Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA5 - Analyyttinen geometria

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Kurssin etusivu

Kurssin tavoitteena on, että

  • ymmärrät, kuinka analyyttinen geometria luo yhteyksiä geometristen ja algebrallisten käsitteiden välille
  • ymmärrät pistejoukon yhtälön käsitteen ja opit tutkimaan yhtälöiden avulla pisteitä, suoria, ympyröitä ja paraabeleja
  • syvennät itseisarvokäsitteen ymmärtämystäsi ja opit ratkaisemaan sellaisia yksinkertaisia itseisarvoyhtälöitä ja vastaavia epäyhtälöitä, jotka ovat tyyppiä $|f(x)| = a$ tai $|f(x)| = |g(x)|$
  • osaat käyttää teknisiä apuvälineitä pistejoukon yhtälön tutkimisessa sekä yhtälöiden, yhtälöryhmien, itseisarvoyhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa sovellusongelmissa.

Keskeiset sisällöt

  • pistejoukon yhtälö
  • suoran, ympyrän ja paraabelin yhtälöt
  • itseisarvoyhtälön ja epäyhtälön ratkaiseminen
  • pisteen etäisyys suorasta.

Kurssimateriaali on jaettu viiteen lukuun: Etäisyys, Suora, Ympyrä, Paraabeli ja muita pistejoukkoja sekä Itseisarvoyhtälö ja -epäyhtälö.

Pääajatus kurssimateriaalissa on, että matematiikkaa oppii parhaiten tekemällä matematiikkaa. Materiaali on tämän vuoksi kirjoitettu niin, että teet tehtäviä käytännössä koko ajan. Jokainen luku sisältää kolme eri tehtäväsarjaa. Ensimmäisen tehtäväsarjan tehtävät ovat teorian seassa. Tarkoitus on, että etenet materiaalissa tekemällä jokaisen näistä tehtävistä. Voit hyvin tehdä tehtäviä yhdessä kaverin kanssa ja voit kysyä opettajalta heti, jos et ymmärrä jotain asiaa. Asia voi olla jokin tietty tehtävä, teoriassa oleva virke tai esimerkiksi vieras matemaattinen symboli. Pääasia on, että sinä itse teet tehtävät ja ymmärrät, mitä teet. Tämän tehtäväsarjan jälkeen kyseisen luvun teoria on käsitelty ja on aika harjoitella ja syventää juuri opittua. Ennen tätä opettaja pitää ehkä yhteisen opetustuokion tai -keskustelun, jossa pohditaan yhdessä luvun keskeisiä asioita tai työskentelyssä esiin tulleita haastavia kohtia. Mahdollisen opetustuokion jälkeen jatka harjoittelua luvun lopussa olevien kahden tehtäväsarjan tehtävien avulla. Luonnollisesti mitä enemmän harjoittelet, sitä paremmaksi tulet. Kun olet valmis, tee luvun lopussa oleva(t) itsearviointitesti(t). Niiden tarkoitus on kertoa sinulle, oletko ymmärtänyt luvun olennaiset asiat ja kehittää samalla oman oppimisesi arviointia, joka on tärkeä tulevaisuuden taito. Testeissä pärjääminen ei vielä tarkoita, että osaat luvun asiat esimerkiksi kiitettävällä tasolla, vaan testit keskittyvät vahvan perusosaamisen tutkimiseen. Ennen siirtymistä seuraavaan lukuun opettaja haluaa ehkä vielä koota luvussa opittuja asioita sekä antaa palautetta oppimisesta ja sen etenemisestä yhteisessä opetuskeskustelussa.

Etäisyys

Tämän luvun tavoitteena on, että pystyt määrittämään pisteiden välisiä etäisyyksiä sekä lukusuoralla että tasossa. Osaat

  • päätellä luvun itseisarvon
  • ilmaista itseisarvon avulla kahden luvun välisen etäisyyden lukusuoralla
  • käyttää tulon ja osamäärän itseisarvoihin liittyviä laskusääntöjä
  • laskea tason kahden pisteen välisen etäisyyden
  • määrittää janan keskipisteen koordinaatit.

Lukusuoraan tutustuttiin jo kurssilla MAY1. Jokaista lukusuoran pistettä vastaa reaaliluku, ja jokaista reaalilukua vastaa lukusuoran piste.

Lukusuoran pisteiden välisten etäisyyksien ilmoittamiseen voidaan käyttää itseisarvoa, joka määritellään seuraavasti:

MÄÄRITELMÄ: ITSEISARVO

Luvun $a$ itseisarvo $\left|a\right|$ ilmaisee luvun $a$ etäisyyden luvusta nolla lukusuoralla.

Päättele alla olevan kuvan avulla seuraavat itseisarvot

  1. $\left|3\right|$
  2. $\left|-5\right|$
  3. $\left|0\right|$

  1. 3
  2. 5
  3. 0

Mikä ehto luvun $a$ pitää toteuttaa, jotta

  1. sen itseisarvo on sama kuin luku itse eli $\left|a\right| = a$
  2. sen itseisarvo on luvun $a$ vastaluku eli $\left|a\right| = -a$?

Edellisen tehtävän havainnot voidaan koota seuraavaksi teoreemaksi:

TEOREEMA

Luvun $a$ itseisarvolle pätee $$ \left|a\right| = \left\{\begin{aligned} &a, \quad \text{ jos $a \geq 0$} \\ -&a, \quad \text{ jos $a < 0$.} \end{aligned}\right. $$

Perustelu:

  • Jos luku $a$ on positiivinen tai nolla, on sen etäisyys luvusta nolla yhtä suuri kuin luku $a$. Esimerkiksi luvun $5$ etäisyys luvusta nolla on $5$.
  • Jos luku $a$ on negatiivinen, saadaan sen etäisyys luvusta nolla ilmaistua vastaluvun avulla. Esimerkiksi luvun $-9$ etäisyys luvusta nolla on $9 = -(-9)$.

Kahdella eri luvulla voi olla sama itseisarvo. Tätä ilmiötä tutkitaan seuraavassa tehtävässä.

Piirrä vihkoosi lukusuora ja päättele sen avulla,

  1. minkä lukujen itseisarvo on $4$
  2. mitkä luvut toteuttavat yhtälön $\left|x\right| = 2$.

Seuraavan teoreeman mukaan lukujen itseisarvot ovat yhtä suuret, jos ja vain jos luvut ovat samat tai toistensa vastaluvut:

TEOREEMA

$\left|a\right| = \left|b\right|$, jos ja vain jos $a = b$ tai $a = -b$.

Perustelu:

  • Oletetaan, että $\left|a\right| = \left|b\right|$ eli lukujen $a$ ja $b$ itseisarvot ovat samat. Luvut $a$ ja $b$ ovat siten lukusuoralla yhtä kaukana luvusta nolla. Ne ovat siis samat tai toistensa vastaluvut. Toisin sanottuna $a = b$ tai $a = -b$.
  • Oletetaan, että $a = b$ tai $a = -b$. Tutkitaan kumpikin tapaus:
    • Jos $a = b$ eli luvut ovat samat, myös niiden itseisarvot ovat samat eli $\left|a\right| = \left|b\right|$.
    • Jos $a = -b$ eli luvut ovat toistensa vastaluvut, ne ovat lukusuoralla kuitenkin yhtä kaukana luvusta nolla. Siten niillä on sama itseisarvo eli $\left|a\right| = \left|b\right|$.

Luvun itseisarvo ilmaisee luvun etäisyyden nollasta. Tutkitaan seuraavaksi, miten itseisarvon avulla voidaan ilmaista kahden nollasta poikkeavan luvun välinen etäisyys.

Päättele lukujen $m$ ja $n$ välinen etäisyys lukusuoralla ja vertaa sitä lukujen erotuksen itseisarvoon $\left|m-n\right|$, jos

  1. $m = 12$ ja $n = 7$
  2. $m = 5$ ja $n = 8$
  3. $m = -3$ ja $n = 6$.

Kerro omin sanoin, mitä havaitset.

Edellisen tehtävän havainnot voidaan koota seuraavaksi teoreemaksi:

TEOREEMA

Lukujen $a$ ja $b$ välinen etäisyys lukusuoralla on $\left|a-b\right|$.

Perustelu: Tutkitaan erikseen kolme mahdollista tapausta:

  1. Oletetaan, että $a > b$. Lukujen $a$ ja $b$ välinen etäisyys on $a-b$:
    Toisaalta erotus $a-b$ on positiivinen, joten $\left|a-b\right| = a-b$.
  2. Oletetaan, että $a = b$. Lukujen $a$ ja $b$ välinen etäisyys on $0$:
    Toisaalta erotus $a - b = 0$, joten $\left|a-b\right| = \left|0\right| = 0$.
  3. Oletetaan, että $a < b$. Lukujen $a$ ja $b$ välinen etäisyys on $b-a$:
    Toisaalta erotus $a-b$ on negatiivinen, joten \begin{align*} \left|a-b\right| &= -(a-b) \\ &= -a+b \\ &= b-a. \end{align*}

Havaitaan, että kaikissa tapaukissa lukujen $a$ ja $b$ välinen etäisyys on yhtä suuri kuin erotuksen $a-b$ itseisarvo $\left|a-b\right|$.

Määritä teoreeman 3 avulla

  1. lukujen $-671$ ja $-176$ välinen etäisyys
  2. lukujen $-\dfrac{3}{8}$ ja $\dfrac{7}{10}$ välinen etäisyys.

  1. 495
  2. $\dfrac{43}{40}$

Tehtävänä on määrittää lukujen $a = 7 - 5\sqrt{3}$ ja $b = 4-\sqrt{3}$ välisen etäisyyden tarkka arvo sekä likiarvo kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. Sievennä erotus $a-b$.
  2. Tutki laskimen avulla, onko erotus $a-b$ positiivinen vai negatiivinen. Poista tämän tiedon avulla itseisarvomerkit lausekkeesta $\left|a-b\right|$.
    Vinkki: teoreema 1.
  3. Mikä on lukujen $a$ ja $b$ välisen etäisyyden tarkka arvo? Entä likiarvo?

  1. Tarkka arvo on $4\sqrt{3}-3$.

Tutkitaan lopuksi vielä hiukan itseisarvojen ominaisuuksia. Joissakin tilanteissa joudutaan tarkastelemaan tulojen tai osamäärien itseisarvoja. Esimerkiksi lukujen $5k-n$ ja $8k-4n$ väliseksi etäisyydeksi saadaan \begin{align*} \left|(5k-n) - (8k-4n)\right| &= \left|5k-8k - n + 4n\right| \\ &= \left|-3k + 3n\right| \\ &= \left|-3(k-n)\right| \end{align*} Miten suuri tämä etäisyys on verrattuna lukujen $k$ ja $n$ väliseen etäisyyteen $\left|k-n\right|$? Tähän kysymykseen vastaamisessa auttaa seuraava teoreema:

TEOREEMA

Tulon itseisarvo on yhtä suuri kuin itseisarvojen tulo: $$\left|ab\right| = \left|a\right|\left|b\right|$$ Osamäärän itseisarvo on yhtä suuri kuin itseisarvojen osamäärä: $$\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{\left|a\right|}{\left|b\right|}$$

Perustelu: Molemmat yhtälöt voidaan perustella teoreeman 1 avulla tutkimalla neljä mahdollista tapausta:

  1. $a \geq 0$ ja $b \geq 0$
  2. $a \geq 0$ ja $b < 0$
  3. $a < 0$ ja $b \geq 0$
  4. $a < 0$ ja $b < 0$.

Huomaa, että osamäärää koskevassa yhtälössä $b \neq 0$, sillä muuten osamäärä ei ole määritelty.

Tarkastellaan malliksi tulon itseisarvon tapaus 2:
Oletetaan, että $a \geq 0$ ja $b < 0$. Tällöin teoreeman 1 mukaan \begin{align*} \left|a\right| &= a \\ \left|b\right| &= -b, \end{align*} joten $$\left|a\right|\left|b\right| = a \cdot (-b) = \textcolor{red}{-ab}.$$ Toisaalta koska $a \geq 0$ ja $b < 0$, niin $ab \leq 0$ ja teoreeman 1 mukaan $$\left|ab\right| = \textcolor{red}{-ab}.$$ Siis tässä tapauksessa $$\left|ab\right| = \left|a\right|\left|b\right|.$$

Lukujen $5k-n$ ja $8k-4n$ väliseksi etäisyydeksi laskettiin edellä $$\left|(5k-n) - (8k-4n)\right| = \left|-3(k-n)\right|.$$ Kuinka suuri tämä etäisyys on verrattuna lukujen $k$ ja $n$ väliseen etäisyyteen $\left|k-n\right|$? Hyödynnä teoreemaa 4.

Kolminkertainen.

Tason pisteiden välinen etäisyys voidaan usein laskea MAA3-kurssista tutun Pythagoraan lauseen avulla.

Tehtävänä on laskea kuvassa näkyvien pisteiden $A$ ja $B$ välinen etäisyys.

  1. Piirrä vastaava kuva vihkoosi. Yhdistä pisteet $A$ ja $B$ janalla.
  2. Piirrä kuvaan suorakulmainen kolmio, jonka kateetit ovat koordinaattiakselien suuntaiset ja jonka hypotenuusa on jana $AB$.
  3. Selvitä pisteiden $A$ ja $B$ välinen etäisyys eli janan $AB$ pituus Pythagoraan lauseen avulla.

Seuraavassa teoreemassa johdetaan lauseke tason pisteiden väliselle etäisyydelle MAA4-kurssista tutun vektorin pituuden avulla.

TEOREEMA

Pisteiden $P = (x_1,y_1)$ ja $Q = (x_2,y_2)$ välinen etäisyys eli janan $PQ$ pituus on $$ \left|PQ\right| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}. $$

Perustelu: Muodostetaan vektori pisteestä $P$ pisteeseen $Q$: $$ \pv{PQ} = (x_2-x_1)\vi + (y_2-y_1)\vj. $$ Tämän vektorin pituus on $$ \left|\pv{PQ}\right| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}. $$

Laske pisteiden $A$ ja $B$ välinen etäisyys, jos

  1. $A = (-15,25)\ $ ja $\ B = (13,-20)$
  2. $A = (11,-3)\ $ ja $\ B = (11,7)$
  3. $A = (-18,-2)\ $ ja $\ B = (-21,4)$.

  1. $\left|AB\right| = 53$
  2. $\left|AB\right| = 10$
  3. $\left|AB\right| = 3\sqrt{5}$

Tehtävänä on määrittää ne $y$-akselin pisteet, joiden etäisyys pisteestä $(6,4)$ on 10.

  1. Jos piste on $y$-akselilla, mitä voit päätellä sen $x$-koordinaatista?
  2. Muodosta lauseke $y$-akselin pisteen etäisyydelle pisteestä $(6,4)$.
  3. Määritä ne $y$-akselin pisteet, joiden etäisyys pisteestä $(6,4)$ on 10.
  4. Tarkista vastauksesi järkevyys hahmottelemalla tilanteesta kuva. Löysitkö kaikki sopivat pisteet?

  1. $(0,12)$ ja $(0,-4)$

Tarkastele alla näkyvää janaa $PQ$.

  1. Päättele kuvan avulla, mitkä ovat janan $PQ$ keskipisteen koordinaatit.
  2. Miten saisit laskettua janan keskipisteen $x$-koordinaatin sen päätepisteiden $x$-koordinaateista?
  3. Miten saisit laskettua janan keskipisteen $y$-koordinaatin sen päätepisteiden $y$-koordinaateista?

Vektoreiden avulla voidaan johtaa myös lausekkeet janan keskipisteen koordinaateille:

TEOREEMA

Pisteitä $P = (x_1,y_1)$ ja $Q = (x_2,y_2)$ yhdistävän janan keskipisteen $C$ koordinaatit ovat päätepisteiden koordinaattien keskiarvot: $$ C = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right). $$

Perustelu: Muodostetaan pisteen $C$ paikkavektori \begin{align*} \pv{OC} &= \pv{OP} + \frac{1}{2}\pv{PQ}. \end{align*} Kun siihen sijoitetaan \begin{align*} \pv{OP} &= x_1\vi + y_1\vj \\ \pv{PQ} &= (x_2-x_1)\vi + (y_2-y_1)\vj, \end{align*} paikkavektoriksi saadaan sievennyksen jälkeen \begin{align*} \pv{OC} &= \frac{1}{2}(x_1+x_2)\vi + \frac{1}{2}(y_1 + y_2)\vj. \end{align*} Paikkavektorista voidaan lukea pisteen $C$ koordinaatit. Siis $$ C = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right). $$

Laske janan $AB$ keskipiste, jos

  1. $A = (-1,-2)\ $ ja $\ B = (-8,3)$
  2. $A = (-3\sqrt{2},-1)\ $ ja $\ B = (9\sqrt{2},5)$.

  1. $\left(-\frac{9}{2}, \frac{1}{2}\right)$
  2. $\left(3\sqrt{2}, 2\right)$

Itseisarvo

Laske lukujen $-\dfrac{3}{4}$ ja $\dfrac{5}{6}$

  1. itseisarvojen erotus
  2. erotuksen itseisarvo.

Mikä on lukujen $-\dfrac{3}{4}$ ja $\dfrac{5}{6}$ välinen etäisyys?

  1. $-\frac{1}{12}$
  2. $\frac{19}{12}$, joka on myös lukujen $-\frac{3}{4}$ ja $\frac{5}{6}$ välinen etäisyys.

Itseisarvo

Merkitse ja määritä seuraavien lukujen itseisarvot:

  1. $-9$
  2. $\sqrt{2} - 1$
  3. $3 - \sqrt{10}$

Vinkki: teoreema 1.

  1. $\left|-9\right| = 9$
  2. $\left|\sqrt{2} - 1\right| = \sqrt{2} - 1$
  3. $\left|3 - \sqrt{10}\right| = \sqrt{10} - 3$

Itseisarvo

Määritä päättelemällä ne luvut, joiden itseisarvo on

  1. $8$
  2. $\pi$
  3. $\sqrt{5}+4$
  4. $\sqrt{5}-3$

  1. Sopivia lukuja ovat $8$ ja $-8$.
  2. Sopivia lukuja ovat $\pi$ ja $-\pi$.
  3. Sopivia lukuja ovat $\sqrt{5}+4$ ja $-(\sqrt{5}+4) = -\sqrt{5}-4$.
  4. Tällaisia lukuja ei ole olemassa, sillä $\sqrt{5} - 3 < 0$.

Itseisarvo

Millä vakion $b$ arvolla luvun $3b + 6$ itseisarvo on

  1. $3b + 6$
  2. $-3b-6$
  3. $3b-6$?

  1. Jos $b \geq -2$.
  2. Jos $b \leq -2$.
  3. Ei millään.

Etäisyys lukusuoralla

Ilmaise itseisarvon avulla seuraavien lukujen välinen etäisyys. Määritä sen jälkeen etäisyyden tarkka arvo.

  1. $3\ $ ja $\ 4{,}5$
  2. $\dfrac{5}{3}\ $ ja $\,-\dfrac{17}{7}$
  3. $\sqrt{2} + 1\ $ ja $\ 3\sqrt{2} - 6$

  1. $\left| 3 - 4{,}5\right| = 1{,}5$
  2. $\left| \frac{5}{3} - \left(-\frac{17}{7}\right)\right| = \frac{86}{21}$
  3. $\left| \sqrt{2} + 1 - (3\sqrt{2} - 6)\right| = 7 - 2\sqrt{2}$

Etäisyys lukusuoralla

Osoita, että lukujen $3a-2b$ ja $9a-8b$ etäisyys on kuusi kertaa niin suuri kuin lukujen $a$ ja $b$ etäisyys.

Kertaa teoreema 4 ja tehtävä 1.7.

Etäisyys lukusuoralla

Ilmaise ehto itseisarvon avulla yhtälönä tai epäyhtälönä. Päättele, mitkä luvut toteuttavat ehdon.

  1. Luvun $x$ etäisyys luvusta $17$ on $13$.
  2. Luvun $x$ etäisyys luvusta $-4$ on suurempi kuin $3$.
  3. Luvun $x$ etäisyys luvusta $9$ on pienempi tai yhtä suuri kuin $10$.

  1. $\left| x - 17 \right| = 13$, $\quad x = 4$ tai $x = 30$
  2. $\left| x - (-4) \right| > 3$, $\quad x > -1$ tai $x < -7$
  3. $\left| x - 9 \right| \leq 10$, $\quad -1 < x < 19$

Etäisyys tasossa

Kolmion kärkipisteet ovat $A = (0,6)$, $B = (1,-3)$ ja $C = (-4,1)$. Onko kolmio tasakylkinen?

Kolmio on tasakylkinen, sillä siinä on kaksi yhtä pitkää sivua.

Etäisyys tasossa

Millä vakion $a$ arvolla pisteiden $(a,3)$ ja $(2,-1)$ välinen etäisyys on $5$?

$a = 5$ tai $a = -1$.

Etäisyys tasossa

Pisteen $P$ $x$- ja $y$-koordinaatit ovat yhtä suuret, ja pisteen $P$ etäisyys pisteestä $(0,2)$ on $\sqrt{34}$. Määritä piste $P$.

$P = (5,5)$ tai $P = (-3,-3)$

Ilmaise itseisarvon avulla

  1. $\sqrt{(-3)^2}$
  2. $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}$
  3. $\sqrt{(a+b)^2}$

  1. $\sqrt{(-3)^2} = \left|-3\right|$
  2. $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = \left|2-\sqrt{5}\right|$
  3. $\sqrt{(a+b)^2} = \left|a + b\right|$

Kolmion $ABC$ kärkipisteet ovat $A = (-2,5)$, $B = (-2,-1)$ ja $C = (4,3)$. Kolmion keskijana yhdistää kolmion kärkipisteen vastakkaisen sivun keskipisteeseen. Kuinka pitkä kärjestä $A$ piirretty kolmion keskijana on?

Keskijanan pituus on 5.

Hannan koti on kartan koordinaatiston pisteessä $(4,4)$ ja Tommin koti pisteessä $(9,-1)$. He kulkevat illalla kotiin pitkin tietä, joka vastaa koordinaatiston $x$-akselia, ja sopivat eroavansa toisistaan kohdassa, joka on yhtä kaukana kummankin kodista. Missä pisteessä he eroavat toisistaan?

Pisteessä $(5,0)$.

Olkoon $O$ origo ja $A = (5,0)$. Valitaan negatiiviselta $x$-akselilta piste $P$. Piirretään $x$-akselin alapuolelle neliö $OPBC$ ja $x$-akselin yläpuolelle neliö $APDE$. Osoita, että kaikilla näin saaduilla janoilla $CE$ on sama keskipiste.
Vinkki: muista, että esimerkiksi neliössä $OPBC$ kärkipisteet seuraavat toisiaan järjestyksessä $O$, $P$, $B$ ja $C$.

Piste $C$ on negatiivisella $y$-akselilla, joten se on muotoa $(0,-c)$. Tällöin $E = (5,5+c)$. Janan $CE$ keskipiste on $(2{,}5;\, 2{,}5)$.

Ilmaise seuraavat lausekkeet ilman itseisarvomerkkejä:

  1. $\left|4x+8\right|$
  2. $\left|2-3x\right|$

Vinkki: teoreema 1.

  1. $$ \begin{cases} -4x - 8, &\text{ jos $x < -2$}\\ \phantom{-}4x + 8, &\text{ jos $x \geq -2$} \end{cases} $$
  2. $$ \begin{cases} \phantom{-}2-3x, &\text{ jos $x \leq \frac{2}{3}$} \\ -2 + 3x, &\text{ jos $x > \frac{2}{3}$} \end{cases} $$

Ilmaise seuraavat lausekkeet ilman itseisarvomerkkejä:

  1. $\left|3x^2-2x-1\right|$
  2. $2x-x\left|2-x\right|$

  1. $$ \begin{cases} \phantom{-}3x^2-2x-1, &\text{ jos $x \leq -\frac{1}{2}$ tai $x \geq 1$} \\ -3x^2 + 2x + 1, &\text{ jos $-\frac{1}{2} < x < 1$} \end{cases} $$
  2. $$ \begin{cases} \phantom{-}x^2, &\text{ jos $x \leq 2$} \\ -x^2 + 4x, &\text{ jos $x > 2$} \end{cases} $$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Suora

Tämän luvun tavoitteena on, että hallitset suoran erilaiset esitysmuodot ja pystyt käyttämään niitä erilaisten suorien tutkimiseen. Osaat
  • määrittää suoran kulmakertoimen
  • muodostaa suoran yhtälön
  • muokata suoran yhtälön sekä normaalimuotoon että ratkaistuun muotoon
  • piirtää suoran koordinaatistoon
  • tutkia, onko piste suoralla
  • etsiä kahden suoran leikkauspisteen
  • ratkaista yhtälöparin
  • tutkia, ovatko suorat yhdensuuntaiset tai kohtisuorassa toisiaan vastaan
  • laskea pisteen etäisyyden suorasta.

Kurssissa MAA4 opittiin muodostamaan suoralle niin sanottu vektorimuotoinen parametriesitys.

MÄÄRITELMÄ: SUORAN VEKTORIMUOTOINEN PARAMETRIESITYS

Oletetaan, että $A$ on suoran $L$ piste ja $\vv$ on suoran $L$ suuntavektori. Yhtälö $$\pv{OP} = \pv{OA} + t\vv$$ on suoran $L$ vektorimuotoinen parametriesitys.
Tässä esiintyvä kerroin $t$ on parametri ja vektori $\pv{OA}$ on suoran paikkavektori.


Esimerkiksi yllä näkyvän suoran yksi vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP} = \vi + 3\vj + t(\vi - 2\vj)$.

MAA4-kurssissa opittiin lisäksi, että jos $xy$-tason suoran jokin normaalivektori tunnetaan, voidaan suoralle muodostaa niin sanottu normaalimuotoinen yhtälö:

MÄÄRITELMÄ: SUORAN NORMAALIMUOTOINEN YHTÄLÖ

Oletetaan, että $L$ on $xy$-tason suora ja $\vn = a\vi + b\vj$ on sen normaalivektori. Yhtälö $$ax + by + c = 0$$ on suoran $L$ normaalimuotoinen yhtälö.

Vektoria sanotaan suoran normaalivektoriksi, jos se on suoraa vastaan kohtisuorassa. Esimerkiksi edellä tarkastellun suoran yksi normaalivektori on $\vn = 2\vi + \vj$:

Tämän suoran normaalimuotoiseksi yhtälöksi saadaan $$2x + y + c = 0,$$ missä vakion $c$ arvo määräytyy tiedosta, että suora kulkee pisteen $(1,3)$ kautta. Siten $$2\cdot 1 + 3 + c = 0$$ eli $c = -5$. Normaalimuotoisesta yhtälöstä $2x + y - 5 = 0$ voidaan ratkaista $y$: $$y = - 2x + 5.$$ Tällaista yhtälöä sanotaan suoran yhtälön ratkaistuksi muodoksi.

MÄÄRITELMÄ: SUORAN YHTÄLÖN RATKAISTU MUOTO JA KULMAKERROIN

Yhtälö $y = kx + h$ on suoran yhtälön ratkaistu muoto. Tässä esiintyvä kerroin $k$ on suoran kulmakerroin.

Tutki alla näkyvää suoraa $L$.

  1. Valitse suoralle $L$ jokin suuntavektori.
  2. Valitse suoralle $L$ jokin normaalivektori. Tarkista pistetulon avulla, että se on todella kohtisuorassa suoraa $L$ vastaan.
  3. Valitse jokin piste, jonka kautta suora $L$ kulkee. Muodosta sen ja b-kohdan avulla suoralle $L$ normaalimuotoinen yhtälö.
  4. Muokkaa suoran $L$ normaalimuotoinen yhtälö ratkaistuun muotoon. Mikä on suoran $L$ kulmakerroin?
  5. Miten kulmakerroin näkyy alla olevassa kuvassa?

  1. Esimerkiksi $\vi + 3\vj$.
  2. Esimerkiksi $3\vi - \vj$.
  3. Esimerkiksi $(1,1)$. Yhtälö on $3x-y-2 = 0$.
  4. Ratkaistu muoto on $y = 3x-2$ ja suoran $L$ kulmakerroin $3$.

Tutki alla näkyvää suoraa $L$.

  1. Valitse suoralle $L$ jokin suuntavektori.
  2. Valitse suoralle $L$ jokin normaalivektori. Tarkista pistetulon avulla, että se on todella kohtisuorassa suoraa $L$ vastaan.
  3. Valitse jokin piste, jonka kautta suora $L$ kulkee. Muodosta sen ja b-kohdan avulla suoralle $L$ normaalimuotoinen yhtälö.
  4. Muokkaa suoran $L$ normaalimuotoinen yhtälö ratkaistuun muotoon. Mikä on suoran $L$ kulmakerroin?
  5. Miten kulmakerroin näkyy alla olevassa kuvassa?

Jos $xy$-tason suora ei ole $y$-akselin suuntainen, sen yhtälö on aina mahdollista ilmaista ratkaistussa muodossa $y = kx + h$. Jos suora on $y$-akselin suuntainen, tämä ei onnistu. Tutkitaan seuraavaksi esimerkin avulla, miksi $y$-akselin suuntaisten suorien yhtälöitä ei voi esittää ratkaistussa muodossa.

Alla näkyvän $y$-akselin suuntaisen suoran yksi suuntavektori on $\vj$ ja yksi normaalivektori on $\vi$.

Suoran normaalimuotoinen yhtälö on siten muotoa $1\cdot x + 0\cdot y + c = 0$. Vakion $c$ arvo määräytyy esimerkiksi tiedosta, että suora kulkee pisteen $(4,1)$ kautta. Siten $$4 + c = 0$$ eli $c = -4$. Normaalimuotoinen yhtälö on siis $$x - 4 = 0.$$ Havaitaan, että tätä yhtälöä ei voi muuttaa määritelmän mukaiseen ratkaistuun muotoon $y = kx + h$, sillä muuttuja $y$ ei esiinny yhtälössä lainkaan. Tämä voidaan ilmaista myös sanomalla, että muuttujan $y$ kerroin on nolla.

Koska $y$-akselin suuntaisen suoran $x - 4 = 0$ yhtälöä ei voida muuttaa määritelmän mukaiseen ratkaistuun muotoon $y = kx + h$, ei suoralla ole kulmakerrointa.

Suoran $L$ kulkee pisteen $(-3,2)$ kautta ja vektori $-4\vj$ on sen

  1. suuntavektori
  2. normaalivektori.

Muodosta suoran $L$ normaalimuotoinen yhtälö ja muokkaa sen ratkaistuun muotoon, jos mahdollista. Jos suoralla on kulmakerroin, mikä se on?
Vinkki: kannattaa piirtää tilanteesta kuva.

Tutkitaan seuraavaksi suoraa $L$, jonka yhtälön ratkaistu muoto on $y = -x + 3$. Tämä yhtälö kertoo, miten suoran pisteiden $y$-koordinaatit riippuvat $x$-koordinaateista, ja sen avulla voidaan selvittää suoran pisteitä.

Esimerkiksi jos suoran $L$ pisteen $x$-koordinaatti on $x = 1$, niin sen $y$-koordinaatti on $$y = -x+3 = -1 + 3 = 2.$$ Näin saadaan tieto, että suora $L$ kulkee pisteen $(1,2)$ kautta. Toinen piste löydetään, kun $x$-koordinaatiksi valitaan jokin muu luku: esimerkiksi jos $x = 4$, niin $$y = -x+3 = -4 + 3 = -1.$$ Suora $L$ kulkee siis myös pisteen $(4,-1)$ kautta. Nyt suorasta $L$ voidaan piirtää kuva:

Suoran $L$ yhtälöstä voidaan päätellä yleisemmin, että jos suoran pisteen $x$-koordinaatti on $x = t$, niin $y$-koordinaatti on $y = -t+3$. Näin saadaan MAA4-kurssista tuttu suoran $L$ koordinaattimuotoinen parametriesitys $$ \left\{\begin{aligned} x &= t \\ y &= -t+3 \end{aligned}\right. $$ Suoran $L$ pisteet ovat siis muotoa $(t, -t+3)$.

Suoran $L$ yhtälön ratkaistu muoto on $y = 2x - 1$.

  1. Selvitä suoran yhtälön avulla kaksi suoran pistettä ja piirrä suora koordinaatistoon.
  2. Muodosta suoran $L$ koordinaattimuotoinen parametriesitys.
  3. Muodosta suoran $L$ vektorimuotoinen parametriesitys. Voit käyttää apuna a- ja b-kohtia.
  4. Muokkaa suoran $L$ yhtälö ratkaistusta muodosta normaalimuotoon. Keksi sen avulla suoralle $L$ jokin normaalivektori.

Tehtävänä on selvittää, ovatko pisteet $A = (2116, 894)$ ja $B = (15668, 4273)$ suoralla $L$, jonka yhtälö on $y = 0{,}25x + 365$.

  1. Selvitä suoran $L$ yhtälön avulla, mikä on suoran pisteen $y$-koordinaatti, jos $x$-koordinaatti on $x = 2116$. Onko piste $A$ suoralla $L$?
  2. Selvitä suoran $L$ yhtälön avulla, mikä on suoran pisteen $y$-koordinaatti, jos $x$-koordinaatti on $x = 15668$. Onko piste $B$ suoralla $L$?

Tutkitaan seuraavaksi, miten suoran yhtälössä $y = kx + h$ esiintyvät kulmakerroin $k$ ja vakio $h$ vaikuttavat suoran suuntaan ja sijaintiin koordinaatistossa.

Alla on näkyvissä suora $y = 2x-1$. Tämän suoran kulmakerroin on $k = 2$. Kuvasta näkyy, että aina kun siirrytään yksi askel oikealle, suora nousee kaksi askelta ylöspäin.

  1. Jos suoran kulmakerroin on $k = 7$, niin kuinka monta askelta se nousee tai laskee, kun siirrytään yksi askel oikealle?
  2. Jos suoran kulmakerroin on $k = -5$, niin kuinka monta askelta se nousee tai laskee, kun siirrytään yksi askel oikealle?
  3. Jos suoran kulmakerroin on $k = \frac{1}{4}$, niin kuinka monta askelta se nousee tai laskee, kun siirrytään yksi askel oikealle?
  4. Jos suoran kulmakerroin on $k = \frac{1}{4}$, niin kuinka monta askelta pitää siirtyä oikealle, jotta suora nousisi yhden askeleen?
  5. Jos suoran kulmakerroin on $k = -\frac{2}{3}$, niin kuinka monta askelta se nousee tai laskee, kun siirrytään kolme askelta oikealle?

  1. Nousee 7 askelta.
  2. Laskee 5 askelta.
  3. Nousee 0,25 askelta.
  4. Pitää siirtyä 4 askelta oikealle.
  5. Laskee 2 askelta.

Yllä on näkyvissä erilaisia $xy$-tason suoria. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea suora jokaiseen yhtälöön. Päättele sen jälkeen vastaukset alla oleviin kysymyksiin.

Yhtälö Suora
$\ y = 3x \ $
$\ y = -2x-1 \ $
$\ y = 0{,}5x+1 \ $
$\ y = -x+2 \ $

Miten yhtälöstä $y = kx + h$ voi päätellä,

  1. onko kysymyksessä nouseva suora (kuten kuvissa A ja C) vai laskeva suora (kuten kuvissa B ja D)?
  2. millä korkeudella suora leikkaa $y$-akselin?
  3. kuinka monta ruutua suora nousee tai laskee, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle?

Havaitaan, että suoran kulmakerroin kuvaa sen jyrkkyyttä. Tarkemmin sanottuna suoran kulmakerroin on suoran pisteiden $y$-koordinaattien erotuksen suhde $x$-koordinaattien erotukseen. Tämä osoitetaan seuraavassa teoreemassa. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Oletetaan, että $\textcolor{blue}{x_1} \neq \textcolor{red}{x_2}$. Pisteiden $\textcolor{blue}{(x_1,y_1)}$ ja $\textcolor{red}{(x_2,y_2)}$ kautta kulkevan suoran kulmakerroin on $$k = \frac{\textcolor{red}{y_2}-\textcolor{blue}{y_1}}{\textcolor{red}{x_2}-\textcolor{blue}{x_1}}$$

Perustelu: Oletetaan, että suora $y = kx + h$ kulkee pisteiden $\textcolor{blue}{(x_1,y_1)}$ ja $\textcolor{red}{(x_2,y_2)}$ kautta. Tällöin nämä pisteet toteuttavat suoran yhtälön: \begin{align*} \textcolor{blue}{y_1} &= k\textcolor{blue}{x_1} + h \\ \textcolor{red}{y_2} &= k\textcolor{red}{x_2} + h. \\ \end{align*} Tutkitaan erotusten osamäärää: \begin{align*} \frac{\textcolor{red}{y_2}-\textcolor{blue}{y_1}}{\textcolor{red}{x_2}-\textcolor{blue}{x_1}} &= \frac{(k\textcolor{red}{x_2} + h) - (k\textcolor{blue}{x_1} + h)}{\textcolor{red}{x_2}-\textcolor{blue}{x_1}} \\[1mm] &= \frac{k\textcolor{red}{x_2} + h - k\textcolor{blue}{x_1} -h}{\textcolor{red}{x_2}-\textcolor{blue}{x_1}} \\[1mm] &= \frac{k(\textcolor{red}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1})}{\textcolor{red}{x_2}-\textcolor{blue}{x_1}} = k. \\ \end{align*} Siis $$k = \frac{\textcolor{red}{y_2}-\textcolor{blue}{y_1}}{\textcolor{red}{x_2}-\textcolor{blue}{x_1}}$$

Määritä suorien $L$ ja $S$ kulmakertoimet alla olevan kuvan avulla. Voit esimerkiksi määrittää kuvasta kaksi suoran pistettä ja laskea kulmakertoimen niiden avulla.

Suora $L$ kulkee pisteiden $(-1,-1)$ ja $(1,4)$ kautta, joten sen kulmakertoimeksi saadaan $\frac{5}{2}$.

Suora $S$ kulkee pisteiden $(-1,1)$ ja $(2,-1)$ kautta, joten sen kulmakertoimeksi saadaan $-\frac{2}{3}$.

Määritä kulmakerroin pisteiden $A$ ja $B$ kautta kulkevalle suoralle ja päättele, onko suora nouseva, laskeva vai $x$-akselin suuntainen.

  1. $A = (-2,6)\ $ ja $\ B = (3,2)$
  2. $A = (1,-2)\ $ ja $\ B = (3,4)$
  3. $A = (3,1)\ $ ja $\ B = (-5,1)$
  4. $A = (-213,-126)\ $ ja $\ B = (-533,142)$.

Vinkki: kuvan tai mallikuvan hahmotteleminen yleensä helpottaa oikeiden johtopäätösten tekemistä.

Seuraava teoreema osoittaa, että suoran yhtälön ratkaistusta muodosta voidaan suoraan lukea, millä korkeudella suora leikkaa $y$-akselin. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Suora $y = kx + h$ leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,h)$.

Perustelu: Suoran ja $y$-akselin leikkauspisteen $x$-koordinaatti on $x = 0$. Sitä vastaava suoran $y$-koordinaatti saadaan suoran yhtälöstä: $$y = kx + h = k\cdot 0 + h = h.$$ Leikkauspiste on siis $(0,h)$.

Selvitä suoran kulmakerroin sekä suoran ja $y$-akselin leikkauspiste, jos suoran yhtälö on

  1. $y = -7x + 12$
  2. $y = 4-\dfrac{3}{2}x$
  3. $y = -5$
  4. $2x-3y + 6 = 0$.

Tutkitaan suoraa $L$, joka kulkee pisteiden $(1,-1)$ ja $(5,4)$ kautta. Voimme määrittää sille suuntavektorin ja normaalivektorin. Normaalivektorin avulla saamme muodostettua suoralle $L$ normaalimuotoisen yhtälön. Sen jälkeen voimme muokata tämän yhtälön ratkaistuun muotoon samaan tapaan kuin aikaisemmin.

Yritetään kuitenkin muodostaa suoran $L$ yhtälön ratkaistu muoto $y = kx + h$ toisella tavalla. Lasketaan ensin suoran kulmakerroin: $$k = \frac{\textcolor{red}{y_2}-\textcolor{blue}{y_1}}{\textcolor{red}{x_2}-\textcolor{blue}{x_1}} = \frac{\textcolor{red}{4}-(\textcolor{blue}{-1})}{\textcolor{red}{5}-\textcolor{blue}{1}} = \frac{5}{4} = 1{,}25.$$ Suoran $L$ yhtälö on siis muotoa $$y = \frac{5}{4}x + h.$$ Vakion $h$ arvo saadaan selville esimerkiksi tiedosta, että suora $L$ kulkee pisteen $(1,-1)$ kautta. Siis $$-1 = \frac{5}{4}\cdot 1 + h,$$ joten $$h = -\frac{9}{4} = -2{,}25.$$ Etsitty suoran $L$ yhtälö on siis $$y = \frac{5}{4}x - \frac{9}{4}.$$ Seuraava teoreema antaa vielä hieman erilaisen tavan suoran yhtälön muodostamiseen tilanteessa, jossa suoran kulmakerroin ja suoran yksi piste tunnetaan. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Jos suora kulkee pisteen $(x_0, y_0)$ kautta ja suoran kulmakerroin on $k$, niin suoran yhtälö on $$y - y_0 = k(x-x_0).$$

Perustelu: Oletetaan, että suora kulkee pisteen $(x_0, y_0)$ kautta ja suoran kulmakerroin on $k$. Tällöin suoran yhtälö on muotoa $y = kx + h$. Lisäksi piste $(x_0, y_0)$ toteuttaa suoran yhtälön: $$y_0 = kx_0 + h.$$ Tästä saadaan ratkaistua vakio $h$: $$h = y_0 - kx_0.$$ Kun tämä sijoitetaan suoran yhtälöön, saadaan se muotoon $$y = kx + (y_0 - kx_0)$$ eli $$y - y_0 = kx-kx_0$$ eli $$y - y_0 = k(x - x_0).$$

Suora kulkee pisteen $(x_0,y_0)$ kautta ja sen kulmakerroin on $k$. Piirrä suora koordinaatistoon ja muodosta suoran yhtälö, jos

  1. $(x_0,y_0) = (1,2)\ $ ja $\ k = \dfrac{1}{2}$
  2. $(x_0,y_0) = (-3,0)\ $ ja $\ k = -\dfrac{4}{5}$.

Vinkki: teoreema 9.

  1. $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$
  2. $y = -\frac{4}{5}x - \frac{12}{5}$.

Suora kulkee pisteiden $A$ ja $B$ kautta. Piirrä suora koordinaatistoon ja muodosta suoran yhtälö, jos

  1. $A = (-3,-4)\ $ ja $\ B = (2,2)$.
  2. $A = (1,1)\ $ ja $\ B = (6,-2)$

  1. $y = \frac{6}{5}x - \frac{2}{5}$
  2. $y = -\frac{3}{5}x + \frac{8}{5}$.

Kootaan vielä esimerkin avulla yhteen kaikki erilaiset suoran yhtälöt ja parametriesitykset, joita tässä kappaleessa on käytetty.

Yllä olevan suoran vektorimuotoinen parametriesitys on esimerkiksi $$\pv{OP} = \textcolor{blue}{4\vi + 2\vj} + t(\textcolor{blue}{2\vi - \vj}).$$ Normaalimuotoinen yhtälö on $$\textcolor{red}{1}x + \textcolor{red}{2}y - 8 = 0.$$ Ratkaistu yhtälö on $$y = \textcolor{Purple}{-\frac{1}{2}}x + \textcolor{Purple}{4}.$$ Koordinaattimuotoinen parametriesitys on $$ \left\{\begin{aligned} x &= \textcolor{DeepPink}{t} \\ y &= \textcolor{DeepPink}{-\frac{1}{2}t + 4} \end{aligned}\right. $$

Kertaa vielä erilaiset tavat määrittää suoran yhtälön ratkaistu muoto. Selitä lyhyesti, miten määrität suoran yhtälön ratkaistun muodon, jos

  1. tiedät kaksi pistettä suoralta
  2. tiedät suoran kulmakertoimen ja pisteen, jossa suora leikkaa $y$-akselin
  3. tiedät suoran kulmakertoimen ja yhden pisteen suoralta
  4. tiedät suoran normaalivektorin ja yhden pisteen suoralta
  5. tiedät suoran paikkavektorin ja suuntavektorin.

Olemme tutkineet $xy$-tason suorien leikkauspisteitä erilaisista näkökulmista lähes kaikissa aiemmissa kursseissa. Seuraavien tehtävien avulla palautetaan mieleen, millaisia suorien leikkauspisteisiin liittyviä tehtäviä aikaisemmin on jo ratkottu.

Kursseissa MAY1 ja MAA2 suorien leikkauspisteitä tutkittiin, kun tarkasteltiin ensimmäisen asteen polynomifunktioita ja ensimmäisen asteen yhtälöitä.

Alla on näkyvissä funktioiden $f(x) = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$ ja $g(x) = -\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$ kuvaajat. Päättele kuvan avulla, missä kohdassa nämä funktiot saavat saman arvon. Mikä tämä arvo on?

Tarkastellaan ensimmäisen asteen yhtälöä $x-1 = 2{,}5 - 0{,}5x$.

  1. Päättele alla olevan kuvan avulla tämän yhtälön ratkaisun likiarvo.
  2. Etsi yhtälön ratkaisun tarkka arvo kynän ja paperin avulla.
  3. Tarkista tulos ratkaisemalla yhtälö laskimen tai tietokoneen avulla.

Edellisissä tehtävissä ratkaisu voitiin löytää kuvan avulla suorien leikkauspisteestä. Huomaa kuitenkin, että vastauksena ei ollut varsinaisesti suorien leikkauspiste, vaan kysymyksestä riippuen leikkauspisteen $x$- tai $y$-koordinaatti. Kumpi leikkauspisteen koordinaateista oli vastaus, jos kysymys oli

  1. missä kohdassa funktiot saavat saman arvon?
  2. mikä on tämä funktioiden yhteinen arvo?
  3. mikä on ensimmäisen asteen yhtälön ratkaisu?

Kurssissa MAA4 suorien leikkauspisteitä tutkittiin, kun selvitettiin suorien leikkauspisteitä vektorilaskennan keinoin ja kun ratkaistiin ensimmäisen asteen yhtälöpareja.

Suoran $L_1$ vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP} = \vi + 4\vj + t(-2\vi + \vj)$. Suoran $L_2$ vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP} = \vi - 2\vj + s(\vi + \vj)$.

  1. Piirrä kumpikin suora koordinaatistoon. Merkitse kuvaan suorien paikkavektorit ja suuntavektorit.
  2. Suorilla on yksi leikkauspiste $P$. Määritä sen koordinaatit piirroksesi avulla.
  3. Päättele piirroksesi avulla, millä parametrin $t$ arvolla leikkauspisteen paikkavektori $\pv{OP}$ saadaan suoran $L_1$ parametriesitysestä.
  4. Päättele piirroksesi avulla, millä parametrin $s$ arvolla leikkauspisteen paikkavektori $\pv{OP}$ saadaan suoran $L_2$ parametriesitysestä.

Ratkaise yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} x + 2y &= -1 \\ y &= 0{,}5 - 0{,}5x. \end{aligned}\right. $$ Havainnollista ratkaisua piirtämällä yhtälöitä vastaavat suorat koordinaatistoon. Pystytkö päättelemään pelkän piirroksen avulla, mitkä luvut toteuttavat tämän yhtälöparin?

MAA4-kurssissa tarkasteltiin niin sanottuja ensimmäisen asteen yhtälöpareja, jotka voidaan kirjoittaa muodossa $$ \left\{\begin{aligned} ax+by &= c \\ mx+ny &= k, \end{aligned}\right. $$ missä $a$, $b$, $c$, $m$, $n$ ja $k$ ovat reaalilukuja. Havaittiin, että tällaisella yhtälöparilla voi olla tasan yksi ratkaisu tai ei yhtään ratkaisua riippuen siitä, onko yhtälöparia vastaavilla suorilla leikkauspiste vai ei. Näiden vaihtoehtojen lisäksi huomattiin vielä kolmaskin mahdollisuus: yhtälöparin kumpikin yhtälö voi vastata samaa suoraa. Tällöin yhtälöparilla on äärettömän paljon ratkaisuja, koska kyseisen suoran jokainen piste on yksi ratkaisu.

Tehtävänä on ratkaista yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} 2x &= 8y-6 \\ 12y - 3x &= 9. \end{aligned}\right. $$

  1. Muokkaa yhtälöparin kumpikin yhtälö ratkaistuun muotoon $y = kx + h$. Mitä huomaat?
  2. Mitkä tason pisteet toteuttavat yhtälöparin kummankin yhtälön?
  3. Millaista muotoa yhtälöparin ratkaisut ovat? Toisin sanottuna jos $x = t$, niin mikä on $y$? (Tässä $t$ on reaaliluku.)

Kurssissa MAA4 yhtälöpareja ratkaistiin niin sanotulla sijoitusmenetelmällä. Tällä kurssilla tutustutaan toiseen ratkaisumenetelmään, jota kutsutaan yhteenlaskumenetelmäksi. Sitä havainnollistetaan alla olevalla esimerkillä.

Messinki on metalliseos, jossa on kuparia ja sinkkiä sekä joskus myös pieniä määriä tinaa tai lyijyä. Eräässä messinkilaadussa on 75 % kuparia ja 25 % sinkkiä. Niin sanotusta Muntz-messingistä 60 % on kuparia ja loput sinkkiä. Näistä kahdesta messinkilaadusta halutaan valmistaa seos, jossa on 3 kg kuparia ja 1,5 kg sinkkiä (tällä sekoitussuhteella valmistettua messinkiä sanotaan keltaiseksi messingiksi). Kuinka paljon kumpaakin seosta tarvitaan?

Merkitään ensimmäisen messinkilaadun määrää kirjaimella $x$ ja Muntz-messingin määrää kirjaimella $y$. Kuparin määräksi näiden messinkilaatujen seoksessa saadaan $0{,}75x + 0{,}60y$. Koska halutaan, että kuparin määrä seoksessa on 3 kg, saadaan yhtälö $$0{,}75x + 0{,}60y = 3.$$ Vastaavalla tavalla sinkin määräksi seoksessa saadaan $0{,}25x + 0{,}40y$. Koska sinkkiä pitää seoksessa 1,5 kg, saadaan yhtälö $$0{,}25x + 0{,}40y = 1{,}5.$$ Havaitaan, että kumpikin yhtälö esittää suoraa. Tämä näkyy siitä, että yhtälöt ovat lähes suoran yhtälön normaalimuodossa $ax + by + c = 0$, vain vakiotermi $c$ on yhtäsuuruusmerkin toisella puolella.

Eri messinkilaatujen määrät $x$ ja $y$ toteuttavat kummankin yhtälön, joten piste $(x,y)$ on näiden suorien leikkauspiste. Se löydetään ratkaisemalla yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} 0{,}75x + 0{,}60y &= 3 \\ 0{,}25x + 0{,}40y &= 1{,}5. \end{aligned}\right. $$ Ratkaistaan tämä yhtälöpari yhteenlaskumenetelmällä:

  1. Valitaan jompi kumpi tuntemattomista. Kerrotaan yhtälöt sellaisilla luvuilla, että valitun tuntemattoman kertoimiksi tulevat vastaluvut. Esimerkiksi tässä tapauksessa voidaan valita tuntematon $x$, jolloin alempi yhtälö kannattaa kertoa luvulla $-3$: $$ \left\{\begin{aligned} \textcolor{red}{0{,}75x} + 0{,}60y &= 3 &\quad &\mid \textcolor{red}{\cdot \,1} \\ \textcolor{red}{0{,}25x} + 0{,}40y &= 1{,}5 &\quad &\mid \textcolor{red}{\cdot \,(-3)} \end{aligned}\right. $$ Yhtälöpari saa näin muodon $$ \left\{\begin{aligned} \textcolor{red}{0{,}75x} + 0{,}60y &= 3 \\ \textcolor{red}{-0{,}75x} \textcolor{blue}{- 1{,}20y} &= \textcolor{blue}{-4{,}5}. \end{aligned}\right. $$
  2. Lasketaan yhtälöt yhteen, jolloin saadaan yksi yhtälö, jossa on yksi tuntematon. Nyt tuloksena on yhtälö $$-0{,}6y = -1{,}5.$$
  3. Ratkaistaan saatu yhtälö. $$y = \frac{-1{,}5}{-0{,}6} = 2{,}5.$$
  4. Valitaan jompi kumpi alkuperäisistä yhtälöistä ja sijoitetaan edellisen kohdan tulos siihen. Esimerkiksi jos nyt valitaan ensimmäinen yhtälö, saadaan $$0{,}75x + 0{,}60 \cdot 2{,}5 = 3.$$ Tästä voidaan ratkaista jäljellä oleva tuntematon: \begin{align*} 0{,}75x + 1{,}5 &= 3 \\ 0{,}75x &= 1{,}5 \\ x &= \frac{1{,}5}{0{,}75} = 2 \end{align*} Ratkaisu on siis $x = 2$ ja $y = 2{,}5$. Tämä näkyy myös alla olevasta kuvasta. Vastauksena kysymykseen voidaan siis sanoa, että Muntz-messinkiä tarvitaan 2,5 kg ja toista messinkilaatua 2 kg.

Ennen sovellustehtäviin syventymistä harjoitellaan vielä suorien leikkauspisteiden etsimistä seuraavien tehtävien avulla.

Selvitä suorien $2x - y + 7 = 0$ ja $x + 2y - 4 = 0$ leikkauspiste yhteenlaskumenetelmällä samaan tapaan kuin edellä messinki-esimerkissä tehtiin. Tarkista tuloksesi piirtämällä suorat koordinaatistoon.

Selvitä suorien $y = x+1$ ja $3x + 2y = 6$ leikkauspiste. Voit käyttää sijoitus- tai yhteenlaskumenetelmää. Tarkista tuloksesi piirtämällä suorat koordinaatistoon.

Seuraavassa tehtävässä harjoitellaan sovellustehtävissä tarvittavaa yhtälöiden muodostamista taulukoinnin avulla.

Kahvilaan tilattiin kaksi erää kahvipapuja. Papulaadun A hinta on 31,60 €/kg ja papulaadun B hinta on 11,00 €/kg. Kahvilayrittäjä haluaa tehdä näistä 2 kg sekoituksen, jonka hinta on 50 euroa. Tehtävänä on selvittää, kuinka paljon eri papulaatuja sekoitukseen tulee laittaa.

  1. Piirrä vihkoosi seuraava taulukko:
    A B A + B Sekoitus
    Määrä
    Hinta
  2. Koska tehtävässä kysytään eri papulaatujen määriä, merkitse niitä joillakin kirjaimilla. Täydennä taulukon ensimmäinen rivi. Huomaa, että sekoituksen määrän saat tehtävänannosta.
  3. Täydennä taulukon toinen rivi. Jos hintaa kuvaavien lausekkeiden muodostaminen tuntuu hankalalta, voit ensin miettiä, miten laskisit hinnan vaikkapa 3 kg määrälle papulaatua A. Muodosta sitten lauseke papulaadun A hinnalle samalla laskutoimituksella käyttämällä määränä aiemmin valitsemaasi kirjainta.
  4. Muodosta taulukon kahden viimeisen sarakkeen avulla kaksi yhtälöä, joista toinen kuvaa sekoituksen määrää ja toinen hintaa.
  5. Ratkaise muodostamasi yhtälöpari. Kuinka paljon sekoitukseen tarvitaan papulaatua A? Entä papulaatua B?
  6. Tarkista tuloksesi varmistamalla, että sekoituksen kokonaismäärä on vaadittu 2 kg ja laskemalla sen hinta. Saitko tulokseksi 50 euroa?

Edellisessä kappaleessa etsittiin kahden suoran leikkauspistettä. Jos suorat eivät ole yhdensuuntaiset, niillä on aina tasan yksi leikkauspiste. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa suorien leikkauspiste ei ole näkyvissä, mutta on helppo kuvitella mielessään, missäpäin koordinaatistoa nämä suorat leikkaavat toisensa.

Jos suorat ovat yhdensuuntaiset, ne eivät leikkaa toisiaan. Tätä tilannetta on havainnollistettu alla.

  1. Piirrä vihkoosi koordinaatisto ja sinne jokin suora, jonka kulmakerroin on $3$. Muodosta tälle suoralle jokin suuntavektori.
  2. Piirrä a-kohdan koordinaatistoon toinen suora, jonka yksi suuntavektori on $\vv = 2\vi + 6\vj$. Mikä on tämän suoran kulmakerroin?
  3. Ovatko a- ja b-kohdan suorat yhdensuuntaisia? Mitä voit sanoa niiden kulmakertoimista? Entä suuntavektoreista?

Seuraava teoreema osoittaa, että kulmakertoimien avulla voidaan päätellä, ovatko suorat yhdensuuntaisia. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Kaksi suoraa, jotka eivät ole $y$-akselin suuntaisia, ovat yhdensuuntaisia, jos ja vain jos niiden kulmakertoimet ovat yhtä suuret.

Perustelu:

  1. Oletetaan, että kaksi suoraa, jotka eivät ole $y$-akselin suuntaisia, ovat yhdensuuntaisia. Olkoon ensimmäisen suoran suuntavektori $\vv_1 = a_1\vi + b_1\vj$ ja toisen suoran suuntavektori $\vv_2 = a_2\vi + b_2\vj$.

    Koska suorat ovat yhdensuuntaisia, niiden suuntavektorit ovat yhdensuuntaisia. Siis on olemassa sellainen luku $t \neq 0$, että $\vv_2 = t\vv_1$. Tästä seuraa, että $$ \left\{\begin{aligned} a_2 &= ta_1 \\ b_2 &= tb_1. \end{aligned}\right. $$ Suoran kulmakerroin saadaan, kun lasketaan $y$-koordinaatin muutoksen suhde $x$-koordinaatin muutokseen. Ensimmäisen suoran kulmakerroin on siten $$k_1 = \frac{b_1}{a_1}.$$ Toisen suoran kulmakertoimeksi saadaan $$k_2 = \frac{b_2}{a_2} = \frac{tb_1}{ta_1} = \frac{b_1}{a_1}.$$ Siis $k_2 = k_1$ eli suorilla on sama kulmakerroin.
  2. Oletetaan, että kahdella suoralla on sama kulmakerroin. Merkitään tätä kulmakerrointa kirjaimella $k$. Kulmakerroin ilmaisee, kuinka paljon suora nousee tai laskee, jos siirrytään yhden yksikön verran oikealle.

    Tästä voidaan päätellä, että kummallakin suoralla on suuntavektori $\vi + k\vj$. Suorien suuntavektorit ovat siis yhdensuuntaiset, joten suoratkin ovat yhdensuuntaiset.

Määritä yhtälö sille pisteen $(2,-3)$ kautta kulkevalle suoralle, joka on

  1. suoran $y = -\dfrac{3}{4}x + 5$ suuntainen
  2. suoran $2x + 3y - 4 = 0$ suuntainen
  3. $x$-akselin suuntainen
  4. $y$-akselin suuntainen.

  1. $y = -\frac{3}{4}x -\frac{3}{2}$
  2. $2x + 3y + 5 = 0$
  3. $y = -3$
  4. $x = 2$

Suorien yhdensuuntaisuuden tietynlainen vastakohta on suorien kohtisuoruus. Sitä voidaan tutkia suuntavektoreiden pistetulon avulla.

Tehtävänä on tutkia suuntavektoreiden avulla, ovatko suorat $y = 2-\frac{1}{3}x$ ja $y = \frac{5}{2}x - \frac{13}{5}$ kohtisuorassa toisiaan vastaan.

  1. Piirrä suora $y = 2-\frac{1}{3}x$ koordinaatistoon ja valitse sille jokin suuntavektori.
  2. Piirrä suora $y = \frac{5}{2}x - \frac{13}{5}$ koordinaatistoon ja valitse sille jokin suuntavektori.
  3. Laske suuntavektoreiden pistetulo. Ovatko suorat kohtisuorassa toisiaan vastaan?

Seuraavassa teoreemassa saadaan pistetulon avulla johdettua kulmakertoimille ehto, jonka avulla voidaan tutkia, ovatko suorat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Kaksi suoraa, joiden kulmakertoimet ovat $k_1$ ja $k_2$, ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, jos ja vain jos $$k_1k_2 = -1.$$

Perustelu: Kulmakerroin ilmaisee, kuinka paljon suora nousee tai laskee, jos siirrytään yhden yksikön verran oikealle. Tästä voidaan päätellä, että suorilla, joiden kulmakertoimet ovat $k_1$ ja $k_2$, on suuntavektorit $\vv_1 = \vi + k_1\vj$ ja $\vv_2 = \vi + k_2\vj$.

  1. Oletetaan, että suorat ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Tällöin suuntavektoreiden pistetulo on nolla eli $$\vv_1 \cdot \vv_2 = 0.$$ Kun lasketaan pistetulo, saadaan yhtälö $$1 + k_1k_2 = 0,$$ joka voidaan kirjoittaa myös muodossa $$k_1k_2 = -1.$$
  2. Oletetaan, että suorien kulmakertoimet $k_1$ ja $k_2$ toteuttavat yhtälön $$k_1k_2 = -1.$$ Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa myös muodossa $$1 + k_1k_2 = 0.$$ Yhtälön vasemmalla puolella on suuntavektoreiden $\vv_1 = \vi + k_1\vj$ ja $\vv_2 = \vi + k_2\vj$ pistetulo. Suuntavektoreiden pistetulo on siis nolla, joten ne ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Siten myös suorat ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa.

Tutki, onko suora $$y = \dfrac{5}{7}x + \dfrac{3}{4}$$ kohtisuorassa suoraa $L$ vastaan, jos suoran $L$ yhtälö on

  1. $y = \dfrac{7}{5} - \dfrac{4}{3}x$
  2. $14x + 10y - 4 = 0$
  3. $y = 3 - \dfrac{7}{5}x$.

  1. Ei ole.
  2. On.
  3. On.

MAA4-kurssissa otettiin käyttöön suoran normaalivektorin käsite. Normaalivektori tarkoittaa vektoria, joka on kohtisuorassa tarkasteltavaa suoraa vastaan. Vastaavasti pelkkä normaali tarkoittaa suoraa, joka on kohtisuorassa tarkasteltavaa suoraa vastaan:

MÄÄRITELMÄ: SUORAN NORMAALI

Jokainen suora, joka on kohtisuorassa suoraa $L$ vastaan, on suoran $L$ normaali.

Määritä yhtälö suoran $y = 2x - 3$ sille normaalille, joka kulkee pisteen $(-2,3)$ kautta.

$y = -\frac{1}{2}x + 2$

Edellä on tarkasteltu suorien yhdensuuntaisuutta ja kohtisuoruutta. Jos suorat ovat yhdensuuntaiset, niiden välinen kulma on $0^\circ$. Jos suorat ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, niiden välinen kulma on $90^\circ$. Yleisesti kahden suoran välinen kulma määritellään kuten MAA3-kurssissa tehtiin:

MÄÄRITELMÄ: SUORIEN VÄLINEN KULMA

Suorien välinen kulma tarkoittaa toisensa leikkaavien suorien muodostamista kulmista sitä, joka on terävä tai suora kulma. Esimerkiksi alla olevan kuvan suorien välinen kulma on $\alpha$.

Jos suorat eivät leikkaa toisiaan, tarkoittaa suorien välinen kulma näiden suorien kanssa yhdensuuntaisten toisensa leikkaavien suorien välistä kulmaa.

Kahden suoran välisen kulman $\alpha$ suuruus on siis aina välillä $[0^\circ, 90^\circ]$. Suorien välisen kulman avulla voidaan $xy$-tason suorille määritellä niin sanottu suuntakulma:

MÄÄRITELMÄ: SUORAN SUUNTAKULMA

Oletetaan, että $L$ on $xy$-tason suora. Merkitään suoran $L$ ja $x$-akselin välistä kulmaa kirjaimella $\alpha$. Suoran $L$ suuntakulma määritellään seuraavasti:

  • jos suora $L$ on nouseva tai $x$-akselin suuntainen, sen suuntakulma on $\alpha$
  • jos suora $L$ on laskeva, sen suuntakulma on $-\alpha$.

Etumerkillä siis ilmaistaan, onko suora nouseva vai laskeva.

Esimerkiksi alla olevassa kuvassa suoran $L_1$ suuntakulma on $0^\circ$, suoran $L_2$ suuntakulma on $90^\circ$ ja laskevan suoran $L_3$ suuntakulma on $-\alpha = -45^\circ$. Huomaa, että $y$-akselin suuntaiset suorat ajatellaan nouseviksi suoriksi eli niiden suuntakulma on $90^\circ$.

  1. Määritä alla näkyvien suorien $L_1$, $L_2$ ja $L_3$ kulmakertoimet.
  2. Määritä suorien $L_1$, $L_2$ ja $L_3$ suuntakulmat tangentin avulla ja anna vastaukset asteen kymmenesosan tarkkuudella. Kertaa tarvittaessa trigonometristen suhteiden käyttö kulmien määrittämisessä MAA3-kurssin luvusta 1 kohdasta Suorakulmainen kolmio.
  3. Vertaa a-kohdan kulmakertoimia ja b-kohdan kulmien tangentteja. Mitä huomaat?

  1. $k_1 = \frac{3}{2}$, $k_2 = -\frac{1}{2}$ ja $k_3 = \frac{5}{3}$
  2. $\alpha_1 \approx 56{,}3^\circ$, $\alpha_2 \approx -26{,}6^\circ$ ja $\alpha_3 \approx 59{,}0^\circ$.

TEOREEMA

Olkoon $\beta$ suoran suuntakulma ja $k$ kulmakerroin. Tällöin on voimassa yhtälö $$\tan \beta = k.$$

Perustelu: Suoran kulmakerroin voi olla positiivinen, nolla tai negatiivinen. Tarkastellaan eri vaihtoehdot.

  1. Oletetaan, että kulmakerroin on positiivinen eli $k > 0$. Tässä tilanteessa kulmakerroin ilmaisee, kuinka paljon suora nousee, jos siirrytään yhden yksikön verran oikealle. Näin voidaan muodostaa alla olevan kuvan mukainen suorakulmainen kolmio, jonka kateettien pituudet ovat $1$ ja $k$.

    Suoran suuntakulma on yhtä suuri kuin tämän kolmion kulma $\beta$. Suorakulmaisen kolmion trigonometrian mukaan $$\tan \beta = \frac{k}{1} = k.$$
  2. Oletetaan, että kulmakerroin on nolla eli $k = 0$. Tässä tilanteessa suora on $x$-akselin suuntainen ja sen suuntakulma on siten $\beta = 0^\circ$. Laskimesta saadaan $$\tan \beta = \tan 0^\circ = 0 = k.$$
  3. Oletetaan, että kulmakerroin on negatiivinen eli $k < 0$. Tässä tilanteessa suora on laskeva ja myös suoran suuntakulma $\beta$ on negatiivinen. Tämän tapauksen tarkka perustelu jätetään odottamaan kurssia MAA7, jossa tangentti määritellään negatiivisille kulmille. Silloin havaitaan, että negatiivisen kulman tangentti on vastaavan positiivisen kulman tangentin vastaluku. Esimerkiksi $\tan (60^\circ) = \sqrt{3}$ ja $\tan (-60^\circ) = -\sqrt{3}$.

Suoran $L_1$ kulmakerroin on $\dfrac{7}{2}$ ja suoran $L_2$ kulmakerroin on $-\dfrac{4}{3}$.

  1. Hahmottele suorat $L_1$ ja $L_2$ koordinaatistoon.
  2. Määritä suorien $L_1$ ja $L_2$ suuntakulmat ja päättele suorien välisen kulman suuruus niiden avulla. Anna vastaus asteen kymmenesosan tarkkuudella.
    Vinkki: a-kohdan piirroksen avulla voit arvioida tuloksen järkevyyttä. Palauta tarvittaessa mieleen suorien välisen kulman määritelmä.
  3. Muodosta suorille suuntavektorit ja määritä suorien välinen kulma niiden avulla. Kertaa tarvittaessa MAA4-kurssin teoreema 5.

Suorien välinen kulma on noin $52{,}8^\circ$.

MAA4-kurssilla opittiin laskemaan pisteen etäisyys suorasta vektoreiden avulla. Seuraavan esimerkin avulla palautetaan mieleen, miten se onnistuu.

Tarkastellaan alla näkyvää suoraa $L$, jonka yksi suuntavektori on $\vv = 2\vi - 3\vj$ ja pistettä $Q = (3,4)$. Tehtävänä on määrittää pisteen $Q$ etäisyys suorasta $L$.

Valitaan suoralta $L$ jokin piste, esimerkiksi $(2,1)$, ja muodostetaan sen avulla vektori pisteestä $Q$ siihen suoran pisteeseen, joka on lähimpänä pistettä $Q$:

Punaisella piirretty vektori $\vw$ saadaan sinisten vektoreiden summana: $$\vw = -\vi - 3\vj + t(2\vi - 3\vj)$$ Lisäksi vaaditaan, että punaisella piirretty vektori $\vw$ on kohtisuorassa suoran suuntavektoria $\vv = 2\vi - 3\vj$ vastaan. Tämän ehdon avulla saadaan ratkaistua parametrin $t$ arvo. Kysytty etäisyys saadaan selville laskemalla vektorin $\vw$ pituus.

Jatketaan edellisen esimerkin ratkaisua.

  1. Sievennä vektori $\vw = -\vi - 3\vj + t(2\vi - 3\vj)$ ryhmittelemällä termit niin, että saat otettua yhteisen tekijän $\vi$ ja yhteisen tekijän $\vj$.
  2. Vektorin $\vw$ on oltava kohtisuorassa suoran suuntavektoria $\vv$ vastaan. Minkä pistetuloa koskevan ehdon saat tästä?
  3. Laske pistetulo $\vv \cdot \vw$. Ratkaise parametrin $t$ arvo b-kohdan ehdon avulla.
  4. Sievennä vektori $\vw$ ja laske sen pituus. Mikä on pisteen $Q$ etäisyys suorasta $L$?

  1. $t = -\frac{7}{13}$
  2. $\frac{9}{13}\sqrt{13}$

Analyyttinen geometria antaa mahdollisuuden laskea pisteen $Q$ etäisyyden suorasta $L$ myös toisella tavalla. Ideana on muodostaa yhtälö suoran $L$ sille normaalille, joka kulkee pisteen $Q$ kautta:

Suoran ja sen normaalin leikkauspiste löydetään ratkaisemalla näiden muodostama yhtälöpari. Leikkauspisteen ja Pythagoraan lauseen avulla voidaan määrittää pisteen $Q$ etäisyys suorasta $L$:

Jatketaan edellisen esimerkin ratkaisua.

  1. Muodosta yhtälö suoralle $L$. Mikä on suoran $L$ kulmakerroin?
  2. Muodosta yhtälö suoran $L$ sille normaalille, joka kulkee pisteen $Q = (3,4)$ kautta.
  3. Selvitä a- ja b-kohtien suorien leikkauspiste $P$ ratkaisemalla niiden muodostama yhtälöpari.
  4. Laske pisteiden $P$ ja $Q$ välinen etäisyys. Mikä on pisteen $Q$ etäisyys suorasta $L$?

  1. $P = \left(\frac{12}{13}, \frac{34}{13}\right)$
  2. $\frac{9}{13}\sqrt{13}$

Edellisen tehtävän menetelmällä on mahdollista johtaa yleinen lauseke pisteen $(x_0,y_0)$ etäisyydelle suorasta $ax + by + c = 0$. Tämä tehdään seuraavassa teoreemassa. Teoreeman perustelu on sen verran työläs, ettei kaikkia yksityiskohtia ole kirjoitettu näkyviin. Lue perustelu ja keskity miettimään, miten sen vaiheet liittyvät äsken ratkaisemasi tehtävän 2.31 vaiheisiin. Sievennysten yksityiskohtiin ei tarvitse kiinnittää huomiota.

TEOREEMA

Pisteen $(x_0,y_0)$ etäisyys suorasta $ax + by + c = 0$ on $$d = \frac{\left| ax_0 + by_0 + c \right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$$

Perustelu: Suoran $ax+by+c = 0$ se normaali, joka kulkee pisteen $(x_0,y_0)$ kautta, on $$bx-ay + ay_0 - bx_0 = 0.$$ Yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} ax + by + c &= 0 \\ bx-ay + ay_0 - bx_0 &= 0 \end{aligned}\right. $$ ratkaisuksi saadaan $$ x = \frac{b^2x_0 - aby_0 - ac}{a^2 + b^2} $$ ja $$ y = \frac{a^2y_0 - abx_0 - bc}{a^2 + b^2}. $$ Nämä ovat siis pistettä $Q = (x_0,y_0)$ lähinnä olevan suoran $ax + by + c = 0$ pisteen $P$ koordinaatit. Pisteiden $Q$ ja $P$ $x$-koordinaattien erotukseksi saadaan $$ x_0-x = \frac{a(ax_0+by_0+c)}{a^2 + b^2} $$ ja $y$-koordinaattien erotukseksi $$ y_0-y = \frac{b(ax_0+by_0+c)}{a^2 + b^2}. $$ Pythagoraan lauseella pisteiden $Q$ ja $P$ väliseksi etäisyydeksi saadaan sievennysten jälkeen \begin{align*} d &= \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} \\[2mm] &= \ldots \\[2mm] &= \frac{\sqrt{(ax_0+by_0+c)^2}}{\sqrt{a^2+b^2}} \\[2mm] &= \frac{\left| ax_0 + by_0 + c \right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}. \end{align*} Huomaa, että lausekkeen $ax_0+by_0+c$ arvo voi olla negatiivinen, mutta neliöjuuren tulos on määritelmän mukaan aina positiivinen tai nolla (ks. MAA2). Tämän vuoksi edellä viimeisen yhtäsuuruusmerkin kohdalla otetaan lausekkeen itseisarvo: $$\sqrt{(ax_0+by_0+c)^2} = \left| ax_0 + by_0 + c \right|.$$

Perustelu: Suoran $ax+by+c = 0$ se normaali, joka kulkee pisteen $(x_0,y_0)$ kautta, on $$bx-ay + ay_0 - bx_0 = 0.$$ Yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} ax + by + c &= 0 \\ bx-ay + ay_0 - bx_0 &= 0 \end{aligned}\right. $$ ratkaisuksi saadaan $$ x = \frac{b^2x_0 - aby_0 - ac}{a^2 + b^2} $$ ja $$ y = \frac{a^2y_0 - abx_0 - bc}{a^2 + b^2}. $$ Nämä ovat siis pistettä $Q = (x_0,y_0)$ lähinnä olevan suoran $ax + by + c = 0$ pisteen $P$ koordinaatit. Pisteiden $Q$ ja $P$ $x$-koordinaattien erotukseksi saadaan $$ x_0-x = \frac{a(ax_0+by_0+c)}{a^2 + b^2} $$ ja $y$-koordinaattien erotukseksi $$ y_0-y = \frac{b(ax_0+by_0+c)}{a^2 + b^2}. $$ Pythagoraan lauseella pisteiden $Q$ ja $P$ väliseksi etäisyydeksi saadaan sievennysten jälkeen \begin{align*} d &= \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} \\[2mm] &= \ldots \\[2mm] &= \frac{\sqrt{(ax_0+by_0+c)^2}}{\sqrt{a^2+b^2}} \\[2mm] &= \frac{\left| ax_0 + by_0 + c \right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}. \end{align*} Huomaa, että lausekkeen $ax_0+by_0+c$ arvo voi olla negatiivinen, mutta neliöjuuren tulos on määritelmän mukaan aina positiivinen tai nolla (ks. MAA2). Tämän vuoksi edellä viimeisen yhtäsuuruusmerkin kohdalla otetaan lausekkeen itseisarvo: $$\sqrt{(ax_0+by_0+c)^2} = \left| ax_0 + by_0 + c \right|.$$

Laske pisteen $(-1,2)$ etäisyys suorasta $3x-4y+2 = 0$ teoreeman 13 avulla.

$\frac{9}{5}$

Tehtävänä on määrittää kuvassa näkyvän pisteen $Q$ etäisyys kuvassa näkyvästä suorasta $L$ teoreeman 13 avulla.

  1. Muodosta normaalimuotoinen yhtälö suoralle $L$.
  2. Laske pisteen $Q$ etäisyys suorasta $L$ teoreeman 13 avulla.

  1. $\frac{9}{\sqrt{13}}$

Suoran yhtälö

Määritä yhtälö suoralle, joka kulkee seuraavien pisteiden kautta:

  1. $(-1,4)\ $ ja $\ (5,-1)$
  2. $\left(-\frac{5}{3}, \frac{1}{2}\right)\ $ ja $\ \left(\frac{1}{3}, \frac{5}{6}\right)$.

  1. $y = -\frac{5}{6}x + \frac{19}{6}$
  2. $y = \frac{1}{6}x + \frac{7}{9}$

Suoran yhtälö

Mitkä seuraavista pisteistä ovat suoralla $3x-4y+5 = 0$?

  1. $(1,2)$
  2. $(2,1)$
  3. $(13,11)$

  1. On
  2. Ei ole
  3. On

Suoran yhtälö

Millä vakion $t$ arvolla piste $(2,t)$ on pisteiden $A = (-1,3)$ ja $B = (5,-2)$ kautta kulkevalla suoralla?

$t = \frac{1}{2}$

Suoran yhtälö

Merkitään $P = \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{3}\right)$.

  1. Määritä vakiolle $b$ sellainen arvo, että suora $y = -\frac{2}{3}x + b$ kulkee pisteen $P$ kautta.
  2. Missä pisteessä tämä suora leikkaa $y$-akselin?
  3. Missä pisteessä tämä suora leikkaa $x$-akselin?

  1. $b = \frac{2}{3}$
  2. Pisteessä $\left(0, \frac{2}{3}\right)$.
  3. Pisteessä $(1, 0)$.

Suoran yhtälö

Määritä seuraaville suorille normaalivektori, suuntavektori, suuntakulman likiarvo kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella ja kulmakerroin, jos se on olemassa.

  1. $2x - 5y - 6 = 0$
  2. $y = \dfrac{5-3x}{4}$
  3. $3x + 1 = 0$
  4. $9-y = 0$

  1. Normaalivektori esim. $2\vi - 5\vj$, suuntavektori esim. $5\vi + 2\vj$, suuntakulma noin $21{,}8^\circ$ ja kulmakerroin $\frac{2}{5}$.
  2. Normaalivektori esim. $3\vi + 4\vj$, suuntavektori esim. $4\vi - 3\vj$, suuntakulma noin $-36{,}9^\circ$ ja kulmakerroin $-\frac{3}{4}$.
  3. Normaalivektori esim. $\vi$, suuntavektori esim. $\vj$, suuntakulma $90^\circ$, kulmakerrointa ei ole.
  4. Normaalivektori esim. $\vj$, suuntavektori esim. $\vi$, suuntakulma $0^\circ$ ja kulmakerroin $0$.

Suoran yhtälö

Määritä yhtälö sille pisteen $(1,-2)$ kautta kulkevalle suoralle, joka

  1. on suoran $2x + 5y + 1 = 0$ suuntainen
  2. leikkaa $x$-akselin pisteessä $(-2,0)$
  3. kulkee pisteen $\left(\frac{5}{2}, -\frac{4}{5}\right)$ kautta.

  1. $y = -\frac{2}{5}x - \frac{8}{5}$
  2. $y = -\frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$
  3. $y = \frac{4}{5}x - \frac{14}{5}$

Suorien leikkauspisteet

Missä pisteissä suora $2x - 5y + 7 = 0$ leikkaa koordinaattiakselit?

Pisteissä $\ \left(-\frac{7}{2}, 0\right)\ $ ja $\ \left(0, \frac{7}{5}\right)$.

Suorien leikkauspisteet

Määritä vakiolle $a$ sellainen arvo, että suora $\ ax + 2y = 7\ $ leikkaa $x$-akselin kaksi kertaa niin kaukana origosta kuin $y$-akselin.

$a = 1$ tai $a = -1$.

Suorien leikkauspisteet

Laske sen kolmion kärkipisteiden koordinaatit, jonka sivut ovat suorilla $\ x + 5y - 14 = 0$, $\ 4x + 3y - 5 = 0\ $ ja $\ 3x - 2y - 8 = 0$.

Kärkipisteet ovat $\ (-1,3)$, $\ (2,-1)\ $ ja $\ (4,2)$.

Suorien leikkauspisteet

Nelikulmion kärkipisteet ovat $\ (1,0)$, $\ (4,1)$, $\ (2,5)\ $ ja $\,(-2,3)$. Määritä nelikulmion lävistäjien leikkauspiste.

Leikkauspiste on $\left(\frac{11}{8}, \frac{15}{8}\right)$.

Suorien leikkauspisteet

Kuntorasteilla myytiin 178 karttaa. Karttamaksu oli aikuisilta 5 euroa ja lapsilta 2 euroa. Tapahtuman jälkeen myynnin arvoksi laskettiin 752 euroa. Kuinka monta lasta oli osallistunut tapahtumaan?

Lapsia osallistui 46. (Olettaen, että jokaiselle lapselle myytiin oma kartta.)

Suorien leikkauspisteet

Tiina ja Jukka aikovat sijoittaa yhteensä 5000 euroa kahteen erilaiseen kohteeseen: riskittömään pankkitalletukseen, jonka korko on 1 % vuodessa, ja sijoitusrahastoon, jolle luvataan 5 % vuosikorko. Jos he tavoittelevat 200 euron korkotuottoa, miten suuri summa heidän tulee sijoittaa rahastoon?

Sijoitusrahastoon tulee sijoittaa 3750 euroa.

Suorien välinen kulma

Määritä vakiolle $a$ sellainen arvo, että pisteiden $(1,3)$ ja $(a,0)$ kautta kulkeva suora on yhdensuuntainen pisteiden $(1,-1)$ ja $(4,1)$ kautta kulkevan suoran kanssa.

$a = -\frac{7}{2}$

Suorien välinen kulma

Oletetaan, että $a$ ja $b$ ovat reaalilukuja. Tutki, ovatko seuraavat suorat kohtisuorassa toisiaan vastaan:

  1. $2x + y - 1 = 0$ ja $4x - 7y + 5 = 0$
  2. $ax + by + 1 = 0$ ja $bx - ay - 2 = 0$.

  1. Suorat eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
  2. Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Suorien välinen kulma

Millä vakion $a$ arvoilla suorat $2x + ay - 11 = 0$ ja $(3-a)x + y + 2 = 0$ ovat

  1. yhdensuuntaiset
  2. kohtisuorassa toisiaan vastaan?

  1. $a = 1$ tai $a = 2$
  2. $a = 6$

Suorien välinen kulma

Muodosta yhtälö suoran $2x - 3y = 6$ sille normaalille, joka kulkee

  1. origon kautta
  2. pisteen $(1,-2)$ kautta.

  1. $3x + 2y = 0$
  2. $3x + 2y + 1 = 0$

Suorien välinen kulma

Laske seuraavien suorien välinen kulma kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella:

  1. $y = 2x$ ja $y = -3x$
  2. $2x-3y-1 = 0$ ja $3x-2y+4 = 0$.

  1. Kulma on $45{,}0^\circ$ (tarkka arvo).
  2. Kulma on noin $22{,}6^\circ$.

Suorien välinen kulma

Mikä suoran $2x + 5y - 10 = 0$ pisteistä on lähimpänä pistettä $(2,3)$?

Piste $\left(\frac{40}{29}, \frac{42}{29}\right)$

Pisteen etäisyys suorasta

Laske pisteen $(2,3)$ etäisyys suorasta

  1. $2x + 3 = 0$
  2. $6x + 8y - 5 = 0$
  3. $y = 3 - 2x$.

  1. $\frac{7}{2}$
  2. $\frac{31}{10}$
  3. $\frac{4}{5}\sqrt{5}$

Pisteen etäisyys suorasta

Laske suorien $x + 2y = 3$ ja $4x + 5y = 6$ leikkauspisteen etäisyys

  1. $y$-akselista
  2. suorasta $7x - 24y = 45$
  3. origosta.

  1. $1$
  2. $4$
  3. $\sqrt{5}$

(Leikkauspiste on $(-1,2)$.)

Pisteen etäisyys suorasta

Määritä se

  1. $x$-akselin
  2. $y$-akselin

piste, jonka etäisyys suorasta $y = 2x + 1$ on $\sqrt{5}$.

  1. Pisteitä on kaksi: $(2,0)$ ja $(-3,0)$.
  2. Pisteitä on kaksi: $(0,6)$ ja $(0,-4)$.

Pisteen etäisyys suorasta

Tarkastellaan suoria $x - 2y - 5 = 0$ ja $y = \frac{1}{2}x + 3$.

  1. Osoita, että nämä suorat ovat yhdensuuntaiset.
  2. Laske suorien välinen etäisyys.

  1. Vinkki: tutki suorien kulmakertoimia ja palauta mieleesi teoreema 10.
  2. Etäisyys on $\frac{11}{5}\sqrt{5}$.

Pisteen etäisyys suorasta

Muodosta yhtälöt suorille, joiden etäisyys suorasta $3x + 4y - 4 = 0$ on kaksi.

Suorien yhtälöt ovat $3x + 4y + 6 = 0$ ja $3x + 4y - 14 = 0$.

Määritä vakio $a$ siten, että suorat $\ ax + 1 = 0$, $\ x - 2y = 0\ $ ja $\ x + y + 3 = 0\ $ kulkevat saman pisteen kautta.

$a = \frac{1}{2}$.

Suorien leikkauspisteet

Määritä pisteiden $\ (-3,-1)\ $ ja $\ (1,2)\ $ kautta kulkevan suoran ja koordinaattiakselien rajoittaman kolmion pinta-ala.

Pinta-ala on $\frac{25}{24}$.

Minkä pisteen kautta suora $y = -3ax + 6a +2$ kulkee, olipa $a$ mikä tahansa reaaliluku?

Pisteen $(2,2)$ kautta.

Olkoot $\ A = (2,2)$, $\ B = (3, 1)$, $\ C = (2, 3)\ $ ja $\ D = (1,1)$. Laske janojen $AB$ ja $CD$ leikkauspisteen koordinaattien tarkat arvot.
[Pitkä K2015/5]

$\left(-\frac{19}{17}, \frac{31}{17}\right)$

  1. Määritä suorien $\ 2x + 3y = 7\ $ ja $\ 3x - 2y = 4\ $ leikkauspiste.
  2. Suora kulkee pisteiden $(1,7)$ ja $(2,4)$ kautta. Missä pisteessä se leikkaa $x$‐akselin?

[Pitkä S2014/2a & K2013/1c]

  1. $(2,1)$
  2. $\left(\frac{10}{3},0\right)$

  1. Määritä pisteen $(3, -2)$ etäisyys suorasta $4x - 3y = 2$.
  2. Suora kulkee pisteiden $(−2,1)$ ja $(5,-3)$ kautta. Määritä sen kulmakerroin.

[Pitkä S2011/3c & K2011/2b]

  1. $\frac{16}{5}$
  2. $-\frac{4}{7}$

  1. Määritä suorien $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 1$ ja $3x - 2y + 3 = 0$ leikkauspiste.
  2. Suora kulkee pisteen $(6,8)$ kautta ja on yhdensuuntainen suoran $3x − 5y = 11$ kanssa. Muodosta suoran yhtälö.

[Pitkä K2009/1c & S2008/1c]

  1. $\left(\frac{3}{13}, \frac{24}{13}\right)$
  2. $3x-5y + 22 = 0$

Laske suorien $x + y = 1$, $\ x + y = 6$, $\ x − 3y = 1\ $ ja $\ x − 3y = −4\ $ väliin jäävän alueen pinta-ala.
[Pitkä K2007/5]

$\frac{25}{4} = 6{,}25$

Hopean ja kuparin seoksesta tehty esine painaa 150 g, ja sen tiheys on 10,1 kg/dm$^3$. Kuinka monta painoprosenttia esineessä on hopeaa ja kuinka monta kuparia, kun hopean tiheys on 10,5 kg/dm$^3$ ja kuparin 9,0 kg/dm$^3$?
[Pitkä S2006/5]

Hopeaa noin 76,2 % ja kuparia noin 23,8 %.

Suora $y = 3-3x$ rajaa positiivisten koordinaattiakseleiden kanssa kolmion. Millä kulmakertoimen $k$ arvolla suora $y = kx$ jakaa tämän kolmion kahteen pinta-alaltaan yhtä suureen osaan?
[Lyhyt S2015/10]

$k = 3$

Suora kulkee pisteen $(1,3)$ kautta, ja vektori $2\vi + 3\vj$ on sen normaalivektori. Määritä pisteen $(2,2)$ etäisyys suorasta.
[Pitkä S2002/5]

$\dfrac{1}{\sqrt{13}}$

Suora kulkee pisteen $(1,2)$ kautta. Määritä suoran yhtälö, kun

  1. se on $x$-akselin suuntainen
  2. se on $y$-akselin suuntainen
  3. sen suuntakulma on $-45^\circ$ astetta
  4. se on kohtisuorassa suoraa $2x + y = 0$ vastaan.

Piirrä kuviot.
[Pitkä K2002/1]

  1. $y = 2$
  2. $x = 1$
  3. $y = 3-x$
  4. $x-2y+3 = 0$.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Ympyrä

Tämän luvun tavoitteena on, että pystyt hyödyntämään koordinaatistoa erilaisten ympyröihin liittyvien ongelmien ratkaisemisessa. Osaat

  • muodostaa ympyrän yhtälön
  • piirtää ympyrän koordinaatistoon
  • muokata ympyrän yhtälön muotoon, josta ympyrän keskipiste ja säde voidaan päätellä
  • tutkia, onko piste ympyrällä
  • laskea pisteen etäisyyden ympyrästä
  • etsiä kahden ympyrän tai suoran ja ympyrän leikkauspisteet
  • tutkia, onko annettu suora ympyrän tangentti
  • muodostaa ympyrän tangentin yhtälön.

Ympyrän geometriaa olemme opiskelleet jo kurssissa MAA3. Tässä analyyttisen geometrian kurssissa tutkimme ympyröitä koordinaatiston avulla. Aloitetaan palauttamalla mieleen ympyrän määritelmä:

MÄÄRITELMÄ: YMPYRÄ

Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen säde.

Tehtävänä on muodostaa yhtälö ympyrälle, jonka keskipiste on $(4,1)$ ja säde on $5$.

  1. Piirrä ympyrä koordinaatistoon harpin avulla.
  2. Muodosta lauseke ympyrän kehän pisteen $(x,y)$ ja keskipisteen $(4,1)$ väliselle etäisyydelle. Kertaa tarvittaessa Etäisyys-luvun teoreema 5.
  3. Muodosta b-kohdan avulla yhtälö, joka sanoo, että ympyrän kehän pisteen ja keskipisteen etäisyys on $5$.

Seuraavassa teoreemassa johdetaan ympyrän yhtälö käyttämällä samoja ideoita kuin äskeisessä tehtävässä. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Jos ympyrän keskipiste on $(a,b)$ ja säde $r$, niin ympyrän yhtälö on $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.$$

Perustelu:

  1. Oletetaan aluksi, että $(x,y)$ on ympyrän piste. Tällöin sen etäisyys ympyrän keskipisteestä $(a,b)$ on $r$. Tämä voidaan ilmaista yhtälönä $$ \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r. $$ Tästä seuraa, että $$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. $$
  2. Oletetaan, että piste $(x,y)$ toteuttaa yhtälön $$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. $$ Yhtälön kumpikin puoli on epänegatiivinen, joten voidaan ottaa neliöjuuri: $$ \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = \sqrt{r^2}. $$ Koska luku $r$ on ympyrän säde, sekin on epänegatiivinen: $r \geq 0$. Tästä seuraa, että $\sqrt{r^2} = r$. Yhtälö voidaan siis kirjoittaa muodossa $$ \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r. $$ Tästä nähdään, että pisteen $(x,y)$ etäisyys ympyrän keskipisteestä $(a,b)$ on $r$. Siis piste $(x,y)$ on ympyrällä.

Näin on näytetty, että piste $(x,y)$ on ympyrällä, jos ja vain jos se toteuttaa yhtälön $$ \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r. $$

Ympyrän keskipiste on $(5,-3)$ ja säde on $4$.

  1. Piirrä ympyrä koordinaatistoon harpin avulla.
  2. Muodosta ympyrän yhtälö.
  3. Laske pisteen $P = \left(\frac{3}{2}, -\frac{9}{2}\right)$ etäisyys ympyrän keskipisteestä. Onko piste $P$ ympyrällä?

  1. $(x-5)^2 + (y+3)^2 = 16$
  2. Etäisyys on $\sqrt{\frac{29}{2}}$.

Päättele, mikä on ympyrän keskipiste ja mikä on ympyrän säde, jos ympyrän yhtälö on

  1. $(x-8)^2 + (y+4)^2 = 36$
  2. $(x-14)^2 + y^2 = 8$
  3. $x^2 + y^2 = 20$.

  1. Keskipiste $(8,-4)$, säde $6$.
  2. Keskipiste $(14,0)$, säde $2\sqrt{2}$.
  3. Keskipiste $(0,0)$, säde $2\sqrt{5}$.

Määritä yhtälö ympyrälle, joka

  1. kulkee pisteen $(1,4)$ kautta ja jonka keskipiste on $(-2,3)$
  2. jonka keskipisteenä on $(2,1)$ ja joka kohtaa $y$-akselin täsmälleen yhdessä pisteessä.

Vinkki: alkuun pääset esimerkiksi piirtämällä tilanteesta kuvan.

  1. $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 10$
  2. $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4$

Ympyrän piirtäminen tarkasti harpin avulla onnistuu joissakin tapauksissa silloinkin, kun ympyrän säde on irrationaaliluku. Ideana on soveltaa Pythagoraan lausetta. Esimerkiksi ympyrä, jonka keskipiste on $(3,2)$ ja säde $\sqrt{17}$, voidaan piirtää etsimällä pisteet, joihin päästään keskipisteestä siirtymällä neljä askelta vaakasuunnassa ja yksi askel pystysuunnassa, ja pisteet, joihin päästään keskipisteestä siirtymällä yksi askel vaakasuunnassa ja neljä askelta pystysuunnassa:

Piirrä harpin avulla mahdollisimman tarkasti ympyrä, jonka yhtälö on

  1. $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 13$
  2. $(x-5)^2 + (y-4)^2 = 10$

  1. $13 = 3^2 + 2^2$
  2. $10 = 3^2 + 1^2$

Tehtävänä on laskea pisteen $P = (7,1)$ etäisyys ympyrästä $(x-4)^2 + (y+2)^2 = 2$.

  1. Päättele, mikä on ympyrän keskipiste ja mikä on ympyrän säde. Piirrä ympyrä koordinaatistoon. Merkitse näkyviin myös piste $P$.
  2. Laske pisteen $P$ etäisyys ympyrän keskipisteestä.
  3. Päättele pisteen $P$ etäisyys ympyrästä.

  1. $3\sqrt{2}$
  2. $2\sqrt{2}$

Ympyrän yhtälö voidaan aina muokata muotoon $$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0.$$ Esimerkiksi ympyrän, jonka keskipiste on $(7,-9)$ ja säde on $4$, yhtälö on $$(x-7)^2 + (y+9)^2 = 16.$$ Kun yhtälön vasemmalla puolella tehdään potenssiin korotukset, yhtälö saa muodon $$x^2 - 14x + 49 + y^2 + 18y + 81 = 16$$ eli $$x^2 + y^2 - 14x + 18y + 114 = 0.$$ Huomaa, että potenssiin korotukset voi tehdä joko kertomalla sulut auki tai käyttämällä MAA2-kurssilta tuttuja summan neliön ja erotuksen neliön muistikaavoja:

TEOREEMA

  1. $\quad a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
  2. $\quad a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

Tutkitaan seuraavaksi, esittääkö muotoa $$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$$ oleva yhtälö aina ympyrää. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$x^2 + y^2 - 4x + 2y + c = 0.$$ Tunnistetaan ja ryhmitellään ensin yhteenlaskettavat summan neliön ja erotuksen neliön muistikaavojen mukaisesti: \begin{align*} \textcolor{blue}{x^2} + \textcolor{red}{y^2} \textcolor{blue}{- 4x} \textcolor{red}{+ 2y} + c &= 0 \\ \textcolor{blue}{x^2- 4x} + \textcolor{red}{y^2 + 2y} + c &= 0 \end{align*} Lisätään sen jälkeen yhtälön molemmille puolille termejä niin, että vasemmalle saadaan muistikaavojen mukaiset lausekkeet: \begin{align*} \textcolor{blue}{x^2- 4x + 2^2} + \textcolor{red}{y^2 + 2y + 1^2} + c &= \textcolor{blue}{2^2}\textcolor{red}{+1^2} \end{align*} Nyt muistikaavojen avulla vasemmalle puolelle saadaan neliöt: \begin{align*} \textcolor{blue}{(x-2)^2} + \textcolor{red}{(y+1)^2} + c &= 5. \end{align*} Lopuksi yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa, josta ympyrän keskipiste ja säde on helppo tunnistaa: \begin{align*} (x-2)^2 + (y+1)^2 &= 5-c. \end{align*} Havaitaan, että tämän yhtälön vasen puoli on aina epänegatiivinen, koska se on kahden neliölausekkeen summa. Se, mitä käyrää yhtälö esittää, riippuu nyt yhtälön oikeasta puolesta.

  • Jos $5-c > 0$, kysymyksessä on ympyrä, jonka keskipiste on $(2,-1)$ ja säde $\sqrt{5-c}$.
  • Jos $5-c = 0$, yhtälön toteuttaa ainoastaan piste $(2,-1)$.
  • Jos $5-c < 0$, mikään tason piste ei toteuta yhtälöä.

Vastaavalla tavalla voidaan osoittaa yleisesti, että yhtälön $$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$$ ratkaisujoukko on joko ympyrä tai yksittäinen piste, tai ratkaisuja ei ole lainkaan.

Määritä ympyrän keskipiste ja säde, jos ympyrän yhtälö on

  1. $x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0$
  2. $x^2+y^2 + 10x - 6y - 66 = 0$.

  1. Keskipiste $(-1,0)$ ja säde $r = 2$.
  2. Keskipiste $(-5,3)$ ja säde $r = 10$.

Tutki, onko yhtälön toteuttavia pisteitä olemassa. Jos niitä on olemassa, onko kysymyksessä ympyrä vai yksittäinen piste? Ympyrän tapauksessa selvitä sen keskipiste ja säde.

  1. $x^2 + y^2 - 16x + 2y + 65 = 0$
  2. $x^2+y^2 + 8x - 24y + 165 = 0$
  3. $x^2+y^2 + 22y - 104 = 0$.

  1. Yksittäinen piste $(8,-1)$.
  2. Mikään tason piste ei toteuta yhtälöä.
  3. Ympyrä, jonka keskipiste on $(0,-11)$ ja säde $15$.

Tässä kappaleessa tutkitaan kahden ympyrän sekä suoran ja ympyrän leikkauspisteitä. Aloitetaan tarkastelemalla kahden ympyrän leikkauspisteitä.

Tehtävänä on ratkaista alla oleva yhtälöpari graafisesti eli piirroksen avulla. $$ \left\{\begin{aligned} (x+3)^2 + (y-1)^2 &= 20 \\ (x-2)^2 + (y-6)^2 &= 10. \end{aligned}\right. $$

  1. Piirrä koordinaatistoon ne pisteet, jotka toteuttavat yhtälön $(x+3)^2 + (y-1)^2 = 20$. Millaisen kuvion ne muodostavat?
  2. Piirrä samaan koordinaatistoon ne pisteet, jotka toteuttavat yhtälön $(x-2)^2 + (y-6)^2 = 10$. Millaisen kuvion ne muodostavat?
  3. Kuinka moni piste toteuttaa yhtälöparin molemmat yhtälöt? Mitkä ovat näiden pisteiden koordinaatit?
  4. Mitkä ovat yhtälöparin ratkaisut?

  1. Yhtälöpari toteutuu, jos ja vain jos $$ \left\{\begin{aligned} x &= -1 \\ y &= 5 \end{aligned}\right. $$ tai $$ \left\{\begin{aligned} x &= 1 \\ y &= 3. \end{aligned}\right. $$

Kahden ympyrän leikkauspisteet löydetään ratkaisemalla ympyröiden yhtälöistä muodostuva yhtälöpari. Tällaiseen yhtälöpariin kannattaa soveltaa luvussa Suora opiskeltua yhteenlaskumenetelmää. Seuraava esimerkki havainnollistaa asiaa.

Tarkastellaan edellisen tehtävän yhtälöparia $$ \left\{\begin{aligned} (x+3)^2 + (y-1)^2 &= 20 \\ (x-2)^2 + (y-6)^2 &= 10 \end{aligned}\right. $$ Tehdään yhtälöiden vasemmalla puolella toiseen potenssiin korotukset, jolloin yhtälöpari saadaan sievennysten jälkeen muotoon $$ \left\{\begin{aligned} x^2 + y^2 + 6x - 2y &= 10 \\ x^2 + y^2 - 4x - 12y &= -30. \end{aligned}\right. $$ Ratkaistaan tämä yhtälöpari soveltamalla yhteenlaskumenetelmää. Kerrotaan toinen yhtälö luvulla $-1$: $$ \left\{\begin{aligned} \textcolor{red}{x^2 + y^2} + 6x - 2y &= 10 \\ \textcolor{red}{x^2 + y^2} - 4x - 12y &= -30 \mid \, \textcolor{red}{\cdot \, (-1)} \end{aligned}\right. $$ Yhtälöpari saa näin muodon $$ \left\{\begin{aligned} \textcolor{red}{x^2 + y^2} + 6x - 2y &= 10 \\ \textcolor{red}{-x^2 - y^2} \textcolor{blue}{+ 4x + 12y} &= \textcolor{blue}{30}. \end{aligned}\right. $$ Lasketaan yhtälöt yhteen, jolloin saadaan yksi yhtälö. Nyt tuloksena on yhtälö $$10x + 10y = 40.$$ Ratkaistaan tästä toinen tuntematon, esimerkiksi $$y = 4-x.$$ Ympyröiden leikkauspisteet sijaitsevat tätä yhtälöä vastaavalla suoralla:

Sijoitetaan saatu lauseke jompaan kumpaan alkuperäisistä yhtälöistä, esimerkiksi ensimmäiseen ja sievennetään: \begin{align*} x^2 + (4-x)^2 + 6x - 2(4-x) &= 10 \\ &\ \vdots \\ 2x^2 &= 2 \ \mid \, : 2\\ x^2 &= 1 \end{align*} Tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 1$ tai $x = -1$. Leikkauspisteiden $y$-koordinaatit voidaan ratkaista esimerkiksi kohdassa 2 johdetusta yhtälöstä $y = 4-x$:

  • Jos $x = 1$, niin $y = 4-1 = 3$.
  • Jos $x = -1$, niin $y = 4-(-1) = 5$.
Leikkauspisteet ovat siis $(1,3)$ ja $(-1,5)$.

Määritä ympyröiden $(x-9)^2 + (y-1)^2 = 40$ ja $(x+3)^2 + (y+5)^2 = 100$ leikkauspisteet ratkaisemalla yhtälöpari samaan tapaan kuin edellä tehtiin. Voit tarkistaa ratkaisun järkevyyden hahmottelemalla ympyrät koordinaatistoon.

Leikkauspisteet ovat $(3,3)$ ja $(7,-5)$.

Siirrytään seuraavaksi tutkimaan suoran ja ympyrän leikkauspisteitä.

Tehtävänä on ratkaista alla oleva yhtälöpari graafisesti eli piirroksen avulla. $$ \left\{\begin{aligned} x + y - 5 &= 0 \\ (x-3)^2 + (y-1)^2 &= 13. \end{aligned}\right. $$

  1. Piirrä koordinaatistoon ne pisteet, jotka toteuttavat yhtälön $x + y - 5 = 0$. Millaisen kuvion ne muodostavat?
  2. Piirrä samaan koordinaatistoon ne pisteet, jotka toteuttavat yhtälön $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 13$. Millaisen kuvion nämä pisteet muodostavat?
  3. Kuinka moni piste toteuttaa yhtälöparin molemmat yhtälöt? Mitkä ovat näiden pisteiden koordinaatit?
  4. Mitkä ovat yhtälöparin ratkaisut?

  1. Yhtälöpari toteutuu, jos ja vain jos $$ \left\{\begin{aligned} x &= 1 \\ y &= 4 \end{aligned}\right. $$ tai $$ \left\{\begin{aligned} x &= 6 \\ y &= -1. \end{aligned}\right. $$

Suoran ja ympyrän yhtälöistä muodostuva yhtälöpari on kätevintä ratkaista sijoitusmenetelmällä, jota käytettiin jo kurssissa MAA4. Havainnollistetaan menetelmää seuraavan esimerkin avulla.

Etsitään suoran $x + 2y - 11 = 0$ ja ympyrän $x^2+y^2 + 4x - 8y + 10 = 0$ leikkauspisteet ratkaisemalla yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} x + 2y - 11 &= 0 \\ x^2+y^2 + 4x - 8y + 10 &= 0. \end{aligned}\right. $$ Ratkaistaan suoran yhtälöstä jompi kumpi tuntemattomista. Esimerkiksi $$x = 11-2y.$$ Sijoitetaan saatu lauseke ympyrän yhtälöön ja sievennetään: \begin{align*} ({\scriptstyle 11-2y})^2 + y^2 + 4({\scriptstyle 11-2y}) - 8y + 10 &= 0 \\ &\vdots \\ 5y^2 - 60y + 175 &= 0 \ \mid \, : 5\\ y^2 - 12y + 35 &= 0 \end{align*} Saatu toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla (MAA2, teoreema 5). $$ y = \frac{12\pm \sqrt{12^2 - 4\cdot 35}}{2\cdot 1} = 6 \pm 1. $$ Siis $y = 7$ tai $y = 5$. Toinen tuntematon saadaan nyt selville sijoittamalla äsken saatu ratkaisu suoran yhtälöön: $$x = 11 - 2\cdot 7 = -3$$ tai $$x = 11 - 2\cdot 5 = 1.$$ Etsityt leikkauspisteet ovat siis $(-3,7)$ ja $(1,5)$.

Tarkastellaan suoraa $3x + y - 5 = 0$ ja ympyrää $x^2 + y^2 - 10x + 2y + 1 = 0$.

  1. Määritä suoran ja ympyrän leikkauspisteet.
  2. Muokkaa ympyrän yhtälö neliöksi täydentämällä muotoon, josta voit päätellä ympyrän keskipisteen ja säteen. Tarkista a-kohdan tuloksen järkevyys piirtämällä ympyrä ja suora koordinaatistoon.

  1. Leikkauspisteet ovat $(1,2)$ ja $\left(\frac{18}{5}, -\frac{29}{5}\right)$.
  2. Keskipiste $(5,-1)$ ja säde $r = 5$.

Edellisessä luvussa tutkittiin suoran ja ympyrän leikkauspisteitä. Jos suoralla ja ympyrällä on tasan yksi yhteinen piste, sanotaan suoraa ympyrän tangentiksi.

MÄÄRITELMÄ: YMPYRÄN TANGENTTI

Suora, joka kohtaa ympyrän vain yhdessä pisteessä, on ympyrän tangentti.

Onko suora $3x - y - 5 = 0$ ympyrän $x^2 + y^2 + 4x + 2y - 5 = 0$ tangentti? Ratkaise tehtävä selvittämällä suoran ja ympyrän leikkauspisteet. Tarkista vastauksesi järkevyys piirtämällä tilanteesta kuva.

Kyllä, suora on ympyrän tangentti, sillä niillä on vain yksi yhteinen piste.

Ympyrän tangenttiin tutustuttiin jo kurssilla MAA3. Siellä osoitettiin muun muassa, että ympyrän tangetti on aina kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan (teoreema 15). Tämän tiedon avulla voidaan määrittää ympyrän tietyn pisteen kautta kulkevan tangentin yhtälö.

Tehtävänä on määrittää yhtälö ympyrän $(x-3)^2 + (y+1)^2 = 20$ sille tangentille, joka kulkee pisteen $(1,-5)$ kautta.

  1. Tunnista ympyrän yhtälöstä keskipiste ja säde. Piirrä ympyrä koordinaatistoon.
  2. Laske pisteen $(1,-5)$ etäisyys ympyrän keskipisteestä. Onko piste $(1,-5)$ ympyrällä?
  3. Määritä kulmakerroin suoralle, joka kulkee ympyrän keskipisteen ja pisteen $(1,-5)$ kautta. Mikä on sitä vastaan kohtisuorassa olevan suoran kulmakerroin?
    Kertaa tarvittaessa luvun Suora teoreema 11.
  4. Muodosta yhtälö ympyrän $(x-3)^2 + (y+1)^2 = 20$ tangentille, joka kulkee pisteen $(1,-5)$ kautta.

  1. Kyllä, piste on ympyrällä.
  2. $y = -\frac{1}{2}x - \frac{9}{2}$

Tutkitaan seuraavaksi, miten löydetään yhtälö tietyn pisteen kautta kulkevalle tangentille tapauksessa, jossa piste ei ole ympyrällä. Tässä tilanteessa oleellista on, että ympyrän keskipisteen etäisyys tangenttisuorasta on yhtä suuri kuin ympyrän säde. Näin voidaan hyödyntää edellisen luvun Pisteen etäisyys suorasta -teoreemaa.

Tehtävänä on määrittää yhtälö ympyrän $(x-3)^2 + (y+1)^2 = 20$ tangentille, joka kulkee pisteen $(5,5)$ kautta.

  1. Tunnista ympyrän yhtälöstä keskipiste ja säde. Piirrä ympyrä koordinaatistoon. Merkitse näkyviin myös piste $(5,5)$ ja hahmottele ympyrälle sen kautta kulkeva tangentti. Kuinka monta tällaista tangenttia on olemassa?
  2. Merkitään etsityn tangentin kulmakerrointa kirjaimella $k$. Muodosta yhtälö suoralle, joka kulkee pisteen $(5,5)$ kautta ja jonka kulmakerroin on $k$.
    Kertaa tarvittaessa luvun Suora teoreema 9.
  3. Muokkaa tangenttisuoran yhtälö normaalimuotoon.
  4. Muodosta teoreeman 13 avulla yhtälö, joka ilmaisee, että ympyrän keskipisteen etäisyys tangettisuorasta on yhtä suuri kuin ympyrän säde. Yhtälöön pitäisi jäädä vain yksi tuntematon, kulmakerroin $k$.
  5. Ratkaise saamasi yhtälö laskimen tai tietokoneen avulla. Mikä on etsitty tangentin yhtälö? Tarkista vastauksesi järkevyys vertaamalla sitä a-kohdassa piirtämääsi kuvaan.

  1. $y-5 = k(x-5)$
  2. $\dfrac{\left|6-2k\right|}{\sqrt{k^2+1}} = \sqrt{20}$
  3. Tangentteja on kaksi: $y = -2x + 15$ ja $y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.

Edellisessä tehtävässä päädyttiin ratkaisemaan yhtälö $$\frac{\left|6-2k\right|}{\sqrt{k^2+1}} = \sqrt{20}.$$ Tällaiset yhtälöt voidaan ratkaista toiseen potenssiin korottamalla seuraavasti:

Jos yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, myös niiden toiset potenssit ovat yhtä suuret: $$\left(\frac{\left|6-2k\right|}{\sqrt{k^2+1}}\right)^2 = \left(\sqrt{20}\right)^2.$$ Potenssin laskusääntöjen (MAY1) mukaan osamäärän potenssi on sama kuin potenssien osamäärä, joten yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $$\frac{\left(6-2k\right)^2}{\left(\sqrt{k^2+1}\right)^2} = \left(\sqrt{20}\right)^2.$$ Huomaa, että itseisarvomerkkejä ei enää tarvita osoittajassa, koska toiseen potenssiin korotus tekee kaikista luvuista epänegatiivisia.

Neliöjuuren määritelmän (MAA2) mukaan $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ eli neliöjuuri on luku, jonka toinen potenssi on yhtä suuri kuin juurrettava. Tämän nojalla yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $$\frac{\left(6-2k\right)^2}{k^2+1} = 20.$$ Kerrotaan kumpikin puoli nimittäjällä $k^2+1$, jolloin se supistuu vasemmalta puolelta pois: $$(6-2k)^2 = 20(k^2 + 1).$$ Nyt vasemmalla voidaan tehdä toiseen potenssiin korotukset ja muokata yhtälöä: \begin{align*} 36-24k + 4k^2 &= 20k^2 + 20 \\ -16k^2-24k + 16 &= 0 \ \mid \, : (-8)\\ 2k^2 + 3k - 2 &= 0 \end{align*} Tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos \begin{align*} k &= \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4\cdot 2\cdot (-2)}}{2\cdot 2} \\ &= \frac{-3 \pm 5}{4}. \end{align*} Ratkaisuiksi saadaan näin $k_1 = \frac{1}{2}$ ja $k_2 = -2$. Ovatko nämä myös alkuperäisen yhtälön $$\frac{\left|6-2k\right|}{\sqrt{k^2+1}} = \sqrt{20}$$ ratkaisuja?

Koska yhtälön ratkaiseminen aloitettiin toiseen potenssiin korottamisella, on varminta ja yksinkertaisinta tarkistaa saadut ratkaisut sijoittamalla ne alkuperäiseen yhtälöön. Joissain tilanteissa toiseen potenssiin korotus tuottaa "ratkaisuja", jotka eivät toteuta alkuperäistä yhtälöä. Tätä ilmiötä tarkastellaan enemmän seuraavan luvun kappaleessa Itseisarvo koordinaatistossa.

Tällä kertaa kumpikin ratkaisuehdokas on alkuperäisen yhtälön ratkaisu, sillä \begin{align*} \frac{\left|6-2 \cdot \frac{1}{2}\right|}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+1}} &= \frac{5}{\sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{5}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}} \\[1mm] &= 5 \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} \\[1mm] &= \sqrt{5}\cdot \sqrt{4} = \sqrt{20} \end{align*} ja \begin{align*} \frac{\left|6-2\cdot (-2)\right|}{\sqrt{(-2)^2+1}} &= \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{5}} \\[1mm] &= \sqrt{\frac{100}{5}} \\[1mm] &= \sqrt{20}. \end{align*} Tässä käytettiin MAA2-kurssissa opiskeltuja neliöjuuren laskusääntöjä.

Pisteen etäisyys suorasta -teoreemaan perustuvalla menetelmällä voidaan määrittää myös ympyrän tietyn suuntaisen tangentin yhtälö. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Tehtävänä on määrittää yhtälö ympyrän $(x-3)^2 + (y+1)^2 = 20$ tangentille, joka on yhdensuuntainen suoran $y = 2x$ kanssa.

  1. Tunnista ympyrän yhtälöstä keskipiste ja säde. Piirrä ympyrä koordinaatistoon. Hahmottele sille tangentti, joka on yhdensuuntainen suoran $y = 2x$ kanssa. Kuinka monta tällaista tangenttia on olemassa?
  2. Muodosta yhtälö tangettisuoralle, joka on yhdensuuntainen suoran $y = 2x$ kanssa ja joka leikkaa $y$-akselin korkeudella $h$.
    Kertaa tarvittaessa luvun Suora teoreema 8.
  3. Muokkaa tangenttisuoran yhtälö normaalimuotoon.
  4. Muodosta teoreeman 13 avulla yhtälö, joka ilmaisee, että ympyrän keskipisteen etäisyys tangettisuorasta on yhtä suuri kuin ympyrän säde. Yhtälöön pitäisi jäädä vain yksi tuntematon, korkeus $h$.
  5. Ratkaise saamasi yhtälö kynän ja paperin avulla samaan tapaan kuin edellä tehtiin. Mikä on etsitty tangentin yhtälö? Tarkista vastauksesi järkevyys vertaamalla sitä a-kohdassa piirtämääsi kuvaan.

  1. $y = 2x + h$
  2. $\dfrac{\left|7+h\right|}{\sqrt{5}} = \sqrt{20}$
  3. Tangentteja on kaksi: $y = 2x + 3$ ja $y = 2x - 17$.

Ympyrän yhtälö

Tehtävänä on määrittää yhtälö ympyrälle, jonka yksi halkaisija on pisteiden $(-1,1)$ ja $(5,-2)$ välinen jana.

  1. Laske tai päättele halkaisijan keskipisteen koordinaatit. Voit tarkistaa vastauksesi piirtämällä tilanteesta kuvan.
  2. Määritä ympyrän säde. Keksitkö erilaisia tapoja?
  3. Muodosta ympyrän yhtälö.

  1. $\left(x - 2\right)^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{45}{4}$

Ympyrän yhtälö

Määritä ympyrän keskipiste ja säde, jos ympyrän yhtälö on

  1. $x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0$
  2. $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$.

Vinkki: sovella summan ja erotuksen neliöiden kaavoja (teoreema 15).

  1. Keskipiste on $(-1,0)$ ja säde $2$.
  2. Keskipiste on $(1,2)$ ja säde $3$.

Pisteen etäisyys ympyrästä

Tehtävänä on laskea origon etäisyys ympyrästä $x^2 + y^2 + 4x - 3y - 6 = 0$.

  1. Selvitä ympyrän keskipiste ja säde.
  2. Laske kysytty etäisyys. Kuvan hahmottelusta voi olla apua.

  1. Keskipiste on $\left(-2,\frac{3}{2}\right)$ ja säde $\frac{7}{2}$.
  2. Etäisyys on $1$.

Ympyröiden välinen etäisyys

Piirrä koordinaatistoon ympyrät $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 16$ ja $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 1$ ja määritä niiden välinen etäisyys.

Etäisyys on $3 - \sqrt{2}$. (Hyödynnä ympyröiden säteitä ja niiden keskipisteiden välistä etäisyyttä.)

Ympyrän yhtälö

Tehtävänä on muodostaa yhtälö ympyrälle, joka kulkee pisteiden $(2,-1)$ ja $(-1,3)$ kautta ja jonka keskipiste on suoralla $x - 2y = 0$.

  1. Jos ympyrän keskipisteen $y$-koordinaatti on $t$, niin mikä on sen $x$-koordinaatti?
  2. Mitä tiedetään pisteiden $(2,-1)$ ja $(-1,3)$ etäisyyksistä ympyrän keskipisteeseen? Muodosta sopiva yhtälö.
  3. Mikä on ympyrän keskipiste?
  4. Mikä on ympyrän yhtälö?

  1. $\left(-\frac{5}{2}, -\frac{5}{4}\right)$
  2. $\left(x+\frac{5}{2}\right)^2 + \left(y+\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{325}{16}$

Ympyrän yhtälö

Tutkitaan yhtälöä $x^2 + y^2 + ax + a = 0$.

  1. Muokkaa yhtälö muotoon, josta voit tunnistaa ympyrän keskipisteen ja säteen.
    Vinkki: Termin $ax$ voi kirjoittaa myös muodossa $2\cdot \frac{1}{2}ax$. Myös teoreemasta 15 on apua.
  2. Millä vakion $a$ arvoilla yhtälö esittää ympyrää?
    Vinkki: mieti, millainen ympyrän säteen pitää olla.
  3. Millä vakion $a$ arvoilla yhtälö esittää jotain muuta kuin ympyrää? Mitä?

  1. $\left(x+\frac{1}{2}a\right)^2 + \left(y-0\right)^2 = \frac{1}{4}a^2 - a$
  2. Jos $a < 0$ tai $a > 4$.
  3. Jos $a = 0$ yhtälö esittää pistettä $(0,0)$. Jos $a = 4$, yhtälö esittää pistettä $(-2,0)$. (Jos $0 < a < 4$, mikään tason piste ei toteuta yhtälöä).

Ympyrän yhtälö

Tehtävänä on näyttää, että suora $x + ay - 3 = 0$ kulkee ympyrän $x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0$ keskipisteen kautta vakion $a$ arvosta riippumatta.

  1. Muokkaa ympyrän yhtälö muotoon, josta voit tunnistaa ympyrän keskipisteen ja säteen.
  2. Tutki, toteuttavatko ympyrän keskipisteen koordinaatit suoran yhtälön.
  3. Kirjoita omin sanoin perustelu sille, että suora $x + ay - 3 = 0$ kulkee ympyrän $x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0$ keskipisteen kautta vakion $a$ arvosta riippumatta.

  1. $\left(x-3\right)^2 + \left(y-0\right)^2 = 2^2$
  2. $3 + a\cdot 0 - 3 = 3 + 0 - 3 = 0$, joten piste $(3,0)$ toteuttaa yhtälön $x + ay - 3 = 0$.

Ympyrän leikkauspisteitä

Määritä ympyröiden $x^2 + y^2-2x-4y-3 = 0$ ja $x^2 + y^2 + 4x + 2y - 21 = 0$ leikkauspisteet.

$(3,0)\ $ ja $\ (-1,4)$

Ympyrän leikkauspisteitä

Tehtävänä on laskea sen jänteen pituus, jonka ympyrä $x^2 + y^2 = 10$ erottaa suorasta $x + y - 2 = 0$.

  1. Piirrä ympyrä ja suora koordinaatistoon mahdollisimman tarkasti.
  2. Mikä on jänteen pituus?

  1. Vinkki: Ympyrän säde on tietyn suorakulmaisen kolmion hypotenuusa; vrt. esimerkki ennen tehtävää 3.5.
  2. Jänteen pituus on $4\sqrt{2}$. (Jänteen päätepisteiden koordinaatit ovat $(-1,3)\ $ ja $\ (3,-1)$.)

Ympyrän leikkauspisteitä

Mitkä suoran $y = 5-3x$ pisteet ovat etäisyydellä $5$ pisteestä $(5,-1)$?

Pisteet $(1,2)\ $ ja $\ \left(\frac{18}{5}, - \frac{29}{5}\right)$.

Ympyrän tangentti

Määritä ympyrän $x^2 + y^2 = 25$ pisteeseen $(-3,4)$ piirretyn tangentin yhtälö.

$y = \frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$

Ympyrän tangentti

Tehtävänä on muodostaa yhtälö ympyrän $(x-5)^2 + (y-5)^2 = 5$ tangentille, joka kulkee origon kautta.

  1. Piirrä ympyrä koordinaatistoon mahdollisimman tarkasti. Miten voit laskemalla varmistaa, että piste $(0,0)$ ei ole ympyrällä?
  2. Hahmottele kuvaan ympyrän tangetteja, jotka kulkevat origon kautta. Kuinka monta niitä on?
  3. Muodosta kysytty tangetin yhtälö.

  1. Vinkki: Ympyrän säde on tietyn suorakulmaisen kolmion hypotenuusa; vrt. esimerkki ennen tehtävää 3.5.
  2. Tangentteja on kaksi.
  3. Tangetteja on kaksi: $y = \frac{1}{2}x$ ja $y = 2x$. (Vinkki: Origon kautta kulkeva suora on muotoa $y = kx$. Ympyrän keskipisteen etäisyys tangenttisuorasta on yhtä suuri kuin ympyrän säde.)

Ympyrän tangentti

Muodosta yhtälö ympyrän $x^2 + y^2 = 1$ tangentille, joka kulkee pisteen $(2,-1)$ kautta.

Tangentteja on kaksi: $y = -1$ ja $4x + 3y - 5 = 0$.

Ympyrän tangentti

Muodosta yhtälö ympyrän $x^2 + y^2 -2x - y - 3 = 0$ tangentille, joka kulkee pisteen $(3,1)$ kautta.

$y = -4x + 13$.

Ympyrän tangentti

Tehtävänä on muodostaa yhtälö ympyrän $x^2 + y^2 = 8$ tangentille, joka on suoran $y = 3x$ suuntainen.

  1. Piirrä ympyrä koordinaatistoon mahdollisimman tarkasti.
    Vinkki: Ympyrän säde on tietyn suorakulmaisen kolmion hypotenuusa.
  2. Hahmottele kuvaan ympyrän tangetteja, jotka ovat suoran $y = 3x$ suuntaisia. Kuinka monta niitä on?
  3. Mitä muotoa tangettisuoran yhtälö on? Mikä on ympyrän keskipisteen etäisyys tästä suorasta?
  4. Muodosta kysytty tangetin yhtälö.

  1. Tangentteja on kaksi.
  2. $y = 3x + h$, keskipisteen etäisyys tangetista on yhtä suuri kuin ympyrän säde.
  3. Tangetteja on kaksi: $y = 3x + 4\sqrt{5}$ ja $y = 3x-4\sqrt{5}$.

Määritä yhtälö sille origokeskiselle ympyrälle, joka sivuaa suoraa $7x + 24y - 75 = 0$.

$x^2 + y^2 = 3$.

Ympyrän $x^2 + y^2 = 16$ jänteen keskipiste on $(2,1)$. Määritä jänteen pituus.
[Pitkä S2015/5]

Jänteen pituus on $2\sqrt{11}$.

Ympyrä sivuaa suoraa $3x-4y = 0$ pisteessä $(8,6)$. Lisäksi se sivuaa positiivista $x$-akselia. Määritä ympyrän keskipiste ja säde.
[Pitkä K2014/5]

Keskipiste on $\left(10, \frac{10}{3}\right)$ ja säde $\frac{10}{3}$.

Laske suoran $y = 2x$ ja ympyrän $x^2 + y^2 = 1$ leikkauspisteet.
[Pitkä S2011/2b]

Leikkauspisteet ovat $\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$ ja $\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$.

Määritä ympyrän $x^2 + y^2 + 4x - 2y + 1 = 0$ niiden tangenttien yhtälöt, jotka kulkevat pisteen $(1,3)$ kautta.
[Pitkä S2007/5]

Tangenttien yhtälöt ovat $y = 3$ ja $12x - 5y + 3 = 0$.

Etsi yhtälö ympyrälle, jonka keskipiste on suoralla $y = \frac{1}{2}x$ ja joka sivuaa $x$-akselia ja suoraa $4x + 3y - 24 = 0$. Määritä kaikki tehtävän ratkaisut.
[Pitkä K2006/7]

Sopivia ympyröitä on kaksi: $(x-8)^2 + (y-4)^2 = 16$ ja $(x-3)^2 + \left(y-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.

Oletetaan, että $a \neq 0$. Suora $x-y-a = 0$ jakaa ympyrän $x^2 + y^2 = a^2$ rajoittaman alueen kahteen osaan. Määritä pienemmän alueen pinta-alan suhde suuremman alueen pinta-alaan. Ilmoita tarkka arvo ja kolmidesimaalinen likiarvo. Piirrä kuvio, kun (a) $a > 0$, (b) $a < 0$.
[Pitkä S2005/6]

Suhde on $\frac{\pi - 2}{3\pi + 2} \approx 0{,}100$.

Osa tien kaarteesta on ympyrän kaari, joka kartalla kulkee $xy$-koordinaatiston pisteiden $\ (28,98)$, $\ (70,112)\ $ ja $\ (126,84)\ $ kautta. Kuinka suuri on tämän ympyrän säde, kun yksikkö kartalla vastaa 25 metriä luonnossa.
[Pitkä S2001/10]

Säde on 1750 metriä.

Piste $P$ on ympyrän $x^2 + y^2 + 2x - y - 5 = 0$ kehällä ja piste $Q$ on ympyrän $x^2 + y^2 - 6x + y + 9 = 0$ kehällä. Laske janan $PQ$ pienin mahdollinen pituus eli ympyröiden välinen etäisyys.

Etäisyys on $\sqrt{17} - 3$.
Vinkki: aloita selvittämällä ympyröiden keskipisteet ja säteet.

Oletetaan, että $a \neq 2$. Osoita, että ympyröillä $x^2 + y^2 - 2ax + 2ay = 8a + 8$ on yhteinen tangentti riippumatta vakion $a$ arvosta. Mikä on tämän tangentin yhtälö?

Tangetin yhtälö on $y = x + 4$.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Paraabeli ja muita pistejoukkoja

Tämän luvun tavoitteena on, että syvennät edellisissä luvuissa käsiteltyjen asioiden osaamista ja sovellat oppimaasi muihin yhtälön avulla määriteltyihin pistejoukkoihin. Osaat

  • käyttää paraabeliin liittyviä käsitteitä polttopiste, johtosuora, akseli ja huippu
  • muodostaa paraabelin yhtälön, jos paraabelin akseli on koordinaattiakselien suuntainen
  • piirtää koordinaatistoon suoran, ympyrän ja paraabelin lisäksi muitakin yhtälön avulla määriteltyjä pistejoukkoja
  • tutkia, kuuluuko annettu piste pistejoukkoon, jonka yhtälö tunnetaan.

Kurssissa MAA2 tutustuttiin toisen asteen polynomifunktioihin. Niiden kuvaajat ovat aina ylöspäin tai alaspäin aukeavia paraabeleja. Alla on esimerkiksi näkyvissä funktion $\,f(x) = x^2 - 2x - 3 \,$ kuvaaja.

Ylöspäin ja alaspäin aukeavien paraabelien lisäksi on olemassa muihin suuntiin aukeavia paraabeleja. Yleisesti paraabeli määritellään etäisyyden avulla seuraavasti:

MÄÄRITELMÄ: PARAABELI

Kurssissa MAA2 tutustuttiin toisen asteen polynomifunktioihin. Niiden kuvaajat ovat aina ylöspäin tai alaspäin aukeavia paraabeleja. Alla on esimerkiksi näkyvissä funktion $\,f(x) = x^2 - 2x - 3 \,$ kuvaaja.

Alla on näkyvissä funktion $g(x) = -0{,}25x^2 + 2$ kuvaaja. Se on paraabeli, jonka johtosuora on $y = 3$ ja polttopiste $(0,1)$. Siniset janat havainnollistavat etäisyyksiä paraabelin pisteistä polttopisteeseen ja johtosuoraan:

Piste $(0,2)$ on tämän paraabelin huippu ja $y$-akseli on tässä tapauksessa paraabelin akseli. Nämä MAA2-kurssista tutut käsitteet voidaan määritellä paraabelin polttopisteen ja johtosuoran avulla seuraavasti:

MÄÄRITELMÄ: PARAABELIN AKSELI JA HUIPPU

Paraabelin akseli on paraabelin johtosuoran se normaali, joka kulkee paraabelin polttopisteen kautta. Akselin ja paraabelin leikkauspiste on paraabelin huippu.
Piste $(0,2)$ on tämän paraabelin huippu ja $y$-akseli on tässä tapauksessa paraabelin akseli. Nämä MAA2-kurssista tutut käsitteet voidaan määritellä paraabelin polttopisteen ja johtosuoran avulla seuraavasti:

Paraabelille voidaan johtaa yhtälö, jos polttopiste ja johtosuora tunnetaan. Tarkastellaan esimerkiksi paraabelia, jonka polttopiste on $(4,0)$ ja johtosuora on $x = -2$. Pisteen $(x,y)$ etäisyys polttopisteestä on $$\sqrt{(x-4)^2 + y^2}$$ ja etäisyys johtosuorasta on $$\left| x-(-2)\right| = \left| x+2\right|.$$ Piste $(x,y)$ on paraabelin piste, jos ja vain jos sen etäisyydet polttopisteeseen ja johtosuoraan ovat yhtä suuret eli yhtälö $$ \sqrt{(x-4)^2 + y^2} = \left| x+2\right| \tag{A} $$ toteutuu.

Yhtälön (A) vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, ja yhtäsuuruus säilyy toiseen potenssiin korotuksessa. Näin saadaan yhtälö $$ (x-4)^2 + y^2 = (x + 2)^2. \tag{B} $$ Yhtälöstä (B) päästään takaisin yhtälöön (A) ottamalla molemmilta puolilta neliöjuuri. Se on sallittua, koska yhtälön (B) kumpikin puoli on epänegatiivinen. Lisäksi käytetään tietoa, että $$\sqrt{(x+2)^2} = \left| x+2\right|.$$ Yhtälöt (A) ja (B) ovat siis yhtäpitäviä, eli ne toteutuvat täsmälleen samoilla muuttujien $x$ ja $y$ arvoilla.

Yhtälöstä (B) voidaan ratkaista $x$: \begin{align*} (x-4)^2 + y^2 &= (x + 2)^2 \\ x^2 - 8x + 16 + y^2 &= x^2 + 4x + 4 \\ y^2 &= 12x - 12 \\ 12x - 12 &= y^2 \\ 12x &= y^2 + 12 \\ x &= \frac{1}{12}y^2 + 1. \end{align*}

Mille tahansa paraabelille, jonka johtosuora on $x$- tai $y$-akselin suuntainen, voidaan johtaa yhtälö samaan tapaan kuin edellä tehtiin. Tällä tavalla voitaisiin todistaa oikeaksi myös seuraava teoreema:

TEOREEMA

Jos paraabelin akseli on $y$-akselin suuntainen, niin paraabelin yhtälö on muotoa $$y = ax^2 + bx + c,$$ missä $a\neq 0$. Paraabeli aukeaa

  • ylöspäin, jos $a > 0$
  • alaspäin, jos $a < 0$.

Jos paraabelin akseli on $x$-akselin suuntainen, niin paraabelin yhtälö on muotoa $$x = ay^2 + by + c,$$ missä $a\neq 0$. Paraabeli aukeaa

  • oikealle, jos $a > 0$
  • vasemmalle, jos $a < 0$.

Missä pisteissä seuraavat paraabelit leikkaavat koordinaattiakselit? Päättele lisäksi paraabelien aukeamissuunta sekä huipun koordinaatit. Muista, että voit tarkistaa vastauksesi piirtämällä paraabelin laskimella tai tietokoneella.

  1. $x = 4(y-3)(y + 2)$
  2. $y = 3x^2 + 18x + 25$
  3. $y = 3(x+1)(1-x)$
  4. $x = 1 - 8y - 4y^2$

Seuraavassa tehtävässä harjoitellaan paraabelin yhtälön muodostamista. Tavoitteena on muodostaa yhtälö ja saattaa se teoreeman 16 mukaiseen muotoon.

Tehtävänä on muodostaa yhtälö paraabelille, jonka polttopiste on $(0,3)$ ja johtosuora on $y = -1$.

  1. Piirrä paraabelin polttopiste ja johtosuora koordinaatistoon. Merkitse kuvaan pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana polttopisteestä ja johtosuorasta. Mihin suuntaan paraabeli aukeaa?
  2. Muodosta lauseke, joka ilmaisee pisteen $(x,y)$ etäisyyden pisteestä $(0,3)$.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa teoreema 5 luvusta Etäisyys.
  3. Muodosta lauseke, joka ilmaisee pisteen $(x,y)$ etäisyyden suorasta $y = -1$.
    Vinkki: Voit päätellä samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä tehtiin tai käyttää luvun Suora teoreemaa 13.
  4. Muodosta edellisten kohtien lausekkeista yhtälö, jonka mukaan pisteen $(x,y)$ etäisyys polttopisteestä $(0,3)$ on yhtä suuri kuin pisteen $(x,y)$ etäisyys johtosuorasta $y = -1$.
  5. Ratkaise muodostamasi yhtälöstä $y$.
    Vinkki: aloita korottamalla yhtälön kumpikin puoli toiseen potenssiin.

  1. $y = \frac{1}{8}x^2 + 1$

Paraabelin yhtälö voidaan muodostaa myös tilanteessa, jossa tunnetaan paraabelin kolme pistettä. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta nähdään, että paraabeli kulkee pisteiden $(-1,2)$, $(3,1)$ ja $(4,4)$ kautta.

Ylöspäin aukeavan paraabelin yhtälö on muotoa $y = ax^2 + bx + c$. Edellä mainitut kolme pistettä toteuttavat tämä yhtälön, joten saadaan yhtälöryhmä $$ \left\{\begin{aligned} 2 &= a\cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c \\ 1 &= a\cdot 3^2 + b \cdot 3 + c \\ 4 &= a\cdot 4^2 + b \cdot 4 + c. \end{aligned}\right. $$ Tämä yhtälöryhmä voidaan kirjoittaa myös muodossa $$ \left\{\begin{aligned} a - \phantom{4}b + c &= 2 \\ 9a + 3b + c &= 1 \\ 16a + 4b + c &= 4. \end{aligned}\right. $$ Kun se ratkaistaan käsin tai koneella kuten kurssilla MAA4, saadaan ratkaisuksi $$ \left\{\begin{aligned} a &= 0{,}65 \\ b &= -1{,}55 \\ c &= -0{,}2. \end{aligned}\right. $$ Paraabelin yhtälö on siis $y = 0{,}65x^2 - 1{,}55x - 0{,}2$.

Alaspäin aukeava paraabeli kulkee pisteiden $(0,1)$, $(1,-1)$ ja $(-2,-1)$ kautta. Määritä paraabelin yhtälö.

$y = -x^2 - x + 1$

Suoran yhtälö, ympyrän yhtälö ja paraabelin yhtälö ovat kaikki esimerkkejä pistejoukon yhtälöstä. Esimerkiksi ne pisteet, jotka toteuttavat yhtälön $y = 1{,}5x - 2$, muodostavat koordinaatistoon suoran.

Ylla olevaan kuvaan on merkitty myös ne pisteet, jotka toteuttavat yhtälön $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 3$, sekä ne pisteet, jotka toteuttavat yhtälön $x = -y^2 + 6$.

Yleisesti tason pistejoukon yhtälö määritellään seuraavasti:

MÄÄRITELMÄ: PISTEJOUKON YHTÄLÖ

Tason pistejoukon yhtälö on muuttujien $x$ ja $y$ yhtälö, jolla on seuraava ominaisuus:
Piste $(x,y)$ kuuluu pistejoukkoon, jos ja vain jos pisteen $(x,y)$ koordinaatit toteuttavat yhtälön.

Tietokoneen avulla voidaan piirtää esimerkiksi niiden pisteiden joukko, jotka toteuttavat yhtälön $$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^3 + 3xy^2 = 0.$$

Kuva: Krishnavedala (Oma teos) [CC BY-SA 3.0], lähde: Wikimedia Commons.

Tämä pistejoukko on nimeltään kolmen lehden ruusu (englanniksi myös kolmilehtinen apila: three-leaved clover).

Tehtävänä on piirtää pistejoukko, jonka yhtälö on $(x-y)(x+2) = 0$.

  1. Hajota pistejoukon yhtälö MAA2-kurssista tutun tulon nollasäännön avulla kahdeksi yhtälöksi.
  2. Piirrä koordinaatistoon niiden pisteiden joukko, jotka toteuttavat yhtälön $y = x$.
  3. Piirrä koordinaatistoon niiden pisteiden joukko, jotka toteuttavat yhtälön $x = -2$.
  4. Mitkä koordinaatiston pisteet toteuttavat yhtälön $(x-y)(x+2) = 0$?

Joskus halutaan tutkia, kuuluuko yksittäinen piste johonkin pistejoukkoon. Tämä voidaan tehdä sijoittamalla pisteen koordinaatit yhtälön eri puolille ja katsomalla, toteutuuko yhtälö.

Tarkastellaan esimerkiksi pistejoukkoa, jonka yhtälö on $$x^3 + y^3 = 3xy.$$ Tämän pistejoukon nimi on Cartesiuksen lehti. Se on nimetty ranskalaisen matemaatikon René Descartesin mukaan.

Tutkitaan, kuuluuko piste $(-2,1)$ tähän pistejoukkoon. Sijoitetaan pisteen koordinaatit Cartesiuksen lehden yhtälön vasemmalle puolelle: $$x^3 + y^3 = (-2)^3 + 1^3 = -8 + 1 = -7.$$ Sijoitetaan pisteen koordinaatit yhtälön oikealle puolelle: $$3xy = 3\cdot (-2) \cdot 1 = -6.$$ Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat eri suuret, joten piste $(-2,1)$ ei toteuta Cartesiuksen lehden yhtälöä.

Tutkitaan pistejoukkoa, jonka yhtälö on $$(x^2 + y^2 + 25)^2 - 100x^2 = 625.$$ Kuuluvatko seuraavat pisteet tähän pistejoukkoon?

  1. $(1,-1)$
  2. $(6,2)$
  3. $(-7,0)$

  1. Ei.
  2. Kyllä.
  3. Ei.

Paraabelin yhtälö

Muodosta yhtälö paraabelille, jonka polttopiste on $(0,1)$ ja jonka johtosuora on $y = -1$.

$y = \frac{1}{4}x^2$

Paraabeli

Osoita, että suora $2ax - y - a^2 = 0$ sivuaa paraabelia $y = x^2$ vakion $a$ kaikilla arvoilla.

Tarkastele suoran ja paraabelin leikkauspisteiden lukumäärää. Onko suora jollakin vakion $a$ arvolla yhdensuuntainen paraabelin akselin kanssa?

Paraabeli

Etsi suoran $x - y = 1$ ja paraabelin $y = x^2 - 3$ leikkauspisteet.

Leikkauspisteet ovat $(-1,-2)\ $ ja $\ (2,1)$.

Paraabeli

Paraabeli kulkee pisteiden $(5,8)$, $(13,8)$ ja $(7,-4)$ kautta. Määritä paraabelin yhtälö.
Vinkki: aloita esimerkiksi hahmottelemalla pisteet koordinaatistoon ja päättelemällä, mihin suuntaan paraabeli aukeaa.

$y = x^2 - 18x + 73$

Paraabeli

Maantiellä on tunneli, jonka aukko on alaspäin aukeavan paraabelin muotoinen. Aukon korkeus on 5,0 m ja leveys 10 m. Erikoiskuljetuksen leveys on 5,5 metriä ja korkeus 4,2 m. Mahtuuko kuljetus tunnelista?

Ei mahdu. Tunnelista mahtuvan 5,5 metriä leveän kuljetuksen maksimikorkeus on alle 4 metriä. (Tunnelin aukkoa vastaavan paraabelin yhtälö on $y = -0{,}2x^2 + 5$.)

Paraabeli

Osoita, että paraabelit $y = x^2 + ax + a$ kulkevat vakio $a$ arvosta riippumatta saman pisteen kautta. Mikä tämä piste on?

Piste on $(-1,1)$.
Voit selvittää leikkauspisteen valitsemalla vakiolle $a$ kaksi eri arvoa ja tutkimalla, missä pisteessä nämä paraabelit leikkaavat. Sen jälkeen pitää vielä näyttää, että paraabelit kulkevat tämän pisteen kautta vakion $a$ arvosta riippumatta.

Paraabeli

Määritä paraabelin $y = -x^2 + 5$ pisteet, joiden etäisyys origosta on $7$.

Pisteet ovat $\ (\sqrt{3}, 2)$, $\ (-\sqrt{3}, 2)$, $\ (\sqrt{6}, -1)\ $ ja $\ (-\sqrt{6}, -1)$.

Paraabeli

Tarkastellaan paraabelia $y = x^2$. Tehtävänä on muodostaa yhtälö sille tämän paraabelin tangentille, joka on suoran $y = 3x$ suuntainen.

  1. Mitä muotoa ovat sellaisten suorien yhtälöt, jotka ovat yhdensuuntaisia suoran $y = 3x$ kanssa?
  2. Kuinka monta yhteistä pistettä paraabelilla ja sen tangetilla on?
  3. Muodosta a- ja b-kohtien avulla sopiva yhtälö ja ratkaise se.
  4. Mikä on etsityn tangentin yhtälö? Missä pisteessä se sivuaa paraabelia $y = x^2$?

  1. $y = 3x + h$
  2. Niillä on yksi yhteinen piste.
  3. Yhtälöllä $x^2 - 3x - h = 0$ on tasan yksi ratkaisu, jos ja vain jos sen diskriminantti on nolla eli $9+4h = 0$.
  4. $y= 3x - \frac{9}{4}$, sivuamispiste $\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$.

Paraabeli

Paraabelin polttopiste on $(0,b)$ ja johtosuoran yhtälö on $y = -b$. Muodosta paraabelin yhtälö.

$y = \dfrac{1}{4b}x^2$

Paraabeli

Voit hyödyntää tässä tehtävässä tehtävän 4.10 tulosta.

  1. Muodosta yhtälö paraabelille, jonka polttopiste on $\left(0, \frac{1}{4}\right)$ ja johtosuora on $y = -\frac{1}{4}$.
  2. Määritä paraabelin $y = -\frac{1}{3}x^2$ polttopiste ja johtosuora.

  1. $y = x^2$
  2. Polttopiste on $\left(0, -\frac{3}{4}\right)$ ja johtosuora $y = \frac{3}{4}$.

Pistejoukon yhtälö

Piirrä koordinaatistoon pistejoukko, jonka yhtälö on

  1. $(2x+y)(x-y-1)$
  2. $y^2 = 4$
  3. $y^2 - x^2 = 0$

  1. Suorat $y = -2x$ ja $y = x-1$.
  2. Suorat $y = 2$ ja $y = -2$.
  3. Suorat $y = x$ ja $y = -x$.

Pistejoukon yhtälö

Yhtälö $x^2 + 2y^2 + 4xy - 3x + 5y + 2 = 0$ määrittelee pistejoukon, joka on tyypiltään hyperbeli.

  1. Määritä ne pisteet, joissa tämä hyperbeli leikkaa koordinaattiakselit.
  2. Piirrä tämä hyperbeli laskimen tai tietokoneen avulla.

  1. Pisteissä $\ (1,0)$, $\ (2,0)$, $\ \left(0, -\frac{1}{2}\right)\ $ ja $\ (0,-2)$.

Pistejoukon yhtälö

Päättele, millaisen pistejoukon seuraavat yhtälöt määrittelevät. Tarkista piirtämällä pistejoukot koordinaatistoon laskimella tai tietokoneella.

  1. $4x^2 - y = 0$
  2. $4 - x^2 - y^2 = 0$
  3. $4x - y^2 = 0$
  4. $4x^2 - y^2 = 0$

  1. Ylöspäin aukeava paraabeli.
  2. Ympyrä, jonka keskipiste on origo ja säde on $2$.
  3. Oikealle aukeava paraabeli.
  4. Suorat $y = 2x$ ja $y = -2x$.

Pistejoukon yhtälö

Tutkitaan pistejoukkoa, jonka pisteillä on seuraava ominaisuus: Pisteen etäisyys pisteestä $(0,4)$ on kaksi kertaa niin suuri kuin etäisyys suorasta $y = 1$.

  1. Muodosta pistejoukon yhtälö.
  2. Piirrä pistejoukko koordinaatistoon laskimella tai tietokoneella a-kohdan yhtälön avulla.
  3. Mikä on syntyneen käyrän nimi? Kurkista esimerkiksi tänne. Muistatko tai osaatko päätellä vastaavat suomenkieliset nimitykset?

  1. $x^2 - 3y^2 + 12 = 0$
  2. Käyrä on hyperbeli.

Pistejoukon yhtälö

Tutkitaan pistejoukkoa, jonka pisteillä on seuraava ominaisuus: Pisteen etäisyys suorasta $y = 4$ on kaksi kertaa niin suuri kuin etäisyys pisteestä $(0,1)$.

  1. Muodosta pistejoukon yhtälö.
  2. Piirrä pistejoukko koordinaatistoon laskimella tai tietokoneella a-kohdan yhtälön avulla.
  3. Mikä on syntyneen käyrän nimi? Kurkista esimerkiksi tänne. Muistatko tai osaatko päätellä vastaavat suomenkieliset nimitykset?

  1. $4x^2 + 3y^2 - 12 = 0$
  2. Käyrä on ellipsi.

Pistejoukon yhtälö

Ympyrät kulkevat origon kautta ja sivuavat suoraa $y = -6$. Tehtävänä on selvittää, minkä käyrän tällaisten ympyröiden keskipisteet muodostavat.

  1. Piirrä koordinaatistoon suora $y = -6$. Hahmottele kuvaan muutama ympyrä, joka sivuaa tätä suoraa ja kulkee origon kautta.
  2. Tarkastele ympyrän keskipisteen etäisyyttä suorasta $y = -6$ ja origosta. Mitä voit päätellä näistä etäisyyksistä? Muodosta yhtälö ja muokkaa se mahdollisimman selkeään muotoon.
  3. Piirrä b-kohdan yhtälöä vastaava pistejoukko koordinaatistoon. Mikä käyrä on kysymyksessä?

  1. Paraabeli $y = \frac{1}{12}x^2 - 3$

Pistejoukon yhtälö

Tarkastellaan pistejoukkoa, jonka yhtälö on $xy = 2$.

  1. Piirrä tämä pistejoukko koordinaatistoon laskimen tai tietokoneen avulla. Mikä käyrä on kysymyksessä? Kurkista esimerkiksi tänne. Muistatko tai osaatko päätellä vastaavat suomenkieliset nimitykset?
  2. Määritä ne vakion $b$ arvot, joilla suora $y = -2x + b$ ei leikkaa tarkasteltavaa pistejoukkoa. Tarkista vastauksesi järkevyys vertaamalla sitä piirtämääsi kuvaan.

  1. Käyrä on hyperbeli.
  2. $-4 < b < 4$

Pistejoukon yhtälö

Jana, jonka pituus on $6$, liikuu ympyrän $(x+3)^2 + (y-1)^2 = 16$ sisällä niin, että janan päätepisteet ovat koko ajan ympyrän kehällä. Minkä käyrän janan keskipiste piirtää?
Vinkki: Piirrä tilanteesta kuva. Pystytkö määrittämään janan keskipisteen etäisyyden ympyrän keskipisteestä?

Ympyrän $(x+3)^2 + (y-1)^2 = 7$.

Tasokäyrä $K$ muodostuu niistä pisteistä $(x,y)$, joiden etäisyys origosta on yhtä suuri kuin etäisyys suorasta $y = 2$. Johda käyrän yhtälölle muoto $y = f(x)$.
[Pitkä S2016/7a]

$y = -\frac{1}{4}x^2 + 1$

Tasokäyrä kulkee pisteen $(3,4)$ kautta. Määritä käyrän yhtälö, kun kyseessä on

  1. origon kautta kulkeva suora
  2. origokeskinen ympyrä
  3. ylöspäin aukeava paraabeli, jonka huippu on origossa.

[Pitkä S2015/2]

  1. Ratkaistussa muodossa $y = \frac{4}{3}x$ tai normaalimuodossa $4x - 3y = 0$.
  2. $x^2 + y^2 = 25$
  3. $y = \frac{4}{9}x^2$

  1. Missä pisteessä paraabelit $y = x^2 + x + 1$ ja $y = x^2 + 2x + 3$ leikkaavat?
  2. Määritä käyrien $y = 12x^3 - 36x$ ja $y = -12x^2 + 36x$ leikkauspisteet.

[Pitkä S2014/1b & K2013/8a]

  1. Pisteessä $(-2,3)$.
  2. Leikkauspisteet ovat $\ (-3,-216)$, $\ (0,0) \ $ ja $\ (2,24)$.

Paraabelin $y = x^2$ jokaista pistettä siirretään vektorin $\vv$ verran. Määritä näin syntyvän käyrän yhtälö muodossa $y = f(x)$, kun

  1. $\vv = 2\vj$
  2. $\vv = 3\vi$
  3. $\vv = 3\vi + 2\vj$.

[Pitkä S2014/4]

  1. $y = x^2 + 2$
  2. $y = (x-3)^2$ eli $y = x^2 - 6x + 9$
  3. $y = (x-3)^2 + 2$ eli $y = x^2 - 6x + 11$.

Tarkastellaan tasokäyrää, jonka yhtälö on $2x^2 + 2y^2 - 3xy - 2x + 2y - 4 = 0$.

  1. Määritä käyrän ja koordinaattiakselien leikkauspisteet.
  2. Osoita, että kaikki leikkauspisteet ovat saman ympyrän kehällä, ja määritä tämän ympyrän yhtälö.
  3. Suora kulkee origon ja b-kohdan ympyrän keskipisteen kautta. Missä pisteissä tämä suora leikkaa alkuperäisen käyrän?

[Pitkä S2013/14]

  1. Leikkauspisteet ovat $\ (-1,0)$, $\ (2,0)$, $\ (0,-2)\ $ ja $\ (0,1)$.
  2. Ympyrän yhtälö on $\left(x - \frac{1}{2} \right)^2 + \left(y + \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{10}{4}$.
  3. Leikkauspisteet ovat $\left(\frac{2-4\sqrt{2}}{7}, \frac{-2+4\sqrt{2}}{7}\right)$ ja $\left(\frac{2+4\sqrt{2}}{7}, \frac{-2-4\sqrt{2}}{7}\right)$.

Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ kuvaaja kulkee pisteiden $\ (-1,12)$, $\ (0,5)\ $ ja $\ (2,-3)\ $ kautta. Määritä lausekkeen $a + b + c$ arvo.
[Pitkä S2010/4]

$a + b + c = 0$

Tarkastellaan origon kautta kulkevaa ympyrää, jonka keskipiste on positiivisella $y$-akselilla. Kuinka suuri tällaisen ympyrän säde voi enintään olla, jotta origo on ympyrän ja paraabelin $y = x^2$ ainoa yhteinen piste?

Ympyrän säde voi olla enintään $\frac{1}{2}$.

Paraabeli $y = x^2$ erottaa suoran $y = 2x$ suuntaisista suorista janoja. Osoita, että kaikkien tällaisten janojen keskipisteet ovat samalla suoralla. Mikä tämän suoran yhtälö on?
Vinkki: teoreema 6.

Suoran yhtälö on $x = 1$.

Tasamaalla sijaitsevalta räjäytystyömaalta lentää kivi 72 metrin päähän. Kivi katkaisee 48 metrin päässä olevan ohuen puun 13,5 metrin korkeudelta. Oletetaan, että kiven lentorata on paraabeli. Kuinka korkealla kivi käy?
[Pitkä S1998/4]

Kivi käy 15 metrin korkeudessa.

Kahden metrin korkeudelta heitetty pallo osuu viiden metrin päässä olevan puun runkoon viiden metrin korkeudella. Pallon lentoratana on paraabeli, jonka huippu on heittäjän ja puun välissä kahden metrin etäisyydellä puusta. Laske heittokulma. Anna vastaus asteen kymmenesosan tarkkuudella.
[Pitkä K1991/6]

Heittokulma on noin $74{,}5^\circ$.
Vinkkejä: Sijoita paraabeli koordinaatistoon niin, että sen huippu on $y$-akselilla. Mitä muotoa sen yhtälö silloin on? Muodosta yhtälö tangentille, joka kulkee heittopisteen kautta. Muista, että paraabelilla ja sen tangentilla on vain yksi yhteinen piste. Selvitä tämän tiedon avulla tangentin kulmakerroin.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Itseisarvoyhtälö ja -epäyhtälö

Tämän luvun tavoitteena on, että vahvistat itseisarvon käsitteeseen liittyvää osaamistasi ja ratkaiset sujuvasti erilaisia itseisarvoyhtälöitä ja -epäyhtälöitä. Osaat

  • ratkaista muotoa $\left| x - a \right| = t$ olevia yhtälöitä tutkimalla, mitkä luvut ovat etäisyydellä $t$ luvusta $a$
  • ratkaista muotoa $\left| x - a \right| = \left| x - b \right|$ olevia yhtälöitä tutkimalla, mitkä luvut ovat yhtä kaukana luvuista $a$ ja $b$
  • ratkaista erilaisia itseisarvoyhtälöitä ja -epäyhtälöitä eri tavoin:
    • etäisyystulkinnan avulla päättelemällä
    • muodostamalla kaksi tavallista yhtälöä tai epäyhtälöä
    • graafisesti koordinaatistossa
  • havainnollistaa ratkaisuja lukusuoralla ja koordinaatistossa.

Kurssin ensimmäisessä luvussa Etäisyys opittiin, miten itseisarvon avulla voidaan ilmaista etäisyyksiä lukusuoralla. Itseisarvoa tarvittiin myös, kun määritettiin tason pisteen etäisyys suorasta (teoreema 13). Kun määritettiin yhtälö ympyrän tangetille tai paraabelille, ratkaistiin yhtälö, jossa esiintyi itseisarvo. Tässä kappaleessa syvennytään tarkemmin itseisarvoyhtälöiden ratkaisemiseen.

Aloitetaan palauttamalla mieleen itseisarvon määritelmä:

MÄÄRITELMÄ: ITSEISARVO

Luvun $a$ itseisarvo $\left|a\right|$ ilmaisee luvun $a$ etäisyyden luvusta nolla lukusuoralla.

Luvussa Etäisyys johdettiin seuraava teoreema, jonka mukaan erotuksen itseisarvo ilmaisee etäisyyden lukusuoralla:

TEOREEMA

Lukujen $a$ ja $b$ välinen etäisyys lukusuoralla on $\left|a-b\right|$.

Yksinkertaisimmat itseisarvoyhtälöt on mahdollista ratkaista tämän teoreeman avulla päättelemällä. Tätä harjoitellaan seuraavissa tehtävissä.

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $\left|x - 8\right| = 3$.

  1. Piirrä lukusuora ja merkitse siihen luku $8$. Merkitse näkyviin myös ne luvut, joiden etäisyys luvusta $8$ on kolme.
  2. Mitkä luvut toteuttavat yhtälön $\left|x - 8\right| = 3$?

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $\left|x + 6 \right| = 4$.

  1. Kirjoita summa $x + 6$ erotuksena.
  2. Piirrä lukusuora ja merkitse siihen luku $-6$. Merkitse näkyviin myös ne luvut, joiden etäisyys luvusta $-6$ on neljä.
  3. Mitkä luvut toteuttavat yhtälön $\left|x + 6 \right| = 4$?

Useilla itseisarvoyhtälöillä on kaksi ratkaisua. Esimerkiksi yhtälön $\left|x - 7 \right| = 2$ toteuttavat ne luvut, joiden etäisyys luvusta $7$ on kaksi:

Yhtälöllä $\left|x - 7 \right| = 2$ on siis kaksi ratkaisua: $x_1 = 5$ ja $x_2 = 9$.

Keksi jokin sellainen vakion $a$ arvo, että yhtälöllä $\left|x - 5 \right| = a$

  1. on tasan kaksi ratkaisua
  2. on tasan yksi ratkaisu
  3. ei ole yhtään ratkaisua.

Joillakin itseisarvoyhtälöillä ei ole lainkaan ratkaisua. Esimerkiksi yhtälö $$\left|x - 10 \right| = -3$$ on aina epätosi, sillä sen oikea puoli on negatiivinen mutta vasen puoli on itseisarvon määritelmän perusteella aina suurempi tai yhtä suuri kuin nolla. Ennen itseisarvoyhtälön ratkaisemista kannattaakin ensin miettiä, voiko yhtälöllä ylipäätään olla ratkaisuja.

Ratkaise seuraavat yhtälöt päättelemällä. Voit käyttää piirrosta apuna, jos haluat.

  1. $\left|x\right| = 7$
  2. $\left|x - 5 \right| = 9$
  3. $\left|1 + x \right| = 8$
  4. $\left|4 - x \right| = -6$

  1. $x = 7$ tai $x = -7$
  2. $x = 14$ tai $x = -4$
  3. $x = 7$ tai $x = -9$
  4. Ei ratkaisuja.

Monimutkaisemmat itseisarvoyhtälöt on mahdollista ratkaista muodostamalla kaksi tavallista yhtälöä. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$\left|2x - 3 \right| = 4.$$ Se toteutuu, jos ja vain jos lausekkeen $2x + 3$ arvo on $4$ tai $-4$. Tutkitaan kumpikin vaihtoehto:

  1. vaihtoehto (lausekkeen arvo on $4$): \begin{align*} 2x-3 &= 4 \\ 2x &= 7 \\ x &= \frac{7}{2} \end{align*} Ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön: $$\left|2\cdot \frac{7}{2} - 3 \right| = \left|4 \right| =4.$$
  2. vaihtoehto (lausekkeen arvo on $-4$): \begin{align*} 2x-3 &= -4 \\ 2x &= -1 \\ x &= -\frac{1}{2} \end{align*} Ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön: $$\left|2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 3 \right| = \left|-4 \right| = 4.$$

Yhtälöllä $\left|2x - 3 \right| = 4$ on siis kaksi ratkaisua: $$x_1 = \frac{7}{2} \ \text{ ja } \ x_2 = -\frac{1}{2}.$$

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $\left|3x + 1 \right| = 5$.

  1. Luettele luvut, joiden itseisarvo on $5$.
  2. Muodosta a-kohdan avulla alkuperäisestä yhtälöstä kaksi tavallista yhtälöä.
  3. Ratkaise muodostamasi yhtälöt. Tarkista, että saamasi ratkaisut todella toteuttavat alkuperäisen yhtälön.

Ratkaise seuraavat itseisarvoyhtälöt:

  1. $\left|8x - 11 \right| = 3$
  2. $\left|5x - 30\right| = -10$
  3. $\left|7 - 6x \right| = 9$

  1. $x = \frac{7}{4}$ tai $x = 1$
  2. Ei ratkaisuja.
  3. $x = -\frac{1}{3}$ tai $x = \frac{8}{3}$

Tarkastellaan seuraavaksi yhtälöitä, joissa esiintyy kaksi itseisarvoa. Niiden ratkaisemiseen voidaan käyttää samoja menetelmiä kuin edellä. Yksinkertaisimmat yhtälöt voidaan ratkaista päättelemällä, kun muistetaan, että erotuksen itseisarvo ilmaisee lukujen etäisyyden lukusuoralla.

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $\left|x - 3 \right| = \left|x + 5 \right|$.

  1. Kirjoita summa $x + 5$ erotuksena.
  2. Piirrä lukusuora ja merkitse siihen luvut $3$ ja $-5$. Mitkä luvut ovat yhtä kaukana luvuista $3$ ja $-5$?
  3. Mitkä luvut toteuttavat yhtälön $\left|x - 3 \right| = \left|x + 5 \right|\,$?

Ratkaise seuraavat yhtälöt päättelemällä. Voit käyttää piirrosta apuna, jos haluat.

  1. $\left|x - 1 \right| = \left|x - 9 \right|$
  2. $\left|x + 2 \right| = \left|7 - x \right|$

  1. $x = 5$
  2. $x = \frac{5}{2}$

Monimutkaisemmat tapaukset on mahdollista ratkaista muodostamalla kaksi tavallista yhtälöä. Menetelmä perustuu Etäisyys-luvussa perusteltuun teoreemaan 2. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$\left|2x - 3 \right| = \left|5x + 4 \right|.$$ Se toteutuu, jos ja vain jos itseisarvojen sisällä olevat lausekkeet ovat samat tai toistensa vastalausekkeet. Tutkitaan kumpikin vaihtoehto:

  1. vaihtoehto (lausekkeet ovat samat): \begin{align*} 2x-3 &= 5x + 4 \\ -3x &= 7 \\ x &= -\frac{7}{3} \end{align*} Ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön. Vasemmaksi puoleksi saadaan $$\left|2\cdot \left(-\frac{7}{3}\right) - 3 \right| = \left|-\frac{23}{3} \right| = \frac{23}{3}.$$ Oikeaksi puoleksi saadaan $$\left|5\cdot \left(-\frac{7}{3}\right) + 4 \right| = \left|-\frac{23}{3} \right| = \frac{23}{3}.$$ Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.
  2. vaihtoehto (lausekkeet ovat toistensa vastalausekkeet): \begin{align*} 2x - 3 &= -(5x + 4) \\ 2x - 3 &= -5x - 4 \\ 7x &= -1 \\ x &= -\frac{1}{7} \end{align*} Ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön. Vasemmaksi puoleksi saadaan $$\left|2\cdot \left(-\frac{1}{7}\right) - 3 \right| = \left|-\frac{23}{7} \right| = \frac{23}{7}.$$ Oikeaksi puoleksi saadaan $$\left|5\cdot \left(-\frac{1}{7}\right) + 4 \right| = \left|\frac{23}{7} \right| = \frac{23}{7}.$$ Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.

Yhtälöllä $\left|2x - 3 \right| = \left|5x + 4 \right|$ on siis kaksi ratkaisua: $$x_1 = -\frac{7}{3} \ \text{ ja } \ x_2 = -\frac{1}{7}.$$

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $\left|2 - 7x \right| = \left|3x + 6 \right|$.

  1. Oletetaan, että itseisarvojen sisällä olevat lausekkeet ovat samat. Muodosta tästä yhtälö ja ratkaise se.
  2. Oletetaan, että itseisarvojen sisällä olevat lausekkeet ovat toistensa vastalausekkeet. Muodosta tästä yhtälö ja ratkaise se.
  3. Onko mahdollista, että yhtälö toteutuu, jos itseisarvojen sisällä olevat lausekkeet eivät ole samoja eivätkä toistensa vastalausekkeita? Selitä omin sanoin.
  4. Mitkä luvut toteuttavat yhtälön $\left|2 - 7x \right| = \left|3x + 6 \right|\,$?

Ratkaise seuraavat itseisarvoyhtälöt:

  1. $\left|x - 2 \right| = \left|3x + 1 \right|$
  2. $\left|2x - 3 \right| = \left|4x - 2 \right|$

  1. $x = -\frac{3}{2}$ tai $x = \frac{1}{4}$
  2. $x = -\frac{1}{2}$ tai $x = \frac{5}{6}$

Selitä omin sanoin, miten ratkaiset seuraavan tyyppiset itseisarvoyhtälöt. Voit myös havainnollistaa ratkaisuja lukusuoralla piirroksen avulla.

  1. $\left|x - a \right| = t$
  2. $\left|x - a \right| = \left|x - b \right|$
  3. $\left|kx + h \right| = t$
  4. $\left|kx + h \right| = \left|cx + d \right|$

Tässä kappaleessa harjoitellaan itseisarvoepäyhtälöiden ratkaisemista. Osa niistä voidaan ratkaista päättelemällä, kun muistetaan, että erotuksen itseisarvo ilmaisee etäisyyden lukusuoralla.

Tehtävänä on ratkaista epäyhtälö $\left|x - 5\right| < 2$.

  1. Piirrä lukusuora ja merkitse siihen luku $5$. Merkitse näkyviin myös ne luvut, joiden etäisyys luvusta $5$ on pienempi kuin kaksi.
  2. Mitkä luvut toteuttavat epäyhtälön $\left|x - 5\right| < 2$?

Tehtävänä on ratkaista epäyhtälö $\left|x + 1 \right| > 3$.

  1. Kirjoita summa $x + 1$ erotuksena.
  2. Piirrä lukusuora ja merkitse siihen luku $-1$. Merkitse näkyviin myös ne luvut, joiden etäisyys luvusta $-1$ on suurempi kuin kolme.
  3. Mitkä luvut toteuttavat yhtälön $\left|x + 1 \right| > 3$?

Edellisistä tehtävistä voi havaita, että itseisarvoepäyhtälön vastaus riippuu huomattavasti siitä, esiintyykö epäyhtälössä pienempi kuin -merkki vai suurempi kuin -merkki. Esimerkiksi epäyhtälön $$\left| x - 2 \right| < 6$$ ratkaisuja ovat kaikki luvut, joiden etäisyys luvusta $2$ on pienempi kuin $6$: Yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $$-4 < x \quad \textbf{ ja } \quad x < 8.$$ Tämä voidaan ilmaista myös kaksoisepäyhtälönä $-4 < x < 8$.

Jatketaan edellisen esimerkin tarkastelua.

  1. Keksi luku, joka toteuttaa ehdon $x < 8$ mutta ei toteuta epäyhtälöä $\left| x - 2 \right| < 6$.
  2. Keksi luku, joka toteuttaa ehdon $x > -4$ mutta ei toteuta epäyhtälöä $\left| x - 2 \right| < 6$.
  3. Toteuttaako kumpikaan edellisten kohtien esimerkeistäsi ehtoa $-4 < x\ $ ja $\ x < 8$?

Epäyhtälön $$\left| x - 2 \right| > 4$$ ratkaisuja ovat kaikki luvut, joiden etäisyys luvusta $2$ on suurempi kuin $4$: Yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $$x < -2 \quad \textbf{ tai } \quad x > 6.$$

Jatketaan äskeisen esimerkin tarkastelua.

  1. Keksi luku, joka toteuttaa ehdon $x < -2$. Toteuttaako se epäyhtälön $\left| x - 2 \right| > 4$?
  2. Keksi luku, joka toteuttaa ehdon $x > 6$. Toteuttaako se epäyhtälön $\left| x - 2 \right| > 4$?
  3. Keksi luku, joka toteuttaa ehdon $x < -2\ $ ja $\ x > 6$, tai selitä omin sanoin, miksi tällaisen luvun keksiminen on mahdotonta.

Ratkaise seuraavat yhtälöt päättelemällä. Voit käyttää piirrosta apuna, jos haluat. Kirjoita vastaus huolellisesti ja kiinnitä erityistä huomioita siihen, esiintyykö vastauksessa sana "ja" vai sana "tai".

  1. $\left|x\right| < 7$
  2. $\left|x - 5 \right| \geq 9$
  3. $\left|x + 1 \right| > 8$
  4. $\left|4 - x \right| \leq -6$

  1. $x > -7$ ja $x < 7$
  2. $x \leq -4$ tai $x \geq 14$
  3. $x < -9$ tai $x > 7$
  4. Ei ratkaisuja.

Monimutkaisemmat itseisarvoepäyhtälöt on mahdollista ratkaista muodostamalla kaksi tavallista epäyhtälöä samalla periaatteella kuin edellä. Tarkastellaan esimerkiksi epäyhtälöä $$\left|2x - 3 \right| < 4.$$ Se toteutuu, jos ja vain jos lausekkeen $2x - 3$ arvo on lukujen $-4$ ja $4$ välissä eli $$-4 < 2x - 3 < 4.$$ Ratkaistaan kumpikin epäyhtälö:

  1. epäyhtälö: \begin{align*} 2x-3 &> -4 \\ 2x &> -1 \\ x &> -\frac{1}{2} \end{align*}
  2. epäyhtälö: \begin{align*} 2x-3 &< 4 \\ 2x &< 7 \\ x &< \frac{7}{2} \end{align*}

Epäyhtälö $\left|2x - 3 \right| < 4$ toteutuu, jos ja vain jos kumpikin näistä epäyhtälöistä toteutuu eli $$-\frac{1}{2} < x \quad \textbf{ ja } \quad x < \frac{7}{2}.$$ Epäyhtälön $\left|2x - 3 \right| < 4$ ratkaisujoukko on siis lukusuoran väli $$\left] -\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right[.$$ Hakasulkujen suunnasta näkyy, että välin päätepisteet eivät kuulu ratkaisujoukkoon.

Tehtävänä on ratkaista epäyhtälö $\left|3x + 1 \right| < 5$.

  1. Minkä lukujen välissä lausekkeen $3x + 1$ arvon on oltava, jotta sen itseisarvo on pienempi kuin $5$? Muodosta kaksi epäyhtälöä.
  2. Ratkaise muodostamasi epäyhtälöt.
  3. Mikä ehto muuttujan $x$ pitää toteuttaa, jotta se on epäyhtälön $\left|3x + 1 \right| < 5$ ratkaisu? Havainnollista ratkaisujoukkoa lukusuoralla.

Kun ratkaistaan itseisarvoepäyhtälöä, täytyy heti alussa ottaa huomioon, onko epäyhtälössä pienempi kuin -merkki vai suurempi kuin -merkki. Edellisessä esimerkissä ja tehtävässä tarkasteltiin itseisarvoepäyhtälöitä, joissa esiintyi pienempi kuin -merkki. Siirrytään nyt tutkimaan tapausta, jossa epäyhtälössä esiintyy suurempi kuin -merkki.

Tarkalleen ottaen seuraavassa epäyhtälössä esiintyy suurempi tai yhtä suuri kuin -merkki, mutta tämä ei haittaa, sillä päättelyaskeleet ovat samat riippumatta siitä, esiintyykö epäyhtälössä merkki $>$ vai merkki $\geq$.

Tarkastellaan epäyhtälöä $$\left|6x + 7 \right| \geq 5.$$ Se toteutuu, jos ja vain jos lausekkeen $6x + 7$ arvo on enintään $-5$ tai vähintään $5$: $$6x + 7 \leq -5 \quad \textbf{ tai } \quad 6x + 7 \geq 5.$$ Ratkaistaan kumpikin epäyhtälö:

  1. epäyhtälö: \begin{align*} 6x + 7 &\leq -5 \\ 6x &\leq -12 \\ x &\leq -2 \end{align*}
  2. epäyhtälö: \begin{align*} 6x + 7 &\geq 5 \\ 6x &\geq -2 \\ x &\geq -\frac{1}{3} \end{align*}

Epäyhtälö $\left|6x + 7 \right| \geq 5$ siis toteutuu, jos ja vain jos $$x \leq -2 \quad \textbf{ tai } \quad x \geq -\frac{1}{3}.$$ Kaksiosainen ratkaisujoukko voidaan merkitä yhdisteen merkin $\displaystyle \cup$ avulla seuraavasti: $$\left] -\infty, -2\right] \cup \left[-\frac{1}{3}, \infty\right[.$$ Hakasulkujen suunnasta näkyy, että päätepisteet $-2$ ja $-\frac{1}{3}$ kuuluvat ratkaisujoukkoon.

Tehtävänä on ratkaista epäyhtälö $\left|2x - 5 \right| > 3$.

  1. Missä tilanteissa lausekkeen $2x - 5$ itseisarvo on suurempi kuin $3$? Muodosta kaksi epäyhtälöä.
  2. Ratkaise muodostamasi epäyhtälöt.
  3. Mikä ehto muuttujan $x$ pitää toteuttaa, jotta se on epäyhtälön $\left|2x - 5 \right| > 3$ ratkaisu? Havainnollista ratkaisujoukkoa lukusuoralla.

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $\left|8x - 20 \right| > 4$
  2. $\left|5x + 20\right| < 10$
  3. $\left|7 - 6x \right| \geq 11$

  1. $x < 2$ tai $x > 3$
  2. $-6 < x < -2$
  3. $x \leq -\frac{2}{3}$ tai $x \geq 3$

Tässä kappaleessa tutkitaan itseisarvon avulla määriteltyjä koordinaatiston pistejoukkoja ja opetellaan ratkaisemaan itseisarvoyhtälöitä ja -epäyhtälöitä graafisesti.

Aloitetaan tarkastelemalla yhtälöä $y = x$. Tämä yhtälö määrittelee pistejoukon, joka on origon kautta kulkeva suora:

Luvun itseisarvo on aina epänegatiivinen ja ilmaisee luvun etäisyyden nollasta. Tästä tiedosta voidaan päätellä, että yhtälö $y = \left|x\right|$ määrittelee koordinaatistossa seuraavan pistejoukon:

Yhtälön $y = \left|x\right|$ määrittelemä pistejoukko saadaan siis suorasta $y = x$ peilaamalla $x$-akselin alapuolelle jäävä osa $x$-akselin suhteen. Kuvasta näkyy myös havainnollisesti teoreeman 1 tulos: $$ \left|x\right| = \left\{\begin{aligned} &x, \quad \text{ jos $x \geq 0$} \\ -&x, \quad \text{ jos $x < 0$.} \end{aligned}\right. $$ Yhtälön $y = \left|x\right|$ määrittelemä pistejoukko saadaan siis suorista $y = x$ ja $y = -x$ jättämällä pois $x$-akselin alapuoliset osat.

Alla on näkyvissä suora $y = x-2$. Päättele sen avulla, millainen on yhtälön $y = \left|x-2\right|$ määrittelemä pistejoukko. Piirrä se omaan vihkoosi.

Yhdistä oikea pistejoukko ja yhtälö:

  • $\ y = \left|5 - \frac{5}{2}x\right|$
  • $\ y = \left|x\right| + 1$
  • $\ y = \left|2x - 2\right|$
  • $\ y = \left|3x + 2\right|$

Koordinaatistoa ja graafista esitystä voidaan käyttää apuna myös tilanteessa, jossa halutaan ilmaista itseisarvolauseke ilman itseisarvomerkkejä. Esimerkiksi alla on näkyvissä pistejoukko, jonka yhtälö on $y = \left|3-2x\right|$.

Kuvasta voidaan päätellä, että $$ \left|3-2x\right| = \left\{\begin{aligned} &\textcolor{blue}{3-2x}, \ \text{ jos $x \leq \tfrac{3}{2}$} \\ &\textcolor{red}{2x-3}, \ \text{ jos $x > \tfrac{3}{2}$.} \end{aligned}\right. $$

Tehtävänä on ilmaista lauseke $\left|\frac{4}{3}x + 2\right|$ ilman itseisarvomerkkejä.

  1. Piirrä koordinaatistoon suora $y = \frac{4}{3}x + 2$. Selvitä laskemalla, missä kohdassa se leikkaa $x$-akselin.
  2. Piirrä koordinaatistoon pistejoukko $y = \left|\frac{4}{3}x + 2\right|$. Huomaa, että voit hyödyntää a-kohtaa.
  3. Ilmaise lauseke $\left|\frac{4}{3}x + 2\right|$ ilman itseisarvomerkkejä. Tarkista vastauksesi järkevyys vertaamalla sitä b-kohdan piirrokseen.

  1. $$ \left|\tfrac{4}{3}x + 2\right| = \left\{\begin{aligned} &\tfrac{4}{3}x + 2, \text{ jos $x \geq -\tfrac{3}{2}$} \\ -&\tfrac{4}{3}x - 2, \text{ jos $x < -\tfrac{3}{2}$.} \end{aligned}\right. $$

Itseisarvoyhtälöitä voidaan ratkaista graafisesti samaan tapaan kuin MAA2-kurssissa ratkaistiin ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöitä. Esimerkiksi yhtälö $$\left|2x + 2\right| = 3$$ voidaan ratkaista piirtämällä koordinaatistoon pistejoukot $y = \left|2x + 2\right|$ ja $y = 3$:

Kuvasta havaitaan, että yhtälöllä $$\left|2x + 2\right| = 3$$ on kaksi ratkaisua: $x_1 = -0{,}5$ ja $x_2 = 2{,}5$.

Päättele alla olevan kuvan avulla seuraavien itseisarvoyhtälöiden ja -epäyhtälöiden ratkaisut:

  1. $\left|1-2x\right| = 4$
  2. $\left|1-2x\right| < 4$
  3. $\left|1-2x\right| > 4$

Monimutkaisempiakin itseisarvoyhtälöitä voidaan tutkia graafisesti. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta voidaan päätellä, että yhtälöllä $$\left|2x + 2\right| = \left|1-2x\right|$$ on tasan yksi ratkaisu:

Ratkaise edellisen esimerkin yhtälö $$\left|2x + 2\right| = \left|1-2x\right|$$ kynän ja paperin avulla. Tarkista tuloksesi järkevyys vertaamalla sitä esimerkin piirrokseen.

Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt graafisesti:

  1. $\left|2x-1\right| = \left|2 - x\right|$
  2. $\left|2x-1\right| < \left|2 - x\right|$

Graafisesti voidaan tutkia sellaisiakin yhtälöitä, joissa tuntematon esiintyy sekä itseisarvomerkkien sisällä että ulkopuolella. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta voidaan päätellä, että yhtälöllä $$2x + 1 = \left|x\right|$$ on tasan yksi ratkaisu:

Ratkaisun tarkan arvon selvittämiseen on useita tapoja. Voidaan esimerkiksi korottaa yhtälön molemmat puolet toiseen potenssiin, jolloin saadaan yhtälö $$(2x + 1)^2 = \left|x\right|^2. \tag{1}$$ Tätä yhtälöä voidaan sieventää edelleen: \begin{align*} 4x^2 + 4x + 1 &= x^2 \\ 3x^2 + 4x + 1 &= 0 \end{align*} Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan \begin{align*} x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4\cdot 3 \cdot 1}}{2\cdot 3} \\ &= \frac{-4 \pm 2}{6} \\ &= \frac{-2 \pm 1}{3} \end{align*} Siis $x = -\frac{1}{3}$ tai $x = -1$. Kuvasta kuitenkin nähtiin jo aikaisemmin, että ratkaisuja on tasan yksi eikä kaksi. Mistä on kysymys?

Ilmiö johtuu toiseen potenssiin korotuksesta. Sen avulla saatu yhtälö (1) kyllä seuraa alkuperäisestä yhtälöstä, mutta yhtälöstä (1) ei päästä takaisin alkuperäiseen yhtälöön. Jos yritetään ottaa yhtälöstä (1) neliöjuuri, tuloksena on yhtälö \begin{align*} \sqrt{(2x + 1)^2} &= \sqrt{\left|x\right|^2}. \end{align*} Se sievenee vain muotoon $$ \left|2x + 1\right| = \left|x\right|. $$ Itseisarvoja ei voida poistaa vasemmalta, koska lauseke $2x+1$ saa myös negatiivisia arvoja, mutta neliöjuuren tulos on määritelmän mukaan aina epänegatiivinen.

Toiseen potenssiin korotusta voi tästä ilmiöstä huolimatta käyttää yhtälöiden ratkaisemisessa, kunhan muistaa lopuksi tarkistaa, ovatko kaikki löydetyt ratkaisuehdokkaat todella ratkaisuja.

Edellä löydettiin ratkaisuehdokkaat $x_1 = -\frac{1}{3}$ ja $x_2 = -1$. Tutkitaan, toteuttaako $x_1 = -\frac{1}{3}$ alkuperäisen yhtälön:

  • Yhtälön vasen puoli: $2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 1 = \frac{1}{3}$.
  • Yhtälön oikea puoli: $\left|-\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3}$.

Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten $x_1 = -\frac{1}{3}$ on yhtälön ratkaisu.

Tutkitaan vielä, toteuttaako $x_2 = -1$ alkuperäisen yhtälön:

  • Yhtälön vasen puoli: $2\cdot \left(-1\right) + 1 = -1$.
  • Yhtälön oikea puoli: $\left|-1\right| = 1$.

Yhtälön vasen ja oikea puoli eivät ole yhtä suuret, joten $x_2 = -1$ ei ole yhtälön ratkaisu.

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $\left| 2x + 3 \right| = 2-x$.

  1. Selvitä yhtälön ratkaisujen lukumäärä graafisesti samaan tapaan kuin edellä.
  2. Selvitä ratkaisujen tarkat arvot kynän ja paperin avulla.

Itseisarvoyhtälö

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $6|x| - 10 = 0$
  2. $\left|x - 5\right| + 1 = 0$

  1. $x = \frac{5}{3}$ tai $x = -\frac{5}{3}$
  2. Ei ratkaisuja.

Itseisarvoyhtälö

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $\left|x^2 + 1\right| = 3$
  2. $\left|x^2 - 3\right| = 1$

  1. $x = \pm\sqrt{2}$
  2. $x = \pm 2$ tai $x = \pm\sqrt{2}$

Itseisarvoyhtälö

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $\left|3x-2\right| = \left|4x\right|$
  2. $\left|1-2x\right| = \left|x-1\right|$

  1. $x = -2$ tai $x = \frac{2}{7}$
  2. $x = 0$ tai $x = \frac{2}{3}$

Itseisarvoepäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $\left|x - 2 \right| < 3$
  2. $\left|x + 3 \right| > 4$

  1. $-1 < x < 5$
  2. $x < -7$ tai $x > 1$

Itseisarvoepäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $\left|2x \right| < 6$
  2. $\left|5x \right| > 7$

  1. $-3 < x < 3$
  2. $x < -\frac{7}{5}$ tai $x > \frac{7}{5}$

Itseisarvoepäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $\left|2x - 1\right| \geq 1$
  2. $\left|3 - 4x \right| \leq 1$

  1. $x \leq 0$ tai $x \geq 1$
  2. $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$

Itseisarvoepäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $2|x| - 6 \leq 0$
  2. $\left|3x \right| + 2 \geq 0$
  3. $\left|\dfrac{x}{2}\right| - 1 > 0$

  1. $-3 \leq x \leq 3$
  2. Epäyhtälön toteuttavat kaikki reaaliluvut.
  3. $x < -2$ tai $x > 2$

Itseisarvo koordinaatistossa

Päättele, mikä on alla näkyvän pistejoukon yhtälö

$y = \left|\frac{1}{2}x -\frac{3}{2} \right|$ tai yhtä hyvin $y = \left|-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \right|$

Itseisarvo koordinaatistossa

Alla on näkyvissä osa paraabelista, jonka yhtälö on $y = x^2 -2x - 1$. Hahmottele sen avulla koordinaatistoon pistejoukko, jonka yhtälö on $y = \left| x^2 - 2 - 1\right|$.

Muista, että voit tarkistaa vastauksesi piirtämällä pistejoukon tietokoneella tai laskimella.

Itseisarvo koordinaatistossa

Ilmaise seuraavat lausekkeet ilman itseisarvomerkkejä:

  1. $\left|4-x\right|$
  2. $\left|\frac{1}{3}x - 1\right|$

  1. $$ \left\{\begin{aligned} &4-x, \text{ jos $x \leq 4$} \\ &x-4, \text{ jos $x > 4$.} \end{aligned}\right. $$
  2. $$ \left\{\begin{aligned} &\tfrac{1}{3}x - 1, \text{ jos $x \geq 3$} \\ -&\tfrac{1}{3}x + 1, \text{ jos $x < 3$.} \end{aligned}\right. $$

Itseisarvo koordinaatistossa

Ratkaise graafisesti yhtälö $\left|2x + 5 \right| = 3x - 1$.

$x = 6$

Itseisarvo koordinaatistossa

Ratkaise yhtälö $\left|x + 5 \right| = 3x$. Voit tutkia ratkaisujen lukumäärän graafisesti, mutta selvitä tarkat arvot laskemalla.

$x = \frac{5}{2}$

Ratkaise yhtälö

  1. $\left|\frac{3}{2}x - 6 \right| = 6$.
  2. $\left|3x - 2\right| = 5$.

[Pitkä K2011/1c & K2008/2c]

  1. $x = 0$ tai $x = 8$
  2. $x = \frac{7}{3}$ tai $x = -1$

Ratkaise yhtälö $\left|x\right| = 1 + x$.
[Pitkä S2012/1b]

$x = -\frac{1}{2}$

Ratkaise epäyhtälö $\left|3x - 2 \right| < 4$.
[Pitkä K2007/1b]

  1. $-\frac{2}{3} < x < 2$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.