kahden kulman summana kirjainta $x$ käyttäen?

    1. \begin{align*} \sin 2x &= \sin (x + x) \\ &= \sin x \cos x + \cos x \sin x \\ &= 2 \sin x \cos x \end{align*}
    2. \begin{align*} \cos 2x &= \cos(x + x) \\ &= \cos x \cos x - \sin x \sin x \\ &= \cos^2\! x - \sin^2\! x \end{align*}

    Tehtävästä 2.20 saadaan seuraava teoreema:

    TEOREEMA

    Kulman $2x$ sini ja kosini saadaan laskettua kulman $x$ sinin ja kosinin avulla: \begin{align*} \sin 2x &= 2\sin x \cos x \\ \cos 2x &= \cos^2\! x - \sin^2\! x \end{align*}

    Perustelu tehtävässä 2.20.

    Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan teoreeman 17 soveltamista.

    1. Tiedetään, että $\pi < \alpha < \dfrac{3}{2}\pi$ ja $\sin \alpha = -\dfrac{1}{4}$. Määritä $\sin 2\alpha$.
    2. Tiedetään, että $\sin \beta = -\dfrac{3}{7}$. Määritä $\cos 2\beta$.

    Vinkki: teoreema 7 tai Pythagoraan lause.

    1. $\sin 2\alpha = \dfrac{\sqrt{15}}{8}$
    2. $\cos 2\beta = \dfrac{31}{49}$

    Tehtävänä on ratkaista yhtälö $$ \sin 2x - \cos x = 0. $$

    1. Muokkaa yhtälö toiseen muotoon soveltamalla kaksinkertaisen kulman sinin kaavaa.
    2. Erota yhteinen tekijä ja sovella tulon nollasääntöä. Millaisiin yhtälöihin päädyt?
    3. Mitkä ovat yhtälön ratkaisut? Varmista yksikköympyrän avulla, että löydät kaikki ratkaisut.

    1. $2\sin x\cos x - \cos x = 0$
    2. Yhtälö $\cos x (2\sin x - 1) = 0$ toteutuu, jos ja vain jos $\cos x = 0$ tai $2\sin x - 1 = 0$.
    3. Yhtälö totetuu, jos ja vain jos \begin{align*} x &= \dfrac{\pi}{2} + n \cdot \pi \ \text{ tai} \\[2mm] x &= \dfrac{\pi}{6} + n\cdot 2\pi \ \text{ tai} \\[2mm] x &= \dfrac{5\pi}{6} + n\cdot 2\pi, \end{align*} missä $n$ on kokonaisluku.

    Edellisessä luvussa tangentti määriteltiin kaikille suunnatuille kulmille, joiden kehäpiste ei ole $y$-akselilla. Tämä tarkoittaa, että tangenttifunktio on määritelty, jos ja vain jos $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$, missä $n$ on kokonaisluku. Tangenttifunktion kuvaaja saadaan muodostettua yksikköympyrän ja tangentin määritelmän avulla. Sitä tutkitaan seuraavassa tehtävässä.

    Tutki tangettifunktion kuvaajaa tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla. Päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

    1. Miten kulma $\alpha$ näkyy yksikköympyrässä? Entä tangenttifunktion kuvaajassa?
    2. Miten tangentin arvo $\tan\alpha$ näkyy yksikköympyrässä? Entä tangenttifunktion kuvaajassa?
    3. Missä $x$-akselin kohdissa tangenttifunktio ei ole määritelty?
    4. Missä $x$-akselin kohdissa tangenttifunktio saa arvon nolla?
    5. Miten kuvaajasta näkyy, että tangenttifunktio on jaksollinen funktio? Mikä on sen jakso?

    1. Kulma $\alpha$ näkyy yksikköympyrässä suunnattuna kulmana ja tangenttifunktion kuvaajassa kuvaajan pisteen $x$-koordinaattina.
    2. Tangentin arvo $\tan\alpha$ on tangenttipisteen $y$-koordinaatti ja tangenttifunktion kuvaajan pisteen $y$-koordinaatti.
    3. Kohdissa $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.
    4. Kohdissa $x = n\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.
    5. Tangenttifunktion arvot toistuvat aina $\pi$ välein eli $\tan (x + \pi) = \tan x$ kaikilla kulmilla $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$, $n \in \Z$.

    Edellisen tehtävän havaintojen pohjalta saadaan seuraava teoreema:

    TEOREEMA

    Tangenttifunktio on määritelty, jos ja vain jos $$ x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi, $$ missä $n$ on kokonaisluku. Tangenttifunktion arvojoukko on koko lukusuora $\R$.

    Tangenttifunktio on jaksollinen funktio. Sen jakso on $\pi$ eli määrittelyjoukossa kaikilla muuttujan $x$ arvoilla pätee $$ \tan(x + \pi) = \tan x. $$

    Perustelu:

    • Tangentin arvojoukkoa on tutkittu tehtävässä 1.28.
    • Kulmilla $x$ ja $x + \pi$ on sama tangenttipiste, joten $\tan(x + \pi) = \tan x$.

    Jatketaan vielä tangenttifunktion kuvaajan tutkimista.

    Päättele yllä näkyvän tangenttifunktion kuvaajan avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

    1. Teoreeman 9 mukaan kulman ja sen vastakulman tangentit ovat toistensa vastalukuja eli $$\tan(-x) = -\tan x$$ kaikilla kulmilla $x$. Miten tämä näkyy tangenttifunktion kuvaajassa? Selitä omin sanoin.
    2. Onko tangenttifunktio jatkuva?
    3. Onko tangenttifunktio derivoituva?

    1. Kuvaaja on symmetrinen origon suhteen:
    2. Tangenttifunktion kuvaaja on katkematon käyrä kaikissa niissä kohdissa, joissa tangentti on määritelty, joten tangettifunktio on jatkuva.
    3. Tangenttifunktion kuvaajan jokaiseen pisteeseen voidaan asettaa tangentti tasan yhdellä tavalla, joten tangenttifunktio näyttäisi olevan derivoituva.

    Tehtävänä on osoittaa, että kulman $2x$ tangentti saadaan kulman $x$ tangentista kaavalla $$ \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2\! x}. $$ Tutkitaan yhtälön vasenta ja oikeaa puolta erikseen.

    1. Ilmaise $\tan 2x$ sinin ja kosinin avulla. Sovella sen jälkeen kaksinkertaisen kulman sinin ja kosinin kaavoja.
      Vinkki: teoreemat 11 & 17.
    2. Ilmaise $\tan x$ sinin ja kosinin avulla. Mihin muotoon lauseke $$ \frac{2\tan x}{1 - \tan^2\! x} $$ sievenee?
      Vinkki: lavenna lausekkeella $\cos^2\! x$.
    3. Vertaa a- ja b-kohdan tuloksia. Mitä huomaat?

    1. \begin{align*} \tan 2x &= \frac{\sin 2x}{\cos 2x} \\[2mm] &= \frac{2\sin x\cos x}{\cos^2\! x - \sin^2\! x} \end{align*}
    2. \begin{align*} \frac{2\tan x}{1 - \tan^2\! x} &= \frac{2 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}}{1 - \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2} \\[2mm] &= \frac{\cos^2\!x}{\cos^2\!x} \cdot \frac{2 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}}{1 - \frac{\sin^2\! x}{\cos^2\! x}} \\[2mm] &= \frac{2\sin x\cos x}{\cos^2\! x - \sin^2\! x} \end{align*}
    3. Tulokset ovat samat, joten $$ \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2\! x}. $$

    Edellisen tehtävän tuloksesta saadaan seuraava teoreema:

    TEOREEMA

    Kulman $2x$ tangentti saadaan laskettua kulman $x$ tangentin avulla: $$ \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2\! x}. $$

    Perustelu tehtävässä 2.25.

    Tässä kappaleessa tutkitaan sini-, kosini- ja tangenttifunktioiden derivaattafunktioita. Kurssissa MAA6 opittiin, että derivaatan arvo on funktion kuvaajalle asetetun tangentin kulmakerroin.

    Kun määritetään tällaisen tangentin kulmakerroin $k$ mahdollisimman monessa kohdassa $a$ ja pisteet $(a,k)$ merkitään koordinaatistoon, piirtyy näkyviin derivaattafunktion kuvaaja. Seuraavissa tehtävissä hahmotellaan sinin ja kosinin derivaattafunktioiden kuvaajat tällä menetelmällä.

    Tutki sinifunktion derivaattaa tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla. Päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

    1. Miten oranssin pisteen $y$-koordinaatti ja tangentin kulmakerroin liittyvät toisiinsa?
    2. Miten sinifunktion kuvaajassa näkyvät ne kohdat, joissa derivaatta on
      • nolla
      • positiivinen
      • negatiivinen?
    3. Miten derivaattafunktion kuvaajassa näkyvät ne kohdat, joissa derivaatta on
      • nolla
      • positiivinen
      • negatiivinen?
    4. Tunnista derivaattafunktion kuvaajasta, mikä tuttu funktio se on.

    1. Oranssin pisteen $y$-koordinaatti on samaan kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin. Oranssi piste on siis derivaattafunktion kuvaajan piste.
    2. Sinifunktion kuvaajalle piirretty tangentti on
      • $x$-akselin suuntainen suora
      • nouseva suora
      • laskeva suora.
    3. Derivaattafunktion kuvaaja
      • leikkaa $x$-akselin
      • on $x$-akselin yläpuolella
      • on $x$-akselin alapuolella.
    4. Sinifunktion derivaattafunktio on kosini eli $\mathrm{D} \sin x = \cos x$.

    Tutki kosinifunktion derivaattaa tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla. Päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

    1. Miten oranssin pisteen $y$-koordinaatti ja kosinifunktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin liittyvät toisiinsa?
    2. Miten kosinifunktion kuvaajassa näkyvät ne kohdat, joissa derivaatta on
      • suurimmillaan
      • pienimmillään?
    3. Miten derivaattafunktion kuvaajassa näkyvät ne kohdat, joissa kosinifunktio saa
      • suurimman arvonsa
      • pienimmän arvonsa?
    4. Tunnista derivaattafunktion kuvaajasta, mikä funktio se on.
      Vihje: Näkyvissä on myös sinifunktion kuvaaja. Miten se ja kosinin derivaattafunktio liittyvät toisiinsa?

    1. Oranssin pisteen $y$-koordinaatti on samaan kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin. Oranssi piste on siis derivaattafunktion kuvaajan piste.
    2. Kosinifunktion kuvaaja
      • nousee jyrkimmin
      • laskee jyrkimmin.
    3. Molemmissa tapauksissa derivaattafunktion kuvaaja leikkaa $x$-akselin eli derivaatta saa arvon nolla.
    4. Kosinifunktion derivaattafunktio on sinifunktio kerrottuna luvulla $-1$ eli $\mathrm{D} \cos x = -\sin x$.

    Sini- ja kosinifunktioiden derivaattafunktioiden muodostaminen derivaatan määritelmään nojautuen on sen verran työlästä, että tällä kurssilla tyydytään edellisten tehtävien havaintoihin.

    TEOREEMA

    Sini- ja kosinifunktiot ovat kaikkialla derivoituvia. Niiden derivaattafunktiot ovat \begin{align*} \mathrm{D} \sin x \, &= \cos x \\ \mathrm{D} \cos x &= - \sin x \end{align*}

    Määritä seuraavat derivaatat:

    1. $\mathop{\mathrm{D}} \left(4 \cos x\right)$
    2. $\mathop{\mathrm{D}} \left(-\sqrt{2} \sin x \right)$
    3. $\mathop{\mathrm{D}} \left(\frac{3}{4}x^2 - 3\cos x \right)$

    Vinkki: kertaa tarvittaessa derivointisääntöjä MAA6-kurssin luvusta 4.

    1. $\mathop{\mathrm{D}} \left(4 \cos x\right) = -4\sin x$
    2. $\mathop{\mathrm{D}} \left(-\sqrt{2} \sin x\right) = -\sqrt{2} \cos x$
    3. $\mathop{\mathrm{D}} \left(\frac{3}{4}x^2 - 3\cos x \right) = \frac{3}{2}x + 3\sin x$

    MAA6-kurssissa johdettuja derivointisääntöjä voidaan nyt soveltaa myös sini- ja kosinifunktioiden tuloihin, osamääriin ja potensseihin. Esimerkiksi funktion potenssin derivointisäännön $$ \mathop{\mathrm{D}} (f(x))^n = n(f(x))^{n-1}f'(x) $$ avulla voidaan määrittää funktion $g(x) = \sin^3\! x$ derivaatta. Huomaa, että tässä käytetään jälleen potenssin lyhennysmerkintää ja funktio $g$ on itse asiassa sinifunktion kolmas potenssi: $g(x) = (\sin x)^3$. Sen derivaataksi saadaan $$ g'(x) = 3\sin^2\! x\cos x. $$

    Tehtävänä on määrittää funktion $h(x) = \cos^5\! x$ derivaattafunktio.

    1. Minkä funktion potenssista on kysymys? Jos ilmaiset funktion $h$ muodossa $h(x) = \left(f(x)\right)^n$, mitä ovat $f(x)$ ja $n$?
    2. Sovella funktion potenssin derivointisääntöä, jonka mukaan $$ \mathop{\mathrm{D}} (f(x))^n = n(f(x))^{n-1}f'(x). $$ Mitä derivointisäännössä esiintyvä $f'(x)$ on tämän tehtävän tilanteessa?
    3. Mikä on derivaattafunktio $h'(x)$?

    1. Kysymyksessä on kosinifunktion viides potenssi. Siis $f(x) = \cos x$ ja $n = 5$.
    2. Derivointisäännön mukaan $\mathop{\mathrm{D}} \cos^5\! x = 5\cos^4\! x \cdot (-\sin x)$.
      Tässä tapauksessa $f'(x) = -\sin x$.
    3. $h'(x) = -5\cos^4\! x \sin x$

    Määritä seuraavat derivaatat:

    1. $\mathop{\mathrm{D}} \sin^2\! x$
    2. $\mathop{\mathrm{D}} \left(2\cos^4\! x\right)$
    3. $\mathop{\mathrm{D}} \left(x \cos x\right)$

    Vinkki: kertaa tarvittaessa derivointisääntöjä MAA6-kurssin luvusta 6.

    1. $\mathop{\mathrm{D}} \sin^2\! x = 2\sin x\cos x$
    2. $\mathop{\mathrm{D}} \left(2\cos^4\! x\right) = -8\cos^3\! x \sin x$
    3. $\mathop{\mathrm{D}} \left(x \cos x\right) = \cos x - x\sin x$

    Kun sinin ja kosinin derivaatat tunnetaan, saadaan johdettua lauseke tangenttifunktion derivaattafunktiolle. Tässä hyödynnetään MAA6-kurssissa perusteltua osamäärän derivointisääntöä $$\mathop{\mathrm{D}} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)g(x)- f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$ sekä tämän kurssin teoreemaa 11, jonka mukaan kaikilla tangentin määrittelyjoukkoon kuuluvilla muuttujan $x$ arvoilla pätee $$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}. $$

    Tässä tehtävässä määritetään tangenttifunktion derivaattafunktio.

    1. Ilmaise tangenttifunktio sinin ja kosinin avulla. Sovella sen jälkeen osamäärän derivointisääntöä ja sievennä tulos.
      Vinkki: edellisen luvun teoreema 11 ja MAA6-kurssin teoreema 15.
    2. Millaiseen muotoon tangenttifunktion derivaattafunktio sievenee, jos sovellat kaavaa $\sin^2\! x + \cos^2\! x = 1$ (teoreema 7)?
    3. Millaiseen muotoon tangenttifunktion derivaattafunktio sievenee, jos suoritat jakolaskun termeittäin ja sovellat teoreemaa 11 toiseen suuntaan?

    1. \begin{align*} \mathrm{D} \tan x &= \mathrm{D} \frac{\sin x}{\cos x} \\[2mm] &= \frac{\cos x\cos x - \sin x (-\sin x)}{\cos^2\! x} \\[2mm] &= \frac{\cos^2\! x + \sin^2\! x}{\cos^2\! x} \end{align*}
    2. \begin{align*} \mathrm{D} \tan x &= \frac{1}{\cos^2\! x} \end{align*}
    3. \begin{align*} \mathrm{D} \tan x &= \frac{\cos^2\! x}{\cos^2\! x} + \frac{\sin^2\! x}{\cos^2\! x} \\[2mm] &= 1 + \left(\frac{\sin x}{\cos}\right)^2 \\[2mm] &= 1 + \tan^2\! x \end{align*}

    Edellisen tehtävän tuloksista saadaan seuraava teoreema:

    TEOREEMA

    Tangenttifunktio on derivoituva koko määrittelyjoukossaan. Sen derivaattafunktio on \begin{align*} \mathrm{D} \tan x \, &= \frac{1}{\cos^2\! x} \end{align*} tai toisin ilmaistuna \begin{align*} \mathrm{D} \tan x \, &= 1 + \tan^2\! x, \end{align*} missä $x \neq \frac{\pi}{2} + n\cdot \pi$ kaikilla kokonaisluvuilla $n$.

    Perustelu tehtävässä 2.31.

    Määritä seuraavat derivaatat:

    1. $\mathop{\mathrm{D}} \left(\frac{1}{4}\tan^2\! x\right)$
    2. $\mathop{\mathrm{D}} \left(2\sin x - 3\tan x\right)$
    3. $\mathop{\mathrm{D}} \left(x^2 \tan x\right)$

    1. $\mathop{\mathrm{D}} \left(\frac{1}{4}\tan^2\! x\right) = \frac{\tan x}{2\cos^2\! x}$
      tai
      $\mathop{\mathrm{D}} \left(\frac{1}{4}\tan^2\! x\right) = \frac{1}{2}\tan x(1 + \tan^2\! x)$
    2. $\mathop{\mathrm{D}} \left(2\sin x - 3\tan x\right) = 2\cos x - \frac{3}{\cos^2\! x}$
      tai
      $\mathop{\mathrm{D}} \left(2\sin x - 3\tan x\right) = 2\cos x - 3 - 3\tan^2\! x$
    3. $\mathop{\mathrm{D}} \left(x^2 \tan x\right) = 2x\tan x + \frac{x^2}{\cos^2\! x}$
      tai
      $\mathop{\mathrm{D}} \left(x^2 \tan x\right) = 2x\tan x + x^2(1 + \tan^2\! x)$

    Radiaani

    Ilmaise kulman $\alpha$ suuruus asteina, jos sen suuruus radiaaneina on

    1. $\alpha = 0{,}59$
    2. $\alpha = -2{,}70$
    3. $\alpha = 13{,}01$

    Anna vastaus yhtä monen merkitsevän numeron tarkkuudella kuin lähtöarvo.

    1. $\alpha \approx 34^\circ$ (kaksi merkitsevää numeroa)
    2. $\alpha \approx -155^\circ$ (kolme merkitsevää numeroa)
    3. $\alpha \approx 745{,}4^\circ$ (neljä merkitsevää numeroa)

    Radiaani

    Määritä tarkka arvo laskimen, taulukkokirjan tai yksikköympyrän ja muistikolmioiden avulla:

    1. $\sin \dfrac{\pi}{3}$
    2. $\cos \dfrac{5\pi}{4}$
    3. $\tan \dfrac{11\pi}{6}$

    1. $\sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    2. $\cos \dfrac{5\pi}{4} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
    3. $\tan \dfrac{11\pi}{6} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

    Radiaani

    Ilmaise kulman suuruus asteina, jos sen suuruus radiaaneina on

    1. $\dfrac{7\pi}{6}$
    2. $\dfrac{3\pi}{4}$
    3. $\dfrac{5\pi}{3}$

    1. $210^\circ$
    2. $135^\circ$
    3. $300^\circ$

    Radiaani

    Laske lausekkeen $$ \sin^2\! 2x + \cos x $$ arvo, jos

    1. $x = \dfrac{5\pi}{4}$
    2. $x = \dfrac{5\pi}{6}$

    1. $1 - \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
    2. $\dfrac{3}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

    Radiaani

    Missä neljänneksessä kulman $x$ loppukylki on, jos

    1. $x = \dfrac{2\pi}{3}$
    2. $x = -\dfrac{5\pi}{4}$
    3. $x = \dfrac{7\pi}{3}$
    4. $x = 3{,}5$
    5. $x = -6{,}5$

    1. II neljänneksessä
    2. II neljänneksessä (huomaa, että kulma on negatiivinen)
    3. I neljänneksessä
    4. III neljänneksessä (huomaa, että oikokulma on $\pi \approx 3{,}14$)
    5. IV neljänneksessä (huomaa, että kulma on negatiivinen ja täyskulma on $2\pi \approx 6{,}28$)

    Sinifunktio

    Määritä funktion nollakohdat:

    1. $f(x) = \sin^2\! x - 1$
    2. $g(x) = \sin^3\! x - \sin x$

    1. $x = \dfrac{\pi}{2} + n\cdot \pi$, missä $n$ on kokonaisluku.
    2. $x = n\cdot \dfrac{\pi}{2}$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Sinifunktio

    Päättele funktion suurin ja pienin arvo. Millä muuttujan arvoilla funktio saa suurimman ja millä pienimmän arvonsa?

    1. $f(x) = 4\sin 3x$
    2. $g(x) = 7 - 3\sin 2x$

    Vinkki: hyödynnä teoreemaa 13 tai teoreemaa 1.

    1. Suurin arvo on $4$ ja se saavutetaan kohdissa $x = \frac{\pi}{6} + n\cdot \frac{2\pi}{3}$, missä $n$ on kokonaisluku.
      Pienin arvo on $-4$ ja se saavutetaan kohdissa $x = \frac{\pi}{2} + n\cdot \frac{2\pi}{3}$, missä $n$ on kokonaisluku.
    2. Suurin arvo on $10$ ja se saavutetaan kohdissa $x = \frac{3\pi}{4} + n\cdot \pi$, missä $n$ on kokonaisluku.
      Pienin arvo on $4$ ja se saavutetaan kohdissa $x = \frac{\pi}{4} + n\cdot \pi$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Sinifunktio

    Suurin osa kotitalouksien ja teollisuuden käyttämästä sähköenergiasta siirretään voimalaitosten generaattoreista käyttäjille vaihtovirran avulla. Suomessa verkkojännite vaihtelee noudattaen funktiota $$ U(t) = 325 \text{ V} \cdot \sin(100\pi t), $$ missä $t$ on aika sekunteina ilmaistuna ja V tarkoittaa jännitteen yksikköä (voltti).

    Selvitä funktion lausekkeen avulla,

    1. mikä on jännitteen suurin arvo ja mikä pienin
    2. mitä ovat ne ajanhetket, jolloin jännitteen arvo on nolla
    3. mikä on funktion jakson pituus.

    1. Jännitteen suurin arvo on 325 V ja pienin -325 V.
    2. Jännite on nolla hetkillä $t = n \cdot 0{,}01$ s, missä $n$ on kokonaisluku, eli sekunnin sadasosan välein.
    3. Sinifunktion jakson pituus on nollakohtien välimatka kaksinkertaisena eli tässä tapauksessa 0,02 sekuntia.

    Sinifunktio

    Määritä funktion $$ f(x) = 6 - 7\sin^2\! x $$ suurin ja pienin arvo.

    Koska $0 \leq \sin^2\! x \leq 1$ kaikilla kulmilla $x$, niin funktion $f$ suurin arvo on $6$ ja pienin arvo on $-1$.

    Sinifunktio

    Kun vuorovesi-ilmiötä tutkittiin Fundynlahdella Kanadan itärannikolla, havaittiin että veden syvyyttä (metreinä) voidaan mittauspaikkassa kuvata funktiolla $$ f(t) = 6{,}5 + 5\sin\left(\frac{2\pi t}{12{,}27} + \pi\right), $$ missä aika $t$ ilmoitetaan tunteina.

    1. Millä välillä veden syvyys vaihtelee?
    2. Kuinka pitkä veden syvyysvaihtelun jakso?
    3. Kuinka pitkän aikaa voi mittauspaikalla viettää laiva, jonka syväys on 8 metriä?

    1. Syvyys on pienimmillään 1,5 metriä ja suurimmillaan 11,5 metriä.
    2. Jakso on 12,27 tuntia. Tämän voi päätellä esimerkiksi siitä, että vesi on syvimmillään, kun sini saa arvon yksi eli $$ \frac{2\pi t}{12{,}27} + \pi = \frac{\pi}{2} + n \cdot 2\pi, $$ missä $n$ on kokonaisluku, ja vastaavat ajanhetket ovat $$ t \approx -3{,}068 + n \cdot 12{,}27. $$ Vesi saavuttaa suurimman syvyyden siis aina 12,27 tunnin välein.
    3. Yhtälö $$ 6{,}5 + 5\sin\left(\frac{2\pi t}{12{,}27} + \pi\right) = 8 $$ toteutuu, jos ja vain jos $$ t \approx -5{,}540 + n \cdot 12{,}27 $$ tai $$ t \approx -1{,}190 + n \cdot 12{,}27 $$ missä $n$ on kokonaisluku. Veden syvyys on vähintään 8 metriä välillä $[-5{,}540, -1{,}190]$ eli noin 4,35 tuntia (4 h 21 min).

    Kosinifunktio

    Määritä funktion nollakohdat:

    1. $f(x) = \cos^2\! x + \cos x$
    2. $g(x) = \sqrt{3} - 2\cos 4x$

    1. $x = \dfrac{\pi}{2} + n \cdot \pi$ tai $x = \pi + n \cdot 2\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.
    2. $x = \dfrac{\pi}{24} + n \cdot \dfrac{\pi}{2}$ tai $x = -\dfrac{\pi}{24} + n \cdot \dfrac{\pi}{2}$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Kosinifunktio

    Millä muuttujan arvoilla funktioiden $f(x) = \cos 3x$ ja $g(x) = \cos 4x$ arvot ovat yhtä suuret? Mitkä näistä muuttujan arvoista ovat välillä $[0, 2\pi\pe$?

    Arvoilla $x = n \cdot \dfrac{2\pi}{7}$, missä $n$ on kokonaisluku. Näistä välillä $[0, 2\pi\pe$ ovat $0$, $\dfrac{2\pi}{7}$, $\dfrac{4\pi}{7}$, $\dfrac{6\pi}{7}$, $\dfrac{8\pi}{7}$, $\dfrac{10\pi}{7}$, $\dfrac{12\pi}{7}$.

    Kosinifunktio

    Sataman veden syvyys vaihtelee nousu- ja laskuveden myötä 12 tunnin jaksoissa. Syvyys on suurimmillaan 5,2 metriä ja pienimmillään 2,4 metriä. Laadi veden syvyyden laskemiseksi matemaattinen malli, jossa muuttujana on aika $t$ (tunteina), ja hetkellä $t = 0$ vesi on korkeimmillaan. Kuinka monta tuntia vuorokaudesta veden syvyys on vähintään 3,0 metriä?

    Veden syvyyttä (metreinä) voidaan kuvata funktiolla $$ f(t) = 3{,}8 + 1{,}4 \cos \left(\dfrac{\pi t}{6}\right). $$ Yhtälön $$ 3{,}8 + 1{,}4 \cos \left(\dfrac{\pi t}{6}\right) = 3{,}0 $$ ratkaisut ovat $$ t \approx \pm 4{,}2 + 12n, $$ missä $n$ on kokonaisluku. Välillä $[0, 24\pe$ näistä ovat $4{,}2$; $7{,}8$; $16{,}2$ ja $19{,}8$. Voidaan päätellä, että veden syvyys on vähintään 3,0 metriä 4,2 tuntia nousuveden huipun molemmin puolin eli vuorokaudessa yhteensä $2\cdot 8{,}4 = 16{,}8$ tuntia. (Huom. nousuveden huippu ajanhetkinä $t = 0$ ja $t = 12$.)

    Kosinifunktio

    Päättele funktion suurin ja pienin arvo välillä $-\dfrac{\pi}{4} < x \leq \dfrac{4\pi}{3}$:

    1. $f(x) = \dfrac{1}{4-\cos x}$
    2. $g(x) = 3 - 10\cos \dfrac{x}{3}$

    1. Suurin arvo on $f(0) = \frac{1}{3}$ ja pienin arvo on $f(\pi) = \frac{1}{5}$.
    2. Suurin arvo on $g\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 8$ ja pienin arvo on $g(0) = -7$.

    Sinin ja kosinin yhteyksiä

    1. Millä muuttujan $x$ arvoilla funktioiden $f(x) = \sin^2\! x$ ja $g(x) = 3\cos^2\! x$ ovat yhtä suuret?
    2. Keksi toinen tapa ratkaista a-kohdan tehtävä.

    1. $x = \dfrac{\pi}{3} + n \cdot \pi$ tai $x = -\dfrac{\pi}{3} + n \cdot \pi$, missä $n$ on kokonaisluku.
    2. Yksi mahdollisuus on käyttää teoreemaa 7 ja muokata yhtälö muotoon $$ 1 - \cos^2\! x = 3\cos^2\! x. $$ Toinen mahdollisuus on muokata yhtälö muotoon $$ \dfrac{\sin^2\! x}{\cos^2\! x} = 3 $$ ja käyttää teoreemaa 11.

    Sinin ja kosinin yhteyksiä

    Ratkaise yhtälö $$ \cos 2x = 3\cos x - 2. $$ Vinkki: teoreema 17 ja teoreema 7.

    $x = n \cdot 2\pi$ tai $x = \dfrac{\pi}{3} + n \cdot 2\pi$ tai $x = -\dfrac{\pi}{3} + n \cdot 2\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Sinin ja kosinin yhteyksiä

    Tehtävänä on määrittää alla näkyvän kolmion kulman $\sphericalangle CAB$ tangentin tarkka arvo.

    1. Merkitään $\alpha = \sphericalangle OAB$ ja $\beta = \sphericalangle OAC$. Ilmaise kulma $\sphericalangle CAB$ kulmien $\alpha$ ja $\beta$ avulla.
    2. Määritä kulman $\sphericalangle CAB$ sinin ja kosinin arvot teoreeman 15 avulla.
    3. Mikä on kulman $\sphericalangle CAB$ tangentin arvo?

    1. $\sphericalangle CAB = \alpha - \beta$
    2. \begin{align*} \sin (\alpha - \beta) &= \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{13})} \\[2mm] \cos (\alpha - \beta) &= \frac{5}{\sqrt{2}\sqrt{13})} \end{align*}
    3. $\tan (\alpha - \beta) = \dfrac{1}{5}$

    Sinin ja kosinin yhteyksiä

    Suorakulmaisen kolmion terävät kulmat ovat $\alpha$ ja $\beta$. Tehtävänä on osoittaa, että $$ \sin(\alpha + \beta) < \sin \alpha + \sin \beta. $$

    1. Ilmaise lauseke $\sin(\alpha + \beta)$ toisella tavalla teoreeman 15 avulla.
    2. Mitä pystyt tehtävän tilanteessa päättelemään luvuista $\cos \alpha$ ja $\cos \beta$? Kuinka suuria ovat niiden mahdolliset arvot?
    3. Kirjoita a- ja b-kohtien avulla perustelu väitteelle, jonka mukaan suorakulmaisen kolmion teräville kulmille $\alpha$ ja $\beta$ pätee epäyhtälö $$ \sin(\alpha + \beta) < \sin \alpha + \sin \beta. $$
    4. Keksi esimerkki, joka osoittaa, että tämän tehtävän epäyhtälö ei päde kaikilla kulmilla $\alpha$ ja $\beta$.

    1. $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$
    2. Koska $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, niin $0 < \cos \alpha < 1$. Vastaavasti koska $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, niin $0 < \cos \beta < 1$.
    3. Edellisten kohtien avulla saadaan pääteltyä, että \begin{align*} \sin(\alpha + \beta) &= \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \\ &< (\sin \alpha) \cdot 1 + 1\cdot \sin \beta \\ &= \sin \alpha + \sin \beta \end{align*}
    4. Valitaan esimerkiksi $\alpha = \frac{3\pi}{2}$ ja $\beta = \frac{3\pi}{2}$. Tällöin $\sin(\alpha + \beta) = \sin 3\pi = 0$ ja $\sin \alpha + \sin \beta = -1 + (-1) = -2$. Siis $$ \sin(\alpha + \beta) \not < \sin \alpha + \sin \beta. $$

    Sinin ja kosinin yhteyksiä

    Määritä funktion $$ f(x) = (\sin x + \cos x)^2 - 5 $$ arvojoukko. Onko funktio jaksollinen? Myönteisessä tapauksessa selvitä sen jakson pituus.
    Vinkki: teoreemat 7 ja 17.

    Funktio voidaan esittää muodossa $$ f(x) = \sin 2x - 4. $$ Tästä voidaan päätellä, että funktion arvojoukko on suljettu väli $[-5,-3]$. (Huomaa, että $\sin 2x$ saa kaikki arvot välillä $[-1,1]$.)

    Funktio on jaksollinen ja sen jakso on puolet tavallisen sinifunktion jaksosta eli $\pi$.

    Tangenttifunktio

    Määritä funktion $$ f(x) = \tan 4x - 1 $$ määrittelyjoukko, arvojoukko ja nollakohdat.

    Funktio on määritelty, jos ja vain jos $4x \neq \frac{\pi}{2} + n \cdot \pi$ eli $x \neq \frac{\pi}{8} + n \cdot \frac{\pi}{4}$, missä $n$ on kokonaisluku.
    Arvojoukko on koko reaalilukujen joukko $\R$.
    Nollakohdat ovat $x \neq \frac{\pi}{16} + n \cdot \frac{\pi}{4}$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Tangenttifunktio

    Määritä funktion $$ g(x) = \tan 2x $$ tarkka arvo, jos $\sin x = -\dfrac{8}{17}$ ja $\pi < x < \dfrac{3\pi}{2}$.
    Vinkki: teoreema 19.

    Tarkka arvo on $$ \frac{240}{161}. $$ Huom. $\cos x = -\dfrac{15}{17}$.

    Trigonometristen funktioiden derivaatat

    Määritä funktion $$ f(x) = 5\sqrt{2}\sin x + \sqrt{2}\cos x $$ kuvaajalle kohtaan $x = \frac{3\pi}{4}$ piirretyn tangentin yhtälö.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa MAA6-kurssin luku 1 sekä MAA5-kurssin teoreema 9.

    $y = -6x + \dfrac{9\pi}{2} + 4$

    Trigonometristen funktioiden derivaatat

    Osoita, että funktio $$ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 1 - \cos x $$ on kaikkialla aidosti kasvava.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa MAA6-kurssin teoreema 10.

    Derivaattafunktio on $$ f'(x) = x^2 + 1 + \sin x. $$ Koska $\sin x \geq -1$ kaikilla kulmilla $x$, niin $$ f'(x) \geq x^2 + 1 - 1 = x^2. $$ Tästä nähdään, että derivaattafunktio on positiivinen kaikkialla muualla paitsi kohdassa $x = 0$. MAA6-kurssin teoreeman 10 mukaan funktio $f$ on silloin aidosti kasvava kaikkialla.

    Trigonometristen funktioiden derivaatat

    Määritä funktion $$ f(x) = \sin^2\! x + 2\cos x $$ suurin ja pienin arvo.

    Funktion suurin arvo on $2$ ja funktio saa sen kohdissa $x = n \cdot 2\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.
    Funktion pienin arvo on $-2$ ja funktio saa sen kohdissa $x = \pi + n \cdot 2\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Trigonometristen funktioiden derivaatat

    Määritä funktion $$ g(x) = \frac{\sin x}{2 - \cos x} $$ suurin ja pienin arvo.

    Funktion suurin arvo on $\drac{\sqrt{3}}{3}$ ja funktio saa sen kohdissa $x = \dfrac{\pi}{3} + n \cdot 2\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.
    Funktion pienin arvo on $-\drac{\sqrt{3}}{3}$ ja funktio saa sen kohdissa $x = \dfrac{5\pi}{3} + n \cdot 2\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Trigonometristen funktioiden derivaatat

    Puoliympyrässä, jonka säde on 1, on tasakylkinen puolisuunnikas, jonka yhtenä sivuna on ympyrän halkaisija.

    1. Määritä puolisuunnikkaan suurin mahdollinen pinta-ala.
    2. Kuinka monta prosenttia suurimman puolisuunnikkaan pinta-ala on puoliympyrän pinta-alasta?

    Vinkki: kertaa tarvittaessa MAA3-kurssin teoreemat 10 ja 13.

    1. Puolisuunnikkaan suurin mahdollinen pinta-ala on $$ \frac{3\sqrt{3}}{4}. $$ Puolisuunnikkaan pinta-ala on $$ A(x) = \sin x \cos x + \sin x, $$ missä kulma $x$ on välillä $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$. Sen derivaattafunktio on \begin{align*} A'(x) &= \cos^2\! x - \sin^2\! x + \cos x \\ &= 2\cos^2\! x - 1 + \cos x. \end{align*} Derivaattafunktiolla on välillä $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ yksi nollakohta $x = \frac{\pi}{3}$. Suljetulla välillä $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ funktio $A$ saa suurimman arvonsa derivaatan nollakohdassa tai välin päätepisteissä. Koska $A(0) = 0$, $A\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ ja $A\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1{,}3$, pinta-alan suurin arvo on $$ \frac{3\sqrt{3}}{4}. $$
    2. Noin 83 %.

    Trigonometristen funktioiden derivaatat

    Rannassa sijaitsevalta muuntajalta $A$ aiotaan vetää sähkökaapeli saareen $B$. Kaapelointikustannukset kilometriä kohden ovat merellä 2,5-kertaiset verrattuna kaapelointikustannuksiin maalla. Määritä kaapelin reitti niin, että kokonaiskustannukset ovat mahdollisimmat pienet. Ratkaise ongelma valitsemalla muuttujaksi kulma.

    Kaapeli kannattaa vetää muuntajalta $A$ rantaa pitkin pisteeseen $P$, joka on 16,5 km etäisyydellä muuntajasta, ja tästä suoraan saareen.

    Koska kustannukset merellä kilometriä kohden ovat 2,5-kertaiset verrattuna kaapelointikustannuksiin maalla, voidaan tutkia funktiota $$ f(x) = 2{,}5\cdot \frac{8}{\sin x} + 20 - \frac{8}{\tan x}, $$ missä kulma $x$ on välillä $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$. Sen derivaattafunktio on \begin{align*} f'(x) &= \frac{-20\cos x}{\sin^2\! x} + \frac{8(1 + \tan^2\! x)}{\tan^2\! x}\\[2mm] &= \frac{-20\cos x}{\sin^2\! x} + \frac{8}{\tan^2\! x} + 8 \\[2mm] &= \frac{-20\cos x}{\sin^2\! x} + \frac{8\cos^2\! x}{\sin^2\! x} + \frac{8\sin^2\! x}{\sin^2\! x} \\[2mm] &= \frac{-20\cos x + 8}{\sin^2\! x}. \end{align*} Derivaattafunktiolla on välillä $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ yksi nollakohta $x \approx 1{,}159$. Esimerkiksi kulkukaavion avulla havaitaan, että funktio $f$ saa siinä pienimmän arvonsa välillä $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.
    Huom. tehtävän voi ratkaista myös ottamalla muuttujaksi kulman, jonka kärki on pisteessä $B$. Sievennykset ovat silloin vähän helpompia.

    Trigonometristen funktioiden derivaatat

    Säiliön pohja ja sivut tehdään 1,30 metrin levyisestä metallilevystä taivuttamalla levyn sivuilta 40 cm levyiset kaistaleet ylöspäin. Määritä taivutuskulma $\alpha$ asteen tarkkuudella niin, että säiliön tilavuus on mahdollisimman suuri.

    Säiliön tilavuus on suurin, kun taivutuskulma on noin 58 astetta.

    Säiliön poikkileikkauksen pinta-alan ilmaisee funktio $$ A(x) = 2000 \sin x + 1600\sin x\cos x, $$ missä kulma x on välillä $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$. Sen derivaattafunktiolla \begin{align*} A'(x) &= 2000 \cos x - 1600 \sin^2\! x + 1600 \cos^2\! x \\ &= 2000 \cos x + 3200 \cos^2\! x - 1600 \end{align*} on välillä $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ yksi nollakohta $x \approx 1{,}0184$. Esimerkiksi kulkukaavion avulla havaitaan, että funktio $A$ saa siinä suurimman arvonsa välillä $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.

    Trigonometristen funktioiden derivaatat

    Kylän etäisyys toisesta kohtisuoraan risteävästä tiestä on 20,0 km ja toisesta 15,0 km. Kylän kautta suunnitellaan rakennettavaksi teitä yhdistävä suora yhdystie. Kuinka pitkä lyhin mahdollinen tie on? Missä kohdassa lyhin tie erkaantuu itään kulkevalta tieltä?
    Ratkaise ongelma valitsemalla muuttujaksi kulma.

    Lyhin tie on noin 49,3 km pitkä ja se erkanee itään kulkevalta tieltä noin 36,5 km risteyksestä itään.
    Jos $x$ on yhdystien ja itään kulkevan tien välinen terävä kulma, niin tien pituus on $$ f(x) = \frac{15}{\sin x} + \frac{20}{\cos x}, $$ missä $x$ on välillä $\left]0, \frac{\pi}{2}\right[$. Derivaattafunktion \begin{align*} f'(x) &= -\frac{15\cos x}{\sin^2\! x} + \frac{20\sin x}{\cos^2\! x} \\[2mm] &= \frac{-15\cos^3\! x + 20 \sin^3\! x}{\sin^2\! x\cos^2\! x} \end{align*} arvo on nolla, jos ja vain jos osoittaja on nolla eli $$ \tan^3\! x = \frac{3}{4}. $$ Tarkasteluvälillä on yksi nollakohta $x \approx 0{,}7375$. Kun laaditaan kulkukaavio, havaitaan, että funktio $f$ saa tässä derivaatan nollakohdassa pienimmän arvonsa.

    Trigonometristen funktioiden derivaatat

    Paikka A on 13,0 km etäisyydellä paikoista B ja C, joiden välimatka on 10,0 km. Nämä kolme paikkaa halutaan yhdistää toisiinsa pisteestä P alkavilla valokuitukaapeleilla niin, että kaapelit $PB$ ja $PC$ ovat yhtä pitkiä. Tehtävänä on määrittää tällaiseen kytkentään tarvittavan valokuitukaapelin pienin mahdollinen määrä.

    1. Piirrä tilanteesta mallikuva. Määritä kolmion $ABC$ korkeusjanan pituus.
    2. Valitse muuttujaksi esimerkiksi kulma $x = \sphericalangle CBP$. Ilmaise janan $PB$ pituus kulman $x$ avulla.
    3. Ilmaise janan $AP$ pituus kulman $x$ avulla.
      Vinkki: Hyödynnä suorakulmaista kolmiota $BPD$, missä $D$ on janan $BC$ keskipiste. Muista, että a-kohdassa selvitit kolmion $ABC$ korkeusjanan pituuden.
    4. Muodosta funktio $f$, joka ilmaisee valokuituverkon pituuden. Millä välillä kulma $x$ voi tehtävän tilanteessa vaihdella?
    5. Määritä funktion $f$ pienin arvo tarkasteluvälillä.

    1. Mallikuva

      Korkeusjanan pituus on $\left| AD \right| = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$.
    2. $\left| PB \right| = \dfrac{5}{\cos x}$
    3. $\left| AP \right| = 12 - 5\tan x$
    4. $f(x) = 2\cdot \dfrac{5}{\cos x} - 5\tan x$, missä $0 \leq x \lesssim 1{,}18$.
    5. Derivaattafunktiolla \begin{align*} f'(x) &= \frac{10\sin x}{\cos^2\! x} - \frac{5}{\cos^2\! x} \\[2mm] &= \frac{10\sin x - 5}{\cos^2\! x} \end{align*} on tarkasteluvälillä nollakohta $$ x = \frac{\pi}{6}. $$ Funktio $f$ saa pienimmän arvonsa joko derivaatan nollakohdassa tai tarkasteluvälin päätepisteissä. Derivaatan nollakohdassa sen arvo on $$ f\left(\frac{\pi}{6}\right) \approx 20{,}7. $$ Tarkasteluvälin päätepisteissä joko $P = D$ tai $P = A$. Tällöin funktion arvo on joko $12 + 10 = 22$ tai $2\cdot 13 = 26$. Valokuitukaapelin pienin tarvittava määrä on siis noin 20,7 km.

    Piirrä kolme yksikköympyrää ja merkitse niihin seuraavat kulmat ja vastaavat kehäpisteet:

    1. $405^\circ$
    2. $-120^\circ$
    3. $\dfrac{3\pi}{4}$ rad.

    [Pitkä K2015/1]

    1. Kulma $\alpha$ toteuttaa ehdot $-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ ja $\sin \alpha = \dfrac{1}{4}$. Määritä luvun $\cos \alpha$ tarkka arvo.
    2. Olkoon $\alpha \in \left[\pi, \dfrac{3\pi}{2} \right]$ sellainen kulma, että $\cos \alpha = -\dfrac{1}{3}$. Määritä lukujen $\sin \alpha$ ja $\tan \alpha$ tarkat arvot.
    3. Sievennä lauseke $\sin^2\! x + \cos^2 (x + 2\pi)$.

    [Pitkä K2013/2c & S2012/4a & K2012/2d]

    1. $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$
    2. $\sin \alpha = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ ja $\tan \alpha = 2\sqrt{2}$
    3. $1$


    Suorakulmion yksi sivu on $x$-akselilla ja kaksi kärkeä käyrällä $y = \cos x$, kun $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$.

    1. Muodosta lauseke suorakulmion pinta-alalle $A(t)$ kuvioon merkityn muuttujan $0 < t < \frac{\pi}{2}$ funktiona.
    2. Ratkaise funktion $A(t)$ nollakohta kahden desimaalin tarkkuudella käyttämällä valitsemaasi numeerista menetelmää.
    3. Määritä suurimman mahdollisen suorakulmion pinta-alan likiarvon yhden desimaalin tarkkuudella.

    [Pitkä K2013/12]

    1. Pinta-ala on $A(t) = 2t\cos t$.
    2. Derivaattafunktio on $$A'(t) = -2t\sin t + 2\cos t.$$ Sen nollakohta löydetään esimerkiksi haarukoimalla. Havaitaan, että $$A'(0{,}864) < 0$$ ja $$A'(0{,}860) > 0.$$ Koska funktio $A'$ on jatkuva, on sillä Bolzanon lauseen mukaan ainakin yksi nollakohta välillä $\pa 0{,}860, 0{,}864\pe$. Tämän nollakohdan kaksidesimaalinen likiarvo on $0{,}86$.
    3. Funktion suurin arvo löytyy derivaatan nollakohdasta tai välin päätepisteistä. Koska $A(0) = 0$, $A(0{,}86) \approx 1{,}1$ ja $A\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$, pinta-alan suurin arvo on noin $1{,}1$.

    Olkoot \begin{align*} \va &= (\cos \varphi - 2\sin\varphi)\vi + \vj + (\sin \varphi + 2\cos\varphi)\vk,\\ \vb &= (\cos \varphi + \sin\varphi)\vi + \vj + (\sin \varphi - \cos\varphi)\vk \end{align*}

    1. Osoita, että vektorit $\va$ ja $\vb$ ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan kaikilla $\varphi \in \R$.
    2. Olkoon $\varphi = 0$. Onko olemassa sellaisia kertoimia $s$, $t \in \R$, että $\vi - \vj = s\va + t\vb$?

    [Pitkä S2012/9]

    Ratkaisu löytyy täältä tehtävän 9 kohdalta.

    Määritä funktion $$ f(x) = 3\cos^2\! x - \sin^2\! x - 2 $$ nollakohdat sekä suurin ja pienin arvo.
    [Pitkä S2011/10]

    Funktion lauseke sievenee muotoon $$f(x) = 4\cos^2 - 3.$$ Koska $0 \leq \cos^2\! x \leq 1$ kaikilla kulmilla $x$, voidaan päätellä, että funktion $f$ suurin arvo on $4-3 = 1$ ja pienin arvo $0 - 3 = -3$.

    Funktion $f$ nollakohdat ovat $$ \pm \frac{\pi}{6} + n\cdot 2\pi $$ ja $$ \pm \frac{5\pi}{6} + n\cdot 2\pi, $$ missä $n$ on kokonaisluku.

    1. Derivoi funktio $g(x) = x\sin x$.
    2. Olkoon $f(x) = \sin x \cos x$. Laske derivaatta $f'(0)$.
    3. Laske funktion $$ f(x) = \frac{2 + \sin x}{2 + \cos x} $$ derivaatta pisteessä $x = \frac{\pi}{2}$.

    [Pitkä K2010/2b & S2007/2a & K2008/3b]

    1. $\mathop{\mathrm{D}} (x\sin x) = x\cos x + \sin x$
    2. $f'(0) = 1$
    3. $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{3}{4}$

    Tutki, kuinka monta juurta yhtälöllä $$ 3\tan x - 1 = 4x $$ on välillä $\pa -\pi/2, \pi/2\pe$.
    [Pitkä K2010/9]

    Funktion $$f(x) = 3\tan x - 4x - 1$$ derivaattafunktio on $$f'(x) = 3\tan^2\! x - 1.$$ Selvitetään derivaattafunktion nollakohdat välillä $\pa -\pi/2, \pi/2\pe$. Ne ovat $$ x = \pm \frac{\pi}{6}. $$ Laaditaan funktion $f$ kulkukaavio, josta nähdään, että funktio on aidosti kasvava väleillä $\left]-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6}\right]$ ja $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right[$ ja aidosti vähenevä välillä $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]$. Koska lisäksi $f\left(-\frac{\pi}{6}\right) < 0$, funktiolla $f$ ei ole nollakohtaa välillä $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\right]$. Toisaalta koska $f\left(\frac{\pi}{6}\right) < 0$ ja $f\left(\frac{\pi}{3}\right) > 0$, on funktiolla $f$ tasan yksi nollakohta välillä $\left]\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right[$.

    Tarkastellaan lauseketta $$ L(x) = \frac{\tan x - \sqrt{3}}{x - \frac{\pi}{3}}. $$

    1. Laske lauseketta muokkaamatta sille laskimella likiarvo, kun $x = \frac{\pi}{3} + 10^{-3n}$, missä $n$ saa arvot 1, 2, 3, 4 ja 5.
    2. Määritä $$ \lim_{x\rightarrow \pi/3} L(X) $$ tulkitsemalla lauseke sopivan funktion erotusosamääräksi. Mitä voidaan sanoa a-kohdassa lasketuista likiarvoista?

    [Pitkä S2005/13]

    Ratkaisu löytyy täältä tehtävän 13 kohdalta.

    Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

    Yhdistetty funktio

    Tämän luvun tavoitteena on, että tunnet yhdistetyn funktion käsitteen ja sovellat sujuvasti yhdistetyn funktion derivointisääntöä. Osaat

    • muodostaa yhdistetyn funktion
    • tunnistaa yhdistetystä funktiosta ulko- ja sisäfunktion
    • derivoida yhdistetyn funktion.

    Edellisessä luvussa tutkittiin erilaisten kertoimien vaikutusta sini- ja kosinifunktioiden kuvaajiin. Samalla nähtiin useita esimerkkejä niin sanotuista yhdistetyistä funktioista. Ne muodostuvat kahdesta funktiosta niin, että ensimmäisen funktion arvo syötetään samantien toiseen funktioon. Esimerkiksi funktio $$ h(x) = \sin 2x $$ saadaan yhdistämällä funktiot $f(x) = 2x$ ja $g(x) = \sin x$: $$ \textcolor{blue}{x} \mapsto \textcolor{red}{2x} \mapsto \sin \textcolor{red}{2x} $$ Tässä tapauksessa funktion $f$ arvo siis lasketaan ensin ja tulos syötetään funktioon $g$ muuttujan paikalle: $$ \textcolor{blue}{x} \mapsto \textcolor{red}{f(x)} \mapsto g(\textcolor{red}{f(x)}). $$ Sitä funktiota, jonka arvo lasketaan ensimmäisenä, sanotaan sisäfunktioksi. Tässä tapauksessa sisäfunktio on siis funktio $f(x) = 2x$. Nimitys juontaa juurensa siitä, että tämä funktio päätyy lopulta toisen funktion sisälle: lopputuloksena tässä tapauksessa on $g(\textcolor{red}{f(x)})$.

    MÄÄRITELMÄ: YHDISTETTY FUNKTIO

    Funktioista $f$ ja $g$ yhdistetty funktio tarkoittaa funktiota $h$, jonka arvo lasketaan sijoittamalla funktion $f$ arvo muuttujan paikalle funktioon $g$: $$ h(x) = g(f(x)). $$ Tässä funktio $f$ on sisäfunktio ja funktio $g$ on ulkofunktio.
    Funktioista $f$ ja $g$ yhdistettyä funktiota merkintään $g \circ f$. Siis $$ (g \circ f)(x) = g(f(x)). $$

    Yhdistetyn funktion merkinnässä esiintyä merkki $\circ$ luetaan "pallo": yhdistetyn funktion $g$-pallo-$f$ arvo kohdassa $x$ on funktion $g$ arvo kohdassa $f(x)$.

    Päättele, mikä on sisäfunktio $f(x)$ ja mikä on ulkofunktio $g(x)$, jos yhdistetylle funktiolle $h(x) = g(f(x))$ pätee

    1. $h(x) = \cos 3x$
    2. $h(x) = (x-1)^4$
    3. $h(x) = \sin^2\! x$

    1. Sisäfunktio on $f(x) = 3x$ ja ulkofunktio on $g(x) = \cos x$: $$ \textcolor{blue}{x} \mapsto \textcolor{red}{3x} \mapsto \cos \textcolor{red}{3x} $$
    2. Sisäfunktio on $f(x) = x-1$ ja ulkofunktio on $g(x) = x^4$: $$ \textcolor{blue}{x} \mapsto \textcolor{red}{x-1} \mapsto (\textcolor{red}{x-1})^4 $$
    3. Sisäfunktio on $f(x) = \sin x$ ja ulkofunktio on $g(x) = x^2$: $$ \textcolor{blue}{x} \mapsto \textcolor{red}{\sin x} \mapsto (\textcolor{red}{\sin x})^2 = \sin^2\! x $$

    Tämän luvun alussa tarkasteltiin funktioista $f(x) = 2x$ ja $g(x) = \sin x$ yhdistettyä funktiota $(g\circ f)(x) = \sin 2x$. Alla on havainnollistettu kuvaajien avulla tämän yhdistetyn funktion muodostumista. Ensimmäisestä kuvaajasta voidaan lukea, mitä sisäfunktio tekee muuttujalle $x$. Toinen kuvaaja näyttää, mitä ulkofunktio tekee tulokselle $f(x)$.


    Kun nämä tiedot yhdistetään, saadaan hahmoteltua yhdistetyn funktion kuvaaja:

    Tutkitaan, mitä tapahtuu, jos funktiot yhdistetään eri järjestyksessä. Otetaan sisäfunktioksi $g(x) = \sin x$ ja ulkofunktioksi $f(x) = 2x$. Alta ensimmäisestä kuvaajasta voidaan lukea, mitä sisäfunktio tekee muuttujalle $x$. Toinen kuvaaja näyttää, mitä ulkofunktio tekee tulokselle $g(x)$.


    Tässä tapauksessa ulkofunktio siis kaksinkertaistaa sisäfunktion tuloksen. Yhdistetyn funktion lausekkeeksi saadaan $$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\sin x) = 2\sin x. $$

    Havaitaan, että yhdistetyt funktiot $g\circ f$ ja $f \circ g$ ovat tässä tapauksessa eri funktiot. Kun funktioita yhdistetään, on siis oltava tarkkana funktioiden järjestyksen kanssa.

    Merkitään $f(x) = 2 - x$ ja $g(x) = \cos x$. Määritä yhdistetty funktio

    1. $g \circ f$
    2. $f \circ g$

    1. \begin{align*} (g \circ f)(x) &= g(f(x)) \\ &= g(2-x) \\ &= \cos (2-x) \end{align*}
    2. \begin{align*} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f(\cos x) \\ &= 2 - \cos x \end{align*}

    Merkitään $f(x) = x^2 - 4$ ja $g(x) = \dfrac{1}{x}$. Muodosta yhdistetty funktio ja päättele, mikä on sen määrittelyjoukko:

    1. $g \circ f$
    2. $f \circ g$

    1. Yhdistetty funktio on \begin{align*} (g \circ f)(x) &= g(f(x)) \\ &= g(x^2 - 4) \\ &= \frac{1}{x^2 - 4}. \end{align*} Se on määritelty, jos ja vain jos $x\neq 2$ ja $x \neq -2$.
    2. Yhdistetty funktio on \begin{align*} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\[2mm] &= f\left(\dfrac{1}{x}\right) \\[2mm] &= \left(\dfrac{1}{x}\right)^2 - 4 \\[2mm] &= \dfrac{1}{x^2} - 4. \end{align*} Se on määritelty, jos ja vain jos $x\neq 0$.

    Seuraavassa tehtävässä tarkastellaan yhdistetyn funktion $f(x) = \sin kx$ jaksoa. Kertoimen $k$ vaikutusta sinifunktion jakson pituuteen on tutkittu jo aikaisemmin tehtävissä 2.8 ja 2.9.

    Oletetaan, että $k > 0$. Osoita, että kaikilla muuttujan $x$ arvoilla pätee $$ f\!\left(x + \frac{2\pi}{k}\right) = f(x). $$

    Vinkki: Sievennä lauseke $$f\!\left(x + \frac{2\pi}{k}\right)$$ mahdollisimman pitkälle. Muista teoreema 13.

    \begin{align*} f\!\left(x + \frac{2\pi}{k}\right) &= \sin k\left(x + \frac{2\pi}{k}\right) \\[2mm] &= \sin \left(kx + \frac{k \cdot 2\pi}{k}\right) \\[2mm] &= \sin (kx + 2\pi) \\ &= \sin kx \\ &= f(x) \end{align*}

    Tehtävän 3.4 avulla saadaan perusteltua seuraava teoreema. Lue teoreema perusteluineen huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

    TEOREEMA

    Oletetaan, että $k > 0$. Yhdistettyjen funktioiden $f(x) = \sin kx$ ja $g(x) = \cos kx$ jakso on $$ \frac{2\pi}{k}. $$

    Perustelu: Merkitään funktion $f$ jaksoa kirjaimella $a$.

    • Funktion $f$ arvot toistuvat jakson välein: $f(x + a) = f(x)$ eli $$ \sin (kx + ka) = \sin kx. $$ Jos merkitään $z = kx$, yhtälö saadaan muotoon $$ \sin (z + ka) = \sin z. $$ Teoreeman 13 mukaan sinifunktion jakso on $2\pi$, joten $$ka \geq 2\pi$$ (huomaa, että voi olla $ka = 2\pi$ tai $ka = 4\pi$ tai $ka = 6\pi$ tai $\ldots$). Koska $k > 0$, seuraa tästä, että $$ a \geq \frac{2\pi}{k}. $$
    • Tehtävässä 3.4 osoitettiin, että kaikilla muuttujan $x$ arvoilla pätee $$ f\left(x + \frac{2\pi}{k}\right) = f(x). $$ Funktion $f$ arvot toistuvat siis aina $\dfrac{2\pi}{k}$ välein, joten funktion $f$ jakso ei voi olla tätä suurempi: $$ a \leq \dfrac{2\pi}{k}. $$

    Edellä on päätelty, että $$ \dfrac{2\pi}{k} \leq a \leq \dfrac{2\pi}{k}, $$ joten ainoaksi mahdollisuudeksi jää $$ a = \dfrac{2\pi}{k}. $$ Funktion $g$ jakson pituus perustellaan vastaavalla tavalla.

    Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan teoreeman 22 soveltamista.

    Määritä funktion $h$ arvojoukko ja jakson pituus, jos

    1. $h(x) = 4 \sin \dfrac{3x}{5}$
    2. $h(x) = -6 \cos \dfrac{\pi x}{2}$

    1. Arvojoukko on $[-4,4]$ ja jakso on $\dfrac{10\pi}{3}$.
    2. Arvojoukko on $[-6,6]$ ja jakso on $4$.

    Tiedetään, että funktion $f(x) = a\sin kx$ jakson pituus on $3$ ja arvojoukko on väli $[-5,5]$. Lisäksi tiedetään, että $k > 0$. Määritä kertoimien $a$ ja $k$ arvot.

    $k = \dfrac{2\pi}{3}$ ja $a = 5$ tai $a = -5$

    Annettu funktio voidaan usein tulkita monella eri tavalla yhdistetyksi funktioksi. Esimerkiksi funktio $$ f(x) = \frac{1}{9x^2 + 1} $$ voidaan esittää yhdistettynä funktiona monella eri tavalla riippuen siitä, mikä funktio valitaan sisäfunktioksi. Tätä havainnollistetaan seuraavassa tehtävässä.

    Tehtävänä on esittää funktio $$ f(x) = \frac{1}{9x^2 + 1} $$ yhdistettynä funktiona $f = u \circ s$. Mikä on ulkofunktio $u(x)$, jos sisäfunktio on

    1. $s(x) = 9x^2 + 1$
    2. $s(x) = 9x^2$
    3. $s(x) = 3x$

    1. $u(x) = \dfrac{1}{x}$
    2. $u(x) = \dfrac{1}{x + 1}$
    3. $u(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$

    Tässä kappaleessa tutkitaan, miten yhdistetyn funktion $g\circ f$ riippuu ulko- ja sisäfunktioiden derivaatoista. Aloitetaan tarkastelemalla yksittäistä esimerkkiä.

    Tutkitaan funktioita $f(x) = 2x^2$ ja $g(x) = 1 - x^3$.

    1. Määritä yhdistetty funktio $(g \circ f)(x)$ ja sievennä sen lauseke mahdollisimman pitkälle.
    2. Määritä a-kohdan funktion derivaattafunktio $(g \circ f)'(x)$.
      Vinkki: kertaa tarvittaessa MAA6-kurssin teoreemat 7 ja 9.
    3. Määritä derivaattafunktiot $f'(x)$ ja $g'(x)$.
    4. Määritä yhdistetty funktio $(g' \circ f)(x)$ ja sievennä sen lauseke mahdollisimman pitkälle.
      Vinkki: huomaa, että kysymyksessä on funktiosta $f$ ja derivaattafunktiosta $g'$ muodostettu funktio.
    5. Vertaa b-, c- ja d-kohtien tuloksia. Miten voit muodostaa yhdistetyn funktion derivaattafunktion $(g \circ f)'(x)$ c- ja d-kohtien tuloksista?

    1. \begin{align*} (g \circ f)(x) &= g(f(x)) \\ &= g(2x^2) \\ &= 1-(2x^2)^3 \\ &= 1 - 8x^6 \end{align*}
    2. \begin{align*} (g \circ f)'(x) &= -8\cdot 6x^5 \\ &= -48x^5 \end{align*}
    3. $f'(x) = 4x$ ja $g'(x) = -3x^2$.
    4. \begin{align*} (g' \circ f)(x) &= g'(f(x)) \\ &= g'(2x^2) \\ &= -3(2x^2)^2 \\ &= -3\cdot 4x^4 \\ &= -12x^4 \end{align*}
    5. Havaitaan, että yhdistetyn funktion derivaattafunktio saadaan tulona $(g' \circ f)(x) \cdot f'(x)$ eli $$ (g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x). $$

    Testataan edellisen tehtävän tulosta vielä toisessa tapauksessa. Oliko kysymyksessä vain sattuma vai ilmeneekö tässä jokin yleispätevä lainalaisuus?

    Tutkitaan funktioita $f(x) = x^2-x$ ja $g(x) = x^5$.

    1. Määritä yhdistetty funktio $(g \circ f)(x)$.
      Vinkki: funktion lausekkeen sulkuja ei nyt kannata lähteä avaamaan.
    2. Määritä a-kohdan funktion derivaattafunktio $(g \circ f)'(x)$.
      Vinkki: kertaa tarvittaessa MAA6-kurssin teoreema 14.
    3. Määritä derivaattafunktiot $f'(x)$ ja $g'(x)$.
    4. Määritä funktion $g$ derivaatan arvo kohdassa $f(x)$. Toisin sanottuna määritä $g'(f(x))$.
    5. Pitääkö tehtävän 3.8 havainto paikkansa tässäkin tapauksessa?

    1. \begin{align*} (g \circ f)(x) &= g(f(x)) \\ &= g(x^2 - x) \\ &= (x^2 - x)^5 \end{align*}
    2. Funktion potenssin derivointisäännön avulla saadaan \begin{align*} (g \circ f)'(x) &= 5(x^2-x)^4(2x-1) \end{align*}
    3. $f'(x) = 2x-1$ ja $g'(x) = 5x^4$.
    4. \begin{align*} g'(f(x)) &= g'(x^2-x) \\ &= 5(x^2-x)^4 \end{align*}
    5. Tehtävän 3.8 havainto pitää paikkansa tässäkin tapauksessa: $$ (g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x). $$

    Edellisen tehtävän havainto osoittautuu pitävän paikkansa kaikilla yhdistetyillä funktioilla. Seuraavassa teoreemassa tämä todistetaan tietynlaisille funktioille. Yleinen todistus vaatii keinoja, joihin perehdytään yliopistotasolla.

    Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

    TEOREEMA

    Oletetaan, että funktiot $f$ ja $g$ ovat derivoituvia. Yhdistetyn funktion $g \circ f$ derivaatta kohdassa $x$ on ulkofunktion derivaatta kohdassa $f(x)$ kerrottuna sisäfunktion derivaatalla: $$ \mathop{\mathrm{D}} g(f(x)) = g'(f(x))f'(x). $$

    Perustelu: Funktion $g \circ f$ erotusosamäärä kohdassa $a$ on $$ \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{x-a}. $$ Tehdään lisäoletus, että kohdan $a$ läheisyydessä $f(x) \neq f(a)$. Huomaa, että esimerkiksi vakiofunktioille tämä oletus ei päde, minkä vuoksi tämä perustelu ei ole yleispätevä.
    Lisäoletuksesta seuraa, että $f(x) - f(a) \neq 0$ ja erotusosamäärä voidaan laventaa lausekkeella $f(x) - f(a)$: \begin{align*} &\phantom{ {} = {} } \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{x-a} \\[2mm] &= \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{x-a} \cdot \frac{\textcolor{red}{f(x) - f(a)}}{\textcolor{red}{f(x) - f(a)}} \\[2mm] &= \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{\textcolor{red}{f(x) - f(a)}} \cdot \frac{\textcolor{red}{f(x) - f(a)}}{x-a} \end{align*} Jälkimmäinen tulon tekijä on funktion $f$ erotusosamäärä kohdassa $a$: $$ \frac{\textcolor{red}{f(x) - f(a)}}{x-a} \xrightarrow[x\rightarrow a]{} f'(a) $$ Merkitään ensimmäisessä tulon tekijässä $y = f(x)$ ja $b = f(a)$, jolloin saadaan $$ \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{\textcolor{red}{f(x) - f(a)}} = \frac{g(y) - g(b)}{y-b}. $$ Tämä on funktion $g$ erotusosamäärä kohdassa $b$: $$ \frac{g(y) - g(b)}{y-b} \xrightarrow[y \rightarrow b]{} g'(b). $$ Koska funktio $f$ on derivoituva, se on jatkuva ja $$ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a). $$ Tämä tarkoittaa, että jos $x \rightarrow a$, niin $y \rightarrow b$. Siten \begin{align*} &\phantom{ {} = {} } \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{x-a} \\[2mm] &= \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{\textcolor{red}{f(x) - f(a)}} \cdot \frac{\textcolor{red}{f(x) - f(a)}}{x-a} \\[2mm] &= \frac{g(y) - g(b)}{y-b} \cdot \frac{\textcolor{red}{f(x) - f(a)}}{x-a} \\[2mm] &\xrightarrow[x \rightarrow a]{} g'(b)f'(a) = g'(f(a))f'(a). \end{align*} Näin on osoitettu, että $$ (g \circ f)'(a) = g'(f(a))f'(a). $$

    Yhdistetyn funktion derivointisäännön avulla voidaan derivoida monia trigonometrisia funktioita, joiden derivaattojen määrittäminen muilla tavoin on huomattavasti työläämpää.

    Tehtävänä on määrittää funktion $h(x) = \sin 2x$ derivaatta.

    1. Tulkitse funktio $h$ yhdistettynä funktiona $g \circ f$. Mikä on sisäfunktio $f(x)$? Entä ulkofunktio $g(x)$?
    2. Määritä derivaattafunktiot $f'(x)$ ja $g'(x)$.
    3. Määritä derivaattafunktion $g'$ arvo kohdassa $f(x)$. Toisin sanottuna määritä $g'(f(x))$.
    4. Muodosta derivaattafunktio $h'(x)$ teoreeman 23 avulla.

    1. Sisäfunktio on $f(x) = 2x$ ja ulkofunktio on $g(x) = \sin x$.
    2. $f'(x) = 2$ ja $g'(x) = \cos x$.
    3. $g'(f(x)) = \cos 2x$
    4. Kysytty derivaattafunktio saadaan yhdistetyn funktion derivointisäännöllä: \begin{align*} h'(x) &= g'(f(x))f'(x) \\ &= (\cos 2x)\cdot 2 \\ &= 2\cos 2x \end{align*}

    Määritä seuraavat yhdistettyjen funktioiden derivaatat teoreeman 23 avulla:

    1. $\mathop{\mathrm{D}} \cos 3x$
    2. $\mathop{\mathrm{D}} \sin (\pi - x)$
    3. $\mathop{\mathrm{D}} \tan 4x$

    1. $\mathop{\mathrm{D}} \cos 3x = -3\sin 3x$
    2. $\mathop{\mathrm{D}} \sin (\pi - x) = -\cos (\pi - x)$
    3. $\mathop{\mathrm{D}} \tan 4x = 4(1 + \tan^2\! 4x)$ tai $$\mathop{\mathrm{D}} \tan 4x = \dfrac{4}{\cos^2\! 4x}$$

    Teoreeman 23 perustelussa tehtiin lisäoletus, että kohdan $a$ läheisyydessä $f(x) \neq f(a)$. Esimerkiksi vakiofunktioille tämä oletus ei päde. Perustelu ei siis ole yleispätevä, vaan se todistaa väitteen vain sellaisille funktioille, joilla lisäoletuksen ehto toteutuu. Seuraavassa tehtävässä tutkitaan, mitä tapahtuu, jos yhdistetyssä funktiossa sisäfunktiona on vakiofunktio.

    Tarkastellaan yhdistettyä funktiota $g \circ f$ tilanteessa, jossa sisäfunktiona on vakiofunktio $f(x) = 3$. Ulkofunktio voi tässä olla mikä tahansa funktio. Toisin sanottuna tarkastellaan tilannetta, jossa ulkofunktiosta $g$ ei ole tarkempaa tietoa.

    1. Muodosta yhdistetyn funktion $g \circ f$ lauseke ja sievennä se mahdollisimman pitkälle. Millainen funktio $g \circ f$ on?
    2. Päättele yhdistetyn funktion $g \circ f$ derivaatta a-kohdan avulla.
      Vinkki: MAA6-kurssin teoreema 6.
    3. Mikä on funktion $f$ derivaatta?
    4. Päättele c-kohdan avulla, mitä on $g'(f(x))f'(x)$. Vertaa tulosta b-kohdan tulokseen. Päteekö yhdistetyn funktion derivointisääntö tässä tapauksessa? Toisin sanottuna, saitko saman tuloksen kuin b-kohdassa?

    1. $(g\circ f)(x) = g(f(x)) = g(3)$ kaikilla $x$, joten yhdistetty funktio on vakiofunktio. Sen arvoa ei kuitenkaan voi annettujen tietojen avulla päätellä. Arvo riippuu siitä, mikä on funktion $g$ arvo kohdassa 3.
    2. Vakiofunktion derivaatta on nollafunktio, joten $(g\circ f)'(x) = 0$.
    3. Funktio $f$ on vakiofunktio, joten $f'(x) = 0$.
    4. $g'(f(x))f'(x) = g'(3) \cdot 0 = 0$.
      Tulos on sama kuin kohdassa (b), joten yhdistetyn funktion derivointisääntö $$ (g\circ f)'(x) = g'(f(x))f'(x) $$ pätee tässä tapauksessa.

    Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan vielä teoreeman 23 soveltamista.

    Jatkoa tehtävään 2.45. Sataman veden syvyys vaihtelee nousu- ja laskuveden myötä 12 tunnin jaksoissa. Syvyys on suurimmillaan 5,2 metriä ja pienimmillään 2,4 metriä. Veden syvyyttä (metreinä) voidaan kuvata funktiolla $$ f(t) = 3{,}8 + 1{,}4 \cos \left(\dfrac{\pi t}{6}\right). $$ Tässä ajanhetki $t = 0$ (tuntia) on valittu niin, että silloin vesi on korkeimmillaan. Millä nopeudella vedenpinta nousee tai laskee, kun nousuveden huipusta on kulunut

    1. yksi tunti
    2. 8 tuntia
    3. 9 tuntia?

    Derivaattafunktio on $$ f'(t) = -1{,}4 \cdot \frac{\pi}{6} \sin \left(\dfrac{\pi t}{6}\right). $$

    1. $f'(1) \approx -0{,}37$ eli vedenpinta laskee noin 37 cm tunnissa.
    2. $f'(8) \approx 0{,}63$ eli vedenpinta nousee noin 63 cm tunnissa.
    3. $f'(9) \approx 0{,}73$ eli vedenpinta nousee noin 73 cm tunnissa.

    Funktion $$ f(x) = 3 \sin \left(\frac{x}{2}\right) $$ kuvaajalle piirretään tangentti kohtaan $$x = \frac{8\pi}{3}.$$ Määritä tangentin yhtälö.

    Derivaattafunktion on $$ f'(x) = \frac{3}{2} \cos \left(\frac{x}{2}\right), $$ joten tangentin kulmakerroin on \begin{align*} f'\left(\frac{8\pi}{3}\right) &= \frac{3}{2} \cos \left(\frac{4\pi}{3}\right) \\[2mm] &= -\frac{3}{4} \end{align*} Funktion kuvaajan pisteen $y$-koordinaatti on \begin{align*} f\left(\frac{8\pi}{3}\right) &= 3 \sin \left(\frac{4\pi}{3}\right) \\[2mm] &= \frac{3}{2}\sqrt{3} \end{align*} Tangentin yhtälö on $$ y - \frac{3}{2}\sqrt{3} = -\frac{3}{4}\left(x - \frac{8\pi}{3}\right) $$ eli $$ y = -\frac{3}{4}x + 2\pi + \frac{3}{2}\sqrt{3}. $$

    Yhdistetty funktio

    Muodosta lauseke yhdistetylle funktiolle $u \circ s$ ja sievennä se mahdollisimman pitkälle, jos

    1. $u(x) = (x-1)^2$ ja $s(x) = 1 + 2x$
    2. $u(x) = 1 + 2x$ ja $s(x) = (x-1)^2$

    1. $u(s(x)) = 4x^2$
    2. $u(s(x)) = 2x^2 - 4x + 3$

    Yhdistetty funktio

    Päättele, mikä on sisäfunktio $s(x)$ ja mikä on ulkofunktio $u(x)$, jos yhdistetylle funktiolle $f = u\circ s$ pätee

    1. $f(x) = \dfrac{1}{\tan x}$
    2. $f(x) = \sin \left(\dfrac{x - \pi}{2}\right)$
    3. $f(x) = (2-x)^{10}$

    1. $u(x) = \dfrac{1}{x}$ ja $s(x) = \tan x$
    2. $u(x) = \sin x$ ja $s(x) = \dfrac{x - \pi}{2}$
    3. $u(x) = x^{10}$ ja $s(x) = 2-x$

    Yhdistetty funktio

    Merkitään $f(x) = kx + 1$ ja $g(x) = 3x + k$. Määritä ne vakion $k$ arvot, joilla $$ (f\circ g)(x) = (g \circ f)(x). $$

    Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $k = -1$ tai $k = 2$.

    Yhdistetty funktio

    Muodosta yhdistetty funktio $g \circ f$, jos

    1. $f(x) = 2x - 1$ ja $g(x) = \dfrac{x+1}{2}$
    2. $f(x) = 4x + 3$ ja $g(x) = 0{,}25x - 0{,}75$.

    Mitä huomaat?

    Piirrä funktioiden $f$ ja $g$ kuvaajat samaan koordinaatistoon ja vertaa niitä suoraan $y = x$.

    1. $(g\circ f)(x) = g(f(x)) = x$
    2. $(g\circ f)(x) = g(f(x)) = x$

    Yhdistetyssä funktiossa funktiot $f$ ja $g$ kumoavat toistensa vaikutuksen ja tuloksena on sama muuttujan arvo, joka funktiolle alunperin syötettiin.
    Sekä a- että b-kohdassa funktioiden $f$ ja $g$ kuvaajat ovat toistensa peilikuvia suoran $y = x$ suhteen.

    Yhdistetty funktio

    Määritä alla olevien kuvaajien avulla seuraavat yhdistetyn funktion $g \circ f$ arvot:

    1. $(g \circ f)(0)$
    2. $(g \circ f)(2)$
    3. $(g \circ f)(4)$
    4. $(g \circ f)(6)$

    Kuvissa ruudukon ruudun sivun pituus on 1.

    1. $g(f(0)) = g(1) = -1$
    2. $g(f(2)) = g(4) = 2$
    3. $g(f(4)) = g(3) = 0$
    4. $g(f(6)) = g(1) = -1$

    Yhdistetty funktio

    Määritä alla olevien kuvaajien avulla seuraavat yhdistetyn funktion $f \circ g$ arvot:

    1. $(f \circ g)(-2)$
    2. $(f \circ g)(0)$
    3. $(f \circ g)(1)$
    4. $(f \circ g)(4)$

    Kuvissa ruudukon ruudun sivun pituus on 1.

    1. $f(g(-2)) = f(5) = 1$
    2. $f(g(0)) = f(0) = 1$
    3. $f(g(1)) = f(-1) = -2$
    4. $f(g(4)) = f(2) = 4$

    Yhdistetty funktio

    Alla on näkyvissä funktion $f$ kuvaaja. Hahmottele yhdistetyn funktion $g \circ f$ kuvaaja, jos

    1. $g(x) = -x$
    2. $g(x) = x + 3$
    3. $g(x) = \left|x\right|$

    1. Kerroin $-1$ muuttaa funktion $f$ arvot vastaluvuikseen:
    2. Vakion lisääminen siirtää funktion $f$ kuvaajaa $y$-akselin suunnassa:
    3. Itseisarvo muuttaa funktion $f$ negatiiviset arvot vastaluvuikseen:

    Yhdistetty funktio

    Alla on näkyvissä funktion $f$ kuvaaja. Hahmottele yhdistetyn funktion $f \circ s$ kuvaaja, jos sisäfunktio on

    1. $s(x) = -x$
    2. $s(x) = x - 1$
    3. $s(x) = \left|x\right|$

    1. Sisäfunktion kerroin $-1$ peilaa funktion kuvaajan $y$-akselin suhteen:
    2. Vakio sisäfunktiossa siirtää kuvaajaa $x$-akselin suunnassa:
    3. Itseisarvo sisäfunktiossa tekee kuvaajasta symmetrisen $y$-akselin suhteen:

    Yhdistetyn funktion derivaatta

    Määritä funktion $f$ derivaattafunktio, jos

    1. $f(x) = \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^3$
    2. $f(x) = \cos x^2$

    1. $f'(x) = \dfrac{3x^2}{(x+1)^4}$
    2. $f'(x) = -2x\sin x^2$

    Yhdistetyn funktion derivaatta

    Tutkitaan funktion $f(x) = \sin 2x$ derivaattafunktiota.

    1. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$ yhdistetyn funktion derivointisäännön avulla.
    2. Muokkaa funktion $f$ lauseketta kaksinkertaisen kulman kaavan avulla. Määritä sen jälkeen derivaattafunktio $f'(x)$ tulon derivointisäännön avulla.
      Vinkki: kaksinkertaisen kulman kaava löytyy edellisestä luvusta teoreemasta 17 ja tulon derivointisääntö puolestaan MAA6-kurssin teoreemasta 13.
    3. Vertaa a- ja b-kohdan tuloksia. Ovatko ne samat?
    4. Mille kaavalle saat uuden perustelun a- ja b-kohtien avulla?

    1. $f'(x) = 2\cos 2x$
    2. $f(x) = 2\sin x\cos x$, joten derivaattafunktioksi saadaan $f'(x) = 2\cos^2\! x - 2\sin^2\! x$.
    3. Tulokset ovat samat, koska kysymyksessä on funktion $f$ derivaattafunktio vain eri tavoin määritettynä.
    4. Saadaan yhtälö $$ 2\cos 2x = 2\cos^2\! x - 2\sin^2\! x, $$ josta seuraa kaksinkertaisen kulman kosinin kaava $$ \cos 2x = \cos^2\! x - \sin^2\! x. $$

    Yhdistetyn funktion derivaatta

    Osoita, että funktio $f$ on kaikkialla aidosti kasvava, jos

    1. $f(x) = x + \sin x\cos x$
    2. $f(x) = 3x + \sin 2x - 4\sin x$

    Vinkki: Kertaa tarvittaessa MAA6-kurssin teoreema 10. Kohdassa (b) myös tämän kurssin teoreemoista 7 ja 17 on apua.

    1. Derivaattafunktio on \begin{align*} f'(x) &= 1 - \sin^2\! x + \cos^2\! x \\ &= \cos^2\! x + \cos^2\! x \\ &= 2\cos^2\! x. \end{align*} Havaitaan, että sen arvot ovat epänegatiiviset ja se saa arvon nolla vain yksittäisissä kohdissa. (Huomaa lyhennysmerkintä: $\cos^2\! x = (\cos x)^2$.)
    2. $f(x) = 3x + \sin 2x - 4\sin x$ Derivaattafunktio on \begin{align*} f'(x) &= 3 + 2\cos 2x - 4\cos x \\ &= 3 + 2(\cos^2\! x - \sin^2\! x) - 4\cos x \\ &= 3 + 2\cos^2\! x - 2(1 -\cos^2\! x) - 4\cos x \\ &= 3 + 2\cos^2\! x - 2 + 2\cos^2\! x - 4\cos x \\ &= 4\cos^2\! x - 4\cos x + 1 \\ &= (2\cos^2\! x - 1)^2 \end{align*} Havaitaan, että sen arvot ovat epänegatiiviset ja se saa arvon nolla vain yksittäisissä kohdissa.

    Yhdistetyn funktion derivaatta

    Määritä funktion $f(x) = x - \sin 2x$ derivaattafunktion nollakohdat.

    Derivaattafunktio on $$f'(x) = 1 - 2\cos 2x.$$ Sen nollakohdat ovat $$\dfrac{\pi}{6} + n\cdot \pi$$ ja $$\dfrac{\pi}{6} + n\cdot \pi,$$ missä $n$ on kokonaisluku.

    Yhdistetyn funktion derivaatta

    Derivoi funktio $f$, jos

    1. $f(x) = \cos^2 3x$
    2. $f(x) = \sin \dfrac{x}{2}$

    1. $f'(x) = -6\cos 3x \sin 3x$
    2. $f'(x) = \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{x}{2}$

    Yhdistetyn funktion derivaatta

    Pisteeseen, jossa funktion $$ f(x) = 2\tan x + \sin 6x - 4\cos x $$ kuvaaja leikkaa $y$-akselin, piirretään kuvaajan tangetti ja normaali. Määritä tangetin ja normaali yhtälöt.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa MAA3-kurssin teoreema 11.

    Tangentin yhtälö on $y = 8x - 4$. Normaalin yhtälö on $$ y = -\frac{1}{8}x - 4. $$

    Yhdistetyn funktion derivaatta

    Tarkastellaan funktiota $$ f(x) = a \sin x + b \cos 2x. $$ Määritä vakioiden $a$ ja $b$ arvot niin, että funktio $f$ toteuttaa ehdot $$ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1 $$ ja $$ f''\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1. $$ Vinkki: huomaa, että jälkimmäinen ehto koskee funktion $f$ toista derivaattaa, joka löydetään derivoimalla derivaattafunktio.

    $a = \dfrac{10}{3}$ ja $b = -\dfrac{4}{3}$

    Yhdistetyn funktion derivaatta

    Merkitään $$ f(x) = 4\cos 2x - 3\sin^2\! x. $$ Laske $$ f'\left(\frac{2\pi}{3}\right). $$

    $$ f'\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{11\sqrt{3}}{2} $$

    Yhdistetyn funktion derivaatta

    Määritä funktion $$ f(x) = (3x-7)\sin 3x + \cos 3x $$ suurin ja pienin arvo välillä $[0, \pi]$.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa MAA6-kurssin teoreema 12.

    Suurin arvo on $$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 7 - \frac{3\pi}{2}. $$ Pienin arvo on $$ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{2} - 7. $$

    Yhdistetyn funktion derivaatta

    Määritä kaikki funktion $$ f(x) = \cos \left(\frac{1-x}{x}\right) $$ derivaattafunktion nollakohdat.

    $x = \dfrac{1}{1 + n\pi}$, missä $n$ on kokonaisluku.

    1. Laske funktion $f(x) = \sin 3x$ derivaatan tarkka arvo kohdassa $x = \frac{\pi}{9}$
    2. Määritä ne reaaliluvut $x$, joilla funktion $f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ derivaatta on $\sin x$.

    [Pitkä K2013/2a & S1999/4a]

    1. $f'\left(\frac{\pi}{9}\right) = 3\cos \frac{\pi}{3} = \frac{3}{2}$
    2. $x = \dfrac{\pi}{4} + n \cdot \pi$, missä $n$ on kokonaisluku

    Määritä funktion $$ f(x) = \cos x - \frac{1}{2}\cos 2x $$ suurin ja pienin arvo. Missä pisteissä suurin arvo saavutetaan?
    [Pitkä S2010/7]

    Derivaattafunktion nollakohdat ovat $x = n \cdot \pi$ ja $$ x = \pm\frac{\pi}{3} + n \cdot 2\pi, $$ missä $n$ on kokonaisluku. Funktion suurin arvo on $\frac{3}{4}$ ja se saavutetaan kohdissa $$ x = \pm\frac{\pi}{3} + n \cdot 2\pi, $$ missä $n$ on kokonaisluku. Pienin arvo on $-\frac{3}{2}$.

    Määritä funktion $$ f(x) = \frac{5}{4 + 3\cos 2x} $$ suurin ja pienin arvo reaalilukujen joukossa. Millä argumentin arvoilla nämä saadaan?
    [Pitkä K2001/6]

    Suurin arvo on $5$ ja se saavutetaan kohdissa $\frac{\pi}{2} + n \cdot \pi$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Pienin arvo on $\frac{5}{7}$ ja se saavutetaan kohdissa $n \cdot \pi$, missä $n$ on kokonaisluku.

    Huom. tehtävän voi ratkaista myös päättelemällä ilman derivaattaa, koska tiedetään, että kosinin arvot ovat aina välillä $[-1,1]$.

    Puistossa on kaksi toisiaan vastaan kohtisuoraa käytävää sekä koirien suosima puu, jonka etäisyys toisesta käytävästä on 60 m, toisesta 100 m. Käytävien väliin on muodostunut lyhin mahdollinen suora oikopolku, joka sivuaa puuta. Minkä kulman tämä oikopolku muodostaa puuta lähempänä olevan käytävän kanssa? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.
    [Pitkä S1990/8b]

    Polun pituus saadaan funktiosta $$ f(x) = \frac{60}{\sin x} + \frac{100}{\cos x}, $$ missä $x$ on kysytty kulma (välillä $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$). Derivaattafunktio on \begin{align*} f'(x) &= \frac{5\sin x}{\cos^2\! x} - \frac{3\cos x}{\sin^2\! x}. \end{align*} Sen nollakohdat löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ \frac{\sin^3\! x}{\cos^3\! x} = \frac{3}{5} $$ eli yhtälö $$ \tan^3\! x = \frac{3}{5}. $$ Välillä $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ on yksi nollakohta $x \approx 0{,}70$ (radiaania). Kulkukaavion avulla havaitaan, että tämä on minimikohta. Kysytty kulma on siis noin 40 astetta.

    Määritä funktion $$ f(x) = (1-\cos^3\!x)^3 $$ suurin ja pienin arvo

    1. päättelemällä kosinin ominaisuuksien avulla
    2. derivaatan avulla.

    Suurin arvo on 8 ja pienin arvo on 0.

    1. Idea: Kosinin saa arvot välillä $[-1,1]$, joten $1 - \cos^3\! x$ saa arvot välillä $[0, 2]$. Kysytty suurin arvo on siten $2^3 = 8$ ja pienin arvo on $0$.
    2. Derivaattafunktio on $$ f'(x) = 3(1-\cos^3\!x)^2 \cdot (-3\cos^2\! x) \cdot (-\sin x). $$ Sillä on nollakohdat $n \cdot \pi$ ja $$ \frac{\pi}{2} + n \cdot \pi, $$ missä $n$ on kokonaisluku.
      Funktion $f$ arvot toistuvat $2\pi$:n jaksoissa, joten suurin ja pienin arvo löydetään laskemalla funktion arvot kohdissa $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \pi$ ja $x = \frac{3\pi}{2}$.

    Kourua pitkin valuu $0{,}2 \text{ m}^3/\text{min }$ seulottua hiekkaa ympyräpohjaisen kartion muotoiseen kasaan. Hiekkakasan korkeuden kasvaessa myös pohjaympyrän halkaisija $d$ kasvaa niin, että se on koko ajan 50 % kasan korkeutta suurempi. Tehtävänä on selvittää, millä nopeudella hiekkakasan korkeus kasvaa hetkellä, jolloin sen korkeus on 1,5 metriä.

    1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja muodosta yhtälö, joka kertoo, miten pohjaympyrän halkaisija $d$ riippuu kasan korkeudesta $h$.
    2. Muodosta yhtälö ympyräpohjaisen kartion tilavuudelle ja muokkaa sitä niin, että siinä esiintyy vain tilavuus $V$, korkeus $h$ sekä vakioita.
      Vinkki: kertaa tarvittaessa MAA3-kurssin teoreema 25.
    3. Hiekkakasan tilavuus ja korkeus riippuvat kumpikin ajasta eli ne ovat ajan funktioita $V(t)$ ja $h(t)$. Derivoimalla b-kohdassa johtamasi tilavuuden lausekkeen saat lausekkeen tilavuuden muutosnopeudelle $V'(t)$.
      Vinkki: Nyt tarvitset yhdistetyn funktion derivointisääntöä (teoreema 23).
    4. Selvitä c-kohdan yhtälön avulla, millä nopeudella hiekkakasan korkeus kasvaa hetkellä, jolloin sen korkeus on 1,5 metriä.

    1. $d = 1{,}5h$
    2. $V = \dfrac{3\pi h^3}{16}$
    3. $V'(t) = \dfrac{3\pi \cdot 3 (h(t))^2 \cdot h'(t)}{16}$
    4. \begin{align*} h'(t) &= \dfrac{16V'(t)}{9\pi (h(t))^2} \\[2mm] &= \dfrac{16 \cdot 0{,}2 \text{ m}^3/\text{min}}{9\pi \cdot (1{,}5 \text{ m})^2} \\[2mm] &\approx 0{,}050 \text{ m/min} \end{align*}

    Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.