1. Funktio on määritelty, jos ja vain jos $x \geq 1$.
   Funktiolla on nollakohdat $x_1 = 2$ ja $x_2 = 5$.
2. Funktio on määritelty, jos ja vain jos $x \geq 0$.
   Funktiolla on nollakohta $$ x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}. $$

1. Funktio on määritelty, jos ja vain jos $x \geq -\frac{5}{4}$.
   Funktiolla on nollakohta $x = 5$.
2. Funktio on määritelty kaikilla muuttujan arvoilla.
   Funktiolla on nollakohta $x = -1$.

1. Johtopäätöksen voi varmistaa esimerkiksi piirtämällä funktion $$ f(x) = 2x + \sqrt{5-x} $$ kuvaajan ja katsomalla, leikkaako se $x$-akselin. Mahdolliset leikkauskohdat ovat yhtälön $f(x) = 0$ ratkaisuja.
2. Ratkaisu ei ole oikein. Ennen toiseen potenssiin korotusta yhtälöä kannattaa muokata niin, että neliöjuurilauseke on yksinään yhtälön toisella puolella: \begin{align*} 2x + \sqrt{5-x} &= 0 \\ 2x &= -\sqrt{5-x}\\ (2x)^2 &= (-\sqrt{5-x})^2 \\ 4x^2 &= 5 - x \\ 4x^2 + x - 5 &=0 \\[2mm] x &= \frac{-1\pm \sqrt{81}}{8} \end{align*} Ratkaisuehdokkaiksi saadaan $x_1 = 1$ ja $x_2 = -1{,}25$. Sijoittamalla huomataan, että yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu $x = -1{,}25$.

Käyrillä on yksi leikkauspiste $(1,1)$, joka löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ x^2 = \frac{1}{\sqrt{x}}. $$ Funktion $f(x) = x^2$ kuvaajan pisteeseen $(1,1)$ asetetun tangentin kulmakerroin on $$ f'(1) = 2\cdot 1 = 2. $$ Funktion $$ g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $$ kuvaajan pisteeseen $(1,1)$ asetetun tangentin kulmakerroin on $$ g'(1) = -\frac{1}{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1}} = -\frac{1}{2}. $$ Kulmakertoimien tulo on $-1$, joten pisteeseen $(1,1)$ asetetut tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

1. Neliön pinta-ala on
   • $3 \text{ cm}^2$
   • $6 \text{ cm}^2$
   • $9 \text{ cm}^2$
   • $12 \text{ cm}^2$.
2. $A(t) = 3t$.
3. Koska neliön pinta-ala on sivun pituuden toinen potenssi ($A = s^2$), saadaan sivun pituus selville ottamalla pinta-alasta neliöjuuri. Siten $s(t) = \sqrt{3t}$.
4. Derivaattafunktio on $$ s'(t) = \frac{3}{2\sqrt{3t}}. $$ Siten \begin{align*} s'(0{,}5) &= \sqrt{\frac{3}{2}} \approx 1{,}2 \text{ cm/s} \\[2mm] s'(3) &= 0{,}5 \text{ cm/s.} \end{align*}

Normaalin yhtälö on $y = 4x - 56$.

1. Pisteessä $(14,0)$.
2. Pisteessä $(0,-56)$.

1. Mallikuva:
   
2. $h(t) = 0{,}75t$
3. $f(t) = \sqrt{2500 + 0{,}5625t^2}$
4. Etääntymisnopeuden ilmaisee derivaatta $$ f'(t) = \frac{1{,}125t}{2\sqrt{2500 + 0{,}5625t^2}}. $$ Minuutin kuluttua etääntymisnopeus on $$ f'(60) \approx 0{,}50 \text{ m/s.} $$

Suoralla ja käyrällä on yhteinen piste $(25,5)$. Funktion $f(x) = \sqrt{x}\,$ kuvaajalle asetetun tangentin kulmakerroin on $$ f'(25) = \frac{1}{2\sqrt{25}} = \frac{1}{10} $$ eli sama kuin suoran kulmakerroin. Suora ja käyrä siis sivuavat toisiaan.

Suurin arvo on $f(2) = 3$ ja pienin arvo on $f(0) = \sqrt{3}$.

Suunnistajan kannattaa tulla polulle kohdassa, josta on rastille matkaa 900 m.

1. $x = 0$ tai $x \geq \frac{1}{4}$
2. $x \geq \frac{1}{4}$
   Huom. Derivaattafunktion nollakohtia tutkiessa pitää olla tarkkana määrittelyjoukon kanssa. Muuten saattaa löytää "nollakohdan", joka on funktion määrittelyjoukon ulkopuolellla ja siten myös derivaattafunktion määrittelyjoukon ulkopuolella.
3. Ei millään.

$\dfrac{1}{4}$

Etäisyys on pienimmillään 200 metriä, kun aikaa on kulunut 8,4 minuuttia eli 8 min 24 s. Lenkkeilijä on tällöin kulkenut risteyksen jälkeen 120 m polkua pitkin ja susi on vielä lähestymässä risteystä 160 metrin päässä.

Vinkki: Oletetaan, että lenkkeilijä on alkutilanteessa pisteessä $(1,0)$ ja susi pisteessä $(0,1)$, ja polkujen risteys on origossa. Etäisyyttä ajan funktiona voi kuvata esimerkiksi funktiolla $$ f(t) = \sqrt{(1-8t)^2 + (1-6t)^2}, $$ missä $t$ on aika tunteina.

Funktion $$ f(x) = x\sqrt{x} - 4x + 10 $$ derivaattafunktio $$ f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 4. $$ Funktio $f$ saa derivaattafunktion nollakohdassa pienimmän arvonsa $$ f\left(\frac{64}{9}\right) = \frac{14}{27} > 0. $$ Funktion arvot ovat siis aina positiivisia, joten tarkastelullla yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Isomman tontin pinta-alaksi pitäisi valita $5\,760 \text{ m}^2$ ja pienemmän tontin pinta-alaksi $3\,240 \text{ m}^2$.

Vinkki: Aidan pituutta voidaan kuvata funktiolla $$ f(x) = 4x + 3\sqrt{9000 - x^2}, $$ missä $x$ on isomman tontin sivun pituus.

1. Leikkauskohdan etäisyys nurkasta on $$ \left(4 - \frac{4}{3}\sqrt{6}\right) \text{ m} \approx 0{,}734 \text{ m.} $$ Vinkki: Teltan tilavuutta voi kuvata esimerkiksi funktiolla $$ f(x) = \frac{1}{3}(8-2x)^2\sqrt{8x-x^2}, $$ missä $x$ on kysytty leikkauskohdan etäisyys kankaan nurkasta. Tässä pohjan ala on $(8-2x)^2$ ja korkeus saadaan yhtälöstä $$ h^2 = 4^2 - (4-x)^2. $$ Tämä yhtälö saadaan muodostettua tarkastelemalla valmiin teltan poikkileikkauksen puolikasta, jota seuraavat kuvat havainnollistavat:
   
   
2. Kysytty lattiapinta-ala on noin $2{,}1 \text{ m}^2$.
   Vinkki: teltan poikkileikkauksen yhdenmuotoiset kolmiot:
   
   Tästä saadaan $$ x = \sqrt{2}\left(\frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{9}{5}\right) \approx 0{,}7204 $$ ja pinta-ala $$ (2x)^2 = 4x^2 \approx 2{,}1. $$

Vaakasuorien osien pituus noin 1,05 metriä ja keskimmäisen osan pituus noin 2,90 metriä.

Vinkki: Osien pituudet toteuttavat yhtälön $$ 2x + y = 5. $$ Suorakulmion korkeus saadaan yhtälöstä $$ h^2 = y^2 - x^2 $$ eli yhtälöstä $$ h = \sqrt{(5-2x)^2 - x^2}. $$ Suorakulmion pinta-alan ilmaisee siis funktio $$ f(x) = x\sqrt{25-20x + 3x^2}, $$ missä $0 \leq x \leq 2{,}5 \text{ m.}$

Johto vedetään suoraan tielle kohtaan, josta on muuntajalle matkaa vielä 7,6 km.

Vinkki: Kustannusta voidaan kuvata esimerkiksi funktiolla $$ f(x) = 9-x + 3\sqrt{16 + x^2}, $$ missä $x$ on kuten alla olevassa kuvassa:

1. Enintään 7,0 metriä pitkä putki.
   
   Mutkaan mahtuvan putken pituutta eri asennoissa voidaan kuvata funktiolla $$ f(x) = x + \frac{3x}{\sqrt{x^2 - 4}}. $$ Sen derivaatalla on yksi nollakohta: $$ x = \sqrt{4 + 2\sqrt[3]{18}}. $$ Kulkukaaviosta nähdään, että tämä on putken pituuden minimikohta, eli hankalimmassa kohdassa putken pituus saa olla enintään $$ f\left(\sqrt{4 + 2\sqrt[3]{18}}\right) \approx 7{,}0. $$
2. Enintään 7,4 metriä pitkä putki.

1. \begin{align*} \sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a^2}}} &= \sqrt{a\sqrt{a^2}} \\ &= \sqrt{a^2} \\ &= a \end{align*}
2. Kysytyt luvut ovat $0$ ja $\dfrac{1}{4}$.

1. Kuva tasoalueesta:
   
2. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$ tai $x = 1$.

Kulma $\alpha = 2\pi\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.

Kartion pohjaympyrän kehän pituus on $3\alpha$ ja säde $$ r = \frac{3\alpha}{2\pi}. $$ Kartion sivujanan pituus on $3$, joten kartion korkeudeksi saadaan Pythagoraan lauseen avulla välivaiheiden jälkeen $$ h = \frac{3}{2\pi}\sqrt{4\pi^2 - \alpha^2}. $$ Kartion tilavuus on $$ V = \frac{\pi}{3}r^2h = \frac{9}{8\pi^2}\alpha^2\sqrt{4\pi^2 - \alpha^2}, $$ missä $0 \leq \alpha \leq 2\pi$. Suurin arvo löytyy derivaatan nollakohdasta tai välin päätepisteistä. Derivointia voi helpottaa teoreeman 5 avulla.

Kysytty lattian halkaisija on $$2r = \dfrac{8}{\sqrt[4]{3\pi^2}}.$$

Teltan vaipan ala $A = \pi rs = 16$, joten sivujana on $$ s = \frac{16}{\pi r}. $$ Teltan korkeus on $$ h = \sqrt{s^2 - r^2}. $$ Kartion tilavuus on \begin{align*} V &= \frac{\pi}{3}r^2h \\[2mm] &= \frac{1}{3}\pi r^2\sqrt{\frac{256}{\pi^2r^2} - r^2} \\[2mm] &= \frac{1}{3}\sqrt{256r^2 - \pi^2r^6}. \end{align*} Tutkitaan, missä juurrettava $$f(r) = 256r^2 - \pi^2r^6$$ saa suurimman arvonsa, sillä tällöin myös tilavuusfunktio $V(r)$ saa suurimman arvonsa. Derivaattafunktiolla on kolme nollakohtaa, mutta positiivisia niistä on vain yksi: $$ r = \frac{4}{\sqrt[4]{3\pi^2}} $$ Esimerkiksi kulkukaavion avulla havaitaan, että funktio $f$ saa tässä kohdassa suurimman arvonsa.

Lähinnä origoa ovat paraabelin pisteet $\left(\frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$ ja $\left(-\frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$.

Yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu: $$ x = \frac{-5 + \sqrt{17}}{2} $$

Pienin arvo on $f(-3) = -3$ ja suurin arvo on $$ f\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right) = 3\sqrt{2}. $$

Sivusärmän pituudeksi on valittava $60\sqrt{2} \text{ cm } \approx 84{,}9 \text{ cm.}$

$x = 6$

Poisleikatun sektorin keskuskulma on noin $66^\circ$.

1. $V(t) = 120t$.
2. Yhtälöstä $$V = \frac{4\pi r^3}{3}$$ saadaan ratkaistua $$ r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}. $$ Siten $$ r(t) = \sqrt[3]{\frac{90t}{\pi}}. $$
3. Derivaattafunktio on $$ r'(t) = \frac{30}{\pi}\sqrt[3]{\frac{\pi^2}{8100t^2}}. $$ Siten \begin{align*} r'(2) &\approx 0{,}6 \text{ cm/s} \\ r'(4) &\approx 0{,}4 \text{ cm/s.} \end{align*}
4. Pinta-alan ilmaisee funktio $$ A(t) = 4\pi (r(t))^2. $$ Sen derivaattafunktio on \begin{align*} A'(t) &= 4\pi\cdot 2r(t) \cdot r'(t) \\[2mm] &=8\pi \sqrt[3]{\frac{90t}{\pi}} \frac{30}{\pi}\sqrt[3]{\frac{\pi^2}{8100t^2}} \\[2mm] &= 240 \sqrt[3]{\frac{\pi}{90t}}. \end{align*} Siten \begin{align*} A'(2) &\approx 62{,}25 \text{ cm}^2/\text{s} \\ A'(4) &\approx 49{,}41 \text{ cm}^2/\text{s.} \end{align*}

Merkitään alkuperäistä yhden lapsen nimiin sijoitettua rahasummaa kirjaimella $a$. Esikoisen rahasumma 10 vuoden kuluttua oli $$ 1{,}035^{10} \cdot a \approx 1{,}411a. $$ Kuopuksen osakkeiden arvo oli $$ 1{,}04^{10}a \approx 1{,}480a. $$ Arvonnoususta meni 30 % vero, minkä jälkeen rahaa jäi noin $$ 0{,}7 \cdot 0{,}480a + a = 1{,}336a. $$ Esikoisella oli siis enemmän rahaa, tarkemmin sanottuna noin 5,6 % enemmän kuin kuopuksella.

Bakteerien määrää $t$ tunnin kuluttua kuvaa likimain funktio $$ B(t) = 188\,988 \cdot 2^{\frac{t}{3}} $$ joten 20 tunnin kuluttua bakteereja on noin $B(20) \approx 19\,000\,000$.

Atomeista on jäljellä

1. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^\frac{2T}{T} = \dfrac{1}{4}$ eli 25 %.
2. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^\frac{T}{2T} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ eli noin 71 %.
3. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^\frac{10T}{T} = \dfrac{1}{1024}$ eli noin 0,098 %.

Olkoon cesiumin määrä alussa $a$. Määrä $t$ kuukauden kuluttua saadaan funktiosta $$ f(t) = a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{3}. $$ Lokakuun lopussa vuonna 1987 cesiumia oli $$ f(18) = a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{18}{3} = 0{,}015625a. $$ Jäljellä oli siis noin 1,6 % alkuperäisestä määrästä.

1. $x = \dfrac{5}{2}$
   (Koska eksponenttifunktio on aidosti monotoninen riippumatta kantaluvusta $k$, saadaan yhtälö $5 + x = 3x$.)
2. $x = 6$
   (Koska eksponenttifunktio on aidosti monotoninen riippumatta kantaluvusta $k$, saadaan yhtälö $x-4 = \frac{x}{3}$.)

Sovelletaan funktion $f$ määritelmää ja potenssien laskusääntöjä: \begin{align*} f(ax) &= k^{ax} = \left(k^x\right)^a = \left(f(x)\right)^a. \end{align*}

1. $A_0 \approx 0{,}23 \text{ Bq}.$
2. \begin{align*} A(2000) &\approx 0{,}23e^{-1{,}20968\cdot 10^{-4} \cdot 2000} \text{ Bq} \\ &\approx 0{,}18 \text{ Bq}. \end{align*}
3. Noin 21,4 %.
   Tämä on laskettu b-kohdan pyöristämättömällä tuloksella $0{,}180574477234\ldots \text{ Bq}$.

1. Noin 10,0 %.
2. Kuvaajasta voidaan lukea, että kondensaattorin jännite turvaa tiedot noin 6,5 tunnin sähkökatkoksen ajan:
   

1. Luonnollisen logaritmin määritelmän mukaan \begin{align*} \ln (e^9) &= 9 \\[2mm] \ln \left(\dfrac{1}{e^5}\right) &= \ln (e^{-5}) = -5 \end{align*}
2. Yhtälön $\ln x = -0{,}5$ ratkaisu on luonnollisen logaritmin määritelmän mukaan $$x = e^{-0{,}5} = \dfrac{1}{\sqrt{e}}.$$

1. $f'(x) = \dfrac{2e^{3x} + 2}{e^x}$
2. $g'(x) = 2(e^{2x} - e^{-2x}) =\dfrac{2(e^{4x} - 1)}{e^{2x}}$
3. $h'(x) = -10(5x+1)^3e^{-\frac{1}{2}(5x+1)^4}$

Derivaattafunktion $$ f'(x) = -e^{-x} - 1 $$ arvot ovat kaikkialla negatiivisia. Nimittäin kaikilla $x \in \R$ pätee $e^{-x} > 0$ ja siten $$ f'(x) = -e^{-x} - 1 < 0 - 1 = -1. $$ Koska derivaattafunktion arvot ovat kaikkialla negatiivisia, on funktio $f$ kaikkialla aidosti vähenevä.

Derivaattafunktiolla $$ f'(x) = xe^x + e^x $$ on yksi nollakohta $x = -1$. Kulkukaavion avulla nähdään, että funktio $f$ saa siinä pienimmän arvonsa. Tämä on $$ f(-1) = -e^{-1} + 1 \approx 0{,}63 > 0. $$ Koska funktion pienin arvo on positiivinen, ovat sen kaikki arvot positiivisia.

1. Funktion $f(x) = e^x - 2x$ derivaattafunktiolla $$f'(x) = e^x - 2$$ on tasan yksi nollakohta $x = \ln (2)$. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio saa siinä pienimmän arvonsa. Koska pienin arvo on \begin{align*} f(\ln (2)) &= 2 - 2\ln(2) \\ &\approx 0{,}62 > 0, \end{align*} ovat funktion kaikki arvot positiivisia. Funktiolla ei siis ole nollakohtia eikä alkuperäisellä yhtälöllä ole ratkaisuja.
2. Funktion $g(x) = e^x - 3x$ derivaattafunktiolla $$g'(x) = e^x - 3$$ on tasan yksi nollakohta $x = \ln (3)$. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio saa siinä pienimmän arvonsa. Tämä on \begin{align*} g(\ln(3)) &= 3 - 3\ln(3) \\ &\approx -0{,}30 < 0. \end{align*} Lisäksi $$g(0) = 1 > 0$$ ja $$g(2) = e^2 - 6 \approx 1{,}4 > 0,$$ joten jatkuvalla funktiolla $g$ on Bolzanon lauseen mukaan ainakin yksi nollakohta välillä $\pa 0, \ln(3)\pe$ ja ainakin yksi nollakohta välillä $\pa \ln(3), 2\pe$ (MAA6, teoreema 1). Kulkukaavion mukaan $g$ on aidosti vähenevä välillä $\pa 0, \ln(3)\pe$ ja aidosti kasvava välillä $\pa \ln(3), 2\pe$, joten kummallakin välillä nollakohtia on enintään yksi.

1. Kuva:
   
2. $A(x) = 2xe^{-x}$, missä $x > 0$.
3. Suurin mahdollinen pinta-ala on $$A(1) = 2e^{-1} \approx 0{,}736.$$ Se löydetään derivaattafunktion $$ A'(x) = (2-2x)e^{-x} $$ nollakohdasta. Kulkukaavion avulla voidaan varmistaa, että kysymyksessä todella on pienin arvo.

Käyrälle piirretyn tangentin kulmakerroin on funktion $$ f(x) = ae^{-\frac{1}{2}x^2} $$ derivaattafunktion $$ f'(x) = -axe^{-\frac{1}{2}x^2} $$ arvo kohdassa $x = 1$: $$ f'(1) = -ae^{-\frac{1}{2}} = -\frac{a}{\sqrt{e}}. $$ Sivuamispiste on $(1, f(1)) = \left(1, \frac{a}{\sqrt{e}}\right)$, joten tangentin yhtälö on $$ y = -\frac{a}{\sqrt{e}} x + \frac{2a}{\sqrt{e}}. $$ Sen ja $x$-akselin leikkauspisteen $y$-koordinaatti on nolla. Yhtälön $$ -\frac{a}{\sqrt{e}} x + \frac{2a}{\sqrt{e}} = 0 $$ ratkaisuksi saadaan $x = 2$. Leikkauspiste on siis $(2,0)$.

Funktiolla on minimiarvo $f(0) = 0$ ja maksimiarvo $f(2) = 4e^{-2}$.

Derivaattafunktiolla $$ f'(x) = (2x-x^2)e^{-x} $$ on kaksi nollakohtaa: $x_1 = 0$ ja $x_2 = 2$. Kulkukaavion avulla saadaan selville, että $x_1 = 0$ on minimikohta ja $x_2 = 2$ on maksimikohta.

Tiedetään, että kaikilla $x \in \R$ pätee $x^2 \geq 0$ ja $e^{-x} > 0$, joten funktion $f$ arvot ovat aina epänegatiivisia. Siten $f(0) = 0$ on funktion $f$ pienin arvo.

Funktio $f$ on välillä $\pa -\infty, 0]$ aidosti vähenevä ja esimerkiksi $f(-2) = 4e^{2} \approx 29{,}6$ on suurempi kuin maksimiarvo $f(2)$, joten funktiolla $f$ ei ole suurinta arvoa.

Tutkitaan, onko erotusfunktiolla $$ f(x) = e^x - x - 1 $$ pienin arvo. Derivaattafunktiolla $$ f'(x) = e^x - 1 $$ on tasan yksi nollakohta $x = 0$. Kulkukaavion avulla nähdään, että funktio $f$ saa siinä pienimmän arvonsa. Pienin arvo on $$ f(0) = e^0 - 0 - 1 = 0, $$ joten $f(x) \geq 0$ kaikilla reaaliluvuilla $x$. Siis $$ e^x \geq 1 + x $$ kaikilla reaaliluvuilla $x$.

Leikkauspisteet löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ (x^2 + 2x - 1)e^x = -e^x. $$ Leikkauspisteet ovat $x_1 = 0$ ja $x_2 = -2$. Käyrät voidaan ajatella funktioiden $$ f(x) = (x^2 + 2x - 1)e^x $$ ja $$ g(x) = -e^x $$ kuvaajiksi. Derivaattafunktiot ovat $$ f'(x) = (x^2 + 4x + 1)e^x $$ ja $$ g'(x) = -e^x. $$ Kohdassa $x = 0$ käyrille piirrettyjen tangenttien kulmakertoimien tulo on $-1$, sillä $f'(0) = 1$ ja $g'(0) = -1$. Käyrät siis leikkaavat toisensa kohtisuorasti, koska niiden tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

1. Kuva:
   
2. Esimerkiksi $P = (a, e^a)$.
3. Tangentin yhtälö on $$ y = e^ax + (1-a)e^a. $$ Se leikkaa $x$-akselin pisteessä $(a-1, 0)$.
4. Pisteen $P$ kautta kulkevan $y$-akselin suuntaisen suoran yhtälö on $x = a$, joten se leikkaa $x$-akselin pisteessä $(a,0)$. Tämä suora ja tangentti erottavat $x$-akselista janan, jonka pituus on $a - (a-1) = 1$.

Derivaattafunktion $$ f'(x) = e^{-x}(\cos x - \sin x) $$ nollakohdat löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ \cos x = \sin x. $$ MAA7-kurssin teoreeman 16 mukaan se voidaan kirjoittaa muodossa $$ \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin x. $$ Ratkaisuiksi saadaan välivaiheiden jälkeen $$ x = \frac{\pi}{4} + n \cdot \pi, $$ missä $n$ on kokonaisluku. Suurin ja pienin arvo löytyvät nyt välin $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ päätepisteistä tai sille osuvasta derivaatan nollakohdasta: \begin{align*} f(0) &= \sin 0 = 0 \\[2mm] f\left(\frac{\pi}{4}\right) &= e^{-\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}322 \\[2mm] f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= e^{-\frac{\pi}{2}} \approx 0{,}208. \end{align*} Funktion pienin arvo välillä $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ on siis $f(0) = 0$ ja suurin arvo on $$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{\pi}{4}}. $$

1. Funktio on \begin{align*} A(t) &= 3 \text{ GBq} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{8} \\[2mm] &= 3 \text{ GBq} \cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{t}{8}} \end{align*}
2. Derivaattafunktio on $$ A'(t) = 3 \text{ GBq} \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{8} e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{t}{8}}, $$ joten vuorokauden kuluttua $$ A'(1) \approx -0{,}24 \text{ GBq}. $$ Aktiivisuus siis pienenee noin $0{,}24 \text{ GBq}$ vuorokaudessa.
3. Seitsemän vuorokauden kuluttua muutosnopeus on $$ A'(7) \approx -0{,}14 \text{ GBq}. $$ Aktiivisuus siis pienenee noin $0{,}14 \text{ GBq}$ vuorokaudessa.

Olkoon sivuamispisteen $x$-koordinaatti $a$, jolloin sivuamispiste on $$ \left(a, e^{\frac{1}{2}a^2}\right) $$ Suoran kulmakerroin on derivaatan arvo: $$ f'(a) = ae^{\frac{1}{2}a^2}. $$ Huomataan, että se on sama kuin sivuamispisteen $x$- ja $y$-koordinaattien tulo.

Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo: $$ f'(a) = -2ae^{-a^2} $$ Tangentin ja normaalin kulmakertoimien tulo on $-1$, joten normaalin kulmakerroin on $$ \frac{e^{a^2}}{2a}. $$ Normaalin yhtälöksi saadaan $$ y = \frac{e^{a^2}}{2a} x - \frac{e^{a^2}}{2} + e^{-a^2}. $$ Normaalin ja $y$-akselin leikkauspisteessä $x = 0$, joten sen $y$-koordinaatti on $$ y = - \frac{e^{a^2}}{2} + e^{-a^2}. $$ Kun $a \rightarrow 0$, niin $$ y \rightarrow -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}. $$ Leikkauspiste lähestyy siis pistettä $\left(0, \frac{1}{2}\right)$.

Jos $a = 0$, funktio on $g(x) = x$. Tämä funktio saa myös negatiivisia arvoja, esim. $g(-1) = -1$.

Oletetaan, että $a \neq 0$. Tutkitaan funktion $g$ pienintä arvoa. Derivaattafunktiolla $$ g'(x) = (ax + 1)e^{ax} $$ on tasan yksi nollakohta $x = -\frac{1}{a}$. Lausekkeen $e^{ax}$ arvo on aina positiivinen, joten derivaatan arvo määräytyy lausekkeen $ax + 1$ arvon mukaan.

• Jos $a > 0$, $y = ax + 1$ on nouseva suora, eli derivaatan arvo on negatiivinen nollakohdan vasemmalla puolella ja positiivinen nollakohdan oikealla puolella. Derivaatan nollakohdassa funktio saa pienimmän arvonsa: $$ g\left(-\frac{1}{a}\right) = -\frac{1}{a}e^{-1} + a. $$ Tämä on positiivinen, jos ja vain jos \begin{align*} a &> \frac{1}{a}e^{-1} \\[2mm] a^2 &> \frac{1}{e} \\[2mm] (a < -\frac{1}{ \sqrt{e} } \text{ tai) } &a > \frac{1}{ \sqrt{e} } \end{align*} Huomaa, että epäyhtälön ratkaisussa käytettiin oletusta $a > 0$ kahdessa kohdassa.
• Jos $a < 0$, $y = ax + 1$ on laskeva suora, eli derivaatan arvo on positiivinen nollakohdan vasemmalla puolella ja negatiivinen nollakohdan oikealla puolella. Kokeilemalla huomataan, että esimerkiksi $g(0) = a < 0$. Tässä tilanteessa funktio saa siis negatiivisen arvon ainakin kohdassa $x = 0$.

Funktio $g$ saa siis vain positiivisia arvoja, jos ja vain jos $$ a > \frac{1}{\sqrt{e}}. $$

Pisteen $(x, e^x)$ suorasta $x - y = 0$ on MAA5-kurssin teoreeman 13 mukaan \begin{align*} d(x) &= \frac{\left|x-e^x\right|}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} (e^x - x). \end{align*} Itseisarvojen poistamiseen käytettiin tietoa, että $e^x > x$ kaikilla reaaliluvuilla $x$.

Etäisyysfunktion derivaattafunktio on $$ d'(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} (e^x - 1). $$ Sillä on tasan yksi nollakohta $x = 0$. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio $d$ saa siinä pienimmän arvonsa. Siis käyrän $y = e^x$ suoraa $y = x$ lähinnä oleva piste on $(0,e^0) = (0,1)$.

Käyrälle $y = e^x$ pisteeseen $(0,1)$ asetetun tangentin kulmakerroin on $e^0 = 1$, joten normaalin kulmakerroin on $-1$. Normaalin yhtälö on siten $$ y = -x + 1. $$ Normaalin ja suoran $y = x$ leikkauspiste on $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$. Tämä on etsitty piste.

Olkoon sivuamispisteen $x$-koordinaatti $a$. Sivuamispiste on silloin $(a, k^a)$ ja tangentin kulmakerroin on $$ f'(a) = k^a\ln(k). $$ Koska tangentti kulkee origon kautta, sen yhtälö on $$ y = k^a\ln(k)x. $$ Sivuamispisteen koordinaatit toteuttavat tangentin yhtälön, joten saadaan yhtälö $$ k^a = k^a\ln(k)a. $$ Siitä saadaan ratkaistua $$ a = \frac{1}{\ln(k)}. $$ Sivuamispisteen $y$-koordinaatti on siten $$ k^a = e^{\ln(k)a} = e^{\ln(k)\frac{1}{\ln(k)}} = e^1 = e. $$

Marin vastaus on oikein.
Elmerin ratkaisussa yhdistetyn funktion derivointisäännön mukaan \begin{align*} h'(x) &= g'(f(x))\cdot f'(x) \\ &= 4e^x\cdot e^x \\ &= 4(e^x)^2 = 4e^{2x}. \end{align*} Uolevin ratkaisussa yhdistetty funktio on \begin{align*} h(x) &= g(f(x)) \\ &= 2(e^x)^2 + 1 = 2e^{2x} + 1. \end{align*} Sen derivaatta on $$ h'(x) = 2e^{2x} \cdot 2 = 4e^{2x}. $$

1. $t \geq \dfrac{\ln (20)}{0{,}6} \approx 5$ minuuttia.
2. Noin 0,2 astetta minuutissa.

1. Kaaren korkeus on noin 192 metriä.
2. Kaaren leveys on noin 192 metriä.
3. Kulma on noin $80^\circ$.

1. Derivaattafunktion $$ f'(x) = \frac{e^x}{(1 + e^x)^2} $$ arvo on positiivinen kaikilla muuttujan $x$ arvoilla, joten funktio $f$ on aidosti kasvava koko lukusuoralla.
2. Supistetaan lausekkeella $e^x$: \begin{align*} f(x) &= \frac{e^x}{1 + e^x} \\[2mm] &= \frac{1}{\frac{1}{e^x} + 1} \\[2mm] &\xrightarrow[x \rightarrow \infty]{} \frac{1}{0+1} = 1 \end{align*}
3. Koska $$f(10) = 0{,}99995\ldots > 0{,}999$$ ja funktio $f$ on aidosti kasvava, niin epäyhtälö pätee.

Janan pituutta kuvaa funktio $$ f(x) = 2e^{-x} - x^2e^{-x}. $$ Sen suurin arvo on \begin{align*} f\left(1-\sqrt{3}\right) &= 2e^{\sqrt{3}-1}\left(\sqrt{3} - 1\right) \\ &\approx 3{,}04. \end{align*}

Funktion pienin arvo on $$f(0) = -5$$ ja suurin arvo on $$f(4) = \dfrac{7}{e^4}.$$

1. 11 vuorokauden kuluttua: $$ t > \frac{\ln (4999)}{0{,}8} \approx 10{,}6. $$
2. Derivaattafunktio $$ f'(t) = \frac{19996000e^{-0{,}8t}}{(1 + 4999e^{-0{,}8t})^2} > 0, $$ joten funktio $f$ on aidosti kasvava.
3. $$ \lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \frac{5000}{1 + 0} = 5000. $$

Yhtälön ratkaisujen määrä on sama kuin erotusfunktion $$f(x) = e^{x+a} −x$$ nollakohtien määrä. Funktion derivaatalla $$f'(x) = e^{x+a} − 1$$ on yksi nollakohta $x = −a$. Kun $x < −a$, on $f$ aidosti vähenevä ja kun $x > −a$ on $f$ aidosti kasvava. Funktion $f$ pienin arvo on $f(−a) = 1+a$. Tämän perusteella saadaan pääteltyä, että yhtälöllä

• ei ole ratkaisuja, jos $f(−a) > 0$ eli $a > −1$
• on yksi ratkaisu, jos $f(-a) = 0$ eli $a = -1$
• on kaksi ratkaisua, jos $f(-a) < 0$ eli $a < -1$.

Funktio $f$ on kaikkialla jatkuva. Tarkastellaan erikseen tilanteet, joissa itseisarvojen sisällä oleva lauseke on positiivinen tai negatiivinen.

• Jos $x > 1$, niin $$ f(x) = e^x - a(x-1) $$ ja derivaattafunktio on $$ f'(x) = e^x - a. $$ Derivaattafunktio on siis positiivinen tai nolla, jos ja vain jos $e^x \geq a$. Koska eksponenttifunktio on aidosti kasvava, tämä epäyhtälö toteutuu tarkasteltavalla välillä $\pa 1, \infty\pe$, jos ja vain jos $e^1 \geq a$ eli $a \leq e$.
• Jos $x < 1$, niin $$ f(x) = e^x - a(1-x) $$ ja derivaattafunktio on $$ f'(x) = e^x + a. $$ Derivaattafunktio on siis positiivinen tai nolla, jos ja vain jos $e^x \geq -a$. Koska eksponenttifunktion arvot ovat positiivisia mutta lähenevät nollaa muuttujan arvon pienentyessä rajatta, tämä epäyhtälö toteutuu tarkasteltavalla välillä $\pa -\infty, 1\pe$, jos ja vain jos $-a \leq 0$ eli $a \geq 0$.

Jos siis $0 \leq a \leq e$, on jatkuva funktio $f$ kasvava sekä välillä $\pa -\infty, 1\pe$ että välillä $\pa 1, \infty\pe$, jolloin se on kasvava kaikkialla.

1. Logaritmin laskusääntöjen ja määritelmän avulla saadaan \begin{align*} e^{2\ln x} - 2x^2 &= e^{\ln(x^2)} - 2x^2 \\ &= x^2 - 2x^2 = -x^2 \end{align*}
2. $f'(x) = 8e^{2x}$, joten $f'(0) = 8$.

1. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$ tai $x = 3$.
2. $a = 2$ ja $b = -3$.

Epäyhtälön vasen puoli voidaan kirjoittaa muodossa $e^{x\ln x} - e^{x-1}$. Koska eksponenttifunktio on aidosti kasvava, on $$e^{x\ln x} - e^{x-1} \geq 0,$$ jos ja vain jos $$x\ln x \geq x - 1.$$ Tutkitaan erotusfunktiota $$ g(x) = x\ln x - x + 1. $$ Sen derivaattafunktioksi saadaan $$ g'(x) = \ln x. $$ Oletuksen mukaan $x \geq 1$. Jos $x > 1$, niin $g'(x) = \ln x > 0$. Lisäksi $g'(1) = 0$, joten funktio $g$ on aidosti kasvava välillä $[1, \infty\pe$. Pienimmän arvonsa se saa välin vasemmassa päätepisteessä: $$ g(1) = 0. $$ Tästä voidaan päätellä, että $g(x) \geq 0$ eli $$x\ln x \geq x - 1$$ kaikilla $x \geq 1$. Lisäksi yhtäsuuruus pätee, jos ja vain jos $x = 1$.

1. $f'(x) = 2e^{2x-2} + 3x^2$
2. Koska $f'(1) = 5$, saadaan pisteeseen $(1,1)$ piirretyn tangentin yhtälöksi $y = 5x-4$.
3. Tangentti leikkaa akseleita pisteissä $(0,-4)$ ja $\left(\frac{4}{5},0\right)$. Niiden välisen janan pituus on $\frac{4}{5}\sqrt{26}$.

Derivaatta on $$ f'(x) = Ae^x - 2Be^{-x}. $$ Ehdoista saadaan yhtälöpari $A + 2B = 1$ ja $A - 2B = 2$. Sen ratkaisu on $A = \frac{3}{2}$ ja $B = -\frac{1}{4}$.

Kokeilemalla huomataan, että funktio on muotoa $$ f(x) = x + \frac{1}{2}e^{-2x} + C, $$ missä $C$ on mikä tahansa reaalilukuvakio. (Tällöin $f'(x) = k(x)$ kuten pitääkin.)

Derivaattafunktiolla $k$ on yksi nollakohta $x = 0$. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio $f$ saa siinä pienimmän arvonsa. Yhtälöstä $f(0) = 2$ saadaan ratkaistua $C = 1{,}5$. Siis $$ f(x) = x + \frac{1}{2}e^{-2x} + \frac{3}{2}. $$

Derivaattafunktion $f'(x) = -e^{-x}$ arvot ovat aina negatiivisia, joten $f$ on aidosti vähenevä. Funktion suurin arvo välillä $[1,2]$ on siten $f(1) = e^{-1} + 1 < 2$ ja pienin arvo $f(2) = e^{-2} + 1 > 1$. Siis $1 < f(x) < 2$ kaikilla $x \in [1,2]$.

Toisen derivaatan $f''(x) = e^{-x}$ arvot ovat aina positiivisia, joten derivaattafunktio $f'$ on aidosti kasvava. Derivaattafunktion arvot ovat aina negatiivisia, joten se saa itseisarvoltaan suurimman arvon välillä $[1,2]$ kohdassa $x = 1$: $$\left|f'(1)\right| = \left|-e^{-1}\right| < 0{,}4.$$

Etsitty ratkaisu on $x \approx 1{,}278$.

1. $2(x^2 + x + 1)e^{2x}$
2. $f'(x) = -2^{-x}\ln(2)$, joten $f'(1) = -\dfrac{1}{2}\ln(2)$.

1. $\log_3(81) = 4$
2. $\log_6\left(\dfrac{1}{36}\right) = -2$
3. $\lg\left(0{,}001\right) = -3$
4. $\log_5\left(\sqrt[6]{25}\right) = \log_5\left(5^\frac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{3}$
5. $\log_2\left(\dfrac{16}{\sqrt[3]{4}}\right) = \log_2\left(2^\frac{10}{3}\right) = \dfrac{10}{3}$

1. \begin{align*} \text{pH } &= -\lg(1{,}3 \cdot 10^{-4}) \\ &\approx 3{,}9. \end{align*}
2. \begin{align*} [\text{H}_3\text{O}^+] &= 10^{-7{,}4} \\ &\approx 4{,}0 \cdot 10^{-8} \text{ mol/dm}^3. \end{align*}

1. $f(k^8) = \log_k(k^8) = 8$
2. $f(k) = \log_k(k) = 1$
3. $f(1) = \log_k(1) = 0$
4. $f\left(\dfrac{1}{k}\right) = \log_k\left(\dfrac{1}{k}\right) = -1$
5. $f(k^{-3}) = \log_k(k^{-3}) = -3$

Kohdassa

1. $x = 10^3 = 1\,000$
2. $x = 10^5 = 100\,000$
3. $x = 10^9 = 1\,000\,000\,000$
4. $x = 10^0 = 1$
5. $x = 10^{-1} = 0{,}1$
6. $x = 10^{-\frac{1}{2} } = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$

1. $I = 10^{-12} \text{ W/m}^2$
2. $I = 3{,}2 \cdot 10^{-7} \text{ W/m}^2$

Noin 7 vuoden kuluttua.

Vastaus saadaan ratkaisemalla yhtälö $$ 0{,}9^x = 0{,}5. $$ Ratkaisu on $$ x = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}9)} \approx 7. $$

Noin 186 vuoden kuluttua.

Vastaus saadaan esimerkiksi ratkaisemalla yhtälö $$ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{28}} \cdot 100a = a, $$ missä $a$ on vaarattomana pidetty strontiumpitoisuus. Ratkaisu on $$ t = \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}5)} \cdot 28 \approx 186{,}0. $$

1. Noin 4,83 tunnissa eli 4 tunnissa 50 minuutissa.
2. Noin 6,80 tuntia eli noin 6 tuntia 50 minuuttia.
   Huom. juoman jäähtyminen 60-asteiseksi kestää yhteensä 11,63 tuntia ja tulos saadaan, kun tästä vähennetään a-kohdan tulos.

1. Väkiluku kasvoi noin 10,4 %, sillä $1{,}02^5 \approx 1{,}104$.
2. Väkiluku kaksinkertaistuisi 35 vuodessa.
   Vastaus saadaan esimerkiksi ratkaisemalla yhtälö $$ 1{,}02^x \cdot a = 2a, $$ missä $a$ on kunnan alkuperäinen väkiluku. Ratkaisu on $$ x = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}02)} \approx 35{,}0. $$

Logaritmin laskusääntöjen avulla lausekkeen arvoksi saadaan $$ -\frac{22}{9}. $$ Tarkemmin: \begin{align*} \frac{\ln(a) + \ln(a^3) - \ln(\sqrt[3]{a})}{\ln(\sqrt{a}) - \ln(a^2)} &= \frac{ \ln(a^\frac{11}{3} ) }{\ln(a^{ -\frac{3}{2} } ) } \\[2mm] &= \frac{\frac{11}{3}\ln(a)}{-\frac{3}{2}\ln(a)} \\[2mm] &= -\frac{11}{3} \cdot \frac{2}{3} \end{align*}

1. Logaritmien laskusääntöjen avulla saadaan \begin{align*} \log_k(\sqrt{ab}) &= \frac{1}{2}\cdot\log_k(ab) \\[2mm] &= \frac{1}{2}\cdot \left(\log_k(a) + \log_k(b)\right) \\[2mm] &= \frac{\log_k(a) + \log_k(b)}{2} \end{align*}
2. Jos neliön pinta-ala on $ab$, on sen sivun pituus lukujen $a$ ja $b$ geometrinen keskiarvo. Sama pinta-ala on suorakulmiolla, jonka sivujen pituudet ovat $a$ ja $b$.

Teoreeman 11 mukaan \begin{align*} \log_{ak} (x) &= \frac{\log_k(x)}{\log_k(ak)} \\[2mm] &= \frac{\log_k(x)}{\log_k(k) + \log_k(a)} \\[2mm] &= \frac{\log_k(x)}{1 + \log_k(a)}. \end{align*}

Talletuksen arvo ylittää 10 000 euroa 11 vuoden kuluttua.

Vastaus löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ 1{,}0215^x \cdot 8000 = 10000. $$ Sen ratkaisu on $$ x = \frac{\ln(1{,}25)}{\ln(1{,}0215)} \approx 10{,}49. $$ Tulos voidaan pyöristää ylöspäin, koska vielä 10 vuoden kuluttua talletuksen arvo ei ole ylittänyt 10 000 euroa.

Loukkaantuneiden määrä vähenisi alle puoleen 23 vuodessa.

Vastaus löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ 0{,}97^x \cdot a = 0{,}5\cdot a. $$ Sen ratkaisu on $$ x = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}97)} \approx 22{,}76. $$

Lukujen 10-kantaisille logaritmeille saadaan seuraavat likiarvot: \begin{align*} \lg\left(3^{24642}\right) &= 24642\lg(3) \approx 11\,757{,}2 \\ \lg\left(5^{17971}\right) &= 17971\lg(5) \approx 12\,561{,}2 \\ \lg\left(7^{13531}\right) &= 13531\lg(7) \approx 11\,435{,}0 \end{align*} Lukujen suuruusjärjestys on siis (pienimmästä suurimpaan) $$ 7^{13531}, \, 3^{24642}, \, 5^{17971}. $$ Luvussa $7^{13531}$ on 11 436 numeroa.
Luvussa $3^{24642}$ on 11 758 numeroa.
Luvussa $5^{17971}$ on 12 562 numeroa.

1. $x = 1$
2. $x = 3$

Luku on $\sqrt[3]{4}$.

Vastaus löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ \log_k(4x) = 4\log_k(x). $$ Logaritmin ominaisuuksien nojalla \begin{align*} \log_k(4x) &= 4\log_k(x) \\ \log_k(4x) &= \log_k(x^4) \\ 4x &= x^4 \\ x = 0 &\text{ tai } x^3 = 4 \end{align*} Koska logaritmi on määritelty vain positiivisi lle luvuille, ainoa ratkaisu on $x = \sqrt[3]{4}$.

1. $x = 5$
   Huomaa, että toinen ratkaisuehdokas $x = -3$ ei kelpaa, koska se ei toteuta yhtälön määrittelyehtoa.
2. Yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua.
   Huomaa, että ratkaisuehdokas $x = \frac{2}{3}$ ei toteuta yhtälön määrittelyehtoa.
3. $x = -2$
   Huomaa, että toinen ratkaisuehdokas $x = 2{,}5$ ei kelpaa, koska se ei toteuta yhtälön määrittelyehtoa.

Sivuamispiste on $$ \left(\frac{1}{3}, \ln\left(\frac{1}{3}\right)\right). $$ Logaritmin laskusääntöjen avulla se voidaan kirjoittaa myös muodossa $$ \left(\frac{1}{3}, -\ln\left(3\right)\right). $$ Tangentin yhtälö on tällöin $$ y = 3x - 1 - \ln(3). $$

Derivaattafunktiolla $$ f'(x) = 2x - \frac{2}{x} $$ on kaksi nollakohtaa: $x_1 = 1$ ja $x_2 = -1$. Kulkukaavio:

Kulkukaaviosta nähdään, että nämä ovat funktion $f$ minimikohtia. Minimiarvot ovat \begin{align*} f(1) &= 1 \\ f(-1) &= 1 \end{align*} Kulkukaavion avulla voidaan myös päätellä, että tämä on funktion $f$ pienin arvo ja että funktiolla $f$ ei ole suurinta arvoa.

Derivaattafunktiolla $$ g'(x) = \frac{1}{x} - 2x $$ on määrittelyjoukossa $\pa 0, \infty\pe$ yksi nollakohta $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio $g$ on kasvava, jos ja vain jos $$ 0 < x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}. $$

1. Funktio $f$ on määritelty, jos ja vain jos $\left|x\right| > 0$ eli $x \neq 0$.
2. Käsitellään kaksi tapausta:
   • Jos $x > 0$, niin $f(x) = \ln(x)$ ja $$ f'(x) = \frac{1}{x} $$
   • Jos $x < 0$, niin $f(x) = \ln(-x)$ ja yhdistetyn funktion derivointisäännön mukaan $$ f'(x) = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x} $$

Derivaattafunktiolla $$ h'(x) = -\frac{8}{x^2} + \frac{4}{x} $$ on määrittelyjoukossa $\pa 0, \infty \pe$ yksi nollakohta $x = 2$. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio $h$ saa siinä pienimmän arvonsa. Pienin arvo on $$ h(2) = 4(1 + \ln(2)). $$ Muuttujan arvojen kasvaessa rajatta lausekkeen $\ln(x)$ arvo kasvaa rajatta. Samaan aikaan lausekkeen $\frac{8}{x}$ arvo lähestyy nollaa. Tästä voidaan päätellä, että funktion $f$ arvot kasvavat rajatta, kun muuttujan arvot kasvavat rajatta. Funktion $h$ arvojoukko on siten $[4 + 4\ln(2), \infty\pe$.

1. Epäyhtälö pätee kaikilla $x > 0$, sillä funktion $f(x) = \sqrt{x} - \ln(x)$ pienin arvo $f(4) = 2 - \ln(4)$ on positiivinen.
2. Epäyhtälö ei päde kaikilla $x > 0$. Kokeilemalla huomaa, että esimerkiksi $$ \ln(10) > \sqrt[3]{10}. $$ Toinen vaihtoehto on tutkia funktion $g(x) = \sqrt[3]{x} - \ln(x)$ pienintä arvoa. Se on $g(27) = 3 - \ln(27) < 0$. Siis tutkittava epäyhtälö ei päde, jos $x = 27$.

1. Kuva:
   
2. $\left|AB\right| = \sqrt{26}$
3. Suoran yhtälö on $$ 0{,}2x - y + 2{,}8 = 0. $$ Pisteen $C = (x, \ln(x))$ etäisyys tästä suorasta on \begin{align*} &\phantom{ {} = {} } \frac{\left|0{,}2x - \ln(x) + 2{,}8\right|}{\sqrt{1{,}04}} \\[2mm] &= \frac{0{,}2x - \ln(x) + 2{,}8}{\sqrt{1{,}04}}. \end{align*}
4. Funktio on \begin{align*} f(x) &= \frac{\sqrt{26}}{2} \cdot \frac{0{,}2x - \ln(x) + 2{,}8}{\sqrt{1{,}04}} \\[2mm] &= 2{,}5x - 12{,}5\ln(x) + 35 \end{align*} Sen derivaatalla $$ f'(x) = \frac{5}{2} - \frac{25}{2x} $$ on yksi nollakohta $x = 5$. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio $A$ saa tässä pienimmän arvonsa, joka on \begin{align*} A(5) &= 47{,}5 - 12{,}5\ln(5) \\ &\approx 27{,}4. \end{align*}
5. Etsitty piste on $C = (5, \ln(5))$.

Funktion $$ f(x) = x - \ln(x) - \frac{1}{2x} $$ derivaattafunktiolla $$ f'(x) = 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} $$ ei ole yhtään nollakohtaa määrittelyjoukossa $\pa 0, \infty \pe$. Sen arvot ovat aina positiivisia, joten funktio $f$ on aidosti kasvava ja saa jokaisen arvonsa vain kerran. Näin funktiolla on enintään yksi nollakohta.

Toisaalta esimerkiksi \begin{align*} f(0{,}25) &\approx -0{,}36 < 0 \\ f(1) &= 0{,}5 > 0 \end{align*} joten jatkuvalla funktiolla $f$ on Bolzanon lauseen nojalla ainakin yksi nollakohta välillä $\left]\frac{1}{4}, 1\right[$.

Näin päädytään johtopäätökseen, että yhtälöllä $$ x - \ln(x) = \frac{1}{2x} $$ on tasan yksi ratkaisu.

Funktio $f$ on aidosti kasvava, jos ja vain jos $-1 \leq x < 0$ tai $x > 0$.
Huomaa, että funktio ei ole määritelty kohdassa $x = 0$. Derivaattafunktiolla on yksi nollakohta $x = -1$.

1. Kuva:
   
2. $A(x) = -x\ln(x)$
   Miinusmerkki tarvitaan, koska logaritmin arvo on negatiivinen ja pinta-alan pitää kuitenkin olla positiivinen.
3. $V(x) = -\pi x^2 \ln(x)$
   Ympyränlieriön pohjan säde on $x$ ja korkeus on $-\ln(x)$.
4. Suurin mahdollinen tilavuus on $$ V(e^{-\frac{1}{2}}) = \frac{\pi}{2e}. $$ Se löydetään derivaattafunktion $$ V'(x) = -\pi(x + 2x\ln(x)) $$ nollakohdasta.

1. $V(x) = \pi (\ln(x))^2 \cdot x$
   Ympyränlieriön pohjan säde on $-\ln(x)$ ja korkeus on $x$. Toiseen potenssiin korotuksen vuoksi säteen miinusmerkillä ei ole merkitystä.
2. Suurin mahdollinen tilavuus on $$ V(e^{-2}) = \frac{4\pi}{e^2}. $$ Se löydetään derivaattafunktion $$ V'(x) = \pi(\ln(x))^2 + 2\pi\ln(x) $$ nollakohdasta $x = e^{-2}$.

1. Kuvaajat näyttävät leikkaavan toisensa melko kohtisuorasti:
   
2. Olkoon leikkauspiste $(a, \ln(a))$. Siihen asetetun funktion $f$ tangentin kulmakerroin on $$ f'(a) = \frac{1}{a} $$ ja funktion $g$ tangentin kulmakerroin on $g'(a) = -a$. Niiden tulo on $-1$, joten tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Käyrät siis todella leikkaavat toisensa kohtisuorasti.

1. Erotusfunktion $$ f(x) = x\ln(x) + e^{-1} $$ derivaattafunktiolla $$ f'(x) = 1 + \ln(x) $$ on yksi nollakohta $x = e^{-1}$. Kulkukaaviosta nähdään, että tässä kohdassa funktio $f$ saa pienimmän arvonsa $$ f(e^{-1}) = -e^{-1} + e^{-1} = 0. $$ Tästä voidaan päätellä, että kaikilla $x > 0$ pätee $f(x) \geq 0$ eli $$ x + x\ln(x) \geq x - e^{-1} $$ Käyrä $y = x + x\ln(x)$ ei siis ole missään suoran kohdassa suoran $y = x - e^{-1}$ alapuolella.
2. Suoralla $y = x - e^{-1}$ ja käyrällä $y = x + x\ln(x)$ on a-kohdan perusteella tasan yksi yhteinen piste $(e^{-1},0)$. Käyrää vastaavan funktion $g(x) = x + x\ln(x)$ derivaattafunktio $$ g'(x) = 2 + \ln(x) $$ saa tässä kohdassa arvon $g'(e^{-1}) = 1$, joka on sama kuin suoran $y = x - e^{-1}$ kulmakerroin. Tästä voidaan päätellä, että suora $y = x - e^{-1}$ on käyrän $y = x + x\ln(x)$ tangentti kohdassa $x = e^{-1}$.

1. $x = e^{\ln(x)}$
2. Funktio on $f(x) = e^{x\ln(x)}$ ja sen määrittelyjoukko on $\pa 0, \infty \pe$.
3. Funktio $f$ on aidosti vähenevä välillä $\left] 0, e^{-1}\right]$ ja aidosti kasvava välillä $\left[e^{-1}, \infty\right[$.
4. Funktion $f$ pienin arvo on $$ f(e^{-1}) = \left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}} = e^{-\frac{1}{e}}. $$ Funktiolla $f$ ei ole suurinta arvoa.

1. $x = \dfrac{1}{7}$
2. Koska $\mathop{\mathrm{lb}} (4) = 2$ ja $\mathop{\mathrm{lb}} (8) = 3$, niin epäyhtälön toteuttavat arvot $4 \leq n \leq 8$.

1. $x_{10} = 3{,}146140\ldots \approx 3{,}146$.
2. Yhtälö on $$e^{x-2} = x$$ ja sen ratkaisun likiarvoksi saadaan $x_{10} = 0{,}158594 \approx 0{,}159$.

1. Lauseke on määritelty, jos ja vain jos $n \cdot 2\pi < x < \pi + n \cdot 2\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.
2. Ratkaisujen likiarvot ovat $x_1 \approx 0{,}14$, $x_2 \approx 3{,}01$, $x_3 \approx 6{,}42$ ja $x_4 \approx 9{,}29$.

1. $0$
2. $x$

$x = \dfrac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Suurin arvo on $$ f(e) = \frac{1}{e}. $$

1. Havainnoista saadaan yhtälöt \begin{align*} k \cdot 10{,}2^b &= 20 \\ k \cdot 0{,}0158^b &= 6. \end{align*} Kun yhtälöiden kummastakin puolesta otetaan logaritmi ja sovelletaan logaritmien laskusääntöjä, saadaan \begin{align*} \ln(k) + b\ln(10{,}2) &= \ln(20) \\ \ln(k) + b\ln(0{,}0158) &= \ln(6). \end{align*} Kun yhtälöt vähennetään toisistaan, saadaan ratkaistua $b$: $$ b = \frac{\ln(20) - \ln(6)}{\ln(10{,}2) - \ln(0{,}0158)} \approx 0{,}186. $$ Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan $$ k = \frac{20}{10{,}2^b} \approx 13{,}0. $$
2. Palman lintulajien määrä on $n = k \cdot 708^b \approx 44$.

1. $x = 20$
2. Derivaattafunktio sievenee muotoon $$ f'(x) = -\frac{1}{x(x+1)}. $$ Oletuksen mukaan $x > 0$, ja tällöin derivaattafunktion arvo on negatiivinen. Funktio $f$ on siis aidosti vähenevä määrittelyjoukossaan.

1. $\ln x$
2. Yhtälö on määritelty, jos ja vain jos $x > 1$. Muokataan yhtälöä logaritmin ominaisuuksien avulla: \begin{align*} \ln(x + 1) - \ln(x - 1) &= \ln 4 + \ln 2 \\[2mm] \ln\left(\frac{x + 1}{x-1}\right) &= \ln 8 \\[2mm] \frac{x + 1}{x-1} &= 8 \\[1mm] x + 1 &= 8x - 8 \\[2mm] x &= \frac{9}{7} \end{align*} Ratkaisu toteuttaa yhtälön määrittelyehdon, joten se on todella yhtälön ratkaisu.

1. $2^5 = 32$
2. $x = \dfrac{8}{5}$

Funktio on määritelty, kun nimittäjä on määritelty ja nollasta poikkeava. Siis funktio on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$ ja $x \neq 1$.

Derivaattafunktiolla $$ f'(x) = \frac{\ln(x) - 1}{(\ln(x))^2} $$ on yksi nollakohta $x = e$. Lisäksi se ei ole määritelty kohdassa $x = 1$. Laatimalla kulkukaavio huomataan, että funktio $f$ on vähenevä väleillä $\pa 0,1\pe$ ja $\pa 1, e\pe$ ja kasvava välillä $\pa e, \infty\pe$.

Funktio ei saa arvoja väliltä $[0,e\pe$. Jos $0 < x < 1$, funktion arvot ovat negatiivisia. Välillä $\pa 1, \infty\pe$ funktion pienin arvo on $f(e) = e$.

Yhtälö on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$. Merkitään $$ f(x) = x - 2\ln x. $$ Funktion $f$ derivaatan avulla saadaan selville, että funktion $f$ pienin arvo on $$ f(2) = 2 - 2\ln 2 > 0. $$ Yhtälöllä $f(x) = 0$ ei siis ole ratkaisuja.

Funktio $f$ on määritelty, jos ja vain jos $-1 < x < 0$ tai $x > 1$. Derivaattafunktiolla on määrittelyalueessa yksi nollakohta $$ x = -\frac{1}{\sqrt{3}}. $$ Kulkukaaviosta nähdään, että tämä on maksimikohta. Funktio saa siinä maksimiarvon $$ f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \ln\left(\frac{2}{3\sqrt{3}}\right). $$

Ilman itseisarvoja: $$ f(x) = \begin{cases} \ln(2-x) &\text{ jos $x < 1$} \\ -\ln(2-x) &\text{ jos $1 \leq x < 2$} \\ -\ln(x-2) &\text{ jos $2 < x \leq 3$} \\ \ln(x-2) &\text{ jos $x > 3$} \\ \end{cases} $$ Itseisarvojen vuoksi funktion arvo on aina epänegatiivinen. Pienimmän arvonsa nolla se saa kohdissa $x = 1$ ja $x = 3$.

Funktio voidaan derivoida, kun itseisarvoista on päästy eroon. Derivaattafunktion avulla nähdään, että funktio on aidosti kasvava väleillä $[1, 2\pe$ ja $[3, \infty\pe$ ja aidosti vähenevä väleillä $\pa -\infty, 1]$ ja $\pa 2, 3]$.

Koska tutkitaan lausekkeen raja-arvoa muuttujan arvon kasvaessa rajatta, voidaan olettaa, että $x > 0$. Logaritmin laskusääntöjen nojalla \begin{align*} \ln(4x + 3) &- \ln(3x+4) \\[2mm] &= \ln\left(\frac{4x + 3}{3x + 4}\right) \\[2mm] &= \ln\left(\frac{4 + \frac{3}{x} }{3 + \frac{4}{x} }\right) \\[2mm] &\xrightarrow[x \rightarrow \infty]{} \ln\left(\frac{4 + 0}{3 + 0}\right) = \ln\left(\frac{4}{3}\right). \end{align*}

1. Funktion $f$ määrittelyjoukko on $[3, \infty\pe$. Funktion $f$ arvojoukko on $[0, \infty\pe$.
   (Neliöjuuri on määritelty, jos ja vain jos juurrettava on epänegatiivinen. Neliöjuuri saa kaikki epänegatiiviset arvot.)
2. Käänteisfunktio on $$ f^{-1}(x) = x^2 + 3 $$ Sen lauseke löydetään ratkaisemalla yhtälö \begin{align*} f(a) &= b \\ \sqrt{a - 3} &= b \\ a-3 &= b^2 \\ a &= b^2 + 3 \end{align*}
3. Käänteisfunktion määrittelyjoukko on funktion $f$ arvojoukko eli $[0, \infty\pe$. Käänteisfunktion arvojoukko on funktion $f$ määrittelyjoukko eli $[3, \infty\pe$.
4. Kuva:
   

1. Funktio $g$ on määritelty, jos ja vain jos $x \neq 1$.
2. Käänteisfunktio on $$ g^{-1}(x) = \frac{x}{x-2} $$ Sen lauseke löydetään ratkaisemalla yhtälö \begin{align*} g(a) &= b \\[2mm] \frac{2a}{a-1} &= b \\[2mm] 2a &= ab-b \\ (2-b)a &= -b \\ (b-2)a &= b \\[2mm] a &= \frac{b}{b-2} \end{align*}
3. Käänteisfunktio on määritelty, jos ja vain jos $x \neq 2$.
4. Funktion $g$ arvojoukko on käänteisfunktion määrittelyjoukko $\R \smallsetminus \{2\}$. Käänteisfunktion arvojoukko on funktion $g$ määrittelyjoukko $\R \smallsetminus \{1\}$.
5. Kuva:
   

Määritetään yhdistetty funktio $f \circ f$: \begin{align*} (f\circ f)(x) &= f(f(x)) \\[2mm] &= \frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x}{x-1}-1} \\[2mm] &= \frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x-(x-1)}{x-1}} \\[2mm] &= \frac{x}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x-x+1} \\[2mm] &= \frac{x}{1} = x \end{align*} Siis $(f\circ f)(x) = x$, joten funktio $f$ on itse oma käänteisfunktionsa.

1. Derivaattafunktio $$ f'(x) = 3x^2 + 1 $$ saa vain positiivisia arvoja, joten funktio $f$ on aidosti kasvava koko reaalilukujen joukossa. Sillä on siis olemassa käänteisfunktio. Lisäksi funktion $f$ arvojoukko on koko reaalilukujen joukko, koska kysymyksessä on kolmannen asteen polynomifunktio. Näin ollen käänteisfunktion määrittelyjoukko on $\R$.
2. Kuvaajan avulla tai kokeilemalla huomaa, että $f(-1) = -3$, joten $$f^{-1}(-3) = -1.$$ Vastaavasti $f(2) = 9$, joten $$f^{-1}(9) = 2.$$
3. Koska $f(0) = -1$, niin $$f^{-1}(-1) = 0.$$

1. Funktio $f$ on aidosti kasvava määrittelyjoukossaan $[0, \infty\pe$, joten sillä on käänteisfunktio. Käänteisfunktio on $$ f^{-1}(x) = \sqrt{x+2} $$
2. Derivaattafunktiot: \begin{align*} f'(x) &= 2x \\[2mm] (f^{-1})'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x + 2}} \end{align*}
3. Koska $f(1) = -1$, niin saadaan \begin{align*} f'(1) &= 2 \\[2mm] (f^{-1})'(-1) &= \frac{1}{2} \end{align*} Derivaattojen arvot ovat toistensa käänteislukuja.
4. Kuva:
   

1. Derivaattafunktio $$ f'(x) = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2} $$ saa vain positiivisia arvoja, joten funktio $f$ on aidosti kasvava koko reaalilukujen joukossa $\R$. Sillä on siten olemassa käänteisfunktio.
2. Käänteisfunktio on $$ f^{-1}(x) = \ln\left(\frac{x}{1-x}\right). $$ Se on määritelty, jos ja vain jos $0 < x < 1$, sillä tällöin lausekkeen $$ \frac{x}{1-x} $$ arvo on positiivinen.
3. Käänteisfunktion derivaattafunktio on $$ (f^{-1})'(x) = \frac{1}{x-x^2}. $$

1. Kuvat alla c-kohdassa.
2. Koska $f'(x) = \frac{1}{2}x^2$, niin $f'(2) = 2$. Käänteisfunktio on $$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{6x},$$ joten $$(f^{-1})'(x) = 2\cdot (6x)^{-\frac{2}{3}}.$$ Lisäksi $f(2) = \frac{4}{3}$, joten \begin{align*} (f^{-1})'(f(2)) &= 2\cdot 8^{-\frac{2}{3}} \\[2mm] &= 2\cdot \frac{1}{4} \\[2mm] &= \frac{1}{2} \end{align*}
3. $(f^{-1})'(f(x))$ on $yx$-koordinaatiston käyrän tangentin kulmakerroin, joka on alkuperäisen käyrän tangentin kulmakertoimen käänteisluku:
   

1. Derivaattafunktion $$f'(x) = 2(x-1)$$ arvot ovat positiivisia, kun $x > 1$, ja $f'(1) = 0$, joten funktio $f$ on aidosti kasvava välillä $[1, \infty\pe$. Tällöin sillä on käänteisfunktio.
2. Ratkaistaan $x$ yhtälöstä $f(x) = y$: \begin{align*} x^2 - 2x &= y \\ x^2 - 2x - y &= 0 \end{align*} Toisen asteen ratkaisukaavalla: \begin{align*} x &= \frac{2 \pm \sqrt{4+4y}}{2} \\[2mm] &= 1 \pm \sqrt{1 + y}. \end{align*} Miinusmerkki ei kelpaa, koska oletuksen mukaan $x > 1$. Käänteisfunktioksi saadaan näin $$ f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{1 + x}. $$

Derivaattafunktiolla $$ f'(x) = 6x^2 - 42x + 60 $$ on kaksi nollakohtaa $x_1 = 2$ ja $x_2 = 5$. Derivaatan arvot ovat negatiivisia välillä $\pa 2,5\pe$, joten funktio $f$ on aidosti vähenevä välillä $[2,5]$. Näin ollen sillä on olemassa käänteisfunktio.

Koska $f(2) = 52$ ja $f(5) = 25$ ja funktio $f$ on aidosti vähenevä välillä $[2,5]$, on sen arvojoukko tällä välillä $[25,52]$. Käänteisfunktion määrittelyjoukko on siten $[25,52]$ ja arvojoukko $[2,5]$.

Kokeilemalla huomataan, että $f(3) = 45$. Siten $g(45) = 3$.

Käänteisfunktion derivaatta on $$ g'(45) = \frac{1}{f'(3)} = -\frac{1}{12}. $$

Käänteisfunktion lauseke löydetään ratkaisemalla $x$ yhtälöstä $$ \frac{x + 2}{x-3} = y. $$ Käänteisfunktioksi saadaan $$ f^{-1}(y) = \frac{3y+2}{y-1}. $$ Käänteisfunktion määrittelyjoukko on funktion $f$ arvojoukko. Tutkitaan, mitä arvoja funktio $f$ saa. Oletuksen mukaan $x > 3$, joten \begin{align*} f(x) &= \frac{x+2}{x-3} \\[2mm] &= \frac{x-3 + 5}{x-3} \\[2mm] &= 1 + \frac{5}{x-3} > 1. \end{align*} Käänteisfunktion määrittelyjoukko on siis $\pa 1, \infty \pe$. \begin{align*} f^{-1}(f(x)) &= \frac{3\cdot \frac{x+2}{x-3} + 2}{\frac{x+2}{x-3} - 1} \\[2mm] &= \frac{3(x+2) + 2(x-3)}{x+2 - (x-3)} \\[2mm] &= \frac{5x}{5} = x. \end{align*}

1. Ohje: käytä määritelmien lausekkeita ja sievennä.
2. \begin{align*} \frac{d}{dx} (\sinh x) &= \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2} (e^x - e^{-x})\right) \\[2mm] &= \frac{1}{2} (e^x + e^{-x}) \\[2mm] &= \cosh x. \end{align*}
3. Hyperbolinen sini on aidosti kasvava koko määrittelyjoukossaan, koska sen derivaattafunktio on kaikkialla positiivinen: $$ \frac{d}{dx} (\sinh x) = \frac{1}{2} (e^x + e^{-x}) > 0 $$ kaikilla $x \in \R$. Koska hyperbolinen sini on aidosti kasvava määrittelyjoukossaan, sillä on käänteisfunktio.
   Käänteisfunktion lausekkeeksi saadaan $$ f^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}). $$
4. Käänteisfunktion määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko $\R$. Tämä johtuu siitä, että $$ \sqrt{x^2+1} > \left|x\right| $$ kaikilla $x \in \R$, joten $$ x + \sqrt{x^2+1} > 0 $$ kaikilla $x \in \R$.

1. Derivaattafunktion $$ f'(x) = \frac{1}{x} + 1 $$ arvot ovat positiivisia, kun $x > 0$, joten funktio $f$ on aidosti kasvava määrittelyjoukossaan. Sillä on siis olemassa käänteisfunktio.
2. Koska $f(1) = 2$, niin $g(2) = 1$. Edellisen tehtävän nojalla $$ g'(2) = \frac{1}{f'(g(2))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{2}. $$
3. Funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajat ovat symmetrisiä suoran $y = x$ suhteen, joten ne leikkaavat tällä suoralla. Silloin on $$ x = \ln x + x + 1 $$ Leikkauspisteeksi saadaan $$ \left(\frac{1}{e}, \frac{1}{e}\right). $$
4. Funktion kuvaajan tangentin kulmakerroin on $$ f'\left(\frac{1}{e}\right) = e + 1. $$ Koska $f\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e}$, on käänteisfunktion kuvaajan tangentin kulmakerroin tämän käänteisluku: $$ (f^{-1})'\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{f'\left(\frac{1}{e}\right)} = \frac{1}{e+1}. $$ Suuntakulmien erotus on kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella likimain $$ 74{,}94697^\circ - 15{,}05303^\circ \approx 59{,}9^\circ. $$