Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA8 - Juuri- ja logaritmifunktiot

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

MAA8 - Juuri- ja logaritmifunktiot

Kurssin tavoitteena on, että

  • kertaat potenssien laskusäännöt mukaan lukien murtopotenssit
  • tunnet juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuudet ja osaat ratkaista niihin liittyviä yhtälöitä
  • osaat tutkia juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioita derivaatan avulla
  • osaat hyödyntää eksponenttifunktiota mallintaessasi erilaisia kasvamisen ja vähenemisen ilmiöitä
  • osaat käyttää teknisiä apuvälineitä juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden tutkimisessa ja juuri-, eksponentti- ja logaritmiyhtälöiden ratkaisemisessa sekä juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaattojen määrittämisessä sovellusongelmissa.

Keskeiset sisällöt

  • potenssien laskusäännöt
  • juurifunktiot ja -yhtälöt
  • eksponenttifunktiot ja -yhtälöt
  • logaritmifunktiot ja -yhtälöt
  • juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaatat.

Kurssimateriaali on jaettu neljään lukuun: Juurifunktiot, Eksponenttifunktiot, Logaritmifunktiot ja Käänteisfunktio.

Pääajatus kurssimateriaalissa on, että matematiikkaa oppii parhaiten tekemällä matematiikkaa. Materiaali on tämän vuoksi kirjoitettu niin, että teet tehtäviä käytännössä koko ajan. Jokainen luku sisältää kolme eri tehtäväsarjaa. Ensimmäisen tehtäväsarjan tehtävät ovat teorian seassa. Tarkoitus on, että etenet materiaalissa tekemällä jokaisen näistä tehtävistä. Voit hyvin tehdä tehtäviä yhdessä kaverin kanssa ja voit kysyä opettajalta heti, jos et ymmärrä jotain asiaa. Asia voi olla jokin tietty tehtävä, teoriassa oleva virke tai esimerkiksi vieras matemaattinen symboli. Pääasia on, että sinä itse teet tehtävät ja ymmärrät, mitä teet. Tämän tehtäväsarjan jälkeen kyseisen luvun teoria on käsitelty ja on aika harjoitella ja syventää juuri opittua. Ennen tätä opettaja pitää ehkä yhteisen opetustuokion tai -keskustelun, jossa pohditaan yhdessä luvun keskeisiä asioita tai työskentelyssä esiin tulleita haastavia kohtia. Mahdollisen opetustuokion jälkeen jatka harjoittelua luvun lopussa olevien kahden tehtäväsarjan tehtävien avulla. Luonnollisesti mitä enemmän harjoittelet, sitä paremmaksi tulet. Kun olet valmis, tee luvun lopussa oleva(t) itsearviointitesti(t). Niiden tarkoitus on kertoa sinulle, oletko ymmärtänyt luvun olennaiset asiat ja kehittää samalla oman oppimisesi arviointia, joka on tärkeä tulevaisuuden taito. Testeissä pärjääminen ei vielä tarkoita, että osaat luvun asiat esimerkiksi kiitettävällä tasolla, vaan testit keskittyvät vahvan perusosaamisen tutkimiseen. Ennen siirtymistä seuraavaan lukuun opettaja haluaa ehkä vielä koota luvussa opittuja asioita sekä antaa palautetta oppimisesta ja sen etenemisestä yhteisessä opetuskeskustelussa.

Juurifunktiot

Tämän luvun tavoitteena on, että pystyt tutkimaan juurilausekkeita sisältävän funktion kulkua. Osaat

  • hahmotella parillisten ja parittomien juurifunktioiden kuvaajat
  • ratkaista neliöjuuriyhtälön ja karsia valeratkaisut pois joko sijoittamalla tai määrittely- ja neliöönkorotusehtojen avulla
  • ratkaista myös korkeamman asteen juuriyhtälöitä
  • derivoida juurifunktion murtopotenssin avulla
  • soveltaa aiemmissa kursseissa oppimiasi derivointisääntöjä juurilausekkeita sisältävien funktioiden derivoimiseen
  • määrittää juurilausekkeita sisältävän funktion suurimman ja pienimmän arvon.

Kurssissa MAA2 tutustuttiin neliöjuureen, kuutiojuureen ja korkeampiin juuriin sekä ilmaistiin potenssiyhtälöiden ratkaisuja niiden avulla. Tässä kappaleessa erilaisia juuria tutkitaan funktioiden näkökulmasta.

Aloitetaan palauttamalla mieleen neliöjuuren ja korkeampien juurten määritelmät.

Kertaa tarvittaessa neliöjuuren sekä korkeampien juurten määritelmät kurssilta MAA2. Päättele sen jälkeen seuraavien juurten arvot ja perustele vastauksesi.

  1. $\sqrt{81}$
  2. $\sqrt[3]{125}$
  3. $\sqrt[4]{81}$
  4. $\sqrt[5]{-32}$

  1. $\sqrt{81} = 9$, sillä $9 \geq 0$ ja $9^2 = 81$
  2. $\sqrt[3]{125} = 5$, sillä $5^3 = 125$
  3. $\sqrt[4]{81} = 3$, sillä $3 \geq 0$ ja $3^4 = 81$
  4. $\sqrt[5]{-32} = -2$, sillä $(-2)^5 = -32$

Juuret määriteltiin kurssilla MAA2 potenssiyhtälöiden ratkaisuina. Koska potenssifunktion $f(x) = x^n$ ominaisuudet riippuvat siitä, onko eksponentti $n$ parillinen vai pariton, ovat myös parilliset ja parittomat juuret keskenään erilaisia. Pariton juuri voidaan ottaa myös negatiivisesta luvusta kuten esimerkiksi edellisen tehtävän d-kohdassa tehtiin. Parillinen juuri on määritelty vain silloin, kun juurrettava on epänegatiivinen.

Seuraavassa tehtävässä tutkitaan neliöjuurifunktion ominaisuuksia neliöjuuren määritelmän pohjalta.

Neliöjuuren määritelmän mukaan luvun $a \geq 0$ neliöjuuri $\sqrt{a}$ on se epänegatiivinen luku $b$, jolla pätee $$ b^2 = a. $$

  1. Päättele neliöjuuren määritelmästä, mikä on neliöjuurifunktion $f(x) = \sqrt{x}$ määrittelyjoukko. Selitä omin sanoin, miten päättelit.
  2. Päättele neliöjuuren määritelmästä, millaisia arvoja neliöjuurifunktio $f(x) = \sqrt{x}\,$ saa. Selitä omin sanoin, miten päättelit.
  3. Täydennä alla oleva taulukko ja hahmottele sen avulla neliöjuurifunktion kuvaaja.
    Muuttujan arvo Funktion arvo
    $x$ $f(x) = \sqrt{x}$
    $0$ $f(0) = \phantom{\sqrt{x}}$
    $1$
    $4$
    $9$
    $16$
    $25$

  1. Neliöjuurifunktio on määritelty, jos juurrettava on epänegatiivinen eli $x \geq 0$. Neliöjuurifunktion määrittelyjoukko on siis $[0, \infty\pe$. Syynä on se, että neliöjuuri määritellään vain epänegatiivisille luvuille: "luvun $a \geq 0$ neliöjuuri on $\ldots$".
  2. Neliöjuurifunktio saa vain epänegatiivisia arvoja eli $\sqrt{x} \geq 0$ aina, kun neliöjuuri on määritelty. Syynä on se, että määritelmän mukaan neliöjuuri on aina epänegatiivinen: "$\sqrt{a}$ on se epänegatiivinen luku $b$, jolla pätee $\ldots$".
  3. Taulukko:
    Muuttujan arvo Funktion arvo
    $x$ $f(x) = \sqrt{x}$
    $0$ $f(0) = 0$
    $1$ $f(1) = 1$
    $4$ $f(4) = 2$
    $9$ $f(9) = 3$
    $16$ $f(16) = 4$
    $25$ $f(25) = 5$
    Kuvaaja:

Tehtävän 1.2 tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Neliöjuurifunktion $$ f(x) = \sqrt{x} $$ määrittelyjoukko on $[0, \infty\pe$. Neliöjuurifunktion arvo on aina epänegatiivinen.

Perustelu tehtävässä 1.2.

Päättele, millä muuttujan arvoilla funktio $f$ on määritelty, jos

  1. $f(x) = \sqrt{x-2}$
  2. $f(x) = \sqrt{x+9}$
  3. $f(x) = \sqrt{25-x^2}$
  4. Varmista, että osaat tarkistaa määrittelyjoukot teknisellä apuvälineellä. Esimerkiksi TI Nspire CX CAS -ohjelmistolla tämä onnistuu komennolla domain(lauseke,muuttuja).

Funktio $f$ on määritelty, jos ja vain jos juurrettava on epänegatiivinen eli

  1. $x \geq 2$
  2. $x \geq -9$
  3. $-5 \leq x \leq 5$

Seuraavissa tehtävissä tutkitaan erilaisia neliöjuurifunktion muunnelmia.

Yhdistä funktio ja sen kuvaaja. Vastaa sen jälkeen tehtävän lopussa oleviin kysymyksiin.

  • $f(x) = \sqrt{x-1}$
  • $g(x) = \sqrt{x+2}$
  • $h(x) = \sqrt{x} + 1$


  1. Miten vakio $a$ vaikuttaa funktion $v(x) = \sqrt{x+a}$ kuvaajan sijaintiin koordinaatistossa?
  2. Miten vakio $b$ vaikuttaa funktion $w(x) = \sqrt{x} + b$ kuvaajan sijaintiin koordinaatistossa?

Funktion $f$ kuvaaja on C.
Funktion $g$ kuvaaja on A.
Funktion $h$ kuvaaja on B.

  1. Vakio $a$ siirtää funktion $v(x) = \sqrt{x+a}$ kuvaajaa $x$-akselin suunnassa verrattuna tavallisen neliöjuurifunktion kuvaajaan. Jos $a > 0$, kuvaaja siirtyy vasemmalle. Jos $a < 0$, kuvaaja siirtyy oikealle.
  2. Vakio $b$ siirtää funktion $w(x) = \sqrt{x} + b$ kuvaajaa $y$-akselin suunnassa verrattuna tavallisen neliöjuurifunktion kuvaajaan. Jos $b > 0$, kuvaaja siirtyy ylöspäin. Jos $b < 0$, kuvaaja siirtyy alaspäin.

Alla on näkyvissä erilaisten neliöjuurifunktioiden kuvaajia. Muodosta funktioille lausekkeet.



Vinkki: hyödynnä tehtävän 1.4 havaintoja.

  • $f(x) = \sqrt{x + 3}$
  • $g(x) = \sqrt{x-2} - 1$
  • $h(x) = -\sqrt{x}$

Siirrytään seuraavaksi tutkimaan kuutiojuurta ja korkeampia juuria.

Kuutiojuuren määritelmän mukaan luvun $a$ kuutiojuuri $\sqrt[3]{a}$ on se luku $b$, jolla pätee $$ b^3 = a. $$

  1. Päättele kuutiojuuren määritelmästä, mikä on kuutiojuurifunktion $f(x) = \sqrt[3]{x}\,$ määrittelyjoukko. Selitä omin sanoin, miten päättelit.
  2. Päättele kuutiojuuren määritelmästä, millaisia arvoja kuutiojuurifunktio $f(x) = \sqrt[3]{x}\,$ saa. Selitä omin sanoin, miten päättelit.
  3. Täydennä alla oleva taulukko ja hahmottele sen avulla kuutiojuurifunktion kuvaaja.
    Muuttujan arvo Funktion arvo
    $x$ $f(x) = \sqrt[3]{x}$
    $0$ $f(0) = \phantom{\sqrt[3]{x}}$
    $1$
    $8$
    $27$
    Vinkki: Vaikka taulukko on suppea, saatat pystyä päättelemään sen avulla monia kuutiojuurifunktion arvoja, jotka eivät ole taulukossa. Mitä on esimerkiksi $f(-8)$?

  1. Kuutiojuurifunktio on määritelty kaikilla reaaliluvuilla eli sen määrittelyjoukko on koko lukusuora $\R$. Syynä on se, ettei määritelmässä aseteta mitään ehtoja juurrettavalle: "luvun $a$ kuutiojuuri on $\ldots$".
  2. Kuutiojuurifunktio saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Jos $a$ on negatiivinen, myös sen kuutiojuuri on negatiivinen, sillä kolmanteen potenssiin korotuksessa luvun etumerkki säilyy: "$\sqrt[3]{a}$ on se luku $b$, jolla pätee $b^3 = a$".
  3. Taulukko:
    Muuttujan arvo Funktion arvo
    $x$ $f(x) = \sqrt[3]{x}$
    $0$ $f(0) = 0$
    $1$ $f(1) = 1$
    $8$ $f(8) = 2$
    $27$ $f(27) = 3$
    Kuvaaja:

    Huomaa, että kuvaaja on symmetrinen origon suhteen, koska esimerkiksi $f(-1) = \sqrt[3]{-1} = -1$ ja $f(-8) = \sqrt[3]{-8} = -2$.

Tehtävän 1.6 tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Kuutiojuurifunktion $$ f(x) = \sqrt[3]{x} $$ määrittelyjoukko on koko lukusuora $\R$. Kuutiojuurifunktio saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja.

Perustelu tehtävässä 1.6.

Päättele, millä muuttujan arvoilla funktio $f$ on määritelty, jos

  1. $f(x) = \sqrt[3]{x-7}$
  2. $f(x) = \dfrac{1}{2+\sqrt[3]{x}}$
  3. $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x + 5}}$

Funktio $f$ on määritelty

  1. kaikilla reaaliluvuilla
  2. jos ja vain jos nimittäjä on nollasta poikkeava eli $x \neq -8$
  3. jos ja vain jos nimittäjä on nollasta poikkeava eli $x \neq -5$.

Kertaa tarvittaessa $n$:nnen juuren määritelmä MAA2-kurssilta. Päättele määritelmän avulla, mikä on funktion $f(x) = \sqrt[n]{x}\,$ määrittelyjoukko ja millaisia arvoja se saa, jos

  1. $n \geq 2$ on parillinen kokonaisluku
  2. $n \geq 3$ on pariton kokonaisluku.

  1. Jos $n \geq 2$ on parillinen kokonaisluku, funktion $f(x) = \sqrt[n]{x}\,$ määrittelyjoukko on $[0, \infty\pe$ ja sen arvot ovat epänegatiivisia.
  2. Jos $n \geq 3$ on pariton kokonaisluku, funktion $f(x) = \sqrt[n]{x}\,$ määrittelyjoukko on $\R$ ja se saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja.

Muotoillaan tehtävän 1.8 päätelmät teoreemaksi:

TEOREEMA

  • Jos $n \geq 2$ on parillinen kokonaisluku, juurifunktion $$ f(x) = \sqrt[n]{x} $$ määrittelyjoukko on väli $[0, \infty\pe$. Funktion arvot ovat epänegatiivisia.
  • Jos $n \geq 3$ on pariton kokonaisluku, juurifunktion $$ f(x) = \sqrt[n]{x} $$ määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko $\R$. Funktio saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja.

Perustelu tehtävässä 1.8.

Yhdistä funktio ja sen kuvaaja:

  • $f(x) = 2-\sqrt[4]{x}$
  • $g(x) = \sqrt[3]{-x}$
  • $h(x) = \sqrt[5]{x+1}$


Funktion $f$ kuvaaja on B.
Funktion $g$ kuvaaja on C.
Funktion $h$ kuvaaja on A.

Kun tutkitaan, missä kohdassa jokin juurifunktio saa tietyn arvon, päädytään niin sanottuun juuriyhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, missä kohdassa funktio $$f(x) = \sqrt{4x+3}$$ saa arvon $4$, joudutaan tutkimaan yhtälöä $$f(x) = 4$$ eli yhtälöä $$\sqrt{4x+3} = 4.$$ Tätä yhtälöä voidaan havainnollistaa piirtämällä juurifunktion $f(x) = \sqrt{4x+3}$ kuvaaja ja vakiofunktion $g(x) = 4$ kuvaaja samaan koordinaatistoon:

Piirroksesta nähdään, että kuvaajat leikkaavat yhdessä kohdassa eli yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu $x \approx 3$. (Tähän päätelmään tarvitaan toki myös tieto siitä, että neliöjuurifunktio saa aina vain suurempia arvoja juurrettavan kasvaessa. Muuten kuvan ulkopuolella voisi olla lisää leikkauskohtia.)

Ratkaisun tarkan arvon selvittäminen ei onnistu pelkän piirroksen avulla vaan tarvitaan muita keinoja. Määritelmän mukaan neliöjuuri on luku, jonka toinen potenssi on sama kuin juurrettava: $$ \left(\sqrt{a}\right)^2 = a $$ kaikilla $a \geq 0$. Neliöjuuresta päästään siis eroon, kun yhtälön kumpikin puoli korotetaan toiseen potenssiin: \begin{align*} \sqrt{4x + 3} &= 4 \quad \mid (\phantom{1})^2 \\ \left(\sqrt{4x + 3}\right)^2 &= 4^2 \\ 4x + 3 &= 16 \\ 4x &= 13 \\ x &= \frac{13}{4} = 3{,}25 \end{align*} Yhtälön ratkaisu on siis $x = 3{,}25$.

Ratkaise yhtälö $$ \sqrt{5x + 2} = 3 $$ samaan tapaan kuin edellä tehtiin. Tarkista vastauksen järkevyys piirtämällä samaan koordinaatistoon funktioiden $f(x) = \sqrt{5x + 2}$ ja $g(x) = 3$ kuvaajat esimerkiksi Geogebralla.

Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $$x = \dfrac{7}{5} = 1{,}4.$$ Kuvasta nähdään, että tulos on järkevä:

Toiseen potenssiin korotuksen käyttö yhtälöiden ratkaisussa poikkeaa aikaisemmin käytetyistä peruslaskutoimituksista. Yhteenlaskun voi aina kumota vähennyslaskulla ja kääntäen. Nollasta poikkeavalla luvulla kertomisen voi aina kumota jakolaskulla, ja jakolaskun voi kumota kertolaskulla. Toiseen potenssiin korotusta ei kuitenkaan voi kumota niin, että varmasti päästäisiin takaisin samaan yhtälöön, josta lähdettiin.

Jos esimerkiksi yhtälön $x = 2$ molemmat puolet korotetaan toiseen potenssiin, saadaan yhtälö $x^2 = 4$. Symbolien avulla ilmaistuna $$ x = 2 \Rightarrow x^2 = 4. $$ Yhtälöstä $x^2 = 4$ ei kuitenkaan voida varmasti päätellä, että $x = 2$, sillä myös $(-2)^2 = 4$. Toisin sanottuna $$ x^2 = 4 \not\Rightarrow x = 2. $$ Oikea päätelmä tässä tapauksessa on $$ x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \ \text{ tai } \ x = -2. $$

Toiseen potenssiin korotus auttaa pääsemään neliöjuurista eroon, mutta saattaa yllä mainitun ilmiön vuoksi tuottaa "ratkaisuja", jotka eivät todellisuudessa ole yhtälön ratkaisuja. Esimerkiksi jos ratkaistaan yhtälö $$ \sqrt{4x + 3} = -1 $$ samaan tapaan kuin edellä, saadaan seuraava päättelyketju: \begin{align*} \sqrt{4x + 3} &= -1 \quad \mid (\phantom{1})^2 \\ \left(\sqrt{4x + 3}\right)^2 &= (-1)^2 \\ 4x + 3 &= 1 \\ 4x &= -2 \\ x &= -\frac{1}{2} = -0{,}5 \end{align*} Jos ratkaisun olemassaoloa tutkitaan graafisesti, paljastuu kuitenkin, että yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua:

Päättelyssä ei sinänsä ole mitään vikaa: se osoittaa, että jos yhtälöllä $\sqrt{4x + 3} = -1$ olisi ratkaisu, se olisi $x = -0{,}5$; mikään muu luku ei voisi tulla kysymykseen. Toiseen potenssiin korotusta voi siis huoletta käyttää neliöjuuriyhtälöiden ratkaisemiseen, kunhan muistaa lopuksi tarkistaa, ovatko löytyneet ratkaisuehdokkaat oikeasti ratkaisuja. Tässäkin tapauksessa sijoittamalla huomataan, että $x = -0{,}5$ ei ole yhtälön ratkaisu. Nimittäin jos $x = -0{,}5$, niin yhtälön vasemmaksi puoleksi saadaan \begin{align*} \sqrt{4\cdot (-0{,}5) + 3} &= \sqrt{-2 + 3} \\ &= \sqrt{1} \\ &= 1. \end{align*} Yhtälön vasen ja oikea puoli eivät siis ole yhtä suuria.

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $$ \sqrt{x} = 2x-3. $$

  1. Hahmottele samaan koordinaatistoon funktioiden $f(x) = \sqrt{x}\,$ ja $g(x) = 2x - 3$ kuvaajat. Kuinka monta ratkaisua tutkittavalla yhtälöllä näyttää olevan?
  2. Ratkaise yhtälö korottamalla molemmat puolet toiseen potenssiin. Muista tutkia sijoittamalla, ovatko kaikki ratkaisuehdokkaat todella yhtälön ratkaisuja.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa summan ja erotuksen neliön kaavat MAA2-kurssin teoreemasta 3.

  1. Yhtälöllä näyttää olevan täsmälleen yksi ratkaisu:
  2. Yhtälöstä $$ x = (2x-3)^2 $$ saadaan ratkaisuehdokkaat $x_1 = 1$ ja $x_2 = \frac{9}{4}$.
    Sijoittamalla huomataan, että ehdokas $x_1$ ei toteuta alkuperäistä yhtälöä: jos $x = 1$, niin yhtälön vasen puoli on $\sqrt{1} = 1$ mutta oikea puoli on $2\cdot 1 - 3 = 2-3 = -1$.
    Ehdokas $x_2$ puolestaan toteuttaa alkuperäisen yhtälön: jos $x = \frac{9}{4}$, niin yhtälön vasen puoli on $$ \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} $$ ja oikea puoli on $$ 2\cdot \frac{9}{4} - 3 = \frac{9}{2} - \frac{6}{2} = \frac{3}{2}. $$ Yhtälö $$ \sqrt{x} = 2x-3 $$ siis toteutuu, jos ja vain jos $x = \dfrac{9}{4}$.

Se, että kaikki ratkaisuehdokkaat eivät kelpaa neliöjuuriyhtälön ratkaisuksi, juontaa juurensa neliöjuuren määritelmään. Neliöjuuren määritelmän mukaan luvun neliöjuuri on aina epänegatiivinen: $$ \sqrt{a} \geq 0 $$ kaikilla $a \geq 0$. Tämän tiedon avulla voidaan jo etukäteen päätellä, mitkä luvut eivät ainakaan kelpaa neliöjuuriyhtälön ratkaisuiksi. Esimerkiksi aiemmin tutkitun yhtälön $$ \sqrt{4x+3} = -1 $$ tapauksessa voidaan päätellä, että sen vasen ja oikea puoli ovat erimerkkiset muuttujan $x$ arvosta riippumatta: vasen puoli on aina epänegatiivinen ja oikea puoli on aina negatiivinen. Yhtälöllä ei siten ole yhtään ratkaisua.

Onko seuraavilla yhtälöillä ratkaisuja? Päättele ensin ja tarkista päättelysi piirtämällä funktioiden kuvaajat samaan koordinaatistoon esimerkiksi Geogebralla.

  1. $\sqrt{7-x} = -4$
  2. $\sqrt{3x-5} = -x^2-1$

  1. Yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, koska sen vasen puoli on aina epänegatiivinen ja oikea puoli on aina negatiivinen. Vasen ja oikea puoli ovat siis erimerkkiset riippumatta muuttujan $x$ arvosta.
  2. Yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, koska sen vasen ja oikea puoli ovat erimerkkiset riippumatta muuttujan $x$ arvosta. Yhtälön vasen puoli on neliöjuurena aina epänegatiivinen. Yhtälön oikea puoli on aina negatiivinen. Tämä seuraa siitä, että $x^2 \geq 0$ kaikilla reaaliluvuilla $x$: \begin{align*} x^2 &\geq 0 \\ -x^2 &\leq 0 \\ -x^2 - 1 &\leq -1. \end{align*}

Tehtävän 1.11 yhtälön $$ \sqrt{x} = 2x-3. $$ tapauksessa tilanne on mutkikkaampi. Sen vasen puoli on neliöjuuren määritelmän nojalla aina epänegatiivinen, mutta oikean puolen merkki riippuu muuttujasta $x$. Yhtälö voi toteutua vain, jos myös oikea puoli on epänegatiivinen eli $2x - 3 \geq 0$. Kun tämä epäyhtälö ratkaistaan, saadaan ehto mahdollisille ratkaisuille: \begin{align*} 2x - 3 &\geq 0\\[1.5mm] 2x &\geq 3 \\[1.5mm] x &\geq \frac{3}{2} \end{align*} Tätä ehtoa kutsutaan neliöönkorotusehdoksi ja sen avulla voidaan tehtävässä 1.11 löydetyistä ratkaisuehdokkaista poimia todelliset ratkaisut: ehdokas $x_1 = 1$ ei toteuta neliöönkorotusehtoa $x \geq 1{,}5$ mutta ehdokas $x_2 = 2{,}25$ toteuttaa sen. Yhtälöllä on siis täsmälleen yksi ratkaisu, joka on $x = 2{,}25$.

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $$ \sqrt{2x-1} = 4x-5. $$

  1. Mikä ehto yhtälön oikean puolen pitää toteuttaa, että yhtälö voi toteutua? Muodosta ja kirjaa ylös tämä neliöönkorotusehto.
    Vinkki: mitä voit sanoa yhtälön vasemman puolen merkistä?
  2. Ratkaise yhtälö normaaliin tapaan korottamalla kumpikin puoli toiseen potenssiin. Karsi valeratkaisut todellisista ratkaisuista a-kohdan neliöönkorotusehdon avulla.
  3. Piirrä samaan koordinaatistoon funktioiden $f(x) = \sqrt{2x-1}$ ja $g(x) = 4x-5$ kuvaajat esimerkiksi Geogebralla. Varmista kuvasta, että kaikki valeratkaisut saatiin todella karsittua pois.

  1. Neliöönkorotusehto on $4x - 5 \geq 0$ eli $$ x \geq \frac{5}{4}. $$ Koska yhtälön $$ \sqrt{2x-1} = 4x-5. $$ vasen puoli on neliöjuurena aina epänegatiivinen, täytyy yhtälön oikeankin puolen olla epänegatiivinen, jotta yhtälö voi toteutua.
  2. Yhtälöstä $$ 2x - 1 = (4x-5)^2 $$ saadaan ratkaisuehdokkaat $x_1 = \frac{13}{8} = 1{,}625$ ja $x_2 = 1$. Näistä neliöönkorotusehdon $x \geq 1{,}25$ toteuttaa vain ehdokas $x_1$. Yhtälö $$\sqrt{2x-1} = 4x-5$$ siis toteutuu, jos ja vain jos $$x = \frac{13}{8}.$$
  3. Kuvaajilla on yksi leikkauskohta, joten yhtälöllä on yksi ratkaisu:

    Kaikki valeratkaisut saatiin siis karsittua pois.

Neliöönkorotusehto muodostetaan tutkimalla, millä ehdolla yhtälön vasen ja oikea puoli ovat saman merkkisiä. Aina sekään ei riitä sulkemaan kaikkia valeratkaisuja pois. Esimerkiksi yhtälön $$ \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{2x - 1\phantom{ {}^2 }} $$ kumpikin puoli on aina epänegatiivinen, joten mitään neliönkorotusehtoa ei ole. Päätellään samaan tapaan kuin edellä: \begin{align*} \sqrt{x^2 - 1} &= \sqrt{2x - 1\phantom{ {}^2 }} \quad \mid (\phantom{1})^2 \\ x^2 - 1 &= 2x - 1 \\[1mm] x^2 - 2x &= 0 \\[1mm] x(x-2) &= 0 \\[1mm] x = 0 \ &\text{ tai } \ x = 2 \end{align*} Jos ratkaisut tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön, huomaa, että joukkoon on kuitenkin jälleen soluttautunut valeratkaisu. Nimittäin jos $x = 0$, niin alkuperäisen yhtälön vasen puoli on $$ \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{0^2-1} = \sqrt{-1}, $$ joka ei ole määritelty. Ehdokas $x = 0$ ei siis kelpaa ratkaisuksi. Jos $x = 2$, alkuperäisen yhtälön vasen puoli on $$ \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{2^2-1} = \sqrt{3} $$ ja oikea puoli on $$ \sqrt{2x - 1} = \sqrt{2\cdot 2 - 1} = \sqrt{3}. $$ Alkuperäisellä yhtälöllä on siis täsmälleen yksi ratkaisu $x = 2$.

Neliöönkorotuksen avulla muodostettu uusi yhtälö voi siis tuottaa myös sellaisia valeratkaisuja, joilla alkuperäinen neliöjuuriyhtälö ei ole määritelty. Kaikkien valeratkaisujen tunnistamiseksi pitää neliöönkorotusehdon lisäksi tutkia, millä ehdoilla yhtälö on määritelty. Aikaisemmissa tehtävissä on kuvaajien avulla varmistettu, että valeratkaisut on saatu karsittua pois. Joissakin tilanteissa kuvaajan piirtäminen voi kuitenkin olla hyvin hankalaa. Tarvitaan siis menetelmä, jolla ratkaisut saadaan selvitettyä myös silloin, kun kuvaajia ei voi käyttää päättelyn tukena.

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $$ \sqrt{x^2 + 2x - 15} = \sqrt{3x-13}. $$

  1. Millä ehdolla yhtälön vasen puoli on määritelty?
    Vinkki: kertaa tarvittaessa toisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen MAA2-kurssin luvusta 3.
  2. Millä ehdolla yhtälön oikea puoli on määritelty?
  3. Liittykö yhtälöön neliöönkorotusehtoa?
  4. Yhdistä edellisten kohtien ehdot yhdeksi ehdoksi, joka yhtälön ratkaisujen pitää toteuttaa.
  5. Ratkaise yhtälö normaaliin tapaan korottamalla kumpikin puoli toiseen potenssiin. Karsi valeratkaisut pois d-kohdan ehdon avulla.

  1. Yhtälön vasen puoli on määritelty, jos ja vain jos $x \leq -5$ tai $x \geq 3$.
  2. Yhtälön oikea puoli on määritelty, jos ja vain jos $x \geq \frac{13}{3} \approx 4{,}33$.
  3. Yhtälön kumpikin puoli on epänegatiivinen kaikilla muuttujan arvoilla, joten yhtälöön ei liity neliöönkorotusehtoa.
  4. Yhtälön ratkaisujen pitää toteuttaa ehto $x \geq \frac{13}{3}$.
  5. Yhtälöstä $$ x^2 + 2x - 15 = 3x - 13 $$ saadaan ratkaisuehdokkaat $x_1 = -1$ ja $x_2 = 2$. Kumpikaan niistä ei toteuta d-kohdassa muodostettua ehtoa, joten yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua.

Jos kaikkien neliöönkorotus- ja määrittelyehtojen tutkiminen tuntuu liian työläältä, toinen vaihtoehto on seuloa todelliset ratkaisut valeratkaisuista sijoittamalla kaikki ratkaisuehdokkaat alkuperäiseen yhtälöön. Sijoittamalla tarkistaminen toimii aina. Neliöjuuriyhtälön ratkaisemiseksi on siis kaksi tapaa:

  1. Neliöönkorotus ja tarkistus sjoittamalla:
    • Hankkiudu eroon neliöjuurista korottamalla yhtälön kumpikin puoli toiseen potenssiin.
    • Ratkaise näin saamasi yhtälö normaalisti.
    • Tutki alkuperäiseen yhtälöön sijoittamalla, mitkä ratkaisuehdokkaista ovat todellisia ratkaisuja.
  2. Määrittely- ja neliöönkorotusehtojen avulla:
    • Kirjaa ylös ehdot, joilla yhtälö on määritelty.
    • Muodosta neliöönkorotusehto päättelemällä, millä ehdolla yhtälön vasen ja oikea puoli ovat saman merkkiset.
    • Hankkiudu eroon neliöjuurista korottamalla yhtälön kumpikin puoli toiseen potenssiin.
    • Ratkaise näin saamasi yhtälö normaalisti.
    • Päättele määrittely- ja neliöönkorotusehtojen avulla, mitkä ratkaisuehdokkaista ovat todellisia ratkaisuja.

  1. Valitse jompi kumpi edellä mainituista ratkaisutavoista ja ratkaise yhtälö $$ 2\sqrt{x} = 3-x. $$
  2. Kumpi ratkaisutavoista miellyttää sinua enemmän? Miksi? Kerro omin sanoin.

  1. Ratkaisuehdokkaiksi saadaan $x_1 = 1$ ja $x_2 = 9$. Alkuperäinen yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 1$.

Ratkaise seuraavat neliöjuuriyhtälöt. Ennen kuin korotat yhtälön molemmat puolet toiseen potenssiin, muokkaa yhtälöä niin, että neliöjuuren sisältävä termi on yksinään yhtälön toisella puolella.

  1. $x - \sqrt{x + 2} = 0$
  2. $1 + \sqrt{x-1} = x$

  1. $x = 2$
  2. $x = 1$ tai $x = 2$

Tarkastellaan tämän kappaleen lopuksi vielä korkeampien juuriyhtälöiden ratkaisemista. Jos yhtälössä esiintyy $n$:s juuri, voi ratkaisussa käyttää potenssiin $n$ korotusta. Muut huomioitavat asiat riippuvat siitä, onko kysymyksessä pariton vai parillinen juuri.

Jos yhtälössä esiintyy pariton juuri, esimerkiksi kuutiojuuri tai viides juuri, valeratkaisuista ei tarvitse huolehtia. Tämä johtuu siitä, että parittomat potenssifunktiot saavat jokaisen arvonsa vain kerran. Esimerkiksi alla olevasta kolmannen asteen potenssifunktion kuvaajasta nähdään, että $$ x = \sqrt[3]{2} \Rightarrow x^3 = 2 $$ ja $$ x^3 = 2 \Rightarrow x = \sqrt[3]{2}. $$
Jos yhtälön molemmat puolet korotetaan parittomaan potenssiin, on uusi yhtälö siis yhtäpitävä alkuperäisen yhtälön kanssa, sillä parittomaan potenssiin korotus voidaan kumota ottamalla yhtälön molemmista puolista vastaava $n$:s juuri.

Jos yhtälössä esiintyy mikä tahansa parillinen juuri, valeratkaisut täytyy tunnistaa ja karsia pois samalla tavalla kuin neliöjuuren tapauksessa tehtiin. Tämä johtuu siitä, että parilliset potenssifunktiot saavat kaikki positiiviset arvonsa kahdessa eri kohdassa. Esimerkiksi alla olevasta neljännen asteen potenssifunktion kuvaajasta nähdään, että $$ x = \sqrt[4]{2} \Rightarrow x^4 = 2 $$ mutta $$ x^4 = 2 \Rightarrow x = \sqrt[4]{2} \ \text{ tai } \ x = -\sqrt[4]{2}. $$
Parilliseen potenssiin korotusta ei siis voi kumota niin, että tuloksena olisi varmasti sama yhtälö mistä lähdettiin.

Ratkaise seuraava yhtälöt:

  1. $\sqrt[3]{x + 6} + 2 = 0$
  2. $\sqrt[3]{2x^3 + x} = 3x$
  3. $\sqrt{2-x} = \sqrt[4]{x}$

Vinkki: a-kohdassa muokkaa yhtälöä ennen potenssiin korotusta niin, että kuutiojuuren sisältävä termi on yksinään yhtälön toisella puolella.

  1. $x = -14$
  2. $x = 0$ tai $x = -\dfrac{1}{5}$ tai $x = \dfrac{1}{5}$
  3. $x = 1$
    (Toinen ratkaisuehdokas $x = 4$ ei toteuta alkuperäisen yhtälön määrittelyehtoa.)

Tässä kappaleessa tutkitaan juurifunktioiden derivaattoja.

Kurssissa MAA6 opittiin, että derivaatan arvo on funktion kuvaajalle asetetun tangentin kulmakerroin.

Kun määritetään tällaisen tangentin kulmakerroin $k$ mahdollisimman monessa kohdassa $a$ ja pisteet $(a,k)$ merkitään koordinaatistoon, piirtyy näkyviin derivaattafunktion kuvaaja. Seuraavassa tehtävässä hahmotellaan neliöjuurifunktion derivaattafunktion kuvaajaa tällä menetelmällä.

Tutki neliöjuurifunktion derivaattaa tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla. Päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Miten oranssin pisteen $y$-koordinaatti ja tangentin kulmakerroin liittyvät toisiinsa?
  2. Mitä tangentin kulmakertoimelle tapahtuu, kun muuttujan $x$ arvoa kasvatetaan? Miten tämä näkyy derivaattafunktion kuvaajassa?
  3. Mitä tangentin kulmakertoimelle tapahtuu, kun muuttujan $x$ arvo lähestyy nollaa? Miten tämä näkyy derivaattafunktion kuvaajassa?
  4. Miten selittäisit sen, että neliöjuurifunktio ei ole derivoituva kohdassa $x = 0$?

  1. Oranssin pisteen $y$-koordinaatti on samaan kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin. Oranssi piste on siis derivaattafunktion kuvaajan piste.
  2. Tangentin kulmakerroin pienenee, mutta säilyy positiivisena. Derivaattafunktion kuvaaja lähestyy $x$-akselia.
  3. Tangentin kulmakerroin kasvaa nopeasti hyvin suureksi. Derivaattafunktion kuvaaja nousee hyvin korkealle ja lähestyy $y$-akselia.
  4. Kun lähestytään kohtaa $x = 0$, tangenttisuora nousee aina vain jyrkemmin ja on lopulta pystysuora. Koska $y$-akselin suuntaisella suoralla ei ole kulmakerrointa, ei myöskään derivaatta ole olemassa kohdassa $x = 0$.

Geogebra-havainnollistuksesta huomataan, että neliöjuurifunktion derivaattafunktion tarkempi tutkiminen kohdan $x = 0$ lähellä vaatii muita keinoja. Sopivaksi työkaluksi paljastuu murtopotenssin käsite. Kurssilla MAA2 määriteltiin murtopotenssit seuraavasti:

MÄÄRITELMÄ: POTENSSI

Oletetaan, että $a > 0$. Oletetaan lisäksi, että $m$ ja $n$ ovat positiivisia kokonaislukuja. Potenssit $a^\frac{m}{n}$ ja $a^{-\frac{m}{n}}$ määritellään seuraavasti: \begin{align*} a^\frac{m}{n} &= \sqrt[n]{a^m} \\[1mm] a^{-\frac{m}{n}} &= \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}} \end{align*}

Ilmaise seuraavat juurilausekkeet murtopotenssina. Millä muuttujan arvoilla juurilauseke on määritelty? Entä murtopotenssi?

  1. $\sqrt[3]{x}$
  2. $\sqrt{x}$
  3. $x\sqrt{x}$
  4. $\dfrac{1}{\sqrt[4]{x}}$

  1. $\sqrt[3]{x} = x^\frac{1}{3}$
    Juurilauseke on määritelty kaikilla muuttujan arvoilla. Murtopotenssi on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$.
  2. $\sqrt{x} = x^\frac{1}{2}$
    Juurilauseke on määritelty, jos ja vain jos $x \geq 0$. Murtopotenssi on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$.
  3. $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^\frac{1}{2}= x^{(1 + \frac{1}{2})} = x^\frac{3}{2}$
    Juurilauseke on määritelty, jos ja vain jos $x \geq 0$. Murtopotenssi on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$.
  4. $\dfrac{1}{\sqrt[4]{x}} = x^{-\frac{1}{4}}$
    Juurilauseke on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$. Murtopotenssi on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$.

Ilmaise seuraavat murtopotenssit juurilausekkeina. Millä muuttujan arvoilla murtopotenssi on määritelty? Entä juurilauseke?

  1. $x^\frac{5}{2}$
  2. $x^{-\frac{5}{2}}$

  1. $x^\frac{5}{2} = x^{(2 + \frac{1}{2})} = x^2\sqrt{x}$
    Murtopotenssi on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$. Juurilauseke on määritelty, jos ja vain jos $x \geq 0$.
  2. $x^{-\frac{5}{2}} = \dfrac{1}{x^{(2 + \frac{1}{2})}} = \dfrac{1}{x^2\sqrt{x}}$
    Murtopotenssi on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$. Juurilauseke on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$.

Edellisistä tehtävistä havaitaan, että juurilausekkeiden ja murtopotenssien määrittelyjoukot poikkeavat usein toisistaan. Neliöjuurifunktio $f(x) = \sqrt{x}\,$ voidaan kuitenkin ilmaista avoimella välillä $\pa 0, \infty\pe$ murtopotenssin avulla: $$ f(x) = x^{\frac{1}{2}} $$ MAA6-kurssin teoreemassa 17 osoitettiin, että potenssifunktion $g(x) =x^n$ derivaattafunktio on $$ g'(x) = nx^{n-1} $$ kaikilla kokonaisluvuilla $n$. Voisiko samanlainen sääntö päteä myös tapauksessa, jossa eksponenttina on murtoluku?

On mahdollista osoittaa, että jos $r$ on mikä tahansa rationaaliluku, niin funktio $$ h(x) = x^{r} $$ on derivoituva välillä $\pa 0, \infty \pe$. Perustelu vaatii kuitenkin taustalleen niin paljon teoriaa, että sitä ei tässä kurssissa käsitellä. Sen sijaan tähän tietoon nojautuen yleistetään potenssifunktion derivointisääntö koskemaan myös murtopotensseja. Lue seuraava teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Oletetaan, että $r$ on rationaaliluku. Funktion $h(x) = x^r$ derivaattafunktio on $$ h'(x) = rx^{r-1}. $$

Perustelu: Jokainen rationaaliluku voidaan esittää murtolukumuodossa, joten funktio $h$ voidaan ilmaista muodossa $$ h(x) = x^{\frac{m}{n}}, $$ missä $m$ ja $n$ ovat kokonaislukuja ja $n \neq 0$. Korotetaan funktio $h$ potenssiin $n$ ja sovelletaan potenssien laskusääntöjä: $$ \left(h(x)\right)^n = \left(x^{\frac{m}{n}}\right)^n = x^{\frac{m}{n} \cdot n} = x^m $$ Funktio $\left(h(x)\right)^n$ on siis potenssifunktio $x \mapsto x^m$, joten se derivaatta voidaan muodostaa MAA6-kurssin teoreeman 17 avulla: $$ \mathop{\mathrm{D}} \left(h(x)\right)^n = mx^{m-1}. $$ Toisaalta, koska funktio $h$ on derivoituva (kuten aiemmin todettiin, tämä on mahdollista perustella), voidaan sen derivaatta muodostaa myös MAA6-kurssin teoreeman 16 avulla: $$ \mathop{\mathrm{D}} \left(h(x)\right)^n = n\left(h(x)\right)^{n-1}h'(x). $$ Näistä kahdesta eri esitysmuodosta saadaan yhtälö, josta voidaan ratkaista $h'(x)$: \begin{align*} n\left(h(x)\right)^{n-1}h'(x) &= mx^{m-1} \\[2mm] h'(x) &= \frac{m}{n} \frac{x^{m-1}}{h(x)^{n-1}}\\[2mm] &= \frac{m}{n} \frac{x^{m-1} \textcolor{blue}{h(x)}}{h(x)^{n-1}\textcolor{blue}{h(x)} } \\[2mm] &= \frac{m}{n} \frac{x^{m-1} \textcolor{blue}{h(x)}}{\textcolor{red}{h(x)^{n-1}h(x)} } \\[2mm] &= \frac{m}{n} \frac{x^{m-1} \textcolor{blue}{h(x)}}{\textcolor{red}{h(x)^n} } \\[2mm] &= \frac{m}{n} \frac{x^{m-1} \textcolor{blue}{x^{\frac{m}{n}}}}{\textcolor{red}{x^m} } \\[2mm] &= \frac{m}{n} \frac{\textcolor{purple}{x^{m-1}} \textcolor{blue}{x^{\frac{m}{n}}}}{\textcolor{purple}{x^m} } \\[2mm] &= \frac{m}{n} \frac{\textcolor{blue}{x^{\frac{m}{n}} }}{\textcolor{purple}{x} } \\[2mm] &= \frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1}. \end{align*}

Seuraavissa tehtävissä sovelletaan teoreemaa 4 neliö- ja kuutiojuurifunktioiden derivaattafunktioiden määrittämiseen.

Tässä tehtävässä määritetään neliöjuurifunktion derivaattafunktio teoreeman 4 avulla.

  1. Ilmaise neliöjuurifunktio $f(x) = \sqrt{x}$ murtopotenssin avulla.
  2. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$ teoreeman 4 avulla.
  3. Ilmaise derivaattafunktion lauseke juurten avulla. Milloin se on määritelty?
  4. Piirrä derivaattafunktion kuvaaja esimerkiksi Geogebralla. Näyttääkö tulos samalta kuin tehtävässä 1.18?

  1. $f(x) = x^\frac{1}{2}$
  2. $f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}$
  3. $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
    Derivaattafunktio on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$.
  4. Kuvaaja:

Tässä tehtävässä määritetään kuutiojuurifunktion derivaattafunktio.

  1. Tutki kuutiojuurifunktiolle piirrettyjen tangenttien kulmakertoimia tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla. Missä kohdissa derivaatta näyttää olevan olemassa? Missä ei?
  2. Ilmaise kuutiojuurifunktio $g(x) = \sqrt[3]{x}$ murtopotenssin avulla ja määritä derivaattafunktio $g'(x)$ teoreeman 4 avulla.
  3. Ilmaise derivaattafunktion lauseke juurten avulla. Milloin derivaattafunktio on määritelty?
  4. Piirrä derivaattafunktion kuvaaja esimerkiksi Geogebralla. Näyttääkö tulos samalta kuin a-kohdassa?

  1. Derivaatta näyttää olevan olemassa muualla paitsi kohdassa $x = 0$. Siinä tangetti on pystysuora eikä sillä ole kulmakerrointa.
  2. Murtopotenssin avulla ilmaistuna $g(x) = x^\frac{1}{3}$. Huomaa, että tämä funktio on periaatteessa määritelty vain muuttujan positiivisilla arvoilla murtopotenssin määritelmän mukaan.
    Derivaattafunktio on $$g'(x) = \frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}.$$ Sekin on periaatteessa määritelty vain muuttujan positiivisilla arvoilla.
  3. Juurten avulla ilmaistuna $$g'(x) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}.$$ Tämä funktio on määritelty muualla paitsi kohdassa $x = 0$.
  4. Kuvaaja:

Tehtävästä 1.22 havaitaan, että murtopotensseja ja potenssifunktion derivointisääntöä voidaan käyttää juurifunktioiden derivoimiseen silloinkin, kun juurifunktio on määritelty huomattavasti laajemmassa joukossa kuin murtopotenssi. Menetelmä on sama kuin tehtävässä 1.22:

  1. Ilmaise juurifunktio murtopotenssin avulla.
  2. Määritä derivaattafunktio potenssin derivointisääntöä käyttäen.
  3. Ilmaise derivaattafunktio juurilausekkeiden avulla.
  4. Päättele, missä derivaattafunktio on määritelty.

Derivoi seuraavat funktiot:

  1. $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$
  2. $g(x) = x^2\sqrt{x}$

  1. $f'(x) = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$
  2. $g'(x) = \dfrac{5}{2}x\sqrt{x}$

Määritä funktion $$ h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} $$ kuvaajalle kohtaan $x = 4$ piirretyn tangentin yhtälö.

Derivaattafunktio on $$h'(x) = -\dfrac{1}{2x\sqrt{x}},$$ joten tangetin kulmakerroin on $$h'(4) = -\dfrac{1}{8\sqrt{4}} = -\frac{1}{16}.$$ Funktion $h$ arvo kohdassa $x = 4$ on $$ h(4) = \frac{1}{2}, $$ joten tangentin yhtälö on $$ y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{16}(x-4) $$ eli $$ y = -\frac{1}{16}x + \frac{3}{4} $$

MAA7-kurssilla teoreemassa 23 johdetun yhdistetyn funktion derivointisäännön avulla pystytään derivoimaan erilaisia juurifunktioden muunnelmia. Tätä harjoitellaan seuraavissa tehtävissä.

Tehtävänä on derivoida funktio $$ h(x) = \sqrt{x^2 - x}. $$

  1. Ilmaise funktio $h$ murtopotenssin avulla.
  2. Tulkitse funktio $h$ yhdistettynä funktiota $g \circ f$. Mikä on sisäfunktio $f(x)$? Entä ulkofunktio $g(x)$?
  3. Muodosta derivaattafunktio $h'(x)$ yhdistetyn funktion derivointisäännön avulla.
  4. Ilmaise derivaattafunktio juurilausekkeiden avulla.

  1. $h(x) = (x^2 - x)^\frac{1}{2}$
  2. Sisäfunktio on $f(x) = x^2 - x$. Ulkofunktio on $g(x) = x^\frac{1}{2}$.
  3. Yhdistetyn funktion derivointisäännöllä saadaan \begin{align*} h'(x) &= g'(f(x))\cdot f'(x) \\[2mm] &=\frac{1}{2}(x^2 - x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2x-1) \end{align*}
  4. $h'(x) = \dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}$

Derivoi seuraavat funktiot:

  1. $f(x) = (1+x)\sqrt{2-x}$
  2. $g(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$

Vinkki: Aloita ilmaisemalla juuret murtopotensseina. Kertaa tarvittaessa tulon ja osamäärän derivointisäännöt MAA6-kurssin teoreemoista 13 ja 15.

  1. $f'(x) = \dfrac{3(1-x)}{2\sqrt{2-x}}$
  2. $g'(x) = -\dfrac{1}{x^2\sqrt{x^2 + 1}}$

Kurssissa MAA6 opittiin tutkimaan funktioiden kasvamista ja vähenemistä sekä ääriarvoja derivaatan avulla. Tässä kappaleessa sovelletaan näitä taitoja juurifunktioiden kulun tutkimiseen.

Aloitetaan tutkimalla neliöjuurifunktion $f(x) = \sqrt{x}\,$ kulkua. Neliöjuurifunktion kuvaajan perusteella näyttää siltä, että funktio on kasvava. Varmistetaan asia kuitenkin vielä derivaatan avulla.

Neliöjuurifunktion $f(x) = \sqrt{x}\,$ derivaatta on tehtävän 1.21 mukaan $$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}. $$ Se on määritelty avoimella välillä $\pa 0, \infty \pe$ ja sen arvo on aina positiivinen (neliöjuuren arvo ei koskaan ole negatiivinen, joten osoittaja ja nimittäjä ovat kumpikin positiivisia). Koska derivaattafunktio on positiivinen välillä $\pa 0, \infty \pe$, on neliöjuurifunktio aidosti kasvava koko määrittelyjoukossaan eli välillä $[0, \infty\pe$. Se, että derivaatta ei ole määritelty välin toisessa päätepisteessä eli kohdassa $x = 0$, ei haittaa. Kulkukaavioon nämä yksityiskohdat on kuitenkin merkittävä:

Katkoviiva kulkukaaviossa tarkoittaa, että funktio ei ole määritelty kyseisessä kohdassa. Yllä olevasta kulkukaaviosta voidaan siis lukea, että neliöjuurifunktio on määritelty kohdassa $x = 0$ mutta sen derivaattafunktio ei ole määritelty kohdassa $x = 0$.

Tehtävänä on tutkia, missä funktio $$ f(x) = \sqrt{x-1} - x $$ on aidosti kasvava ja missä vähenevä.

  1. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$. Kertaa tarvittaessa tehtävä 1.24.
  2. Etsi derivaattafunktion nollakohdat. Kertaa tarvittaessa tehtävää 1.15 edeltävät ohjeet.
  3. Laske derivaattafunktion arvo nollakohtien eri puolilla ja muodosta derivaattafunktion merkkikaavio.
  4. Täydennä derivaattafunktion merkkikaavio funktion $f$ kulkukaavioksi. Missä funktio $f$ on aidosti kasvava? Entä aidosti vähenevä?
    Tarkista vastaustesi järkevyys piirtämällä funktion $f$ kuvaaja esimerkiksi Geogebralla.

  1. $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x-1}} - 1$
  2. $f'(x) = 0$, jos ja vain jos $x = \frac{5}{4} = 1{,}25$
  3. Esimerkiksi $f'(1{,}2) \approx 0{,}12$ ja $f'(2) = -0{,}5$.
  4. Kulkukaavio:

    Funktio on aidosti kasvava välillä $\left[1, \frac{5}{4}\right]$ ja aidosti vähenevä välillä $\left[\frac{5}{4}, \infty\right[$.

Juurifunktioiden ääriarvot löydetään derivaatan nollakohdista, ja kulkukaavion avulla voidaan päätellä, onko kysymyksessä maksimi- vai minimiarvo. Suljetulla välillä suurin ja pienin arvo löytyvät MAA6-kurssin teoreeman 12 mukaisesti derivaatan nollakohdista tai välin päätepisteistä.

Tehtävänä on tutkia, onko funktiolla $$ g(x) = (x-1)\sqrt{36-x^2} $$ suurin ja pienin arvo, ja määrittää ne, jos ne ovat olemassa.

  1. Mikä on funktion $g$ määrittelyjoukko?
  2. Onko funktiolla $g$ suurinta tai pienintä arvoa? Mitä ne ovat?

Tarkista vastaustesi järkevyys piirtämällä funktion $g$ kuvaaja esimerkiksi Geogebralla.

  1. Funktio $g$ on määritelty, jos ja vain jos juurrettava on epänegatiivinen eli $-6 \leq x \leq 6$.
  2. Funktio $g$ on jatkuva suljetulla välillä $[-6,6]$ ja derivoituva avoimella välillä $-6 < x < 6$, joten MAA6-kurssin teoreeman 12 mukaan funktio $g$ saa suurimman ja pienimmän arvonsa derivaattafunktion nollakohdissa tai välin päätepisteissä.
    Tulon derivointisäännön avulla derivaattafunktioksi saadaan $$ g'(x) = \frac{-x^2+x}{\sqrt{36-x^2}} + \sqrt{36 - x^2}. $$ Derivaattafunktion nollakohdat löydetään ratkaisemalla yhtälö $g'(x) = 0$: \begin{align*} \frac{-x^2+x}{\sqrt{36-x^2}} &+ \sqrt{36 - x^2} = 0 \\[2mm] \sqrt{36 - x^2} &= \frac{x^2-x}{\sqrt{36-x^2}} \\[2mm] 36-x^2 &= x^2 - x \\[2mm] -2x^2 + x + 36 &= 0 \\[2mm] \end{align*} Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan ratkaisut $x_1 = \frac{9}{2}$ ja $x_2 = -4$.
    Lasketaan funktion arvo määrittelyvälin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdissa: \begin{align*} g(-6) &= 0 \\[1mm] g(-4) &= -5\sqrt{20} = -10\sqrt{5} \\[1mm] g\left(\frac{9}{2}\right) &= \frac{7}{2}\sqrt{\frac{63}{4}} = \frac{7}{4}\sqrt{63} \\[1mm] g(6) &= 0 \end{align*} Funktion $g$ suurin arvo on siis $$ g\left(\frac{9}{2}\right) = \frac{7}{4}\sqrt{63} \approx 13{,}9 $$ ja pienin arvo on $$g(-4) = -10\sqrt{5} \approx -22{,}4.$$

Pitkin $x$-akselia kulkee polku. Muu koordinaatisto on hankalakulkuista metsää, jossa kilometriä kohti kuluu kaksi kertaa niin paljon aikaa kuin polkua pitkin juostessa. Tehtävänä on selvittää, mikä on paras reitti suunnistajalle, joka lähtee pisteestä $(6,0)$ pisteessä $(0,3)$ olevalle rastille.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva.
  2. Ajatellaan, että suunnistaja poistuu polulta pisteessä $(x,0)$, joka sijaitsee $x$-akselilla jossain origon ja pisteen $(6,0)$ välillä. Ilmaise suunnistajan kulkema matka muuttujan $x$ avulla.
  3. Lisää lausekkeeseen sopivat kertoimet, jotta se kuvaa suunnistajan matkaan käyttämää aikaa.
  4. Selvitä derivaatan avulla, mikä on paras reitti.

  1. Mallikuva:
  2. Matkan ilmaisee funktio $$ f(x) = (6-x) + \sqrt{x^2 + 9}, $$ jossa $0 \leq x \leq 6$.
  3. Olkoon $a > 0$ on suunnistajan juoksutahti polulla (min / km). Juoksutahti metsässä on silloin $2a$ ja matkaan kuluvaa aikaa kuvaa funktio $$ g(x) = a(6-x) + 2a\sqrt{x^2 + 9}. $$ (Vakio $a$ ei vaikuta lopputulokseen, joten kertoimina voi käyttää pelkkiä lukuja 1 ja 2.)
  4. Funktion $g$ pienin arvo löytyy tarkasteluvälin päätepisteestä tai derivaatan nollakohdasta. Derivaattafunktioksi saadaan \begin{align*} g'(x) &= -a +\frac{2ax}{\sqrt{x^2 + 9}} \end{align*} Derivaattafunktiolla on yksi nollakohta: $x = \sqrt{3}$. Lasketaan derivaattafunktion arvo sen eri puolilla: \begin{align*} g'(1) &= -a + \frac{2}{\sqrt{10}}a < 0 \\[2mm] g'(4) &= -a + \frac{8}{5}a > 0 \end{align*} Kulkukaaviosta nähdään, että funktio $g$ saa kohdassa $x = \sqrt{3}$ pienimmän arvonsa:

    Suunnistajan kannattaa siis kääntyä polulta rastille pisteessä $(\sqrt{3},0)$, kun hän on edennyt polkua pitkin matkan $6-\sqrt{3} \approx 4{,}3$.

Jos tarkasteluväli ei ole suljettu, suurimman ja pienimmän arvon olemassaolon selvittäminen voi vaatia enemmän työtä.

Tarkastellaan esimerkiksi funktiota $$ f(x) = \frac{2\sqrt{x}}{x + 1}, $$ jonka määrittelyjoukko on $[0, \infty\pe$. Osamäärän derivointisäännön (MAA6 teoreema 15) avulla derivaattafunktioksi saadaan \begin{align*} f'(x) &= \frac{2 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}(x+1) - 2\sqrt{x}}{(x+1)^2} \\[2mm] &= \frac{x^{-\frac{1}{2}}(x+1) - 2\sqrt{x}}{(x+1)^2} \\[2mm] &= \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}(x+1) - 2\sqrt{x}}{(x+1)^2} \end{align*} Derivaattafunktion nollakohdat löytyvät osoittajan nollakohdista: \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{x}}(x+1) - 2\sqrt{x} &= 0 \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{x}}(x+1) &= 2\sqrt{x} \\[2mm] x+1 &=2x \\[2mm] 1 &= x \end{align*} Lasketaan derivaattafunktion arvo nollakohdan eri puolilla. Laskimen avulla saadaan esimerkiksi \begin{align*} f'(0{,}25) &= 0{,}96 > 0 \\ f'(4) &= -0{,}06 < 0 \end{align*} Näin saadaan muodostettua kulkukaavio:

Kulkukaaviosta nähdään, että funktiolla $f$ on maksimikohta $x = 1$ mutta ei muita ääriarvokohtia. Lisäksi voidaan päätellä, että maksimiarvo $$ f\left(1\right) = \frac{2\sqrt{1}}{1 + 1} = 1 $$ on funktion $f$ suurin arvo.

Pienimmän arvo olemassaoloa ei voida tässä tapauksessa päätellä pelkän kulkukaavion perusteella. Määrittelyvälin vasemmassa päätepisteessä funktio saa arvon $$ f(0) = \frac{2\sqrt{0}}{0 + 1} = 0. $$ Funktio on kuitenkin aidosti vähenevä välillä $\left[1, \infty\right[$, joten on tutkittava, millaisia arvoja se saa tällä välillä. Pysyvätkö arvot epänegatiivisina vai saako funktio jonkin nollaa pienemmän arvon?

Jos $x \geq 1$, osoittajan $2\sqrt{x}\,$ arvo on positiivinen, samoin nimittäjän $x + 1$ arvo. Siis välillä $\left[1, \infty\right[$ funktion $$ f(x) = \frac{2\sqrt{x}}{x+1} $$ arvo on positiivinen. Tästä voidaan päätellä, että $f(0) = 0$ on funktion $f$ pienin arvo. Myös funktion kuvaaja tukee näitä johtopäätöksiä:

Huomaa, että pelkän kuvaajan perusteella ei voida olla täysin varmoja, kuinka suuria tai pieniä arvoja funktio saa, kun muuttuja kasvaa rajatta. Edellä tehty päättely kuitenkin takaa, että $f(1)=1$ ja $f(0)=0$ ovat todella funktion suurin ja pienin arvo.

Tehtävässä 1.26 muodostettiin funktiolle $$ f(x) = \sqrt{x-1} - x $$ kulkukaavio

  1. Onko funktiolla $f$ minimi- tai maksimikohtia? Mitä ne ovat?
  2. Määritä funktion $f$ suurin arvo tai perustele, että sitä ei ole olemassa.
  3. Määritä funktion $f$ pienin arvo tai perustele, että sitä ei ole olemassa.

  1. Kulkukaaviosta nähdään, että funktiolla $f$ on maksimikohta $x = \frac{5}{4}$ mutta ei muita ääriarvokohtia.
  2. Kulkukaaviosta voidaan päätellä, että maksimiarvo $$ f\left(\frac{5}{4}\right) = \sqrt{\frac{5}{4} - 1} - \frac{5}{4} = -\frac{3}{4} $$ on funktion $f$ suurin arvo.
  3. Pienimmän arvo olemassaoloa ei voida tässä tapauksessa päätellä pelkän kulkukaavion perusteella. Määrittelyvälin vasemmassa päätepisteessä funktio saa arvon $$ f(1) = \sqrt{1-1} - 1 = -1. $$ Funktio on kuitenkin aidosti vähenevä välillä $\left[\frac{5}{4}, \infty\right[$, joten on tutkittava, millaisia arvoja se saa tällä välillä. Huomataan, että esimerkiksi \begin{align*} f(10) &= \sqrt{10-1} -10 \\ &= -7 < f(1). \end{align*} Funktiolla ei siis ole pienintä arvoa, vaan se saa aina vain pienempiä arvoja muuttujan kasvaessa rajatta.

Tehtävänä on tutkia, onko funktiolla $$ f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x} $$ suurin ja pienin arvo, ja määrittää ne, jos ne ovat olemassa.

  1. Mikä on funktion $f$ määrittelyjoukko?
  2. Onko funktiolla $f$ suurinta tai pienintä arvoa? Mitä ne ovat?

Tarkista vastaustesi järkevyys piirtämällä funktion $f$ kuvaaja esimerkiksi Geogebralla.

  1. Funktio $f$ on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$. (Tällöin juurrettava on epänegatiivinen ja nimittäjä ei ole nolla.)
  2. Derivaattafunktioksi saadaan $$ f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2\sqrt{x}}. $$ Derivaattafunktiolla on yksi nollakohta $$x = \sqrt[3]{4} = 2^{\frac{2}{3}} \approx 1{,}59.$$ Lasketaan derivaattafunktion arvot sen eri puolilla. Esimerkiksi \begin{align*} f'(1) &= -0{,}5 \\ f'(4) &= 0{,}1875. \end{align*} Kulkukaavion avulla voidaan nyt päätellä, että funktiolla $f$ on pienin arvo mutta ei suurinta arvoa:

    Funktion $f$ pienin arvo on \begin{align*} f(\sqrt[3]{4}) &= \frac{1}{\sqrt[3]{4}} + \sqrt{\sqrt[3]{4}} \\[2mm] &= \frac{\left(\sqrt[3]{4}\right)^2}{\left(\sqrt[3]{4}\right)^3} + (4^\frac{1}{3})^\frac{1}{2} \\[2mm] &= \frac{\left(4^\frac{1}{3}\right)^2}{4} + (4^\frac{1}{2})^\frac{1}{3} \\[2mm] &= \frac{\left(4^2\right)^\frac{1}{3}}{4} + \sqrt[3]{2} \\[2mm] &= \frac{\sqrt[3]{16}}{4} + \sqrt[3]{2} \\[2mm] &= \frac{\sqrt[3]{8\cdot 2}}{4} + \sqrt[3]{2} \\[2mm] &= \frac{2\sqrt[3]{2}}{4} + \sqrt[3]{2} \\[2mm] &= \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \sqrt[3]{2} \\[2mm] &= \frac{3\sqrt[3]{2}}{2} \approx 1{,}89. \end{align*}

Seuraavan teoreeman avulla voidaan joissakin tilanteissa välttää juurilausekkeiden derivointi. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Funktio $f(x) = \sqrt{v(x)}\,$ saa

  • suurimman arvonsa kohdassa, jossa juurrettava $v(x)$ saa suurimman arvonsa
  • pienimmän arvonsa kohdassa, jossa juurrettava $v(x)$ saa pienimmän (epänegatiivisen) arvonsa.

Oletetaan, että $u(x) \geq 0$. Funktio $g(x) = u(x)\sqrt{v(x)}\,$ saa

  • suurimman arvonsa kohdassa, jossa funktio $h(x) = u(x)^2v(x)$ saa suurimman arvonsa
  • pienimmän arvonsa kohdassa, jossa funktio $h(x) = u(x)^2v(x)$ saa pienimmän (epänegatiivisen) arvonsa.

Perustelu: Ennen tehtävää 1.26 osoitettiin, että neliöjuurifunktio on aidosti kasvava. Neliöjuuren arvo on siis sitä suurempi, mitä suurempi juurrettava on.
Koska oletuksen mukaan $u(x) \geq 0$, niin voidaan kirjoittaa $$ u(x) = \sqrt{u(x)^2}. $$ (Asiaa on tutkittu MAA2-kurssin tehtävässä 2.5.) Funktion $g$ lauseke saadaan sievennettyä neliöjuuren laskusääntöjen avulla: \begin{align*} g(x) &= u(x)\sqrt{v(x)} \\ &= \sqrt{u(x)^2} \sqrt{v(x)} \\ &= \sqrt{u(x)^2v(x)}. \end{align*} Viimeisestä muodosta havaitaan, että funktio $g$ saa suurimman arvonsa kohdassa, jossa funktio $$h(x) = u(x)^2v(x)$$ saa suurimman arvonsa, ja pienimmän arvonsa kohdassa, jossa funktio $$h(x) = u(x)^2v(x)$$ saa pienimmän (epänegatiivisen) arvonsa. Huomaa, että neliöjuuri ei ole määritelty, jos juurrettava on negatiivinen.

Tehtävänä on tutkia teoreeman 5 avulla, onko funktiolla $$ f(x) = \sqrt{(6+x-x^2)(x^2-x+2)} $$ suurin ja pienin arvo, ja määrittää ne, jos ne ovat olemassa.

  1. Mikä on funktion $f$ määrittelyjoukko?
  2. Onko funktiolla $f$ suurinta tai pienintä arvoa? Mitä ne ovat?

Tarkista vastaustesi järkevyys piirtämällä funktion $f$ kuvaaja esimerkiksi Geogebralla.

  1. Funktio $f$ on määritelty, jos ja vain jos juurrettava on epänegatiivinen eli $-2 \leq x \leq 3$.
    Huom. kannattaa tutkia erikseen lausekkeiden $6+x-x^2$ ja $x^2-x+2$ merkki. Kertaa tarvittaessa toisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen MAA2-kurssin luvusta 3.
  2. Suurin ja pienin arvo löytyvät kohdista, joissa juurrettava $$ v(x) = (6+x-x^2)(x^2-x+2) $$ saa suurimman ja pienimmän arvonsa. Mahdollisia kohtia ovat derivaattafunktion $v'(x)$ nollakohdat ja määrittelyvälin päätepisteet. Derivaattafunktioksi saadaan \begin{align*} v'(x) &= (6+x-x^2)(2x-1) + (x^2-x+2)(1-2x) \\ &= (6+x-x^2)(2x-1) + (-x^2+x-2)(-1+2x) \\ &= (2x-1)(6+x-x^2-x^2+x-2) \\ &= (2x-1)(4+2x-2x^2) \end{align*} Derivaattafunktiolla on kolme nollakohtaa: $x_1 = 0{,}5$, $x_2 = 2$ ja $x_3 = -1$. Lasketaan funktion $v$ arvo näissä kohdissa ja välin päätepisteissä: \begin{align*} v(-2) &= 0 \\[1mm] v(-1) &= 16 \\[2mm] v\left(\frac{1}{2}\right) &= \frac{175}{16} \approx 10{,}9\\[2mm] v(2) &= 16\\[1mm] v(3) &= 0 \end{align*} Tästä voidaan päätellä, että funktion $f$ pienin arvo on $\sqrt{0} = 0$ ja suurin arvo on $\sqrt{16} = 4$.

Juurifunktiot ja -yhtälöt

Selvitä funktion $f$ määrittelyjoukko ja nollakohdat, jos

  1. $f(x) = x - 3\sqrt{x-1} + 1$
  2. $f(x) = \sqrt{x} + x - 1$

  1. Funktio on määritelty, jos ja vain jos $x \geq 1$.
    Funktiolla on nollakohdat $x_1 = 2$ ja $x_2 = 5$.
  2. Funktio on määritelty, jos ja vain jos $x \geq 0$.
    Funktiolla on nollakohta $$ x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}. $$

Juurifunktiot ja -yhtälöt

Selvitä funktion $g$ määrittelyjoukko ja nollakohdat, jos

  1. $g(x) = \sqrt{4x+5} - x$
  2. $g(x) = 2x - 1 + \sqrt{x^2 + 8}$

  1. Funktio on määritelty, jos ja vain jos $x \geq -\frac{5}{4}$.
    Funktiolla on nollakohta $x = 5$.
  2. Funktio on määritelty kaikilla muuttujan arvoilla.
    Funktiolla on nollakohta $x = -1$.

Juuriyhtälöt

Eräs opiskelija sai tehtäväksi ratkaista yhtälön $$ 2x + \sqrt{5-x} = 0. $$ Hän muisti, että neliöjuuresta pääsee eroon toiseen potenssiin korottamalla ja kirjoitti seuraavan ratkaisun: \begin{align*} 2x + \sqrt{5-x} &= 0 \\ (2x)^2 + 5-x &= 0 \\ 4x^2 + 5 - x &= 0 \end{align*} Koska diskriminantti $$D = (-1)^2-4\cdot 4 \cdot 5 = -79$$ on negatiivinen, yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

  1. Miten opiskelija voisi tarkistaa, onko hän päätynyt oikeaan johtopäätökseen?
  2. Onko opiskelijan ratkaisu oikein? Tarvittaessa korjaa ratkaisu oikeaksi.

  1. Johtopäätöksen voi varmistaa esimerkiksi piirtämällä funktion $$ f(x) = 2x + \sqrt{5-x} $$ kuvaajan ja katsomalla, leikkaako se $x$-akselin. Mahdolliset leikkauskohdat ovat yhtälön $f(x) = 0$ ratkaisuja.
  2. Ratkaisu ei ole oikein. Ennen toiseen potenssiin korotusta yhtälöä kannattaa muokata niin, että neliöjuurilauseke on yksinään yhtälön toisella puolella: \begin{align*} 2x + \sqrt{5-x} &= 0 \\ 2x &= -\sqrt{5-x}\\ (2x)^2 &= (-\sqrt{5-x})^2 \\ 4x^2 &= 5 - x \\ 4x^2 + x - 5 &=0 \\[2mm] x &= \frac{-1\pm \sqrt{81}}{8} \end{align*} Ratkaisuehdokkaiksi saadaan $x_1 = 1$ ja $x_2 = -1{,}25$. Sijoittamalla huomataan, että yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu $x = -1{,}25$.

Juurifunktion derivaatta

Osoita, että käyrät $y = x^2$ ja $$ y = \frac{1}{\sqrt{x}} $$ leikkaavat toisensa kohtisuorasti.

Käyrillä on yksi leikkauspiste $(1,1)$, joka löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ x^2 = \frac{1}{\sqrt{x}}. $$ Funktion $f(x) = x^2$ kuvaajan pisteeseen $(1,1)$ asetetun tangentin kulmakerroin on $$ f'(1) = 2\cdot 1 = 2. $$ Funktion $$ g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $$ kuvaajan pisteeseen $(1,1)$ asetetun tangentin kulmakerroin on $$ g'(1) = -\frac{1}{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1}} = -\frac{1}{2}. $$ Kulmakertoimien tulo on $-1$, joten pisteeseen $(1,1)$ asetetut tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Juurifunktion derivaatta

Neliön pinta-ala on alussa nolla ja kasvaa sen jälkeen tasaisella nopeudella $3 \text{ cm}^2$ sekunnissa.

  1. Mikä on neliön pinta-ala
    • 1 sekunnin kuluttua
    • 2 sekunnin kuluttua
    • 3 sekunnin kuluttua
    • 4 sekunnin kuluttua?
  2. Muodosta funktio $A(t)$, joka ilmaisee neliön pinta-alan $t$ sekunnin kuluttua.
  3. Jos tunnet neliön pinta-alan, miten saat selville neliön sivun pituuden? Muodosta funktio $s(t)$, joka ilmaisee neliön sivun pituuden $t$ sekunnin kuluttua.
  4. Millä nopeudella neliön sivun pituus kasvaa 0,5 sekunnin kuluttua? Entä 3 sekunnin kuluttua? Anna vastaukset millimetrin tarkkuudella.

  1. Neliön pinta-ala on
    • $3 \text{ cm}^2$
    • $6 \text{ cm}^2$
    • $9 \text{ cm}^2$
    • $12 \text{ cm}^2$.
  2. $A(t) = 3t$.
  3. Koska neliön pinta-ala on sivun pituuden toinen potenssi ($A = s^2$), saadaan sivun pituus selville ottamalla pinta-alasta neliöjuuri. Siten $s(t) = \sqrt{3t}$.
  4. Derivaattafunktio on $$ s'(t) = \frac{3}{2\sqrt{3t}}. $$ Siten \begin{align*} s'(0{,}5) &= \sqrt{\frac{3}{2}} \approx 1{,}2 \text{ cm/s} \\[2mm] s'(3) &= 0{,}5 \text{ cm/s.} \end{align*}

Juurifunktion derivaatta

Missä pisteessä funktion $$f(x) = 6\sqrt{x} - x$$ kuvaajalle muuttujan arvon 16 kohdalle piirretty normaali leikkaa

  1. $x$-akselin
  2. $y$-akselin?

Normaalin yhtälö on $y = 4x - 56$.

  1. Pisteessä $(14,0)$.
  2. Pisteessä $(0,-56)$.

Juurifunktion derivaatta

Kuumailmapallo kohoaa suoraan ylöspäin tasaisella nopeudella 0,75 m/s. Riina ja Valtteri seuraavat pallon nousua 50 metrin päässä pallo lähtöpaikasta. Tehtävänä on selvittää, millä nopeudella pallo etääntyy heistä, kun maasta irtautumisesta on kulunut yksi minuutti.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva.
  2. Muodosta funktio $h(t)$, joka ilmaisee pallon sijaintikorkeuden $t$ sekunnin kuluttua maasta irtautumisesta.
  3. Muodosta funktio $f(t)$, joka ilmaisee pallon etäisyyden Riinasta ja Valtterista $t$ sekunnin kuluttua maasta irtautumisesta.
  4. Millä nopeudella pallo etääntyy Riinasta ja Valtterista, kun maasta irtautumisesta on kulunut yksi minuutti?

  1. Mallikuva:
  2. $h(t) = 0{,}75t$
  3. $f(t) = \sqrt{2500 + 0{,}5625t^2}$
  4. Etääntymisnopeuden ilmaisee derivaatta $$ f'(t) = \frac{1{,}125t}{2\sqrt{2500 + 0{,}5625t^2}}. $$ Minuutin kuluttua etääntymisnopeus on $$ f'(60) \approx 0{,}50 \text{ m/s.} $$

Juurifunktion derivaatta

Tutki, sivuaako suora $$ y = \frac{x}{10} + \frac{5}{2} $$ käyrää $$ y = \sqrt{x}. $$ Perustele vastauksesi huolellisesti.

Suoralla ja käyrällä on yhteinen piste $(25,5)$. Funktion $f(x) = \sqrt{x}\,$ kuvaajalle asetetun tangentin kulmakerroin on $$ f'(25) = \frac{1}{2\sqrt{25}} = \frac{1}{10} $$ eli sama kuin suoran kulmakerroin. Suora ja käyrä siis sivuavat toisiaan.

Juurifunktion kulku

Tutki, onko funktiolla $$ f(x) = \sqrt{2x} + \sqrt{3-x} $$ suurinta tai pienintä arvoa. Jos jompi kumpi tai molemmat ovat olemassa, määritä ne.

Suurin arvo on $f(2) = 3$ ja pienin arvo on $f(0) = \sqrt{3}$.

Juurifunktion kulku

Suunnistaja on maastossa 800 metrin etäisyydellä suorasta rastille johtavasta polusta. Jos hän suunnistaisi kohtisuoraan polulle, hän joutuisi kulkemaan polkua pitkin 1500 metriä päästäkseen rastille. Kuinka suunnistajan kannattaa valita reittinsä, kun hänen keskinopeutensa on maastossa 6 km/h ja polulla 10 km/h?

Suunnistajan kannattaa tulla polulle kohdassa, josta on rastille matkaa 900 m.

Juurifunktion kulku

Millä muuttujan $x$ arvoilla funktio $$ g(x) = \sqrt{2x - \sqrt{x}} $$ on

  1. määritelty
  2. kasvava
  3. vähenevä?

  1. $x = 0$ tai $x \geq \frac{1}{4}$
  2. $x \geq \frac{1}{4}$
  3. Ei millään.

Juurifunktion kulku

Mikä luku on eniten neliöjuurtaan pienempi?

$\dfrac{1}{4}$

Juurifunktion kulku

Kaksi suoraa metsäpolkua risteää kohtisuorasti. Polkujen risteystä lähestyvät toista polkua kulkeva lenkkeilijä, jonka nopeus on 8 km/h, ja toista polkua jolkotteleva susi, jonka nopeus on 6 km/h. Molemmat ovat yhden kilometrin päässä polkujen risteyksestä. Kuinka pitkän ajan kuluttua lenkkeilijän ja suden etäisyys on pienimmillään? Mikä on tämä pienin etäisyys? Missä lenkkeilijä ja susi tällöin ovat?

Etäisyys on pienimmillään 200 metriä, kun aikaa on kulunut 8,4 minuuttia eli 8 min 24 s. Lenkkeilijä on tällöin kulkenut risteyksen jälkeen 120 m polkua pitkin ja susi on vielä lähestymässä risteystä 160 metrin päässä.

Vinkki: Oletetaan, että lenkkeilijä on alkutilanteessa pisteessä $(1,0)$ ja susi pisteessä $(0,1)$, ja polkujen risteys on origossa. Etäisyyttä ajan funktiona voi kuvata esimerkiksi funktiolla $$ f(t) = \sqrt{(1-8t)^2 + (1-6t)^2}, $$ missä $t$ on aika tunteina.

Juurifunktion kulku

Osoita, että yhtälöllä $$ x\sqrt{x} = 4x - 10 $$ ei ole ratkaisuja.

Funktion $$ f(x) = x\sqrt{x} - 4x + 10 $$ derivaattafunktio $$ f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 4. $$ Funktio $f$ saa derivaattafunktion nollakohdassa pienimmän arvonsa $$ f\left(\frac{64}{9}\right) = \frac{14}{27} > 0. $$ Funktion arvot ovat siis aina positiivisia, joten tarkastelullla yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Juurifunktion kulku

Vierekkäisille neliön muotoisille tonteille rakennetaan alakoulu ja päiväkoti. Tonttien yhteenlaskettu pinta-ala on $9\,000 \text{ m}^2$. Tonttien ympärille ja väliin pystytetään aita. Aitaurakoitsija haluaa maksimoida oman etunsa ja toivoo, että aidan kokonaispituudesta tulisi mahdollisimman suuri. Miten tonttien pinta-alat pitäisi valita, jotta aitaurakoitsijan toive toteutuisi?

Isomman tontin pinta-alaksi pitäisi valita $5\,760 \text{ m}^2$ ja pienemmän tontin pinta-alaksi $3\,240 \text{ m}^2$.

Vinkki: Aidan pituutta voidaan kuvata funktiolla $$ f(x) = 4x + 3\sqrt{9000 - x^2}, $$ missä $x$ on isomman tontin sivun pituus.

Juurifunktion kulku

Kangas on muodoltaan neliö, jonka sivujen pituudet ovat 8,0 metriä. Neliön nurkista leikataan pois samanlaiset keskipisteeseen ulottuvat palat. Jäljelle jäävä kangas ommellaan säännöllisen nelisivuisen pyramidin muotoisen teltan katoksi.

  1. Määritä leikkauskohtien etäisyys nurkista niin, että teltan tilavuus on mahdollisimman suuri. Anna vastauksen tarkka arvo sekä likiarvon kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
  2. Kuinka suuri on tällaisessa teltassa se lattiapinta-ala, jossa 180 cm pitkä henkilö mahtuu seisomaan suorana? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. Leikkauskohdan etäisyys nurkasta on $$ \left(4 - \frac{4}{3}\sqrt{6}\right) \text{ m} \approx 0{,}734 \text{ m.} $$ Vinkki: Teltan tilavuutta voi kuvata esimerkiksi funktiolla $$ f(x) = \frac{1}{3}(8-2x)^2\sqrt{8x-x^2}, $$ missä $x$ on kysytty leikkauskohdan etäisyys kankaan nurkasta. Tässä pohjan ala on $(8-2x)^2$ ja korkeus saadaan yhtälöstä $$ h^2 = 4^2 - (4-x)^2. $$
  2. Kysytty lattiapinta-ala on noin $2{,}1 \text{ m}^2$.
    Vinkki: teltan poikkileikkauksen yhdenmuotoiset kolmiot:

    Tästä saadaan $$ x = \sqrt{2}\left(\frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{9}{5}\right) \approx 0{,}7204 $$ ja pinta-ala $$ (2x)^2 = 4x^2 \approx 2{,}1. $$

Juurifunktion kulku

Teräsputkesta, jonka pituus on 5,00 metriä, taivutetaan Z-kirjaimen muotoinen kehikko. Kuinka pitkiin osiin putki tulee taivuttaa, jotta kehikon rajaaman suorakulmion pinta-ala on mahdollisimman suuri? Anna vastaukset senttimetrin tarkkuudella.

Vaakasuorien osien pituus noin 1,05 metriä ja keskimmäisen osan pituus noin 2,90 metriä.

Vinkki: Osien pituudet toteuttavat yhtälön $$ 2x + y = 5. $$ Suorakulmion korkeus saadaan yhtälöstä $$ h^2 = y^2 - x^2 $$ eli yhtälöstä $$ h = \sqrt{(5-2x)^2 - x^2}. $$ Suorakulmion pinta-alan ilmaisee siis funktio $$ f(x) = x\sqrt{25-20x + 3x^2}, $$ missä $0 \leq x \leq 2{,}5 \text{ m.}$

Juurifunktion kulku

Sähköjohdon vetäminen metsään maksaa kilometriä kohti kolme kertaa niin paljon kuin johdon vetäminen pitkin tienvartta. Suunnittele sähköjohdon edullisin reitti tukiasemalta $A$ muuntajalle $B$.

Johto vedetään suoraan tielle kohtaan, josta on muuntajalle matkaa vielä 7,6 km.

Vinkki: Kustannusta voidaan kuvata esimerkiksi funktiolla $$ f(x) = 9-x + 3\sqrt{16 + x^2}, $$ missä $x$ on kuten alla olevassa kuvassa:

Juurifunktion kulku

Ohut ja pitkä metalliputki pitäisi kuljettaa käytävän mutkan läpi. Alla käytävät näkyvät ylhäältä katsottuna.

  1. Kuinka pitkä putki mahtuu mutkan läpi vaakasuorassa asennossa?
  2. Kuinka pitkä putki mahtuu mutkan läpi, jos sitä voidaan kuljetuksen aikana kallistaa? Käytävän korkeus on 2,5 metriä.

Ohje: Aloita piirtämällä a-kohdan tilanteesta mallikuva. Merkitse kapean käytävän puolella olevan putken osan pituutta kirjaimella $x$.

  1. Enintään 7,0 metriä pitkä putki.

    Mutkaan mahtuvan putken pituutta eri asennoissa voidaan kuvata funktiolla $$ f(x) = x + \frac{3x}{\sqrt{x^2 - 4}}. $$ Sen derivaatalla on yksi nollakohta: $$ x = \sqrt{4 + 2\sqrt[3]{18}}. $$ Kulkukaaviosta nähdään, että tämä on putken pituuden minimikohta, eli hankalimmassa kohdassa putken pituus saa olla enintään $$ f\left(\sqrt{4 + 2\sqrt[3]{18}}\right) \approx 7{,}0. $$
  2. Enintään 7,4 metriä pitkä putki.

  1. Sievennä lauseke $$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a^2}}},$$ kun $a \geq 0$.
  2. Luku on yhtä suuri kuin puolet sen neliöjuuresta. Määritä kaikki tällaiset luvut.

[Pitkä S2016/2a & S2014/2b]

  1. \begin{align*} \sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a^2}}} &= \sqrt{a\sqrt{a^2}} \\ &= \sqrt{a^2} \\ &= a \end{align*}
  2. Kysytyt luvut ovat $0$ ja $\dfrac{1}{4}$.

  1. Piirrä kuva epäyhtälöiden $$0 \leq y \leq \sqrt{\left| x \right|}$$ määräämästä tasoalueesta, kun $-1 \leq x \leq 1$.
  2. Ratkaise yhtälö $$x\sqrt{1+x} = \sqrt{2x}.$$ [Pitkä K2015/2]

  1. Kuva tasoalueesta:
  2. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$ tai $x = 1$.

Ympyräsektorin säde on 3 ja keskuskulman suurus on $\alpha$. Sektori taivutetaan ympyräpohjaisen kartion vaipaksi. Mikä on kulman $\alpha$ tarkka arvo silloin, kun kartion tilavuus on mahdollisimman suuri?

[Pitkä S2017/6]

Kulma $\alpha = 2\pi\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.

Kartion pohjaympyrän kehän pituus on $3\alpha$ ja säde $$ r = \frac{3\alpha}{2\pi}. $$ Kartion sivujanan pituus on $3$, joten kartion korkeudeksi saadaan Pythagoraan lauseen avulla välivaiheiden jälkeen $$ h = \frac{3}{2\pi}\sqrt{4\pi^2 - \alpha^2}. $$ Kartion tilavuus on $$ V = \frac{\pi}{3}r^2h = \frac{9}{8\pi^2}\alpha^2\sqrt{4\pi^2 - \alpha^2}, $$ missä $0 \leq \alpha \leq 2\pi$. Suurin arvo löytyy derivaatan nollakohdasta tai välin päätepisteistä. Derivointia voi helpottaa teoreeman 5 avulla.

Suoran ympyräkartion muotoista telttaa varten on varattu 16 neliömetriä kangasta. Kangasta ei käytetä teltan pohjaan. Määritä pohjaympyrän halkaisija silloin, kun teltan tilavuus on suurin mahdollinen.

Kuva: indios.cz

[Pitkä K2015/9]

Kysytty lattian halkaisija on $$2r = \dfrac{8}{\sqrt[4]{3\pi^2}}.$$

Teltan vaipan ala $A = \pi rs = 16$, joten sivujana on $$ s = \frac{16}{\pi r}. $$ Teltan korkeus on $$ h = \sqrt{s^2 - r^2}. $$ Kartion tilavuus on \begin{align*} V &= \frac{\pi}{3}r^2h \\[2mm] &= \frac{1}{3}\pi r^2\sqrt{\frac{256}{\pi^2r^2} - r^2} \\[2mm] &= \frac{1}{3}\sqrt{256r^2 - \pi^2r^6}. \end{align*} Tutkitaan, missä juurrettava $$f(r) = 256r^2 - \pi^2r^6$$ saa suurimman arvonsa, sillä tällöin myös tilavuusfunktio $V(r)$ saa suurimman arvonsa. Derivaattafunktiolla on kolme nollakohtaa, mutta positiivisia niistä on vain yksi: $$ r = \frac{4}{\sqrt[4]{3\pi^2}} $$ Esimerkiksi kulkukaavion avulla havaitaan, että funktio $f$ saa tässä kohdassa suurimman arvonsa.

Mikä paraabelin $y = 5-x^2$ piste on lähinnä origoa? Piirrä kuvio.
[Pitkä K2009/9]

Lähinnä origoa ovat paraabelin pisteet $\left(\frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$ ja $\left(-\frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$.

Ratkaise yhtälön $$ \sqrt{2-x} = x + 2 $$ reaalijuuret.
[Pitkä S2008/7]

Yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu: $$ x = \frac{-5 + \sqrt{17}}{2} $$

Määritä funktion $$ f(x) = x + \sqrt{9-x^2}, $$ missä $-3 \leq x \leq 3$ suurin ja pienin arvo. Piirrä funktion kuvaaja.
[Pitkä K2008/9]

Pienin arvo on $f(-3) = -3$ ja suurin arvo on $$ f\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right) = 3\sqrt{2}. $$

Suoran kolmisivuisen pyramidin pohja on tasasivuinen kolmio. Pyramidin sivusärmän pituus on 60 cm. Miten on pohjasärmän pituus valittava, jotta pyramidin tilavuus olisi mahdollisimman suuri?
[Pitkä S2007/7]

Sivusärmän pituudeksi on valittava $60\sqrt{2} \text{ cm } \approx 84{,}9 \text{ cm.}$

Ratkaise yhtälö $$ \sqrt{x-2} = 1 + \frac{2}{\sqrt{x-2}} $$
[Pitkä S2000/2]

$x = 6$

Ympyrälevystä, jonka säde on $r$, leikataan pois sektori, ja jäljelle jäänyt osa taivutetaan suoran ympyräkartion vaipaksi. Määritä pois leikatun sektorin keskuskulma asteen tarkkuudella, kun kartion tilavuus on mahdollisimman suuri.
[Pitkä S2008/9]

Poisleikatun sektorin keskuskulma on noin $66^\circ$.

Pallon tilavuus on alussa nolla ja kasvaa sen jälkeen tasaisella nopeudella $120 \text{ cm}^3$ sekunnissa.

  1. Muodosta funktio $V(t)$, joka ilmaisee pallon tilavuuden $t$ sekunnin kuluttua.
  2. Jos tunnet pallon tilavuuden, miten saat selville pallon säteen? Muodosta funktio $r(t)$, joka ilmaisee pallon säteen $t$ sekunnin kuluttua.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa MAA3-kurssin teoreema 21.
  3. Millä nopeudella pallon säde kasvaa 2 sekunnin kuluttua? Entä 4 sekunnin kuluttua? Anna vastaukset millimetrin tarkkuudella.
  4. Millä nopeudella pallon pinta-ala kasvaa 0,5 sekunnin kuluttua? Entä 3 sekunnin kuluttua? Anna vastaukset neliömillimetrin tarkkuudella.
    Vinkki: MAA3-kurssin teoreema 21 ja MAA7-kurssin teoreema 23.

  1. $V(t) = 120t$.
  2. Yhtälöstä $$V = \frac{4\pi r^3}{3}$$ saadaan ratkaistua $$ r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}. $$ Siten $$ r(t) = \sqrt[3]{\frac{90t}{\pi}}. $$
  3. Derivaattafunktio on $$ r'(t) = \frac{30}{\pi}\sqrt[3]{\frac{\pi^2}{8100t^2}}. $$ Siten \begin{align*} r'(2) &\approx 0{,}6 \text{ cm/s} \\ r'(4) &\approx 0{,}4 \text{ cm/s.} \end{align*}
  4. Pinta-alan ilmaisee funktio $$ A(t) = 4\pi (r(t))^2. $$ Sen derivaattafunktio on \begin{align*} A'(t) &= 4\pi\cdot 2r(t) \cdot r'(t) \\[2mm] &=8\pi \sqrt[3]{\frac{90t}{\pi}} \frac{30}{\pi}\sqrt[3]{\frac{\pi^2}{8100t^2}} \\[2mm] &= 240 \sqrt[3]{\frac{\pi}{90t}}. \end{align*} Siten \begin{align*} A'(2) &\approx 62{,}25 \text{ cm}^2/\text{s} \\ A'(4) &\approx 49{,}41 \text{ cm}^2/\text{s.} \end{align*}

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Eksponenttifunktiot

Tämän luvun tavoitteena on, että pystyt eksponenttifunktioiden ja niiden derivaattojen avulla tutkimaan eksponentiaalista kasvua ja vähenemistä. Lisäksi tunnet Neperin luvun erityisominaisuudet eksponenttifunktion kantalukuna ja tiedät, mitä luonnollinen logaritmi tarkoittaa. Osaat

  • hahmotella eksponenttifunktion kuvaajan eri kantalukujen tapauksessa
  • ratkaista yksinkertaisia eksponenttiyhtälöitä logaritmin avulla
  • määrittää eksponenttifunktion derivaattafunktion
  • soveltaa aiemmin oppimiasi derivointisääntöjä eksponenttifunktioista muodostettujen funktioiden kulun tutkimiseen
  • tutkia eksponenttifunktioiden avulla ilmiöitä, joihin liittyy eksponentiaalista kasvua tai vähenemistä.

Kurssissa MAA2 tutustuttiin niin sanottuihin potenssifunktioihin, jotka ovat muotoa $$f(x) = x^n,$$ missä $n$ on positiivinen kokonaisluku. Tuttuja esimerkkejä potenssifunktioista ovat toisen asteen potenssifunktio $f(x) = x^2$ ja kolmannen asteen potenssifunktio $g(x) = x^3$.

Jos muuttuja vaihdetaan kantaluvun paikalta eksponentiksi, saadaan joukko funktioita, joita kutsutaan eksponenttifunktioiksi.

MÄÄRITELMÄ: EKSPONENTTIFUNKTIO

Oletetaan, että $k \neq 1$ on positiivinen reaaliluku. Funktioita, jotka ovat muotoa $$f(x) = k^x,$$ sanotaan eksponenttifunktioiksi.

Tutki tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla, miltä erilaisten eksponenttifunktioiden kuvaajat näyttävät, ja vastaa seuraaviin kysymyksiin:

  1. Mikä ehto kantaluvun $k > 0$ pitää toteuttaa, jotta eksponenttifunktion $f(x) = k^x$ kuvaaja näyttää samantyyppiseltä kuin alla?
  2. Mikä ehto kantaluvun $k > 0$ pitää toteuttaa, jotta eksponenttifunktion $f(x) = k^x$ kuvaaja näyttää samantyyppiseltä kuin alla?
  3. Miksi funktiota $f(x) = 1^x$ ei yleensä kutsuta eksponenttifunktioksi? Mikä on sille osuvampi nimi?
  4. Millaisia arvoja eksponenttifunktiot saavat?

  1. $k > 1$
  2. $0 < k < 1$
  3. Funktio $f(x) = 1^x$ on vakiofunktio $x \mapsto 1$.
  4. Eksponenttifunktiot saavat vain positiivisia arvoja.

Eksponenttifunktioiden avulla voidaan kuvata eksponentiaalista kasvua ja vähenemistä. Nämä ovat ilmiöitä, joissa jokin asia kasvaa tai vähenee niin, että se säännöllisin väliajoin tulee $k$-kertaiseksi aina edelliseen tilanteeseen verrattuna. Seuraavissa tehtävissä tutustutaan joihinkin esimerkkeihin.

Intian väliluku oli noin 616 miljoonaa vuonna 1979 ja vuotta myöhemmin noin 630 miljoonaa. Tuolloin laadittiin väestöennuste vuodelle 2000 olettaen, että vuotuinen väestönkasvuprosentti pysyy samana.

  1. Mikä oli Intian vuotuinen väestönkasvuprosentti 1970-luvun lopussa? Anna vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
  2. Muodosta funktio $f(t)$, joka antaa ennusteen Intian väkiluvulle, kun vuodesta 1979 on kulunut $t$ vuotta. Miten tämä funktio liittyy eksponenttifunktioihin?
  3. Mikä Intian väkiluku oli ennusteen mukaan vuonna 2000?
  4. Intian väkiluku oli vuonna 2013 noin 1 221 miljoonaa. Kuinka monta prosenttia suurempi tai pienempi oli vuodelle 2013 ennustettu väkiluku?

  1. Vuotuinen väestönkasvu oli noin 2,27 %.
  2. Ennuste saadaan funktiosta $$ f(t) = 616 \cdot 10^6 \cdot \left(\frac{630}{616}\right)^t. $$ Tässä vuosittaiselle kasvukertoimelle on käytetty tarkkaa arvoa, jotta ennusteeseen tulee mahdollisimman vähän pyöristysvirhettä. Huomaa kuitenkin, että vuosittainen kasvukerroin on $$ \frac{630}{616} \approx 1{,}0227. $$ Funktio $f$ on eksponenttifunktio vakiolla $616 \cdot 10^6$ kerrottuna. Kantalukuna on kasvukerroin $$ \frac{630}{616}. $$
  3. Ennusteen mukaan Intian väkiluku vuonna 2000 oli $f(21) \approx 988$ miljoonaa.
  4. Ennusteen mukaan Intian väkiluku vuonna 2013 oli $f(34) \approx 1\,323$ miljoonaa. Tämä oli noin 8,27 % suurempi kuin todellinen väkiluku.

Tshernobylin ydinvoimalaonnettomuudessa 26.4.1986 vapautui ilmaan mm. radioaktiivista cesiumia, jonka puoliintumisaika on noin 30 vuotta. Tämä tarkoittaa, että 30 vuoden aikana aina puolet jäljellä olevista cesium-atomeista hajoaa toisen alkuaineen atomeiksi.

Jäljellä olevan radioaktiivisen cesiumin suhteellista osuutta voidaan kuvata funktiolla $$ f(t) = k^{\frac{t}{T}}, $$ missä muuttuja $t$ ilmaisee alkuhetkestä kuluneen ajan vuosina.

  1. Tiedetään, että 30 vuoden kuluttua radioaktiivisesta cesiumista on jäljellä puolet eli $$ f(30) = 0{,}5. $$ Valitse tämän tiedon avulla sopivat luvut funktion $f$ lausekkeeseen kantaluvuksi $k$ ja vakioksi $T$.
    Vinkki: voit kokeilla erilaisia ideoita ja katsoa, mikä antaa oikean tuloksen.
  2. Kuinka suuri osuus radioaktiivisesta cesiumista on jäljellä 60 vuorokauden kuluttua? Tarkista, että saat saman tuloksen sekä päättelemällä että a-kohdan funktion avulla.
  3. Kuinka monta prosenttia radioaktiivisesta cesiumista on jäljellä 26.4.2025? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. Kantaluku on $k = 0{,}5$ ja vakio $T = 30$. Siis $$ f(t) = 0{,}5^{\frac{t}{30}}, $$ missä $t$ on kulunut aika vuosina.
  2. Kun 60 vuotta on kulunut, cesiumin määrä on ehtinyt puoliintua kaksi kertaa, joten jäljellä on neljäsosa. $$ f(60) = 0{,}5^{\frac{60}{30}} = 0{,}5^2 = 0{,}25. $$
  3. Vuosia ehtii kulua $$ 2025-1986 = 39, $$ joten jäljellä olevan cesiumin osuus on $$ f(39) = 0{,}5^{\frac{39}{30}} \approx 0{,}41 $$ eli noin 41 %.

Alla on lueteltu erilaisia tilanteita, joissa voidaan hyödyntää matemaattisia malleja. Päättele, sopiiko malliksi eksponentiaalisen kasvun malli (kuva 1), eksponentiaalisen vähenemisen malli (kuva 2) vai ei kumpikaan.


  1. Bakteerien määrän ennustaminen, kun tiedetään, että bakteeriviljelmän koko kolminkertaistuu aina kahden tunnin välein.
  2. Lääkeaineen annostelun suunnittelu, kun tiedetään, että kyseisen lääkeaineen pitoisuus elimistössä puolittuu viidessä tunnissa.
  3. Saaren kanipopulaation koon ennustaminen, kun tiedetään, että suotuisissa oloissa kanien lukumäärä kaksinkertaistuu vuosittain.
  4. Hintojen kehityksen ennustaminen pitkällä aikavälillä, kun vuosittaiseksi kuluttajahintojen nousuksi eli inflaatioksi arvioidaan 1,5 %.

  1. Kuva 1: eksponentiaalinen kasvu.
  2. Kuva 2: eksponentiaalinen väheneminen.
  3. Kuva 1: eksponentiaalinen kasvu.
  4. Kuva 1: eksponentiaalinen kasvu.

Tehtävän 2.1 havainnot voidaan koota seuraavaksi teoreemaksi, jonka täsmälliseen perusteluun ei nyt ole tarkoituksenmukaista syventyä.

TEOREEMA

Oletetaan, että $k \neq 1$ on positiivinen reaaliluku. Eksponenttifunktion $$ f(x) = k^x $$ määrittelyjoukko on koko lukusuora $\R$ ja arvojoukko on väli $\pa 0, \infty \pe$.
Jos kantaluku $k > 1$, eksponenttifunktio on aidosti kasvava:

Jos kantaluku $0 < k < 1$, eksponenttifunktio on aidosti vähenevä:

Millä vakion $c$ arvoilla eksponenttifunktio $$ f(x) = (2c - 3)^x $$ on

  1. aidosti kasvava
  2. aidosti vähenevä?

  1. $c > 2$
  2. $\frac{3}{2} < c < 2$

Kun tutkitaan, missä kohdassa eksponenttifunktio saa tietyn arvon, päädytään ratkaisemaan niin sanottu eksponenttiyhtälö. Esimerkiksi alla olevasta eksponenttifunktion $f(x) = 2^x$ kuvaajasta nähdään, että yhtälöllä $$ 2^x = 3 $$ on täsmälleen yksi ratkaisu:

Kurssilla MAY1 opittiin, että kuvaan kirjaimella $b$ merkittyä ratkaisua sanotaan luvun 3 kaksikantaiseksi logaritmiksi. Siis $2^x = 3$, jos ja vain jos $x = \log_2(3)$.

Teoreemaan 1 kootuista eksponenttifunktion ominaisuuksista seuraa, että eksponenttiyhtälöllä $$ k^x = a $$ on täsmälleen yksi ratkaisu, olipa $a$ mikä tahansa positiivinen reaaliluku. Tämä tarkoittaa, että seuraava MAY1-kurssilta tuttu määritelmä määrittelee kaikkien positiivisten lukujen logaritmit yksikäsitteisesti ja aukottomasti.

MÄÄRITELMÄ: LOGARITMI

Oletetaan, että kantaluku $k$ on positiivinen ja $k \neq 1$. Positiivisen luvun $a$ $k$-kantainen logaritmi tarkoittaa yhtälön $$k^x = a$$ ratkaisua. Sitä merkintään $\log_k(a)$.

Logaritmin määritelmästä siis seuraa, että $$ k^{\log_k(a)} = a. $$

Logaritmin merkintää käyttäen edellinen kuva näyttää tältä:

Ratkaise eksponenttiyhtälö

  1. $2^x = 500$
  2. $\left(\dfrac{7}{5}\right)^x = 6$.

Anna vastauksen tarkka arvo logaritmin avulla ilmaistuna sekä likiarvo kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. Likiarvoja erikantaisille logaritmeille saat laskettua esimerkiksi Geogebran laskimella.

  1. $x = \log_2(500) \approx 8{,}97$
  2. $x = \log_\frac{7}{5}(6) \approx 5{,}33$

Edellisessä luvussa tarkasteltiin erilaisia eksponenttifunktioita. Niistä matematiikan kannalta tärkein ja laajasti sovelluksissa käytetty on funktio $$ f(x) = e^x, $$ jonka kantalukuna on niin sanottu Neperin luku $e$. Tämä luku on löydetty 1600-luvulla ja se on saanut nimensä skotlantilaisen matemaatikon John Napierin mukaan. Neperin luku $e$ on irrationaaliluku, jonka likiarvo kymmenen desimaalin tarkkuudella on $2{,}7182818285$. Sen likiarvoja saadaan laskettua lukujonon $$ \left(1 + \frac{1}{1}\right)^1, \left(1 + \frac{1}{2}\right)^2, \left(1 + \frac{1}{3}\right)^3, \ldots $$ avulla. Voit kokeilla, millaisen likiarvon saat esimerkiksi tämän jonon miljoonannesta jäsenestä laskemalla lausekkeen $$ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $$ arvon, kun $n = 10^6$.

Neperin luvun merkitys johtuu pitkälti siitä, että eksponenttifunktiolla $$ f(x) = e^x $$ on erityinen kasvunopeus. Sitä tutkitaan seuraavassa tehtävässä.

Tutki $e$-kantaisen eksponenttifunktion derivaattaa tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla. Päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Miten oranssin pisteen $y$-koordinaatti ja tangentin kulmakerroin liittyvät toisiinsa?
  2. Miten oranssin pisteen $y$-koordinaatti ja eksponenttifunktion arvo liityvät toisiinsa?
  3. Selitä omin sanoin, mitä erikoista $e$-kantaisen eksponenttifunktion kasvunopeudessa on.
  4. Mikä on funktion $f(x) = e^x$ derivaattafunktio?

  1. Oranssin pisteen $y$-koordinaatti on samaan kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin. Oranssi piste on siis derivaattafunktion kuvaajan piste.
  2. Oranssin pisteen $y$-koordinaatti on sama kuin eksponenttifunktion arvo, sillä oranssi piste on myös eksponenttifunktion kuvaajan piste.
  3. Eksponenttifunktion $f(x) = e^x$ kasvunopeus on jokaisessa kohdassa sama kuin funktion arvo.
  4. Funktion $f(x) = e^x$ derivaattafunktio on funktio $f(x) = e^x$ itse.

Neperin luku on eksponenttifunktion kantalukuna niin yleisesti käytetty, että monesti eksponenttifunktiosta puhuttaessa tarkoitetaan nimenomaan $e$-kantaista eksponenttifunktiota $f(x) = e^x$.

Seuraavassa tehtävässä tutustutaan yhteen monista eksponenttifunktion sovelluksista.

Tavallisissa lämpötiloissa kappaleen jäähtyminen noudattaa kohtuullisella tarkkuudella niin sanottua Newtonin jäähtymislakia, jonka mukaan kappaleen ja ympäristön lämpötilaeroa voidaan kuvata funktiolla $$ d(t) = d_0e^{-kt}. $$ Tässä $d(t)$ on lämpötilaero $t$ tunnin kuluttua, $d_0$ on lämpötilaero alkuhetkellä $t = 0$ ja $k$ on tilannekohtainen vakio, joka riippuu esimerkiksi kappaleen muodosta ja materiaalista.

Sähkökatkoksen alkaessa sähkölämmitteisen rakennuksen sisälämpötila on $20\ {}^\circ\text{C}$ ja ulkona on $15\ {}^\circ\text{C}$ pakkanen. Vakion $k$ arvo on selvitetty rakennukselle jo aikaisemmin ja se on $k = 0{,}05$.

  1. Mikä on rakennuksen sisälämpötila kahden tunnin kuluttua sähkökatkoksen alkamisesta?
  2. Kuinka monta prosenttia rakennuksen sisälämpötila laskee sähkökatkoksen viiden ensimmäisen tunnin aikana?
  3. Piirrä lämpötilaeroa kuvaavan funktion kuvaaja esimerkiksi Geogebralla. Tutki sen avulla graafisesti, milloin rakennuksen sisälämpötila putoaa pakkasen puolelle.

  1. Noin $16{,}7\ {}^\circ\text{C}$.
  2. Noin 39 %.
    Viiden tunnin kuluttua sisälämpötila on noin $12{,}3\ {}^\circ\text{C}$.
  3. Sisälämpötila putoaa pakkasen puolelle, kun sähkökatkon alkamisesta on kulunut noin 17 tuntia.
    (Lämpötilaeroa kuvaavan funktion kuvaaja painuu suoran $y = 15$ alle kohdassa $x \approx 16{,}95$.)

Eksponenttiyhtälö voidaan ratkaista logaritmin avulla myös silloin, kun kantalukuna on Neperin luku $e$. Vastaavaa logaritmia kutsutaan luonnolliseksi logaritmiksi.

MÄÄRITELMÄ: LUONNOLLINEN LOGARITMI

Positiivisen luvun $a$ luonnollinen logaritmi tarkoittaa yhtälön $$e^x = a$$ ratkaisua $\log_e(a)$. Sille käytetään merkintää $\ln(a)$.

Luonnollisen logaritmin määritelmästä siis seuraa, että $$ e^{\ln(a)} = a. $$

Esimerkiksi yhtälön $$ e^x = 4 $$ ratkaisua voidaan havainnollistaa koordinaatistossa:

Ratkaise seuraavat yhtälöt. Anna vastauksena tarkka arvo ja likiarvo kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. $e^x = 2$
  2. $5e^{x} - 15 = 0$
  3. $8e^{3x - 1} - 7 = 1$

  1. $x = \ln(2) \approx 0{,}693$.
  2. $x = \ln(3) \approx 1{,}10$.
  3. $x = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333$.
    Huom. välivaiheena saadaan yhtälö $$3x - 1 = \ln(1)$$ eli yhtälö $$3x - 1 = 0.$$

Sievennä seuraavat lausekkeet luonnollisen logaritmin määritelmän avulla:

  1. $e^{\ln(5)}$
  2. $\ln (e^8)$
  3. $e^{\ln(1)}$
  4. $\ln (e^{-1})$

  1. Luonnollisen logaritmin määritelmän mukaan $\ln(5)$ on yhtälön $e^x = 5$ ratkaisu. Siten $$e^{\ln(5)} = 5.$$
  2. Luonnollisen logaritmin määritelmän mukaan $\ln (e^8)$ on yhtälön $e^x = e^8$ ratkaisu. Koska funktion $f(x) = e^x$ on aidosti kasvava ja saa jokaisen arvonsa vain kerran, niin yhtälö toteutuu, jos ja vain jos eksponentit ovat samat eli $x = 8$. Siis $$\ln (e^8) = 8.$$
  3. Luonnollisen logaritmin määritelmän mukaan $\ln(1)$ on yhtälön $e^x = 1$ ratkaisu. Siten $$e^{\ln(1)} = 1.$$
  4. Luonnollisen logaritmin määritelmän mukaan $\ln (e^{-1})$ on yhtälön $e^x = e^{-1}$ ratkaisu. Koska funktion $f(x) = e^x$ on aidosti kasvava ja saa jokaisen arvonsa vain kerran, niin yhtälö toteutuu, jos ja vain jos eksponentit ovat samat eli $x = -1$. Siis $$\ln (e^{-1}) = -1.$$

Tehtävässä 2.7 havaittiin, että eksponenttifunktion $f(x) = e^x$ tangentin kulmakerroin eli derivaatan arvo on jokaisessa kohdassa sama kuin funktion arvo:

Derivaattafunktion kuvaaja on siten sama kuin alkuperäisen eksponenttifunktion kuvaaja:

Tästä havainnosta saadaan seuraava teoreema, jonka täsmälliseen todistukseen tutustutaan matematiikan yliopisto-opinnoissa.

TEOREEMA

Eksponenttifunktio $f(x) = e^x$ on kaikkialla derivoituva ja sen derivaattafunktio on $$ f'(x) = e^x. $$

Teoreeman 7 tulos voidaan ilmaista myös merkinnällä $$ \mathop{\mathrm{D}} e^x = e^x. $$

Derivoi seuraavat funktiot. Kertaa tarvittaessa derivointisääntöjä MAA6-kurssin luvusta 4 ja luvusta 6.

  1. $f(x) = x^2 - 8e^x$
  2. $g(x) = xe^x$
  3. $h(x) = \dfrac{e^x}{x}$

  1. $f'(x) = 2x - 8e^x$.
  2. $g'(x) = xe^x + e^x = e^x(x + 1)$.
  3. $h'(x) = \dfrac{xe^x - e^x}{x^2} = \dfrac{x - 1}{x^2}\,e^x$

Eksponenttifunktion $f(x) = e^x$ kuvaajalle piirretään origon kautta kulkeva tangentti. Tehtävänä on selvittää, missä pisteessä tangentti sivuaa kuvaajaa.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva.
  2. Mitä voit päätellä tangentin yhtälöstä sen perusteella, että tangentti kulkee origon kautta?
  3. Merkitään sivuamispisteen $x$-koordinaattia kirjaimella $a$. Mikä on sivuamispisteen $y$-koordinaatti? Entä mikä on tangentin kulmakerroin?
  4. Sivuamispisteen koordinaatit toteuttavat tangenttisuoran yhtälön. Muodosta tämän tiedon avulla sopiva yhtälö ja selvitä, missä pisteessä tangentti sivuaa kuvaajaa.

  1. Tangentin yhtälö on muotoa $y = kx$ eli vakiotermi $h = 0$.
  2. Sivuamispisteen $y$-koordinaatti on funktion arvo $f(a) = e^a$. Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo $f'(a) = e^a$.
  3. Kun yhtälöön $$y = kx$$ sijoitetaan $y = e^a$, $k = e^a$ ja $x = a$, saadaan yhtälö $$ e^a = e^a\cdot a, $$ josta saadaan ratkaistua $a = 1$. Sivuamispiste on siis $(1,e)$.

Kun eksponenttifunktion derivaattafunktio nyt tunnetaan, voidaan entistä useampien funktioiden kulkua tutkia derivaatan avulla kuten MAA6-kurssilla opittiin. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Tehtävänä on osoittaa, että käyrä $$y = e^x - x - 1$$ on suoran $2x - 2y - 1 = 0$ yläpuolella.

  1. Muokkaa suoran yhtälö muotoon $y = kx + h$.
  2. Mikä ehto lausekkeiden $e^x - x - 1$ ja $kx + h$ pitää toteuttaa, jotta käyrä on suoran yläpuolella?
  3. Muodosta sopiva funktio ja määritä sen pienin arvo. Päättele tästä, että b-kohdan ehto toteutuu.

  1. $y = x - \frac{1}{2}$.
  2. Kaikilla muuttujan $x$ arvoilla pitää päteä epäyhtälö $$e^x - x - 1 > x - \frac{1}{2}.$$
  3. Funktioksi voidaan valita $$ f(x) = e^x - 2x - \frac{1}{2}. $$ Sen derivaattafunktiolla $$ f'(x) = e^x - 2 $$ on yksi nollakohta $x = \ln (2)$. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio $f$ saa tässä pienimmän arvonsa $$f(\ln(2)) = \frac{3}{2} - 2\ln(2) \approx 0{,}11 > 0.$$ Siis $f(x) > 0$ kaikilla muuttujan $x$ arvoilla, joten $$e^x - x - 1 > x - \frac{1}{2}$$ kaikilla muuttujan $x$ arvoilla.

Yhdistetyn funktion derivointisäännön avulla pystytään derivoimaan erilaisia ekponenttifunktiosta yhdistettyjä funktioita.

Derivoi seuraavat funktiot. Kertaa tarvittaessa yhdistetyn funktion derivointisääntö MAA7-kurssin teoreemasta 23.

  1. $f(x) = e^{-2x}$
  2. $g(x) = e^{\sin x}$
  3. $h(x) = e^{1+x^2}$

  1. $f'(x) = -2e^{-2x}$.
  2. $g'(x) = e^{\sin x} \cos x$.
  3. $h'(x) = 2xe^{1 + x^2}$

Tutki, onko funktiolla $$ f(x) = xe^{-x} $$ suurinta tai pienintä arvoa. Jos kyseinen arvo on olemassa, mikä se on?

Funktiolla on suurin arvo $$ f(1) = \frac{1}{e} $$ mutta ei pienintä arvoa.

Derivaattafunktiolla \begin{align*} f'(x) &= e^{-x} -xe^{-x} \\ &= e^{-x} (1 - x) \end{align*} on yksi nollakohta $x = 1$. Kulkukaavion perusteella päätellään, että funktio saa tässä kohdassa suurimman arvonsa.

Tehtävänä on osoittaa, että funktio $$ f(x) = e^{2x} - 2e^x + x $$ on kaikkialla aidosti kasvava.

  1. Muodosta derivaattafunktio $f'(x)$.
  2. Muodosta yhtälö $f'(x) = 0$. Merkitse $e^x = t$, jolloin yhtälön ainoaksi tuntemattomaksi jää $t$ ja yhtälön ratkaisu helpottuu.
    Vinkki: potenssin potenssin laskusääntö (MAY1-kurssin teoreema 1).
  3. Onko derivaattafunktiolla nollakohtia? Minkä merkkisiä arvoja derivaattafunktio saa?
  4. Perustele omin sanoin, miten edellisten kohtien perusteella voidaan päätellä, että funktio $f$ on kaikkialla aidosti kasvava.

  1. $f'(x) = 2e^{2x} - 2e^x + 1$
  2. Kun merkitään $e^x = t$, yhtälö $$2(e^{x})^2 - 2e^x + 1 = 0$$ saadaan muotoon $$2t^2 - 2t + 1 = 0.$$
  3. Yhtälöllä $$2t^2 - 2t + 1 = 0$$ ei ole ratkaisuja, joten derivaattafunktiolla ei ole nollakohtia. Koska esimerkiksi $$f'(0) = 2e^0 - 2e^0 + 1 = 1 > 0,$$ on derivaattafunktion arvo aina positiivinen.
  4. Koska derivaattafunktion arvo on kaikkialla positiivinen, on funktio $f$ kaikkialla aidosti kasvava.

Luonnollisen logaritmin määritelmän ja yhdistetyn funktion derivointisäännön avulla saadaan johdettua derivaattafunktiot myös niille eksponenttifunktioille, joiden kantalukuna ei ole Neperin luku.

Oletetaan, että $k \neq 1$ on positiivinen reaaliluku. Tehtävänä on määrittää eksponenttifunktion $f(x) = k^x$ derivaattafunktio.

  1. Ilmaise luku $k$ Neperin luvun $e$ ja luonnollisen logaritmin avulla.
    Vinkki: Palauta mieleesi luonnollisen logaritmin määritelmä ja siitä seuraavat yhtälöt.
  2. Sijoita a-kohdan lauseke eksponenttifunktion lausekkeeseen kantaluvun $k$ paikalle ja sievennä potenssien laskusääntöjen avulla.
    Vinkki: Potenssien laskusääntöjä voit kerrata MAY1-kurssin teoreemasta 1.
  3. Määritä funktion $f$ derivaattafunktio.
    Vinkki: b-kohdan lauseke ja yhdistetyn funktion derivointisääntö.

  1. Luonnollisen logaritmin määritelmästä seuraa, että $$ e^{\ln(k)} = k. $$
  2. $$ f(x) = k^x = \left(e^{\ln(k)}\right)^x = e^{x\ln(k)} $$
  3. \begin{align*} f'(x) &= e^{x\ln (k)} \ln (k)\\ &= k^x \ln(k) \end{align*}

Tehtävän 2.17 tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Oletetaan, että $k \neq 1$ on positiivinen reaaliluku. Eksponenttifunktio $f(x) = k^x$ on kaikkialla derivoituva ja sen derivaattafunktio on $$ f'(x) = k^x \ln(k). $$

Perustelu tehtävässä 2.17.

Derivoi seuraavat funktiot. Kertaa tarvittaessa yhdistetyn funktion derivointisääntö MAA7-kurssin teoreemasta 23.

  1. $f(x) = 2^x$
  2. $g(x) = 3^{-x}$
  3. $h(x) = 10^{2x}$

  1. $f'(x) = 2^x \ln(2)$.
  2. $g'(x) = -3^{-x} \ln(3)$.
  3. $h'(x) = 2 \ln(10) \cdot 10^{2x}$

Jos raakaa jauhelihaa säilytetään huoneenlämmössä, lihassa olevien bakteerien määrä noin 7,9-kertaistuu joka tunti. Arvioidaan, että bakteerien lukumäärä jauhelihaerässä on nyt noin 1500.

  1. Muodosta funktio $B(t)$, joka ilmaisee bakteerien määrän $t$ tunnin kuluttua.
  2. Kuinka paljon bakteereita jauhelihassa on, jos se unohtuu keittiön pöydälle 1,5 tunniksi?
  3. Millä nopeudella bakteerien määrä lisääntyy hetkellä $t = 1{,}5$? Entä hetkellä $t = 3$?

  1. Kantaluku voidaan valita kahdella tavalla: $$B(t) = 1500 \cdot 7{,}9^t$$ tai $$B(t) = 1500 \cdot e^{t \ln (7{,}9)}.$$
  2. Noin 33 000 kpl.
  3. Derivaattafunktio on $$B'(t) = 1500 \cdot \ln (7{,}9) \cdot 7{,}9^t,$$ joten $$ B'(1{,}5) \approx 69\,0000 $$ ja $$ B'(3) \approx 1\,500\,0000. $$ Bakteerien määrä lisääntyy siis 1,5 tunnin kuluttua noin 69 000 bakteeria tunnissa ja 3 tunnin kuluttua noin 1,5 miljoonaa bakteeria tunnissa.

Eksponenttifunktiot

Vanhemmat sijoittivat lastensa nimiin yhtä suuret rahasummat. Esikoisen osuus sijoitettiin pankkitilille, jonka nimellinen vuosikorko oli 5 %. Korkotuloista kuitenkin perittiin vuosittain 30 % lähdevero, minkä vuoksi talletus kasvoi vuosittain korkoa 3,5 %.

Kuopuksen osuus sijoitettiin osakkeisiin, joiden arvon kasvoi keskimäärin noin 4 % vuodessa. Kymmenen vuoden kuluttua nuorempi lapsista myi osakkeensa pois ja maksoi niiden arvonnoususta 30 % pääomatuloveron. Kummalla oli tällöin enemmän rahaa? Kuinka monta prosenttia enemmän?

Vinkki: Voit ensin valita jonkin sopivan rahasumman ja laskea laskun sen avulla. Sen jälkeen voit kuvata rahasummaa jollakin kirjaimella ja tarkistaa samojen laskutoimitusten avulla, ettei tulos riipu rahasumman suuruudesta.

Merkitään alkuperäistä yhden lapsen nimiin sijoitettua rahasummaa kirjaimella $a$. Esikoisen rahasumma 10 vuoden kuluttua oli $$ 1{,}035^{10} \cdot a \approx 1{,}411a. $$ Kuopuksen osakkeiden arvo oli $$ 1{,}04^{10}a \approx 1{,}480a. $$ Arvonnoususta meni 30 % vero, minkä jälkeen rahaa jäi noin $$ 0{,}7 \cdot 0{,}480a + a = 1{,}336a. $$ Esikoisella oli siis enemmän rahaa, tarkemmin sanottuna noin 5,6 % enemmän kuin kuopuksella.

Eksponenttifunktiot

Bakteeriviljelmä kaksinkertaistui kolmessa tunnissa. Kuinka monta bakteeria viljelmässä on 20 tunnin kuluttua, jos niitä 5 tunnin kuluttua oli noin 600 000?

Bakteerien määrää $t$ tunnin kuluttua kuvaa likimain funktio $$ B(t) = 188\,988 \cdot 2^{\frac{t}{3}} $$ joten 20 tunnin kuluttua bakteereja on noin $B(20) \approx 19\,000\,000$.

Eksponenttifunktiot

Olkoon radioaktiivisen aineen puoliintumisaika $T$. Selvitä, kuinka monta prosenttia kyseisen aineen atomeista on jäljellä, kun aikaa on kulunut

  1. $2T$
  2. $\dfrac{T}{2}$
  3. $10T$.

Atomeista on jäljellä

  1. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^\frac{2T}{T} = \dfrac{1}{4}$ eli 25 %.
  2. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^\frac{T}{2T} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ eli noin 71 %.
  3. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^\frac{10T}{T} = \dfrac{1}{1024}$ eli noin 0,098 %.

Eksponenttifunktiot

Tshernobylin ydinvoimalaonnettomuuden seurauksena Suomeen tullut radioaktiivinen laskeuma sisälsi liukenevaa cesiumia, jonka puoliintumisaika eläimissä on 3 kuukautta. Kuinka monta prosenttia laskeuman radioaktiivisesta cesiumista oli eläimissä jäljellä 1,5 vuoden kuluttua onnettumuudesta lokakuun lopussa 1987?

Olkoon cesiumin määrä alussa $a$. Määrä $t$ kuukauden kuluttua saadaan funktiosta $$ f(t) = a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{3}. $$ Lokakuun lopussa vuonna 1987 cesiumia oli $$ f(18) = a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{18}{3} = 0{,}015625a. $$ Jäljellä oli siis noin 1,6 % alkuperäisestä määrästä.

Eksponenttifunktio

Oletetaan, että $k > 0$ ja $k \neq 1$. Ratkaise potenssin laskusääntöjen ja eksponenttifunktion ominaisuuksien avulla yhtälö

  1. $k^5\cdot k^x = k^{3x}$
  2. $\dfrac{k^x}{k^4} = k^{\frac{x}{3}}$

  1. $x = \dfrac{5}{2}$
    (Koska eksponenttifunktio on aidosti monotoninen riippumatta kantaluvusta $k$, saadaan yhtälö $5 + x = 3x$.)
  2. $x = 6$
    (Koska eksponenttifunktio on aidosti monotoninen riippumatta kantaluvusta $k$, saadaan yhtälö $x-4 = \frac{x}{3}$.)

Eksponenttifunktiot

Oletetaan, että $k > 0$ ja $a \in \R$. Osoita, että funktiolla $f(x) = k^x$ on ominaisuus $$ f(ax) = \left(f(x)\right)^a. $$

Sovelletaan funktion $f$ määritelmää ja potenssien laskusääntöjä: \begin{align*} f(ax) &= k^{ax} = \left(k^x\right)^a = \left(f(x)\right)^a. \end{align*}

Eksponentiaalinen kasvu ja väheneminen

Elävät kasvit sisältävät radioaktiivista hiilen isotooppia ${}^{14}\text{C}$. Tämän vuoksi kasvien radioaktiivisuus massayksikköä kohti on $$ \frac{A_0}{m} \approx 0{,}23 \, \frac{\text{Bq}}{\text{g}}. $$ Tässä $A_0$ on kasvinäytteen aktiivisuus (yksikkönä Becquerel) ja $m$ on kasvinäytteen sisältämän hiilen massa (yksikkönä gramma). Kasvin kuoltua hiilen aktiivisuuden vähenemistä voidaan kuvata funktiolla $$ A(t) = A_0e^{-kt}. $$ Tässä $A(t)$ on kasvinäytteen aktiivisuus $t$ vuoden kuluttua ja $k \approx 1{,}20968\cdot 10^{-4}$.

Tehtävänä on selvittää, kuinka monta prosenttia kasvin radioaktiivisuus massayksikköä kohti vähenee 2000 vuoden aikana kasvin kuoltua (olettaen, että kasvi ei maadu vaan säilyy esimerkiksi ikiroudan suojassa).

  1. Elävästä kasvista otetaan näyte, joka sisältää 1 gramman hiiltä. Mikä on näytteen aktiivisuus $A_0$?
  2. Mikä on yhden hiiligramman aktiivisuus 2000 vuoden kuluttua?
  3. Kuinka monta prosenttia kasvin radioaktiivisuus massayksikköä kohti on vähentynyt 2000 vuoden aikana kasvin kuoltua?

  1. $A_0 \approx 0{,}23 \text{ Bq}.$
  2. \begin{align*} A(2000) &\approx 0{,}23e^{-1{,}20968\cdot 10^{-4} \cdot 2000} \text{ Bq} \\ &\approx 0{,}18 \text{ Bq}. \end{align*}
  3. Noin 21,4 %.
    Tämä on laskettu b-kohdan pyöristämättömällä tuloksella $0{,}180574477234\ldots \text{ Bq}$.

Eksponentiaalinen kasvu ja väheneminen

Elektronisessa laitteessa on sähkökatkosten varalta kondensaattori, jonka jännite turvaa laitteen muistissa olevat tiedot. Kun sähkökatkos alkaa, kondensaattori alkaa purkautua ja sen jännite $u(t)$ ajan funktiona pienenee yhtälön $$ u(t) = 12 \text{ V} \cdot e^{-0{,}1054t} $$ mukaisesti. (Tässä V tarkoittaa jännitteen yksikköä voltti.)

  1. Kuinka monta prosenttia kondensaattorin jännite pienenee sähkökatkoksen ensimmäisen tunnin aikana?
  2. Tiedetään, että tiedot säilyvät laitteen muistissa niin kauan kuin kondensaattorin jännite on vähintään 50 % sen jännitteestä sähkökatkoksen alussa. Piirrä kondensaattorin jännitettä kuvaavan funktion kuvaaja esimerkiksi Geogebralla. Tutki sen avulla graafisesti, kuinka pitkän sähkökatkoksen ajan kondensaattori pystyy turvaamaan laitteen muistissa olevat tiedot.

  1. Noin 10,0 %.
  2. Kuvaajasta voidaan lukea, että kondensaattorin jännite turvaa tiedot noin 6,5 tunnin sähkökatkoksen ajan:

Luonnollinen logaritmi

  1. Määritä lukujen $e^9$ ja $\dfrac{1}{e^5}$ luonnolliset logaritmit.
  2. Minkä luvun luonnollinen logaritmi on $-0{,}5$? Anna vastauksena tarkka arvo, jos mahdollista.

  1. Luonnollisen logaritmin määritelmän mukaan \begin{align*} \ln (e^9) &= 9 \\[2mm] \ln \left(\dfrac{1}{e^5}\right) &= \ln (e^{-5}) = -5 \end{align*}
  2. Yhtälön $\ln x = -0{,}5$ ratkaisu on luonnollisen logaritmin määritelmän mukaan $$x = e^{-0{,}5} = \dfrac{1}{\sqrt{e}}.$$

Eksponenttifunktion derivaatta

Derivoi seuraavat funktiot:

  1. $f(x) = \dfrac{e^{3x} - 2}{e^x}$
  2. $g(x) = \left(e^x + e^{-x}\right)^2$
  3. $h(x) = e^{-\frac{1}{2}(5x+1)^4}$

  1. $f'(x) = \dfrac{2e^{3x} + 2}{e^x}$
  2. $g'(x) = 2(e^{2x} - e^{-2x}) =\dfrac{2(e^{4x} - 1)}{e^{2x}}$
  3. $h'(x) = -10(5x+1)^3e^{-\frac{1}{2}(5x+1)^4}$

Eksponenttifunktion derivaatta

Osoita, että funktio $$ f(x) = e^{-x} - x + 1 $$ on kaikkialla aidosti vähenevä.

Derivaattafunktion $$ f'(x) = -e^{-x} - 1 $$ arvot ovat kaikkialla negatiivisia. Nimittäin kaikilla $x \in \R$ pätee $e^{-x} > 0$ ja siten $$ f'(x) = -e^{-x} - 1 < 0 - 1 = -1. $$ Koska derivaattafunktion arvot ovat kaikkialla negatiivisia, on funktio $f$ kaikkialla aidosti vähenevä.

Eksponenttifunktion derivaatta

Osoita, että funktio $$ f(x) = xe^x + 1 $$ saa vain positiivisia arvoja.

Derivaattafunktiolla $$ f'(x) = xe^x + e^x $$ on yksi nollakohta $x = -1$. Kulkukaavion avulla nähdään, että funktio $f$ saa siinä pienimmän arvonsa. Tämä on $$ f(-1) = -e^{-1} + 1 \approx 0{,}63 > 0. $$ Koska funktion pienin arvo on positiivinen, ovat sen kaikki arvot positiivisia.

Eksponenttifunktion derivaatta

Osoita sopivan funktion kulkua tutkimalla, että

  1. yhtälöllä $e^x = 2x$ ei ole yhtään ratkaisua
  2. yhtälöllä $e^x = 3x$ on täsmälleen kaksi ratkaisua.

Vinkki: MAA6-kurssin teoreema 1 ja teoreema 10.

  1. Funktion $f(x) = e^x - 2x$ derivaattafunktiolla $$f'(x) = e^x - 2$$ on tasan yksi nollakohta $x = \ln (2)$. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio saa siinä pienimmän arvonsa. Koska pienin arvo on \begin{align*} f(\ln (2)) &= 2 - 2\ln(2) \\ &\approx 0{,}62 > 0, \end{align*} ovat funktion kaikki arvot positiivisia. Funktiolla ei siis ole nollakohtia eikä alkuperäisellä yhtälöllä ole ratkaisuja.
  2. Funktion $g(x) = e^x - 3x$ derivaattafunktiolla $$g'(x) = e^x - 3$$ on tasan yksi nollakohta $x = \ln (3)$. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio saa siinä pienimmän arvonsa. Tämä on \begin{align*} g(\ln(3)) &= 3 - 3\ln(3) \\ &\approx -0{,}30 < 0. \end{align*} Lisäksi $$g(0) = 1 > 0$$ ja $$g(2) = e^2 - 6 \approx 1{,}4 > 0,$$ joten jatkuvalla funktiolla $g$ on Bolzanon lauseen mukaan ainakin yksi nollakohta välillä $\pa 0, \ln(3)\pe$ ja ainakin yksi nollakohta välillä $\pa \ln(3), 2\pe$ (MAA6, teoreema 1). Kulkukaavion mukaan $g$ on aidosti vähenevä välillä $\pa 0, \ln(3)\pe$ ja aidosti kasvava välillä $\pa \ln(3), 2\pe$, joten kummallakin välillä nollakohtia on enintään yksi.

Eksponenttifunktion derivaatta

Suorakulmion kaksi kärkeä on $x$-akselilla ja kaksi muuta käyrällä $$ y = e^{-\left|x\right|}. $$ Tehtävänä on määrittää tällaisen suorakulmion suurin mahdollinen pinta-ala.

  1. Piirrä tilanteesta kuva esimerkiksi Geogebralla.
  2. Muodosta funktio, joka ilmaisee suorakulmion pinta-alan.
  3. Mikä on suorakulmion suurin mahdollinen pinta-ala?

  1. Kuva:
  2. $A(x) = 2xe^{-x}$, missä $x > 0$.
  3. Suurin mahdollinen pinta-ala on $$A(1) = 2e^{-1} \approx 0{,}736.$$ Se löydetään derivaattafunktion $$ A'(x) = (2-2x)e^{-x} $$ nollakohdasta. Kulkukaavion avulla voidaan varmistaa, että kysymyksessä todella on pienin arvo.

Eksponenttifunktion derivaatta

Oletetaan, että $a \neq 0$. Käyrälle $$ y = ae^{-\frac{1}{2}x^2} $$ piirretään tangentti kohtaan $x = 1$. Osoita, että tangentti leikkaa $x$-akselin samassa pisteessä vakion $a$ arvosta riippumatta. Mikä tämä leikkauspiste on?

Käyrälle piirretyn tangentin kulmakerroin on funktion $$ f(x) = ae^{-\frac{1}{2}x^2} $$ derivaattafunktion $$ f'(x) = -axe^{-\frac{1}{2}x^2} $$ arvo kohdassa $x = 1$: $$ f'(1) = -ae^{-\frac{1}{2}} = -\frac{a}{\sqrt{e}}. $$ Sivuamispiste on $(1, f(1)) = \left(1, \frac{a}{\sqrt{e}}\right)$, joten tangentin yhtälö on $$ y = -\frac{a}{\sqrt{e}} x + \frac{2a}{\sqrt{e}}. $$ Sen ja $x$-akselin leikkauspisteen $y$-koordinaatti on nolla. Yhtälön $$ -\frac{a}{\sqrt{e}} x + \frac{2a}{\sqrt{e}} = 0 $$ ratkaisuksi saadaan $x = 2$. Leikkauspiste on siis $(2,0)$.

Eksponenttifunktion derivaatta

Määritä funktion $$ f(x) = x^2e^{-x} $$ ääriarvot. Onko funktiolla suurinta tai pienintä arvoa?

Funktiolla on minimiarvo $f(0) = 0$ ja maksimiarvo $f(2) = 4e^{-2}$.

Derivaattafunktiolla $$ f'(x) = (2x-x^2)e^{-x} $$ on kaksi nollakohtaa: $x_1 = 0$ ja $x_2 = 2$. Kulkukaavion avulla saadaan selville, että $x_1 = 0$ on minimikohta ja $x_2 = 2$ on maksimikohta.

Tiedetään, että kaikilla $x \in \R$ pätee $x^2 \geq 0$ ja $e^{-x} > 0$, joten funktion $f$ arvot ovat aina epänegatiivisia. Siten $f(0) = 0$ on funktion $f$ pienin arvo.

Funktio $f$ on välillä $\pa -\infty, 0]$ aidosti vähenevä ja esimerkiksi $f(-2) = 4e^{2} \approx 29{,}6$ on suurempi kuin maksimiarvo $f(2)$, joten funktiolla $f$ ei ole suurinta arvoa.

Eksponenttifunktion derivaatta

Osoita, että $$ e^x \geq 1 + x $$ kaikilla reaaliluvuilla $x$.

Tutkitaan, onko erotusfunktiolla $$ f(x) = e^x - x - 1 $$ pienin arvo. Derivaattafunktiolla $$ f'(x) = e^x - 1 $$ on tasan yksi nollakohta $x = 0$. Kulkukaavion avulla nähdään, että funktio $f$ saa siinä pienimmän arvonsa. Pienin arvo on $$ f(0) = e^0 - 0 - 1 = 0, $$ joten $f(x) \geq 0$ kaikilla reaaliluvuilla $x$. Siis $$ e^x \geq 1 + x $$ kaikilla reaaliluvuilla $x$.

Eksponenttifunktion derivaatta

Määritä käyrien $$ y = (x^2 + 2x - 1)e^x $$ ja $$ y = -e^x $$ leikkauspisteet. Osoita, että yhdessä leikkauspisteessä käyrät leikkaavat toisensa kohtisuorasti.

Leikkauspisteet löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ (x^2 + 2x - 1)e^x = -e^x. $$ Leikkauspisteet ovat $x_1 = 0$ ja $x_2 = -2$. Käyrät voidaan ajatella funktioiden $$ f(x) = (x^2 + 2x - 1)e^x $$ ja $$ g(x) = -e^x $$ kuvaajiksi. Derivaattafunktiot ovat $$ f'(x) = (x^2 + 4x + 1)e^x $$ ja $$ g'(x) = -e^x. $$ Kohdassa $x = 0$ käyrille piirrettyjen tangenttien kulmakertoimien tulo on $-1$, sillä $f'(0) = 1$ ja $g'(0) = -1$. Käyrät siis leikkaavat toisensa kohtisuorasti, koska niiden tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Eksponenttifunktion derivaatta

Käyrälle $y = e^x$ piirretään tangentti pisteeseen $P$. Lisäksi piirretään pisteen $P$ kautta kulkeva $y$-akselin suuntainen suora. Tehtävänä on osoittaa, että näiden kahden suoran $x$-akselista erottaman janan pituus ei riipu pisteen $P$ paikasta käyrällä.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva esimerkiksi Geogebralla.
  2. Merkitse pisteen $P$ $x$-koordinaattia jollakin kirjaimella. Mikä on tällöin sen $y$-koordinaatti?
  3. Määritä pisteen $P$ kautta kulkevan tangentin yhtälö. Missä pisteessä tangentti leikkaa $x$-akselin?
  4. Määritä pisteen $P$ kautta kulkevan $y$-akselin suuntaisen suoran yhtälö. Miten pitkän janan se erottaa $x$-akselista yhdessä tangentin kanssa?

  1. Kuva:
  2. Esimerkiksi $P = (a, e^a)$.
  3. Tangentin yhtälö on $$ y = e^ax + (1-a)e^a. $$ Se leikkaa $x$-akselin pisteessä $(a-1, 0)$.
  4. Pisteen $P$ kautta kulkevan $y$-akselin suuntaisen suoran yhtälö on $x = a$, joten se leikkaa $x$-akselin pisteessä $(a,0)$. Tämä suora ja tangentti erottavat $x$-akselista janan, jonka pituus on $a - (a-1) = 1$.

Eksponenttifunktion derivaatta

Määritä funktion $$ f(x) = e^{-x}\sin x $$ suurin ja pienin arvo välillä $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.
Vinkki: MAA7-kurssin teoreemasta 16 voi olla apua yhtälönratkaisussa.

Derivaattafunktion $$ f'(x) = e^{-x}(\cos x - \sin x) $$ nollakohdat löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ \cos x = \sin x. $$ MAA7-kurssin teoreeman 16 mukaan se voidaan kirjoittaa muodossa $$ \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin x. $$ Ratkaisuiksi saadaan välivaiheiden jälkeen $$ x = \frac{\pi}{4} + n \cdot \pi, $$ missä $n$ on kokonaisluku. Suurin ja pienin arvo löytyvät nyt välin $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ päätepisteistä tai sille osuvasta derivaatan nollakohdasta: \begin{align*} f(0) &= \sin 0 = 0 \\[2mm] f\left(\frac{\pi}{4}\right) &= e^{-\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}322 \\[2mm] f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= e^{-\frac{\pi}{2}} \approx 0{,}208. \end{align*} Funktion pienin arvo välillä $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ on siis $f(0) = 0$ ja suurin arvo on $$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{\pi}{4}}. $$

Eksponenttifunktion derivaatta

Radioaktiivista jodia käytetään joissakin tilanteissa lääketieteellisenä hoitona. Tällöin on otettava huomioon, että potilas on hoidon aikana itsekin radioaktiivinen ja hänet on eristettävä ympäristöstä, jotta muut ihmiset eivät altistu haitalliselle säteilylle.

Potilaalle annettiin radiojodiannos, jonka aktiivisuus oli $3{,}0$ GBq eli $3{,}0 \cdot 10^9$ Bq. Jodin radioaktiivisen isotoopin jodi-131 puoliintumisaika on 8,0 vuorokautta, joten aktiivisuus puolittuu aina kahdeksan vuorokauden kuluessa.

  1. Muodosta funktio $A(t)$, joka ilmaisee aktiivisuuden $t$ vuorokauden kuluttua radiojodiannoksen antamisesta.
  2. Millä nopeudella aktiivisuus pienenee yhden vuorokauden kuluttua radiojodiannoksen antamisen jälkeen?
  3. Millä nopeudella aktiivisuus pienenee viikon kuluttua radiojodiannoksen antamisen jälkeen?

  1. Funktio on \begin{align*} A(t) &= 3 \text{ GBq} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{8} \\[2mm] &= 3 \text{ GBq} \cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{t}{8}} \end{align*}
  2. Derivaattafunktio on $$ A'(t) = 3 \text{ GBq} \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{8} e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{t}{8}}, $$ joten vuorokauden kuluttua $$ A'(1) \approx -0{,}24 \text{ GBq}. $$ Aktiivisuus siis pienenee noin $0{,}24 \text{ GBq}$ vuorokaudessa.
  3. Seitsemän vuorokauden kuluttua muutosnopeus on $$ A'(7) \approx -0{,}14 \text{ GBq}. $$ Aktiivisuus siis pienenee noin $0{,}14 \text{ GBq}$ vuorokaudessa.

Eksponenttifunktion derivaatta

Suora sivuaa funktion $$ f(x) = e^{\frac{1}{2}x^2} $$ kuvaajaa. Osoita, että suoran kulmakerroin on sivuamispisteen $x$- ja $y$-koordinaattien tulo.

Olkoon sivuamispisteen $x$-koordinaatti $a$, jolloin sivuamispiste on $$ \left(a, e^{\frac{1}{2}a^2}\right) $$ Suoran kulmakerroin on derivaatan arvo: $$ f'(a) = ae^{\frac{1}{2}a^2}. $$ Huomataan, että se on sama kuin sivuamispisteen $x$- ja $y$-koordinaattien tulo.

Eksponenttifunktion derivaatta

Funktion $$ f(x) = e^{-x^2} $$ kuvaajalle piirretään normaali pisteeseen $(a, f(a))$, missä $a \neq 0$. Mitä pistettä normaalin ja $y$-akselin leikkauspiste lähenee, kun $a$ lähenee nollaa?

Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo: $$ f'(a) = -2ae^{-a^2} $$ Tangentin ja normaalin kulmakertoimien tulo on $-1$, joten normaalin kulmakerroin on $$ \frac{e^{a^2}}{2a}. $$ Normaalin yhtälöksi saadaan $$ y = \frac{e^{a^2}}{2a} x - \frac{e^{a^2}}{2} + e^{-a^2}. $$ Normaalin ja $y$-akselin leikkauspisteessä $x = 0$, joten sen $y$-koordinaatti on $$ y = - \frac{e^{a^2}}{2} + e^{-a^2}. $$ Kun $a \rightarrow 0$, niin $$ y \rightarrow -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}. $$ Leikkauspiste lähestyy siis pistettä $\left(0, \frac{1}{2}\right)$.

Eksponenttifunktion derivaatta

Millä vakion $a$ arvoilla funktio $$ g(x) = xe^{ax} + a $$ saa vain positiivisia arvoja?

Jos $a = 0$, funktio on $g(x) = x$. Tämä funktio saa myös negatiivisia arvoja, esim. $g(-1) = -1$.

Oletetaan, että $a \neq 0$. Tutkitaan funktion $g$ pienintä arvoa. Derivaattafunktiolla $$ g'(x) = (ax + 1)e^{ax} $$ on tasan yksi nollakohta $x = -\frac{1}{a}$. Lausekkeen $e^{ax}$ arvo on aina positiivinen, joten derivaatan arvo määräytyy lausekkeen $ax + 1$ arvon mukaan.

  • Jos $a > 0$, $y = ax + 1$ on nouseva suora, eli derivaatan arvo on negatiivinen nollakohdan vasemmalla puolella ja positiivinen nollakohdan oikealla puolella. Derivaatan nollakohdassa funktio saa pienimmän arvonsa: $$ g\left(-\frac{1}{a}\right) = -\frac{1}{a}e^{-1} + a. $$ Tämä on positiivinen, jos ja vain jos \begin{align*} a &> \frac{1}{a}e^{-1} \\[2mm] a^2 &> \frac{1}{e} \\[2mm] (a < -\frac{1}{ \sqrt{e} } \text{ tai) } &a > \frac{1}{ \sqrt{e} } \end{align*} Huomaa, että epäyhtälön ratkaisussa käytettiin oletusta $a > 0$ kahdessa kohdassa.
  • Jos $a < 0$, $y = ax + 1$ on laskeva suora, eli derivaatan arvo on positiivinen nollakohdan vasemmalla puolella ja negatiivinen nollakohdan oikealla puolella. Kokeilemalla huomataan, että esimerkiksi $g(0) = a < 0$. Tässä tilanteessa funktio saa siis negatiivisen arvon ainakin kohdassa $x = 0$.

Funktio $g$ saa siis vain positiivisia arvoja, jos ja vain jos $$ a > \frac{1}{\sqrt{e}}. $$

Eksponenttifunktion derivaatta

Määritä suoran $y = x$ se piste, jonka etäisyys käyrästä $y = e^x$ on pienin.
Vinkki: MAA5-kurssin teoreema 13.

Pisteen $(x, e^x)$ suorasta $x - y = 0$ on MAA5-kurssin teoreeman 13 mukaan \begin{align*} d(x) &= \frac{\left|x-e^x\right|}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} (e^x - x). \end{align*} Itseisarvojen poistamiseen käytettiin tietoa, että $e^x > x$ kaikilla reaaliluvuilla $x$.

Etäisyysfunktion derivaattafunktio on $$ d'(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} (e^x - 1). $$ Sillä on tasan yksi nollakohta $x = 0$. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio $d$ saa siinä pienimmän arvonsa. Siis käyrän $y = e^x$ suoraa $y = x$ lähinnä oleva piste on $(0,e^0) = (0,1)$.

Käyrälle $y = e^x$ pisteeseen $(0,1)$ asetetun tangentin kulmakerroin on $e^0 = 1$, joten normaalin kulmakerroin on $-1$. Normaalin yhtälö on siten $$ y = -x + 1. $$ Normaalin ja suoran $y = x$ leikkauspiste on $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$. Tämä on etsitty piste.

Eksponenttifunktion derivaatta

Oletetaan, että $k > 0$ ja $k \neq 1$. Eksponenttifunktion $$ f(x) = k^x $$ kuvaajalle piirretään origon kautta kulkeva tangentti. Osoita, että sivuamispisteen $y$-koordinaatti ei riipu kantaluvusta $k$.
Vinkki: tehtävä 2.12 ja tehtävä 2.17 (a).

Olkoon sivuamispisteen $x$-koordinaatti $a$. Sivuamispiste on silloin $(a, k^a)$ ja tangentin kulmakerroin on $$ f'(a) = k^a\ln(k). $$ Koska tangentti kulkee origon kautta, sen yhtälö on $$ y = k^a\ln(k)x. $$ Sivuamispisteen koordinaatit toteuttavat tangentin yhtälön, joten saadaan yhtälö $$ k^a = k^a\ln(k)a. $$ Siitä saadaan ratkaistua $$ a = \frac{1}{\ln(k)}. $$ Sivuamispisteen $y$-koordinaatti on siten $$ k^a = e^{\ln(k)a} = e^{\ln(k)\frac{1}{\ln(k)}} = e^1 = e. $$

Tiedetään, että $h(x) = g(f(x))$, $f(x) = e^x$ ja $g(x)=2x^2 + 1$. Elmeri ja Uolevi laskevat derivaatan h'(x) seuraavalla tavalla:

Elmerin ratkaisu: \begin{align*} f(x) &= e^x \\ g'(x) &= 4x \end{align*} joten $h'(x) = g'(f(x)) = 4e^x$

Uolevin ratkaisu: \begin{align*} h(x) &= g(f(x)) \\ &= 2(e^x)^2 + 1\\ &= 2e^{x^2} + 1 \\[1mm] h'(x) &= 2e^{x^2}\cdot (2x) \end{align*} joten $h'(x) = 4xe^{x^2}$.

Mari saa laskimella vastaukseksi $4e^{2x}$. Kenen vastaus on oikein? Etsi väärien ratkaisujen virheet ja esitä korjatut ratkaisut.
[Pitkä K2017/10]

Marin vastaus on oikein.
Elmerin ratkaisussa yhdistetyn funktion derivointisäännön mukaan \begin{align*} h'(x) &= g'(f(x))\cdot f'(x) \\ &= 4e^x\cdot e^x \\ &= 4(e^x)^2 = 4e^{2x}. \end{align*} Uolevin ratkaisussa yhdistetty funktio on \begin{align*} h(x) &= g(f(x)) \\ &= 2(e^x)^2 + 1 = 2e^{2x} + 1. \end{align*} Sen derivaatta on $$ h'(x) = 2e^{2x} \cdot 2 = 4e^{2x}. $$

  1. Pekka aloittaa kuumeen mittaamisen ajanhetkellä $t = 0$. Pekan käyttämän mittarin lukema $f(t)$ hetkellä $t$ minuuttia saadaan kaavasta $f(t) = 38 - 2e^{-0{,}6t}$ celsiusastetta. Kuinka kauan mittausta pitää jatkaa, jotta tulos poikkeaa enintään asteen kymmenesosan arvosta $38{,}0$ celsiusastetta? Anna vastaus minuutin tarkkuudella.
  2. Määritä lämpötilan muutosnopeus $f'(3)$. Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella.

[Pitkä S2014/3]

  1. $t \geq \dfrac{\ln (20)}{0{,}6} \approx 5$ minuuttia.
  2. Noin 0,2 astetta minuutissa.

Oheisessa kuvassa on rakenteilla arkkitehti Eero Saarisen suunnittelema Gateway Arch Saint Louisissa USA:ssa. Se rakennettiin vuosina 1963-1965. Kaaren muotoa kuvaa yhtälö $$ y = -39f\left(\frac{x}{39}\right) + 231. $$ Tässä $f(t) = \frac{1}{2}\left(e^t + e^{-t}\right)$, $x$-akseli kulkee maan pinnalla kaaren tyvien kautta ja $y$-akseli on kaaren symmetria-akseli. Mittayksikkönä on metri.

  1. Määritä kaaren korkeus metrin tarkkuudella.
  2. Määritä kaaren leveys metrin tarkkuudella.
  3. Kuinka suuressa terävässä kulmassa kaari kohtaa maanpinnan? Anna vastaus asteen tarkkuudella.
Kuva: Remembering Letters and Postcards

[Pitkä S2014/9]

  1. Kaaren korkeus on noin 192 metriä.
  2. Kaaren leveys on noin 192 metriä.
  3. Kulma on noin $80^\circ$.

  1. Osoita, että funktio $$ f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x} $$ on aidosti kasvava, kun $x \in \R$.
  2. Määritä funktion $f(x)$ raja-arvo, kun $x$ kasvaa rajatta.
  3. Päteekö kaikilla $x \geq 10$ epäyhtälö $f(x) \geq 0{,}999$?

[Pitkä S2014/11]

  1. Derivaattafunktion $$ f'(x) = \frac{e^x}{(1 + e^x)^2} $$ arvo on positiivinen kaikilla muuttujan $x$ arvoilla, joten funktio $f$ on aidosti kasvava koko lukusuoralla.
  2. Supistetaan lausekkeella $e^x$: \begin{align*} f(x) &= \frac{e^x}{1 + e^x} \\[2mm] &= \frac{1}{\frac{1}{e^x} + 1} \\[2mm] &\xrightarrow[x \rightarrow \infty]{} \frac{1}{0+1} = 1 \end{align*}
  3. Koska $$f(10) = 0{,}99995\ldots > 0{,}999$$ ja funktio $f$ on aidosti kasvava, niin epäyhtälö pätee.

Käyrien $y = 2e^{-x}$ ja $y = x^2e^{-x}$ väliin jäävään rajoitettuun alueeseen asetetaan $y$-akselin suuntainen jana oheisen kuvion mukaisesti. Määritä tämän janan suurin mahdollinen pituus. Anna vastauksena tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo.

[Pitkä S2013/9]

Janan pituutta kuvaa funktio $$ f(x) = 2e^{-x} - x^2e^{-x}. $$ Sen suurin arvo on \begin{align*} f\left(1-\sqrt{3}\right) &= 2e^{\sqrt{3}-1}\left(\sqrt{3} - 1\right) \\ &\approx 3{,}04. \end{align*}

Määritä funktion $$ f(x) = (x^2-x-5)e^{-x} $$ suurin ja pienin arvo, kun $x \geq 0$.
[Pitkä K2013/5]

Funktion pienin arvo on $$f(0) = -5$$ ja suurin arvo on $$f(4) = \dfrac{7}{e^4}.$$

Eräässä huippuyliopistossa on 5 000 opiskelijaa, joista yksi sairastuu hiihtolomalta palattuaan influenssaan. Virus alkaa levitä kampuksella, ja siihen sairastuneiden opiskelijoiden lukumäärää kuvaa funktio $$ f(t) = \frac{5000}{1 + 4999e^{-0{,}8t}}, $$ jossa aika $t \geq 0$ lasketaan vuorokausina ensimmäisestä sairastumisesta alkaen.

  1. Luennot peruutetaan, jos yli 50 % opiskelijoista on sairaana. Kuinka monen vuorokauden kuluttua ensimmäisestä sairastumisesta näin tapahtuu?
  2. Näytä, että $f(t)$ on kasvava funktio, kun $t > 0$.
  3. Laske $$ \lim_{t \rightarrow \infty} f(t). $$ [Pitkä K2012/8]

  1. 11 vuorokauden kuluttua: $$ t > \frac{\ln (4999)}{0{,}8} \approx 10{,}6. $$
  2. Derivaattafunktio $$ f'(t) = \frac{19996000e^{-0{,}8t}}{(1 + 4999e^{-0{,}8t})^2} > 0, $$ joten funktio $f$ on aidosti kasvava.
  3. $$ \lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \frac{5000}{1 + 0} = 5000. $$

Tutki, kuinka monta ratkaisua yhtälöllä $$e^{x + a} = x$$ on vakion $a \in \R$ eri arvoilla.
[Pitkä S2012/10]

Yhtälön ratkaisujen määrä on sama kuin erotusfunktion $$f(x) = e^{x+a} −x$$ nollakohtien määrä. Funktion derivaatalla $$f'(x) = e^{x+a} − 1$$ on yksi nollakohta $x = −a$. Kun $x < −a$, on $f$ aidosti vähenevä ja kun $x > −a$ on $f$ aidosti kasvava. Funktion $f$ pienin arvo on $f(−a) = 1+a$. Tämän perusteella saadaan pääteltyä, että yhtälöllä

  • ei ole ratkaisuja, jos $f(−a) > 0$ eli $a > −1$
  • on yksi ratkaisu, jos $f(-a) = 0$ eli $a = -1$
  • on kaksi ratkaisua, jos $f(-a) < 0$ eli $a < -1$.

Millä vakion $a$ arvoilla funktio $$ f(x) = e^x - a\left|x-1\right| $$ on kaikkialla kasvava?
[Pitkä K2008/10]

Funktio $f$ on kaikkialla jatkuva. Tarkastellaan erikseen tilanteet, joissa itseisarvojen sisällä oleva lauseke on positiivinen tai negatiivinen.

  • Jos $x > 1$, niin $$ f(x) = e^x - a(x-1) $$ ja derivaattafunktio on $$ f'(x) = e^x - a. $$ Derivaattafunktio on siis positiivinen tai nolla, jos ja vain jos $e^x \geq a$. Koska eksponenttifunktio on aidosti kasvava, tämä epäyhtälö toteutuu tarkasteltavalla välillä $\pa 1, \infty\pe$, jos ja vain jos $e^1 \geq a$ eli $a \leq e$.
  • Jos $x < 1$, niin $$ f(x) = e^x - a(1-x) $$ ja derivaattafunktio on $$ f'(x) = e^x + a. $$ Derivaattafunktio on siis positiivinen tai nolla, jos ja vain jos $e^x \geq -a$. Koska eksponenttifunktion arvot ovat positiivisia mutta lähenevät nollaa muuttujan arvon pienentyessä rajatta, tämä epäyhtälö toteutuu tarkasteltavalla välillä $\pa -\infty, 1\pe$, jos ja vain jos $-a \leq 0$ eli $a \geq 0$.

Jos siis $0 \leq a \leq e$, on jatkuva funktio $f$ kasvava sekä välillä $\pa -\infty, 1\pe$ että välillä $\pa 1, \infty\pe$, jolloin se on kasvava kaikkialla.

  1. Sievennä lauseke $$e^{2\ln x} - 2x^2.$$
  2. Laske funktion $$f(x) = 4e^{2x}$$ derivaatta kohdassa $x = 0$.

[Pitkä K2007/2c & K2012/2f]

  1. Logaritmin laskusääntöjen ja määritelmän avulla saadaan \begin{align*} e^{2\ln x} - 2x^2 &= e^{\ln(x^2)} - 2x^2 \\ &= x^2 - 2x^2 = -x^2 \end{align*}
  2. $f'(x) = 8e^{2x}$, joten $f'(0) = 8$.

  1. Ratkaise yhtälö $$ \left(e^x\right)^3 = e^{x^2} $$
  2. Funktion $$ f(x) = ax^2e^x + bxe^x $$ derivaatta on $$ f'(x) = 2x^2e^x + xe^x - 3e^x. $$ Määritä $a$ ja $b$.

[Pitkä K2009/2b & S2009/3a]

  1. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$ tai $x = 3$.
  2. $a = 2$ ja $b = -3$.

Olkoon $x \geq 1$. Osoita, että $$ x^x - e^{x - 1} \geq 0. $$ Millä muuttujan $x$ arvoilla pätee yhtäsuuruus?
[Pitkä K2004/11]

Epäyhtälön vasen puoli voidaan kirjoittaa muodossa $e^{x\ln x} - e^{x-1}$. Koska eksponenttifunktio on aidosti kasvava, on $$e^{x\ln x} - e^{x-1} \geq 0,$$ jos ja vain jos $$x\ln x \geq x - 1.$$ Tutkitaan erotusfunktiota $$ g(x) = x\ln x - x + 1. $$ Sen derivaattafunktioksi saadaan $$ g'(x) = \ln x. $$ Oletuksen mukaan $x \geq 1$. Jos $x > 1$, niin $g'(x) = \ln x > 0$. Lisäksi $g'(1) = 0$, joten funktio $g$ on aidosti kasvava välillä $[1, \infty\pe$. Pienimmän arvonsa se saa välin vasemmassa päätepisteessä: $$ g(1) = 0. $$ Tästä voidaan päätellä, että $g(x) \geq 0$ eli $$x\ln x \geq x - 1$$ kaikilla $x \geq 1$. Lisäksi yhtäsuuruus pätee, jos ja vain jos $x = 1$.

  1. Derivoi funktio $$f(x) = e^{2x-2} + x^3 -1.$$
  2. Määritä käyrän $$y = e^{2x-2} + x^3 -1$$ pisteeseen $(1,1)$ piirretyn tangentin yhtälö.
  3. Määritä sen janan pituus, jonka koordinaattiakselit erottavat edellisen kohdan tangentista.

[Pitkä S2003/3]

  1. $f'(x) = 2e^{2x-2} + 3x^2$
  2. Koska $f'(1) = 5$, saadaan pisteeseen $(1,1)$ piirretyn tangentin yhtälöksi $y = 5x-4$.
  3. Tangentti leikkaa akseleita pisteissä $(0,-4)$ ja $\left(\frac{4}{5},0\right)$. Niiden välisen janan pituus on $\frac{4}{5}\sqrt{26}$.

Funktiolla $$ f(x) = Ae^x + 2Be^{-x} $$ on ominaisuudet $f(0) = 1$ ja $f'(0) = 2$. Määritä kertoimet $A$ ja $B$.

Derivaatta on $$ f'(x) = Ae^x - 2Be^{-x}. $$ Ehdoista saadaan yhtälöpari $A + 2B = 1$ ja $A - 2B = 2$. Sen ratkaisu on $A = \frac{3}{2}$ ja $B = -\frac{1}{4}$.

Reaalilukujen joukossa määritellyn funktion $f$ kuvaajan pisteenseen $(x,y)$ piirretyn tangentin kulmakerroin on $$ k(x) = 1 - e^{-2x}. $$ Funktion pienin arvo on $2$. Määritä funktio $f$.

Kokeilemalla huomataan, että funktio on muotoa $$ f(x) = x + \frac{1}{2}e^{-2x} + C, $$ missä $C$ on mikä tahansa reaalilukuvakio. (Tällöin $f'(x) = k(x)$ kuten pitääkin.)

Derivaattafunktiolla $k$ on yksi nollakohta $x = 0$. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio $f$ saa siinä pienimmän arvonsa. Yhtälöstä $f(0) = 2$ saadaan ratkaistua $C = 1{,}5$. Siis $$ f(x) = x + \frac{1}{2}e^{-2x} + \frac{3}{2}. $$

Olkoon $$ f(x) = e^{-x} + 1, $$ missä $x \in [1,2]$. Osoita, että $$ 1 < f(x) < 2 \ \text{ ja } \ \left|f'(x) \right| < 0{,}4. $$ Tiedetään, että tällöin yhtälö $x = f(x)$ voidaan ratkaista numeerisesti muodostamalla yhtälön ratkaisua kohden suppeneva jono $x_0$, $x_1$, $x_2$, $x_3, \ldots$ seuraavalla tavalla: valitaan jokin $x_0 \in [1,2]$ ja määritellään $x_n = f(x_{n-1})$, kun $n = 1, 2, 3, \ldots$. Määritä tällä tavoin yhtälön ratkaisu neljän merkitsevän numeron tarkkuudella lähtemällä arvosta $x_0 = 1{,}3$. Ilmoita laskemasi jonon termit.

Derivaattafunktion $f'(x) = -e^{-x}$ arvot ovat aina negatiivisia, joten $f$ on aidosti vähenevä. Funktion suurin arvo välillä $[1,2]$ on siten $f(1) = e^{-1} + 1 < 2$ ja pienin arvo $f(2) = e^{-2} + 1 > 1$. Siis $1 < f(x) < 2$ kaikilla $x \in [1,2]$.

Toisen derivaatan $f''(x) = e^{-x}$ arvot ovat aina positiivisia, joten derivaattafunktio $f'$ on aidosti kasvava. Derivaattafunktion arvot ovat aina negatiivisia, joten se saa itseisarvoltaan suurimman arvon välillä $[1,2]$ kohdassa $x = 1$: $$\left|f'(1)\right| = \left|-e^{-1}\right| < 0{,}4.$$

Etsitty ratkaisu on $x \approx 1{,}278$.

  1. Derivoi lauseke $$ (x^2 + 1)e^{2x}. $$
  2. Olkoon $$f(x) = 2^{-x}.$$ Laske $f'(1)$.

[Pitkä S2006/2a & S2011/2c]

  1. $2(x^2 + x + 1)e^{2x}$
  2. $f'(x) = -2^{-x}\ln(2)$, joten $f'(1) = -\dfrac{1}{2}\ln(2)$.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Logaritmifunktiot

Tämän luvun tavoitteena on, että hallitset logaritmifunktioiden ominaisuudet ja pystyt hyödyntämään niitä sovellusongelmien ratkaisemisessa. Osaat

  • hahmotella tärkeimpien logaritmifunktioiden kuvaajat
  • käyttää logaritmien laskusääntöjä lausekkeiden sieventämiseen
  • ratkaista logaritmi- ja eksponenttiyhtälöitä
  • määrittää logaritmifunktion derivaattafunktion
  • soveltaa aiemmin oppimiasi derivointisääntöjä logaritmifunktioista muodostettujen funktioiden kulun tutkimiseen.

Edellisessä luvussa ilmaistiin eksponenttiyhtälöiden ratkaisuja logaritmien avulla. Tässä kappaleessa erilaisia logaritmeja tutkitaan funktioiden näkökulmasta.

Aloitetaan palauttamalla mieleen logaritmin määritelmä.

Kertaa tarvittaessa logaritmin määritelmän kaksi hiukan erilaista muotoilua kursseilta MAY1 ja MAA8. Päättele sen jälkeen seuraavien logaritmien arvot ja perustele vastauksesi.

  1. $\log_{10} (100)$
  2. $\log_2 (32)$
  3. $\log_3 (81)$
  4. $\ln (1)$

  1. $\log_{10} (100) = 2$, sillä $10^2 = 100$
  2. $\log_2 (32) = 5$, sillä $2^5 = 32$
  3. $\log_3 (81) = 4$, sillä $3^4 = 81$
  4. $\ln (1) = 0$, sillä $e^0 = 1$

Seuraavassa tehtävässä tutkitaan 2-kantaisen logaritmifunktion ominaisuuksia logaritmin määritelmän pohjalta.

Logaritmin määritelmän mukaan positiivisen luvun $a$ 2-kantainen logaritmi $\log_2 (a)$ on se luku $b$, jolla pätee $$ 2^b = a. $$

  1. Kirjoita näkyviin, mitä tarkoittaa positiivisen luvun $x$ 2-kantainen logaritmi $\log_2 (x)$.
  2. Päättele, mikä on logaritmifunktion $f(x) = \log_2 (x)$ määrittelyjoukko. Selitä omin sanoin, miten päättelit.
  3. Täydennä alla oleva taulukko ja hahmottele sen avulla 2-kantaisen logaritmifunktion kuvaaja.
    Muuttujan arvo Funktion arvo
    $x$ $f(x) = \log_2 (x)$
    $16$ $f(16) = \phantom{\log_2 16}$
    $8$
    $4$
    $2$
    $1$
    $\frac{1}{2}$
    $\frac{1}{4}$
    $\frac{1}{8}$

  1. Positiivisen luvun $x$ 2-kantainen logaritmi $\log_2 (x)$ on se luku $b$, jolla pätee $$ 2^b = x. $$
  2. Logaritmifunktio $f(x) = \log_2 (x)$ on määritelty, jos muuttuja on positiivinen eli $x > 0$. Logaritmifunktion määrittelyjoukko on siis $\pa 0, \infty\pe$. Syynä on logaritmin määritelmä: "positiivisen luvun $x$ 2-kantainen logaritmi on $\ldots$".
  3. Taulukko:
    Muuttujan arvo Funktion arvo
    $x$ $f(x) = \log_2 (x)$
    $16$ $f(16) = 4$
    $8$ $f(8) = 3$
    $4$ $f(4) = 2$
    $2$ $f(2) = 1$
    $1$ $f(1) = 0$
    $\frac{1}{2}$ $f\left(\frac{1}{2}\right) = -1$
    $\frac{1}{4}$ $f\left(\frac{1}{4}\right) = -2$
    $\frac{1}{8}$ $f\left(\frac{1}{8}\right) = -3$
    Kuvaaja:

Logaritmit määriteltiin edellisessä luvussa ekponenttiyhtälöiden ratkaisuina. Koska eksponenttifunktion arvot ovat aina positiivisia, on logaritmifunktio määritelty vain positiivisilla muuttujan arvoilla. Toisaalta koska eksponenttifunktion arvo voidaan laskea kaikilla muuttujan arvoilla, saavat logaritmifunktiot arvokseen kaikki reaaliluvut:

Nämä ja tehtävän 3.2 havainnot on mahdollista perustella täsmällisesti kaikille logaritmifunktioille, jolloin saadaan seuraava teoreema. Sen tarkkaan perusteluun ei kuitenkaan tällä kurssilla syvennytä.

TEOREEMA

Oletetaan, että $k \neq 1$ on positiivinen reaaliluku. Logaritmifunktion $$ f(x) = \log_k (x) $$ määrittelyjoukko on $\pa 0, \infty\pe$ ja arvojoukko on koko reaalilukujen joukko $\R$.
Jos kantaluku $k > 1$, logaritmifunktio on aidosti kasvava:

Jos kantaluku $0 < k < 1$, logaritmifunktio on aidosti vähenevä:

Päättele, millä muuttujan arvoilla funktio $f$ on määritelty, jos

  1. $f(x) = \log_2 (x-1)$
  2. $f(x) = \log_{10}(4-x^2)$
  3. $f(x) = \ln \left(\dfrac{x}{x+1}\right)$

Vinkki: kertaa tarvittaessa rationaaliepäyhtälön ratkaiseminen MAA6-kurssin luvusta 3.

Funktio $f$ on määritelty, jos ja vain jos logaritmin sisällä oleva lauseke on positiivinen eli

  1. $x > 1$
  2. $-2 < x < 2$
  3. $x < -1$ tai $x > 0$

Edellisessä luvussa määriteltiin luonnollinen logaritmi $\ln$, jonka kantalukuna on Neperin luku $e$. Muita kantalukuja, joita vastaavilla logaritmeilla on omat merkintänsä, ovat monissa luonnontieteiden sovelluksissa käytetty kymmenkantainen logaritmi $\lg$ sekä tietojenkäsittelytieteen sovelluksissa käytetty kaksikantainen logaritmi $\mathop{\mathrm{lb}}$.

MÄÄRITELMÄ: ERITYISIÄ LOGARITMEJA

Kymmenkantaista logaritmia merkitään $$\lg = \log_{10}.$$ Kaksikantaista logaritmia merkitään $$\mathop{\mathrm{lb}} = \log_2.$$ Luonnollista logaritmia, jonka kantalukuna on Neperin luku $e$, merkitään $$\ln = \log_e.$$

Luonnontieteissä logaritmifunktioiden avulla voidaan kuvata esimerkiksi liuoksen happamuutta, maanjäristysten voimakkuutta ja ihmisen aistimaa äänen voimakkuutta.

Äänen voimakkuuden fysikaalinen yksikkö on äänen intensiteetti $I$. Sen yksikkö on W/m$^2$ (wattia neliömetriä kohti) eli intensiteetti ilmaisee äänen tehon pinta-alaa kohden. Kokeelliset havainnot kuitenkin osoittavat, että äänen intensiteetin avulla ei pystytä kuvaamaan ihmisen aistimaa äänen voimakkuutta. Äänen voimakkuus ilmaistaan tämän vuoksi usein kuulohavaintoa paremmin vastaavana melutasona $L$. Se saadaan yhtälöstä $$ L = 120 + 10 \lg (I), $$ missä $I$ on äänen intensiteetti. Melutason yksikkö on desibeli (dB).

Mikä on melutaso, jos äänen intensiteetti on

  1. noin $10^{-10} \text{ W/m}^2$ (kuiskaus)
  2. noin $10^{-6} \text{ W/m}^2$ (normaali keskustelu)
  3. noin $0{,}01 \text{ W/m}^2$ (konsertti)?
  4. Miten paljon kuiskauksen, normaalin keskustelun ja konsertin äänien intensiteetit eroavat toisistaan? Entä melutasot?

  1. Noin 20 dB.
  2. Noin 60 dB.
  3. Noin 100 dB.
  4. Normaalin keskustelun äänen intensiteetti on 10000-kertainen kuiskaukseen verrattuna ja konsertin äänen intensiteetti on samoin 10000-kertainen normaaliin keskusteluun verrattuna. Melutasojen erot ovat 40 dB.

Tässä kappaleessa tutkitaan logaritmien laskusääntöjä ja löydetään yhteys eri kantaisten logaritmifunktioiden välille.

Logaritmin määritelmän mukaan logaritmi $\log_k (a)$ on se luku $b$, jolla pätee $$ 2^b = a. $$ Koska logaritmi $\log_k (a)$ määritellään tällä tavalla tietynlaisena eksponenttina, saadaan logaritmien laskusäännöt johdettua potenssien laskusäännöistä. Potenssien laskusääntöjä opiskeltiin kurssissa MAY1, jossa ne koottiin teoreemaan 1. Seuraavissa tehtävissä tutkitaan, millaisia laskusääntöjä logaritmit noudattavat.

Oletetaan, että $k \neq 1$ on positiivinen reaaliluku ja $a > 0$. Tässä tehtävässä tutkitaan, miten voidaan sieventää potenssin logaritmi $$ \log_k (a^s). $$

  1. Merkitään luvun $a$ logaritmia kirjaimella $r$ eli $$r = \log_k (a).$$ Millaisen eksponenttiyhtälön luku $r$ toteuttaa?
    Vinkki: logaritmin määritelmä.
  2. Korota a-kohdan eksponenttiyhtälön molemmat puolet potenssiin $s$ ja sievennä.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa potenssin potenssin laskusääntö MAY1-kurssin teoreemasta 1.
  3. Tutki b-kohdassa johtamaasi yhtälöä. Mikä on eksponenttiyhtälön $k^x = a^s$ ratkaisu? Toisin sanottuna, mitä on $\log_k (a^s)$?
    Vinkki: palauta tarvittaessa a-kohdasta mieleen, mitä kirjaimella $r$ merkittiin.

  1. $k^r = a$
  2. $a^s = \left(k^r\right)^s = k^{rs}$
  3. Eksponenttiyhtälön $k^x = a^s$ ratkaisu on b-kohdan perusteella $$x = rs = s\log_k (a).$$ Siis $$ \log_k a^s = s\log_k (a). $$

Oletetaan, että $k \neq 1$ on positiivinen reaaliluku, $a > 0$ ja $b > 0$. Tässä tehtävässä tutkitaan, miten voidaan sieventää tulon logaritmi $$ \log_k (ab). $$

  1. Merkitään luvun $a$ logaritmia kirjaimella $r$ ja luvun $b$ logaritmia kirjaimella $s$. Siis $$r = \log_k (a) \text{ ja } s = \log_k (b).$$ Millaisen eksponenttiyhtälön luku $r$ toteuttaa? Entä luku $s$?
    Vinkki: logaritmin määritelmä.
  2. Kerro a-kohdan eksponenttiyhtälöiden vasemmat puolet keskenään ja oikeat puolet keskenään. Sievennä samankantaisten potenssien tulo.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa samankantaisen potenssien tulon sievennys MAY1-kurssin teoreemasta 1.
  3. Tutki b-kohdassa johtamaasi yhtälöä. Mikä on eksponenttiyhtälön $k^x = ab$ ratkaisu? Toisin sanottuna, mitä on $\log_k (ab)$?
    Vinkki: palauta tarvittaessa a-kohdasta mieleen, mitä kirjaimilla $r$ ja $s$ merkittiin.

  1. $k^r = a$ ja $k^s = b$
  2. $ab = k^r \cdot k^s = k^{r+s}$
  3. Eksponenttiyhtälön $k^x = ab$ ratkaisu on b-kohdan perusteella $$x = r+s = \log_k (a) + \log_k (b).$$ Siis $$ \log_k (ab) = \log_k (a) + \log_k (b). $$

Oletetaan, että $k \neq 1$ on positiivinen reaaliluku, $a > 0$ ja $b > 0$. Tässä tehtävässä tutkitaan, miten voidaan sieventää osamäärän logaritmi $$ \log_k \left(\frac{a}{b}\right). $$

  1. Merkitään luvun $a$ logaritmia kirjaimella $r$ ja luvun $b$ logaritmia kirjaimella $s$. Siis $$r = \log_k (a) \text{ ja } s = \log_k (b).$$ Millaisen eksponenttiyhtälön luku $r$ toteuttaa? Entä luku $s$?
    Vinkki: logaritmin määritelmä.
  2. Jaa a-kohdan eksponenttiyhtälöiden vasemmat puolet keskenään ja oikeat puolet keskenään niin, että saat muodostettua osamäärän $\frac{a}{b}$. Sievennä samankantaisten potenssien osamäärä.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa samankantaisen potenssien osamäärän sievennys MAY1-kurssin teoreemasta 1.
  3. Tutki b-kohdassa johtamaasi yhtälöä. Mikä on eksponenttiyhtälön $$k^x = \frac{a}{b}$$ ratkaisu? Toisin sanottuna, mitä on $\log_k \left(\dfrac{a}{b}\right)$?
    Vinkki: palauta tarvittaessa a-kohdasta mieleen, mitä kirjaimilla $r$ ja $s$ merkittiin.

  1. $k^r = a$ ja $k^s = b$
  2. $\dfrac{a}{b} = \dfrac{k^r}{k^s} = k^{r-s}$
  3. Eksponenttiyhtälön $$k^x = \frac{a}{b}$$ ratkaisu on b-kohdan perusteella $$x = r-s = \log_k (a) - \log_k (b).$$ Siis $$ \log_k \left(\frac{a}{b}\right) = \log_k (a) - \log_k (b). $$

Tehtävien 3.5-3.7 tuloksena saadut logaritmien laskusäännöt voidaan koota seuraavaksi teoreemaksi:

TEOREEMA

Seuraavat logaritmien laskusäännöt pätevät kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla $k \neq 1$, $a$ ja $b$ sekä kaikilla reaaliluvuilla $s$:

  1. Potenssin $a^s$ logaritmi on luvun $a$ logaritmi kerrottuna eksponentilla $s$: $$ \log_k (a^s) = s\log_k (a). $$
  2. Tulon $ab$ logaritmi on lukujen $a$ ja $b$ logaritmien summa: $$ \log_k (ab) = \log_k (a) + \log_k (b). $$
  3. Osamäärän $\frac{a}{b}$ logaritmi on lukujen $a$ ja $b$ logaritmien erotus: $$ \log_k \left(\frac{a}{b}\right) = \log_k (a) - \log_k (b). $$

Perustelu tehtävissä 3.5-3.7.

Määritä seuraavien logaritmilausekkeiden tarkka arvo ilman laskinta logaritmien laskusääntöjen avulla.

  1. $\log_3 (12) + \log_3 (15) - \log_3 (20)$
  2. $\lg (17) - \lg (170)$
  3. $\ln (3) - \ln (12) + \ln (4)$

  1. $\log_3 (9) = 2$
  2. $\lg (0{,}1) = -1$
  3. $\ln (1) = 0$

Logaritmien laskusääntöjen avulla voidaan tutkia suuria kokonaislukuja erityisesti siinä tapauksessa, että käytettävissä on vain perinteinen taskulaskin tai esimerkiksi kännykän laskin. Koska käytämme 10-kantaista lukujärjestelmää, on 10-kantainen logaritmi $\lg$ erityisen käyttökelpoinen suurien kokonaislukujen tutkimiseen. (Monissa laskimissa kymmenkantainen logaritmi saadaan nappulasta $\bbox[3px,border:2px solid black]{\phantom{ {}^I }\texttt{log}\phantom{ {}^I } }\,$.)

  1. Täydennä alla oleva taulukko. Mitä havaitset kokonaisluvun numeroiden määrästä verrattuna 10-kantaisen logaritmin arvoon?
    Vinkki: voit kirjoittaa kymmenpotenssimuodossa esitetyt luvut näkyviin tavallisessa muodossa ja laskea sitten niiden numeroiden määrän.
    Luku $a$ Logaritmi $\lg (a)$ Luvussa $a$ numeroita
    $10^2$
    $10^4$
    $3\cdot 10^5$
    $7\cdot 10^8$
    $2{,}5\cdot 10^9$
  2. Määritä kokonaisluvun $2^{123456}$ kymmenkantainen logaritmi potenssin logaritmisäännön avulla. Päättele, kuinka monta numeroa kokonaisluvussa $2^{123456}$ on.

  1. Kokonaisluvun numeroiden määrä on 10-kantaisen logaritmin arvoa seuraava kokonaisluku:
    Luku $a$ Logaritmi $\lg (a)$ Luvussa $a$ numeroita
    $10^2$ 2 3
    $10^4$ 4 5
    $3\cdot 10^5$ n. 5,5 6
    $7\cdot 10^8$ n. 8,8 9
    $2{,}5\cdot 10^9$ n. 9,4 10
  2. Potenssin logaritmisäännöllä saadaan \begin{align*} \lg (2^{123456}) &= 123456 \cdot \lg (2) \\ &\approx 37163{,}96, \end{align*} joten luvussa $2^{123456}$ on 37164 numeroa.

Päättele tulon logaritmisäännön avulla, kuinka paljon luvun 10-kantainen logaritmi kasvaa, jos luku itse

  1. kymmenkertaistuu
  2. tuhatkertaistuu
  3. miljoonakertaistuu.

Vinkki: tutki a-kohdassa, miten logaritmit $\lg (a)$ ja $\lg (10a)$ liittyvät toisiinsa.

  1. Kasvaa yhdellä: $\lg(10a) = \lg(a) + 1$.
  2. Kasvaa kolmella: $\lg(1000a) = \lg(a) + 3$.
  3. Kasvaa kuudella: $\lg(1000000a) = \lg(a) + 6$.

Logaritmien laskusääntöjä voidaan hyödyntää myös erilaisten yhtälöiden ratkaisemisessa. Niiden avulla eksponenttiyhtälöitä voidaan ratkaista käyttäen luonnollista logaritmia $\ln$ tai kymmenkantaista logaritmia $\lg$, jotka löytyvät useimmista laskimista.

Tehtävänä on ratkaista eksponenttiyhtälö $$ 4^x = 9 $$ logaritmin laskusääntöjen avulla.

  1. Ota yhtälön molemmilta puolilta luonnollinen logaritmi $\ln$.
  2. Sievennä yhtälön vasen puoli toiseen muotoon potenssin logaritmin laskusäännön avulla.
  3. Ratkaise tuntematon $x$. Anna vastauksen tarkka arvo sekä likiarvo kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. $\ln (4^x) = \ln (9)$
  2. $x \ln (4) = \ln (9)$
  3. $x = \dfrac{\ln (9)}{\ln (4)} \approx 1{,}58$

Edellisen tehtävän menetelmällä saadaan yhteys myös luonnollisen logaritmin ja muiden logaritmifunktioiden välille, kuten seuraavassa tehtävässä havaitaan.

Oletetaan, että $a$ ja $k$ ovat positiivisia reaalilukuja ja $k \neq 1$. Tässä tehtävässä tutkitaan, miten logaritmit $\log_k (a)$ ja $\ln (a)$ liittyvät toisiinsa.

  1. Ilmaise eksponenttiyhtälön $k^x = a$ ratkaisu $k$-kantaisen logaritmin avulla.
  2. Ratkaise eksponenttiyhtälö $k^x = a$ luonnollisen logaritmin avulla samaan tapaan kuin tehtävässä 3.10.
  3. Millaisen yhtälön saat a- ja b-kohtien tuloksista?
  4. Päättele c-kohdan avulla, miten funktiot $g(x) = \log_k (x)$ ja $f(x) = \ln (x)$ liittyvät toisiinsa.

  1. $x = \log_k (a)$
  2. $x = \dfrac{\ln (a)}{\ln (k)}$
  3. $\log_k (a) = \dfrac{\ln (a)}{\ln (k)}$
  4. Funktio $g$ saadaan funktiosta $f$ vakiolla kertomalla: $$g(x) = \dfrac{\ln (x)}{\ln (k)} = \frac{1}{\ln (k)}\,f(x).$$

Tehtävän 3.11 tulos voidaan yleistää seuraavaksi teoreemaksi:

TEOREEMA

Oletetaan, että $k \neq 1$ ja $p \neq 1$ ovat positiivisia reaalilukuja. Näitä kantalukuja vastaavilla logaritmeilla on yhteys $$ \log_k (x) = \dfrac{\log_p (x)}{\log_p (k)}. $$

Perustelu samaan tapaan kuin tehtävässä 3.11 mutta käyttäen luonnollisen logaritmin sijaan $p$-kantaista logaritmia $\log_p$.

Tehtävänä on ilmaista funktio $$ f(x) = \log_8 (x) $$ 2-kantaisen logaritmin $\lb$ avulla.

  1. Vertaa tilannetta teoreemaan 11. Mikä tässä tilanteessa on kantaluku $k$? Entä kantaluku $p$?
  2. Päättele, mitä on $\log_p (k)$. Perustele vastauksesi logaritmin määritelmän avulla.
  3. Ilmaise funktio $f$ 2-kantaisen logaritmin $\lb$ avulla.

  1. $k = 8$ ja $p = 2$
  2. $\log_p (k) = \log_2 (8) = 3$, sillä $2^3 = 8$
  3. $f(x) = \dfrac{\lb (x)}{3}$

Kun tutkitaan, missä kohdassa jokin logaritmifunktio saa tietyn arvon, päädytään niin sanottuun logaritmiyhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, missä kohdassa funktio $$f(x) = \ln (x)$$ saa arvon $1{,}5$, joudutaan tutkimaan yhtälöä $$f(x) = 1{,}5$$ eli yhtälöä $$\ln (x) = 1{,}5.$$ Tätä yhtälöä voidaan havainnollistaa piirtämällä logaritmifunktion $f(x) = \ln (x)$ kuvaaja ja vakiofunktion $g(x) = 1{,}5$ kuvaaja samaan koordinaatistoon:

Piirroksesta nähdään, että kuvaajat leikkaavat yhdessä kohdassa eli yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu $x \approx 4{,}5$. (Tähän päätelmään tarvitaan toki myös tieto siitä, että luonnollinen logaritmifunktio on aidosti kasvava eli saa aina vain suurempia arvoja muuttujan kasvaessa. Muuten kuvan ulkopuolella voisi olla lisää leikkauskohtia.)

Ratkaisun tarkan arvon selvittäminen ei onnistu pelkän piirroksen avulla vaan on turvauduttava logaritmin määritelmään. Luvun $a$ logaritmi tarkoittaa eksponenttia, johon kantaluku pitää korottaa luvun $a$ saamiseksi: $$ \log_k (a) = b, \ \text{ jos ja vain jos }\ k^b = a. $$ Yksinkertaiset logaritmiyhtälöt saadaan ratkaistua tämän tiedon avulla. Esimerkiksi yhtälön $\ln (x) = 1{,}5$ ratkaisuksi saadaan \begin{align*} \ln (x) &= 1{,}5 \\ e^{1{,}5} &= x \\ x &= e^{1{,}5} \approx 4{,}48. \end{align*}

Ratkaise yhtälö $$ \ln(2x-5) = 2 $$ logaritmin määritelmän avulla samaan tapaan kuin edellä tehtiin. Tarkista vastauksen järkevyys piirtämällä samaan koordinaatistoon funktioiden $f(x) = \ln(2x - 5)$ ja $g(x) = 2$ kuvaajat esimerkiksi Geogebralla.

Yhtälö ratkeaa logaritmin määritelmän avulla: \begin{align*} \ln (2x-5) &= 2 \\ e^2 &= 2x - 5 \\ 2x-5 &= e^2\\ 2x &= e^2 + 5 \\[1mm] x &= \frac{e^2 + 5}{2}. \end{align*} Yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $$x = \dfrac{e^2 + 5}{2} \approx 6{,}19.$$ Kuvasta nähdään, että tulos on järkevä:

Monimutkaisempia logaritmiyhtälöiden ratkaisu onnistuu logaritmien laskusääntöjen avulla. Tällöin täytyy kuitenkin olla tarkkana sen suhteen, mikä on alkuperäisen yhtälön määrittelyjoukko. Muuten ratkaisujen joukkoon voi päästä livahtamaan valeratkaisuja samaan tapaan kuin juuriyhtälöissä. Kannattaa muistaa, että ratkaisut voi aina tarkistaa myös jälkikäteen sijoittamalla ne alkuperäiseen yhtälöön.

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $$ \lg(x-6) + \lg(x+9) = 2. $$

  1. Päättele, millä ehdolla yhtälön vasen puoli on määritelty.
    Vinkki: tutki kummankin logaritmilausekkeet erikseen.
  2. Muokkaa yhtälön vasen puoli toiseen muotoon logaritmien laskusääntöjen avulla.
  3. Ratkaise yhtälö logaritmin määritelmän avulla. Karsi valeratkaisut pois a-kohdan määrittelyehdon avulla tai sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön.

  1. Yhtälön vasen puoli on määritelty, jos ja vain jos $x > 6$. (Tällöin toteutuvat molemmat ehdot $x > 6$ ja $x > -9$.)
  2. Logaritmien summa on tulon logaritmi: $$ \lg((x-6)(x+9)) = 2. $$
  3. Yhtälö ratkeaa logaritmin määritelmän avulla: \begin{align*} \lg((x-6)(x+9)) &= 2 \\ 10^2 &= (x-6)(x+9) \\ (x-6)(x+9) &= 100 \\ x^2 + 3x - 154 &= 0 \end{align*} Ratkaisuiksi saadaan $x_1 = 11$ ja $x_2 = -14$. Näistä määrittelyehdon toteuttaa vain $x_1$. Yhtälöllä on siis tasan yksi ratkaisu $x = 11$.

Joitakin logaritmiyhtälöitä voidaan ratkaista logaritmifunktioiden ominaisuuksien avulla. Tiedetään, että logaritmifunktio on aidosti kasvava, jos kantaluku $k > 1$, ja aidosti vähenevä, jos kantaluku $0 < k < 1$. Logaritmifunktio saa siis jokaisen arvonsa tasan yhdessä kohdassa. Esimerkiksi yhtälö $$ \ln(\textcolor{red}{x}) = \ln(\textcolor{blue}{2x - 1}) $$ toteutuu, jos ja vain jos $$ \textcolor{red}{x} = \textcolor{blue}{2x - 1} $$ eli $$x = 1.$$ Huomaa, että tämä ratkaisu toteuttaa yhtälön määrittelyehdon $x > 0{,}5$ eli kysymyksessä ei ole valeratkaisu.

Ratkaise yhtälö

  1. $\ln(3x - 4) = \ln(x+2)$
  2. $\lg(x^2 - 2) = \lg(6-x^2)$
  3. $\lb(x^2 - 9) = \lb(1-x^2)$

  1. $x = 3$
  2. $x = 2$ tai $x = -2$
  3. Yhtälöllä ei ole ratkaisuja.
    (Valeratkaisut $x = \pm \sqrt{5}$ eivät toteuta yhtälön määrittelyehtoa.)

Logaritmiyhtälön ratkaisemisen taitoa tarvitaan monissa logaritmien käytännön sovelluksissa. Seuraavassa tehtävässä tutkitaan maanjäristyksissä vapautuvaa energiaa.

Voimakkaissa maanjäristyksissä vapautuu lyhyessä ajassa suuri määrä maankuoren jännitteisiin patoutunutta energiaa. Maanjäristyksen voimakkuutta kuvataan nykyään momenttimagnitudiasteikolla aiemmin käytetyn Richterin asteikon sijaan. Maanjäristyksen momenttimagnitudi $M_W$ saadaan yhtälöstä $$ M_W = \frac{2}{3}(\lg (E) - 4{,}8). $$ Tässä $E$ on vapautuneen energian määrä jouleina (J).

Syyskuussa 2017 Meksikossa sattui kaksi voimakasta maanjäristystä. Ensimmäisen järistyksen keskus oli Chiapasissa ja sen voimakkuus momenttimagnitudiasteikolla oli 8,1. Toisen järistyksen keskus oli Puelbassa ja sen voimakkuus oli 7,1.

  1. Kuinka paljon energiaa vapautui Chiapasin maanjäristyksessä? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella sekä jouleina että megawattitunteina (MWh). Megawattitunti tarkoittaa 3,6 gigajoulea eli $1 \text{ MWh } = 3{,}6 \text{ GJ } = 3{,}6 \cdot 10^9 \text{ J}$.
  2. Loviisan ydinvoimalaitoksen 1. yksikkö tuottaa viikossa energiaa noin 12 000 MWh. Kuinka monessa viikossa voimalaitos tuottaa yhtä paljon energiaa kuin Chiapasin maanjäristyksessä vapautui?
  3. Kuinka monta prosenttia vähemmän energiaa vapautui Puelban maanjäristyksessä kuin Chiapasin maanjäristyksessä?

  1. Energiaa vapautui noin $8{,}9 \cdot 10^{16} \text{ J } \approx 2{,}5 \cdot 10^7 \text{ MWh}.$
    Vapautuneen energian määrä saadaan ratkaisemalla logaritmiyhtälö: \begin{align*} \lg (E) &= \frac{3}{2} \cdot 8{,}1 + 4{,}8 \\[1mm] \lg (E) &= 16{,}95 \\[1mm] E &= 10^{16{,}95} \approx 8{,}9 \cdot 10^{16} \text{ J.} \end{align*}
  2. Noin 2083 viikossa eli noin 40 vuodessa.
  3. Puelban maanjäristyksessä energiaa vapautui noin $2{,}8 \cdot 10^{15} \text{ J }$. Se on noin 97 % vähemmän kuin Chiapasin järistyksessä.

Tässä kappaleessa tutkitaan logaritmifunktioiden derivaattoja, erityisesti luonnollisen logaritmin derivaattafunktiota.

Kurssissa MAA6 opittiin, että derivaatan arvo on funktion kuvaajalle asetetun tangentin kulmakerroin.

Kun määritetään tällaisen tangentin kulmakerroin $k$ mahdollisimman monessa kohdassa $a$ ja pisteet $(a,k)$ merkitään koordinaatistoon, piirtyy näkyviin derivaattafunktion kuvaaja. Seuraavassa tehtävässä hahmotellaan luonnollisen logaritmin derivaattafunktion kuvaajaa tällä menetelmällä.

Tutki funktion $f(x) = \ln (x)$ derivaattaa tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla. Päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Miten oranssin pisteen $y$-koordinaatti ja tangentin kulmakerroin liittyvät toisiinsa?
  2. Mitä tangentin kulmakertoimelle tapahtuu, kun muuttujan $x$ arvoa kasvatetaan? Miten tämä näkyy derivaattafunktion kuvaajassa?
  3. Mitä tangentin kulmakertoimelle tapahtuu, kun muuttujan $x$ arvo lähestyy nollaa? Miten tämä näkyy derivaattafunktion kuvaajassa?
  4. Mikä tuttu funktio saattaisi olla funktion $f(x) = \ln (x)$ derivaattafunktio? Tee arvaus derivaattafunktion kuvaajaan perustuen.

  1. Oranssin pisteen $y$-koordinaatti on samaan kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin. Oranssi piste on siis derivaattafunktion kuvaajan piste.
  2. Tangentin kulmakerroin pienenee, mutta säilyy positiivisena. Derivaattafunktion kuvaaja lähestyy $x$-akselia.
  3. Tangentin kulmakerroin kasvaa nopeasti hyvin suureksi. Derivaattafunktion kuvaaja nousee hyvin korkealle ja lähestyy $y$-akselia.

On mahdollista osoittaa, että luonnollinen logaritmifunktio on derivoituva koko määrittelyjoukossaan $\pa 0, \infty \pe$. Edellisen tehtävän havainnollistuksessa tämä näkyy siitä, että kuvaajan jokaiseen pisteeseen voidaan asettaa yksikäsitteinen tangentti, joka ei ole pystysuora.

Seuraavassa teoreemassa johdetaan luonnollisen logaritmin derivaattafunktion lauseke. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Logaritmifunktio $f(x) = \ln (x)$ on derivoituva koko määrittelyjoukossaan $\pa 0, \infty \pe$ ja sen derivaattafunktio on $$ f'(x) = \frac{1}{x}. $$

Perustelu: Luonnollisen logaritmin määritelmän mukaan luvun $a > 0$ logaritmi tarkoittaa eksponenttia, johon Neperin luku pitää korottaa luvun $a$ saamiseksi: $$ e^{\ln (a)} = a. $$ Funktio $g(x) = x$, missä $x > 0$, voidaan tämän vuoksi kirjoittaa myös muodossa $g(x) = e^{\ln (x)}$. Derivaattafunktio $g'(x)$ voidaan näin muodostaa kahdella tavalla:

  1. Potenssifunktioiden derivointisäännön mukaan funktion $g(x) = x$ derivaattafunktio on $$g'(x) = 1.$$
  2. Yhdistetyn funktion derivointisäännön mukaan funktion $g(x) = e^{\ln (x)}$ derivaattafunktio on \begin{align*} g'(x) &= e^{\ln (x)} \cdot \mathop{\mathrm{D}} \ln (x) \\ &= x \cdot \mathop{\mathrm{D}} \ln (x). \end{align*}

Koska kysymyksessä on kuitenkin yksi ja sama funktio $g$, ovat eri tavoin muodostetut derivaattafunktiotkin sama funktio. Siis $$ x \cdot \mathop{\mathrm{D}} \ln (x) = 1. $$ Tästä yhtälöstä saadaan ratkaistua $$ \mathop{\mathrm{D}} \ln (x) = \frac{1}{x}. $$

Derivoi seuraavat funktiot. Kertaa tarvittaessa yhdistetyn funktion derivointisääntö MAA7-kurssin teoreemasta 23.

  1. $f(x) = x^2 + \ln (x)$
  2. $g(x) = 4\ln (x)$
  3. $h(x) = \ln (4x)$

  1. $f'(x) = 2x + \dfrac{1}{x}$
  2. $g'(x) = 4\cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{4}{x}$
  3. $h'(x) = \dfrac{1}{4x} \cdot 4 = \dfrac{1}{x}$

Kun luonnollisen logaritmifunktion derivaattafunktio nyt tunnetaan, voidaan entistä useampien funktioiden kulkua tutkia derivaatan avulla kuten MAA6-kurssilla opittiin. Tätä harjoitellaan seuraavissa tehtävissä.

Tutki, onko funktiolla $$ f(x) = x\ln (x) $$ suurinta tai pienintä arvoa. Jos kyseinen arvo on olemassa, mikä se on?

Funktiolla on pienin arvo $$ f\left(\frac{1}{e}\right) = -\frac{1}{e} $$ mutta ei suurinta arvoa.

Derivaattafunktiolla \begin{align*} f'(x) &= 1 \cdot \ln (x) + x \cdot \frac{1}{x} \\ &= \ln (x) + 1 \end{align*} on yksi nollakohta $x = e^{-1}$. Kulkukaavion perusteella päätellään, että funktio saa tässä kohdassa pienimmän arvonsa.

Tarkastellaan suorakulmiota, jonka yksi sivu on suoralla $y = 3$, toinen sivu on suoralla $x = 0$ ja yksi kärkipiste käyrällä $y = \ln (x)$ alla olevan kuvan tapaan. Tehtävänä on tutkia, mikä on tällaisen suorakulmion suurin mahdollinen pinta-ala.

  1. Muodosta funktio, joka ilmaisee suorakulmion pinta-alan.
    Vinkki: Jos käyrällä $y = \ln (x)$ sijaitsevan kärkipisteen $x$-koordinaatti on $x = t$, mikä on sen $y$-koordinaatti? Entä mitä ovat muiden kärkipisteiden koordinaatit?
  2. Määritä a-kohdan funktion suurin arvo tai perustele, ettei sitä ole olemassa.

Jos käyrällä $y = \ln (x)$ sijaitsevan kärkipisteen koordinaatit ovat $(t, \ln (t))$. Suorakulmion pinta-ala saadaan funktiosta $$ A(t) = t(3-\ln (t)) = 3t - t\ln (t). $$

Derivaattafunktiolla \begin{align*} A'(t) &= 2 - \ln (t) \end{align*} on yksi nollakohta $t = e^2$. Kulkukaavion perusteella päätellään, että funktio saa tässä kohdassa suurimman arvonsa. Pinta-alan suurin arvo on $$ A(e^2) = e^2(3 - \ln (e^2)) = e^2. $$

Yhdistetyn funktion derivointisäännön avulla pystytään derivoimaan erilaisia luonnollisesta logaritmifunktiosta yhdistettyjä funktioita. Joissain tilanteissa on mahdollista sieventää funktion lauseketta ennen derivointia logaritmin laskusääntöjen avulla.

Derivoi seuraavat funktiot. Kertaa tarvittaessa yhdistetyn funktion derivointisääntö MAA7-kurssin teoreemasta 23. Missä kohdissa voit sieventää funktion lauseketta ennen derivointia logaritmin laskusääntöjen avulla?

  1. $f(x) = \ln (x^2)$
  2. $g(x) = \ln (e^x + 1)$
  3. $h(x) = \ln \left(\dfrac{x - 1}{x^2 + 1}\right)$

  1. $f'(x) = \dfrac{2}{x} \\$
    Huom. potenssin logaritmisäännön avulla funktion saa ennen derivointia muotoon $$f(x) = 2 \ln (x).$$
  2. $g'(x) = \dfrac{e^x}{e^x + 1}\\$.
  3. $h'(x) = \dfrac{1 + 2x - x^2}{(x-1)(x^2 + 1)}\\$
    Huom. osamäärän logaritmisäännön avulla funktion saa ennen derivointia muotoon $$h(x) = \ln(x-1) - \ln(x^2 + 1).$$

Tehtävänä on selvittää, millä muuttujan arvoilla funktio $$ f(x) = \ln (x^2 - x - 2) $$ on aidosti kasvava.

  1. Mikä on funktion $f$ määrittelyjoukko?
    Kertaa tarvittaessa toisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen MAA2-kurssista.
  2. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$.
  3. Määritä derivaattafunktion nollakohdat ja laadi funktion $f$ kulkukaavio. Millä muuttujan arvoilla funktio $f$ on aidosti kasvava?
    Vinkki: Muista huomioida kulkukaaviossa myös funktion $f$ määrittelyjoukko.

  1. Funktio $f$ on määritelty, jos ja vain jos $x < -1$ tai $x > 2$.
  2. $f'(x) = \dfrac{2x-1}{x^2-x-2}$
  3. Derivaattafunktiolla on yksi nollakohta $x = \frac{1}{2}$.
    Kulkukaavio:

    Funktio $f$ on siis aidosti kasvava, jos ja vain jos $x > 2$.

Luonnollisen logaritmin derivaattafunktion avulla saadaan johdettua derivaattafunktiot myös niille logaritmifunktioille, joiden kantaluku ei ole Neperin luku. Tämä onnistuu, kun logaritmifunktion kantaluku vaihdetaan teoreeman 11 mukaisesti.

Oletetaan, että $k \neq 1$ on positiivinen reaaliluku. Tehtävänä on määrittää logaritmifunktion $f(x) = \log_k (x)$ derivaattafunktio.

  1. Ilmaise funktio $f$ luonnollisen logaritmin avulla teoreemaa 11 soveltaen.
    Vinkki: mieti ensin, mikä luku vastaa tässä tilanteessa teoreeman 11 kantalukua $p$.
  2. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$.
    Vinkki: a-kohdan lauseke ja MAA6-kurssin teoreema 9.

  1. $f(x) = \dfrac{1}{\ln (k)} \cdot \ln (x)$
  2. $f(x) = \dfrac{1}{\ln (k)} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x\ln (k)}$

Tehtävän 3.21 tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Oletetaan, että $k \neq 1$ on positiivinen reaaliluku. Logaritmifunktio $f(x) = \log_k (x)$ on kaikkialla derivoituva ja sen derivaattafunktio on $$ f'(x) = \frac{1}{x \ln (k)}. $$

Perustelu tehtävässä 3.21.

Tässä tehtävässä harjoitellaan teoreeman 13 soveltamista.

  1. Määritä funktion $g(x) = \lg (x)$ kasvunopeus kohdassa $x = 6$. Anna vastauksen likiarvo kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.
  2. Määritä funktion $h(x) = \lb (x)$ kuvaajalle kohtaan $x = 8$ asetetun tangentin yhtälö.

Vinkki: erityisten logaritmifunktioiden määritelmät löytyvät tämän luvun alkupuolelta kappaleesta "Logaritmifunktiot".

  1. $g'(x) = \dfrac{1}{6\cdot \ln (10)} \approx 0{,}072$.
  2. Tangentin yhtälö on $$ y = \frac{1}{8\ln (2)}\cdot x + 3 - \frac{1}{\ln (2)} $$ (Tangentin sivuamispiste on $(8,3)$ ja kulmakerroin $h'(8)$.)

Logaritmifunktiot

Päättele seuraavat logaritmifunktioiden arvot. Sovella tarvittessa potenssien laskusääntöjä. Murtopotenssin määritelmän voit kerrata juurifunktioiden derivaattoja käsittelevästä kappaleesta.

  1. $\log_3(81)$
  2. $\log_6\left(\dfrac{1}{36}\right)$
  3. $\lg\left(0{,}001\right)$
  4. $\log_5\left(\sqrt[6]{25}\right)$
  5. $\log_2\left(\dfrac{16}{\sqrt[3]{4}}\right)$

  1. $\log_3(81) = 4$
  2. $\log_6\left(\dfrac{1}{36}\right) = -2$
  3. $\lg\left(0{,}001\right) = -3$
  4. $\log_5\left(\sqrt[6]{25}\right) = \log_5\left(5^\frac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{3}$
  5. $\log_2\left(\dfrac{16}{\sqrt[3]{4}}\right) = \log_2\left(2^\frac{10}{3}\right) = \dfrac{10}{3}$

Logaritmifunktiot

Liuoksen happamuutta kuvaava pH lasketaan kaavalla $$ \text{pH } = -\lg[\text{H}_3\text{O}^+], $$ missä $[\text{H}_3\text{O}^+]$ on liuoksen oksoniumionikonsentraatio (yksikkönä mol/dm3).

  1. Mikä on liuoksen pH, jos sen oksoniumionikonsentraatio on $1{,}3 \cdot 10^{-4}$ mol/dm3?
  2. Veren pH on terveellä ihmisellä noin 7,4. Mikä on veren oksoniumionikonsentraatio?

  1. \begin{align*} \text{pH } &= -\lg(1{,}3 \cdot 10^{-4}) \\ &\approx 3{,}9. \end{align*}
  2. \begin{align*} [\text{H}_3\text{O}^+] &= 10^{-7{,}4} \\ &\approx 4{,}0 \cdot 10^{-8} \text{ mol/dm}^3. \end{align*}

Logaritmifunktiot

Oletetaan, että $k > 0$ ja $k \neq 1$. Päättele funktion $f(x) = \log_k(x)$ arvo kohdassa

  1. $x = k^8$
  2. $x = k$
  3. $x = 1$
  4. $x = \dfrac{1}{k}$
  5. $x = k^{-3}$

  1. $f(k^8) = \log_k(k^8) = 8$
  2. $f(k) = \log_k(k) = 1$
  3. $f(1) = \log_k(1) = 0$
  4. $f\left(\dfrac{1}{k}\right) = \log_k\left(\dfrac{1}{k}\right) = -1$
  5. $f(k^{-3}) = \log_k(k^{-3}) = -3$

Logaritmifunktiot

Missä kohdassa eli millä muuttujan $x$ arvolla funktio $f(x) = \lg(x)$ saa arvon

  1. $3$
  2. $5$
  3. $9$
  4. $0$
  5. $-1$
  6. $-\dfrac{1}{2}$?

Kohdassa

  1. $x = 10^3 = 1\,000$
  2. $x = 10^5 = 100\,000$
  3. $x = 10^9 = 1\,000\,000\,000$
  4. $x = 10^0 = 1$
  5. $x = 10^{-1} = 0{,}1$
  6. $x = 10^{-\frac{1}{2} } = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$

Logaritmifunktiot

Tehtävässä 3.4 tutkittiin äänen intensiteetin $I$ ja melutason $L$ yhteyttä. Äänen intensiteetin yksikkö on W/m$^2$ (wattia neliömetriä kohti), melutason yksikkön on puolestaan desibeli (dB). Intensiteetti ja melutaso liittyvät toisiinsa yhtälön $$ L = 120 + 10 \lg (I) $$ kautta. Melutason yksikkö on valittu niin, että kuulokynnys (pienin melutaso, jonka ihmiskorva yleensä kuulee) on noin 0 dB.

  1. Mikä on kuulokynnystä vastaavan äänen intensiteetti?
  2. Lentokentän ympäristön lentomelualueella tarkoitetaan aluetta, jossa lentokoneiden äänen melutaso on yli 55 dB. Mikä on tätä rajaa vastaavan äänen intensiteetti?

  1. $I = 10^{-12} \text{ W/m}^2$
  2. $I = 3{,}2 \cdot 10^{-7} \text{ W/m}^2$

Logaritmeilla laskeminen

Arvioiden mukaan auton arvo alenee ensimmäisten vuosien aikana 10 % vuodessa, jos autolla ajetaan vuosittain noin 15000-20000 km. Kuinka monen vuoden kuluttua auton arvosta on jäljellä alle puolet alkuperäisestä?
Vinkki: merkitse auton alkuperäistä hintaa jollakin kirjaimella.

Noin 7 vuoden kuluttua.

Vastaus saadaan ratkaisemalla yhtälö $$ 0{,}9^x = 0{,}5. $$ Ratkaisu on $$ x = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}9)} \approx 7. $$

Logaritmeilla laskeminen

Ydinkokeessa muodostui radioaktiivista ainetta strontium-90, jonka puoliintumisaika on 28 vuotta. Ydinkokeen jälkeen räjäytyspaikan strontiumpitoisuuden todetiin olevan noin satakertainen verrattuna vaarattomana pidettyyn määrään. Kuinka pitkän ajan kuluttua strontiumpitoisuus alittaa jälleen turvallisena pidetyn rajan?

Noin 186 vuoden kuluttua.

Vastaus saadaan esimerkiksi ratkaisemalla yhtälö $$ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{28}} \cdot 100a = a, $$ missä $a$ on vaarattomana pidetty strontiumpitoisuus. Ratkaisu on $$ t = \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}5)} \cdot 28 \approx 186{,}0. $$

Logaritmeilla laskeminen

Termospulloon kaadetun kuuman juoman lämpötilan celsiusasteina $t$ tunnin kuluttua ilmaisee funktio $$ T(t) = 20 + 80\cdot 2^{-0{,}086t}. $$

  1. Missä ajassa lämpötila laskee 80 asteeseen?
  2. Kuinka kauan kestää vielä tämän jälkeen siihen, että lämpötila on 60 astetta?

  1. Noin 4,83 tunnissa eli 4 tunnissa 50 minuutissa.
  2. Noin 6,80 tuntia eli noin 6 tuntia 50 minuuttia.
    Huom. juoman jäähtyminen 60-asteiseksi kestää yhteensä 11,63 tuntia ja tulos saadaan, kun tästä vähennetään a-kohdan tulos.

Logaritmeilla laskeminen

Erään kunnan väkiluku kasvoi viiden vuoden aikana 2,0 % vuosittain.

  1. Kuinka monta prosenttia kunnan väkiluku kasvoi tämän viiden vuoden aikana?
  2. Jos kasvu jatkuisi samanlaisena, kuinka monessa vuodessa kunnan väkiluku kaksinkertaistuisi?

  1. Väkiluku kasvoi noin 10,4 %, sillä $1{,}02^5 \approx 1{,}104$.
  2. Väkiluku kaksinkertaistuisi 35 vuodessa.
    Vastaus saadaan esimerkiksi ratkaisemalla yhtälö $$ 1{,}02^x \cdot a = 2a, $$ missä $a$ on kunnan alkuperäinen väkiluku. Ratkaisu on $$ x = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}02)} \approx 35{,}0. $$

Digitaalisten sovellusten ansiosta binäärilogaritmin $\mathop{\mathrm{lb}} x = \log_2 (x)$ käyttö on yleistynyt.

  1. Ratkaise yhtälö $$\mathop{\mathrm{lb}}(x + 1) - \mathop{\mathrm{lb}}(4x) = 1.$$
  2. Millä arvoilla $n = 1, 2, 3, \ldots$ on voimassa $2 \leq \mathop{\mathrm{lb}} (n) \leq 3$?

[Pitkä S2016/3]

  1. $x = \dfrac{1}{7}$
  2. Koska $\mathop{\mathrm{lb}} (4) = 2$ ja $\mathop{\mathrm{lb}} (8) = 3$, niin epäyhtälön toteuttavat arvot $4 \leq n \leq 8$.

Yhtälö $x = g(x)$ voidaan usein ratkaista kiintopistemenetelmän avulla. Tällöin tehdään alkuarvaus $x_0$ ja määritellään lukujono $(x_n)$ käyttämällä palautuskaavaa $$x_{n+1} = g(x_n),$$ kun $n = 0$, $1$, $2$, $3, \ldots$
Anna seuraavien kohtien vastauksina lukujen $x_{10}$ likiarvot kolmen desimaalin tarkkuudella.

  1. Ratkaise yhtälö $$x = 2 + ln x$$ kiintopistemenetelmän avulla, kun alkuarvauksena on $x_0 = 1$.
  2. Kohdan (a) yhtälöllä on toinenkin ratkaisu. Muokkaa yhtälö eksponenttifunktion avulla toisenlaiseen kiintopistemenetelmässä käytettävään muotoon ja ratkaise se alkuarvauksella $x_0 = 1$.

[Pitkä S2016/10]

  1. $x_{10} = 3{,}146140\ldots \approx 3{,}146$.
  2. Yhtälö on $$e^{x-2} = x$$ ja sen ratkaisun likiarvoksi saadaan $x_{10} = 0{,}158594 \approx 0{,}159$.

  1. Millä muuttujan $x$ arvoilla lauseke $\ln(\sin x)$ on määritelty? Muuttuja $x$ on ilmaistu radiaaneina.
  2. Määritä kaksidesimaaliset likiarvot yhtälön $$\left|\ln(\sin x)\right| = 2$$ kaikille ratkaisuille välillä $0 < x < 10$.

[Pitkä K2015/7]

  1. Lauseke on määritelty, jos ja vain jos $n \cdot 2\pi < x < \pi + n \cdot 2\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.
  2. Ratkaisujen likiarvot ovat $x_1 \approx 0{,}14$, $x_2 \approx 3{,}01$, $x_3 \approx 6{,}42$ ja $x_4 \approx 9{,}29$.

  1. Sievennä lauseke $$ \ln\left(\frac{1}{3x^2}\right) + \ln (3) + 2\ln (x), $$ kun $x > 0$.
  2. Sievennä lauseke $$ \ln \left(\frac{x}{2}\right) + \ln \left(\frac{e^x}{x}\right) + \ln (2) $$

[Pitkä S2014/2c & S2012/2c]

  1. $0$
  2. $x$

Millä muuttujan $x$ arvolla jono $$\ln (2), \,\ln(2^x - 2), \,\ln(2^x + 2)$$ on aritmeettinen?
Vinkki: kertaa aritmeettisen jonon määritelmä kurssista MAY1.
[Pitkä K2013/11]

$x = \dfrac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Määritä funktion $$ f(x) = \frac{\ln (x)}{x} $$ suurin arvo, kun $x > 0$.
[Pitkä K2012/5]

Suurin arvo on $$ f(e) = \frac{1}{e}. $$

Erään mallin (R. MacArthur & E. O. Wilson, 1967) mukaan saarella pesivien lintulajien lukumäärä $n$ riippuu saaren pinta-alasta $A$ likimain kaavan $n = kA^b$ mukaisesti, missä $k$ ja $b$ ovat saaresta riippumattomia positiivisia vakioita.

  1. Havaintojen perusteella kahdella Kanariansaarella on saatu seuraavat arvot:
    Alegranza: $n_1 = 20$ ja $A_1 = 10{,}2 \text{ km}^2$,
    Roque del Oeste: $n_2 = 6$ ja $A_2 = 0{,}0158 \text{ km}^2$.
    Määritä näiden tietojen perusteella vakiot $k$ ja $b$ kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
  2. Arvioi mallin avulla La Palman saarella $(A = 708 \text{ km}^2)$ pesivien lintulajien lukumäärää.

[Pitkä S2012/7]

  1. Havainnoista saadaan yhtälöt \begin{align*} k \cdot 10{,}2^b &= 20 \\ k \cdot 0{,}0158^b &= 6. \end{align*} Kun yhtälöiden kummastakin puolesta otetaan logaritmi ja sovelletaan logaritmien laskusääntöjä, saadaan \begin{align*} \ln(k) + b\ln(10{,}2) &= \ln(20) \\ \ln(k) + b\ln(0{,}0158) &= \ln(6). \end{align*} Kun yhtälöt vähennetään toisistaan, saadaan ratkaistua $b$: $$ b = \frac{\ln(20) - \ln(6)}{\ln(10{,}2) - \ln(0{,}0158)} \approx 0{,}186. $$ Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan $$ k = \frac{20}{10{,}2^b} \approx 13{,}0. $$
  2. Palman lintulajien määrä on $n = k \cdot 708^b \approx 44$.

  1. Ratkaise yhtälö $$ \lg x + \lg(x + 30) = 3, $$ missä $\lg$ on 10-kantainen logaritmi.
  2. Tutki, onko funktio $$ f(x) = \ln(x+1) - \ln x, \quad x > 0, $$ monotoninen.

[Pitkä K2009/5]

  1. $x = 20$
  2. Derivaattafunktio sievenee muotoon $$ f'(x) = -\frac{1}{x(x+1)}. $$ Oletuksen mukaan $x > 0$, ja tällöin derivaattafunktion arvo on negatiivinen. Funktio $f$ on siis aidosti vähenevä määrittelyjoukossaan.

  1. Sievennä lauseke $$ \ln\left(\frac{x}{2}\right) + \ln(2) $$
  2. Ratkaise yhtälö $$ \ln(x + 1) - \ln(x - 1) = \ln 4 + \ln 2. $$

[Pitkä K2012/2c & S2011/3a]

  1. $\ln x$
  2. Yhtälö on määritelty, jos ja vain jos $x > 1$. Muokataan yhtälöä logaritmin ominaisuuksien avulla: \begin{align*} \ln(x + 1) - \ln(x - 1) &= \ln 4 + \ln 2 \\[2mm] \ln\left(\frac{x + 1}{x-1}\right) &= \ln 8 \\[2mm] \frac{x + 1}{x-1} &= 8 \\[1mm] x + 1 &= 8x - 8 \\[2mm] x &= \frac{9}{7} \end{align*} Ratkaisu toteuttaa yhtälön määrittelyehdon, joten se on todella yhtälön ratkaisu.

  1. Minkä luvun 2-kantainen logaritmi on 5?
  2. Ratkaise yhtälö $$ 5^{5x-5} = 125. $$

[Pitkä K2010/2c & K2008/2b]

  1. $2^5 = 32$
  2. $x = \dfrac{8}{5}$

Olkoon $$ f(x) = \frac{x}{\ln x}. $$ Millä muuttujan $x$ arvoilla funktio $f$ on määritelty? Millä väleillä funktio on kasvava ja millä vähenevä? Mitä arvoja funktio ei saa?
[Pitkä S2007/9]

Funktio on määritelty, kun nimittäjä on määritelty ja nollasta poikkeava. Siis funktio on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$ ja $x \neq 1$.

Derivaattafunktiolla $$ f'(x) = \frac{\ln(x) - 1}{(\ln(x))^2} $$ on yksi nollakohta $x = e$. Lisäksi se ei ole määritelty kohdassa $x = 1$. Laatimalla kulkukaavio huomataan, että funktio $f$ on vähenevä väleillä $\pa 0,1\pe$ ja $\pa 1, e\pe$ ja kasvava välillä $\pa e, \infty\pe$.

Funktio ei saa arvoja väliltä $[0,e\pe$. Jos $0 < x < 1$, funktion arvot ovat negatiivisia. Välillä $\pa 1, \infty\pe$ funktion pienin arvo on $f(e) = e$.

Osoita, että yhtälöllä $$ x - 2\ln x = 0 $$ ei ole reaalijuuria.
[Pitkä S2005/11]

Yhtälö on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$. Merkitään $$ f(x) = x - 2\ln x. $$ Funktion $f$ derivaatan avulla saadaan selville, että funktion $f$ pienin arvo on $$ f(2) = 2 - 2\ln 2 > 0. $$ Yhtälöllä $f(x) = 0$ ei siis ole ratkaisuja.

Etsi funktion $$ f(x) = \ln(x^3-x) $$ määrittelyalue ja ääriarvot.
[S2004/6]

Funktio $f$ on määritelty, jos ja vain jos $-1 < x < 0$ tai $x > 1$. Derivaattafunktiolla on määrittelyalueessa yksi nollakohta $$ x = -\frac{1}{\sqrt{3}}. $$ Kulkukaaviosta nähdään, että tämä on maksimikohta. Funktio saa siinä maksimiarvon $$ f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \ln\left(\frac{2}{3\sqrt{3}}\right). $$

Piirrä funktion $$ f(x) = \left| \ln \left| x-2 \right| \right| $$ kuvaaja. Millä väleillä funktio kasvaa ja millä se vähenee? Esitä funktio kullakin välillä siten, että lausekkeissa ei esiinny itseisarvoja. Millä muuttujan $x$ arvoilla funktio saa pienimmän arvonsa?
[Pitkä S2003/10]

Ilman itseisarvoja: $$ f(x) = \begin{cases} \ln(2-x) &\text{ jos $x < 1$} \\ -\ln(2-x) &\text{ jos $1 \leq x < 2$} \\ -\ln(x-2) &\text{ jos $2 < x \leq 3$} \\ \ln(x-2) &\text{ jos $x > 3$} \\ \end{cases} $$ Itseisarvojen vuoksi funktion arvo on aina epänegatiivinen. Pienimmän arvonsa nolla se saa kohdissa $x = 1$ ja $x = 3$.

Funktio voidaan derivoida, kun itseisarvoista on päästy eroon. Derivaattafunktion avulla nähdään, että funktio on aidosti kasvava väleillä $[1, 2\pe$ ja $[3, \infty\pe$ ja aidosti vähenevä väleillä $\pa -\infty, 1]$ ja $\pa 2, 3]$.

Määritä raja-arvo $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \left(\ln(4x + 3) - \ln(3x+4)\right). $$ [Pitkä S2012/13]

Koska tutkitaan lausekkeen raja-arvoa muuttujan arvon kasvaessa rajatta, voidaan olettaa, että $x > 0$. Logaritmin laskusääntöjen nojalla \begin{align*} \ln(4x + 3) &- \ln(3x+4) \\[2mm] &= \ln\left(\frac{4x + 3}{3x + 4}\right) \\[2mm] &= \ln\left(\frac{4 + \frac{3}{x} }{3 + \frac{4}{x} }\right) \\[2mm] &\xrightarrow[x \rightarrow \infty]{} \ln\left(\frac{4 + 0}{3 + 0}\right) = \ln\left(\frac{4}{3}\right). \end{align*}

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Käänteisfunktio

Tämän luvun tavoitteena on, että tunnet käänteisfunktion käsitteen ja pystyt sen avulla jäsentämään edellisissä luvuissa oppimasi asiat osaksi laajempaa kokonaisuutta. Osaat

  • tarkistaa, ovatko funktiot toistensa käänteisfunktioita
  • hahmotella funktion käänteisfunktion kuvaajan, jos funktion kuvaaja on annettu
  • tutkia, onko funktiolla käänteisfunktiota
  • määrittää käänteisfunktion, jos se on olemassa.

Edellisissä luvuissa on tutustuttu eksponentti- ja logaritmifunktioihin. Ne ovat esimerkkejä funktion ja sen käänteisfunktion muodostamista pareista. Tässä luvussa perehdytään tarkemmin käänteisfunktion käsitteeseen. Aloitetaan tarkastelemalla luonnollisen logaritmin ja $e$-kantaisen eksponenttifunktion yhteyttä.

Luonnollinen logaritmi määriteltiin eksponenttiyhtälön ratkaisuna: $$ \ln a = b, \ \text{ jos ja vain jos } \ e^b = a. $$ Tästä seuraa yhteys logaritmi- ja eksponenttifunktioiden kuvaajien välille:

Yläpuolelta havaitaan, että logaritmifunktio $f(x) = \ln x$ ja eksponenttifunktio $g(x) = e^x$ kumoavat toistensa vaikutuksen. Tarkemmin sanottuna yhdistetyt funktiot $$ (f\circ g)(x) = f(g(x)) = \ln (e^x) = x $$ ja $$ (g\circ f)(x) = g(f(x)) = e^{\ln(x)} = x $$ antavat kumpikin tuloksena alkuperäisen muuttujan arvon. Tällaisessa tilanteessa sanotaan, että funktiot $f$ ja $g$ ovat toistensa käänteisfunktioita. Niiden kuvaajat saadaan toisistaan vaihtamalla $x$- ja $y$-akselien roolit eli peilaamalla suoran $y = x$ suhteen:

MÄÄRITELMÄ: KÄÄNTEISFUNKTIO

Funktiolla $f$ on käänteisfunktio $g$, jos seuraavat ehdot toteutuvat:

  • Jokaisessa funktion $g$ määrittelyjoukon kohdassa $$ (f\circ g)(x) = x. $$
  • Jokaisessa funktion $f$ määrittelyjoukon kohdassa $$ (g\circ f)(x) = x. $$ Funktion $f$ käänteisfunktiota merkitään $f^{-1}$.

Funktio $f$ ja sen käänteisfunktio $f^{-1}$ kumoavat siis määritelmän mukaan toistensa vaikutuksen: \begin{align*} (f\circ f^{-1})(x) &= f(f^{-1}(x)) = x \\[1mm] (f^{-1} \circ f)(x) &= f^{-1}(f(x)) = x. \end{align*}

Tässä tehtävässä määritetään 10-kantaisen logaritmifunktion $f(x) = \lg(x)$ käänteisfunktio.

  1. Päättele tai arvaa, mikä voisi olla funktion $f(x) = \lg(x)$ käänteisfunktio $g(x)$.
  2. Muodosta yhdistetyt funktiot $(f\circ g)(x)$ ja $(g\circ f)(x)$. Onko tuloksena molemmissa tapauksissa alkuperäinen muuttuja $x$? Toisin sanottuna, onko funktio $g$ todella funktion $f$ käänteisfunktio?
  3. Piirrä Geogebralla funktion $f$ kuvaaja, suora $y = x$ ja funktion $f$ kuvaajan peilikuva suoran $y = x$ suhteen.
    Vinkki: käytä Geogebran "peilaus suoran suhteen"-työkalua.
  4. Piirrä c-kohdan koordinaatistoon myös käänteisfunktion kuvaaja. Mitä huomaat?

  1. Kymmenkantaisen logaritmifunktion käänteisfunktio on kymmenkantainen eksponenttifunktio $g(x) = 10^x$.
  2. Yhdistetyt funktiot: \begin{align*} (f\circ g)(x) &= f(g(x)) = \lg(10^x) = x \\ (g\circ f)(x) &= g(f(x)) = 10^{\lg(x)} = x. \end{align*} Lopputuloksena on alkuperäinen muuttujan arvo, joten funktio $g$ on funktion $f$ käänteisfunktio. Voidaan siis merkitä $f^{-1} = g$.
  3. Funktion $f(x) = \lg(x)$ kuvaaja ja sen peilikuva suoran $y = x$ suhteen:
  4. Funktioiden $f(x) = \lg(x)$ ja $g(x) = 10^x$ kuvaajat:

    Käänteisfunktion kuvaaja on funktion $f$ kuvaajan peilikuva suoran $y = x$ suhteen.

Juuri- ja potenssifunktiot tarjoavat lisää esimerkkejä funktion ja sen käänteisfunktion muodostamista pareista. Esimerkiksi neliöjuuri määriteltiin toisen asteen potenssiyhtälön epänegatiivisena ratkaisuna: $$ \sqrt{a} = b, \ \text{ jos ja vain jos } \ b \geq 0 \text{ ja } b^2 = a. $$ Tästä seuraa yhteys neliöjuurifunktion ja toisen asteen potenssifunktion kuvaajien välille. Huomaa, että toisen asteen potenssifunktio täytyy rajata välille $[0, \infty\pe$, koska luvun $a$ neliöjuuri määritellään yhtälön $$ x^2 = a $$ epänegatiivisena ratkaisuna.

Oletus $x \geq 0$ on välttämätön siihen, että neliöjuurifunktio ja toisen asteen potenssifunktio kumoavat toistensa vaikutuksen. Esimerkiksi \begin{align*} (f\circ g)(-2) &= f(g(-2)) = \sqrt{(-2)^2} \\ &= \sqrt{4} = 2 \neq -2 \end{align*} mutta jos $x \geq 0$, tuloksena on alkuperäinen muuttujan arvo: $$ (f\circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt{x^2} = \left|x\right| = x $$ ja $$ (g\circ f)(x) = g(f(x)) = \left(\sqrt{x}\right)^2 = x. $$ Siis funktio $g(x) = x^2$, missä $x \geq 0$, on neliöjuurifunktion käänteisfunktio.

Tässä tehtävässä määritetään kolmannen asteen potenssifunktion $f(x) = x^3$ käänteisfunktio.

  1. Päättele tai arvaa, mikä voisi olla funktion $f(x) = x^3$ käänteisfunktio $g(x)$.
  2. Muodosta yhdistetyt funktiot $(f\circ g)(x)$ ja $(g\circ f)(x)$. Onko tuloksena molemmissa tapauksissa alkuperäinen muuttuja $x$? Toisin sanottuna, onko funktio $g$ todella funktion $f$ käänteisfunktio?
  3. Piirrä Geogebralla funktion $f$ kuvaaja, suora $y = x$ ja funktion $f$ kuvaajan peilikuva suoran $y = x$ suhteen.
    Vinkki: käytä Geogebran "peilaus suoran suhteen"-työkalua.
  4. Piirrä c-kohdan koordinaatistoon myös käänteisfunktion kuvaaja. Mitä huomaat?

  1. Kolmannen asteen potenssifunktion käänteisfunktio on kuutiojuurifunktio $g(x) = \sqrt[3]{x}$.
  2. Yhdistetyt funktiot: \begin{align*} (f\circ g)(x) &= f(g(x)) = \left(\sqrt[3]{x}\right)^3 = x \\ (g\circ f)(x) &= g(f(x)) = \sqrt[3]{x^3} = x. \end{align*} Lopputuloksena on alkuperäinen muuttujan arvo, joten funktio $g$ on funktion $f$ käänteisfunktio. Voidaan siis merkitä $f^{-1} = g$.
  3. Funktion $f(x) = x^3$ kuvaaja ja sen peilikuva suoran $y = x$ suhteen:
  4. Funktioiden $f(x) = x^3$ ja $g(x) = \sqrt[3]{x}$ kuvaajat:

    Käänteisfunktion kuvaaja on funktion $f$ kuvaajan peilikuva suoran $y = x$ suhteen.

Edellä tarkasteltiin logaritmifunktiota ja eksponenttifunktiota, jotka ovat toistensa käänteisfunktioita. Logaritmifunktion määrittelyjoukko on $\pa 0, \infty \pe$ eli sama kuin eksponenttifunktion arvojoukko. Toisaalta eksponenttifunktion määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko $\R$ eli sama kuin logaritmifunktion arvojoukko.

Vastaava funktion ja sen käänteisfunktion määrittely- ja arvojoukkojen yhteys pätee yleisesti:

TEOREEMA

Käänteisfunktion $f^{-1}$ määrittelyjoukko on funktion $f$ arvojoukko.

Funktion $f$ määrittelyjoukko on käänteisfunktion $f^{-1}$ arvojoukko.

Kaikilla funktioilla ei ole käänteisfunktiota. Seuraavan teoreeman mukaan käänteisfunktio puuttuu funktioilta, jotka saavat määrittelyjoukkonsa kahdessa eri kohdassa saman arvon. Teoreeman tarkka perustelu on sen verran työläs, ettei siihen nyt syvennytä.

TEOREEMA

Funktiolla $f$ on käänteisfunktio $f^{-1}$, jos ja vain jos funktio $f$ saa jokaisen arvonsa tasan yhdessä määrittelyjoukon kohdassa.

Erityisesti jos funktio $f$ on aidosti monotoninen eli aidosti kasvava tai aidosti vähenevä, niin sillä on käänteisfunktio $f^{-1}$.

Päättele kuvaajien ja edellisen teoreeman avulla, onko funktiolla $f$ käänteisfunktio, jos

  1. $f(x) = \sin x$, missä $0 \leq x \leq 2\pi$
  2. $f(x) = \cos x$, missä $0 \leq x \leq \pi$
  3. $f(x) = 0{,}25x^3 - 2x^2 + 4x$
  4. $f(x) = 2-0{,}5x$.

  1. Käänteisfunktiota ei ole, koska esimerkiksi $f(0) = f(\pi)$.
  2. Käänteisfunktio on olemassa, koska funktio $f$ saa jokaisen arvonsa tasan kerran välillä $[0,\pi]$.
  3. Käänteisfunktiota ei ole, koska esimerkiksi $f(0) = f(4)$.
  4. Käänteisfunktio on olemassa, koska funktio $f$ saa jokaisen arvonsa tasan kerran.

Käänteisfunktion määritelmästä saadaan johdettua seuraava teoreema, joka liittään toisiinsa funktion ja sen käänteisfunktion arvon ja auttaa käänteisfunktioden etsimisessä. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Oletetaan, että funktiolla $f$ on käänteisfunktio. Tällöin $$ f(a) = b, $$ jos ja vain jos $$a = f^{-1}(b).$$

Perustelu:

  • Oletetaan, että $f(a) = b$. Sovelletaan yhtälön molemmille puolille käänteisfunktiota $f^{-1}$, jolloin funktio ja sen käänteisfunktio kumoavat toistensa vaikutuksen: \begin{align*} f(a) &= b \\ f^{-1}(f(a)) &= f^{-1}(b) \\ a &= f^{-1}(b). \end{align*}
  • Oletetaan, että $a = f^{-1}(b)$. Sovelletaan yhtälön molemmille puolille funktiota $f$, jolloin funktio ja sen käänteisfunktio kumoavat toistensa vaikutuksen: \begin{align*} a &= f^{-1}(b) \\ f(a) &= f(f^{-1}(b)) \\ f(a) &= b. \end{align*}

Jos funktio on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä, sillä on teoreeman 15 nojalla käänteisfunktio. Käänteisfunktio löydetään tämän jälkeen teoreeman 16 avulla.

Esimerkiksi funktio $f(x) = 2x - 1$ on aidosti kasvava koko määrittelyjoukossaan, sillä sen kuvaaja on nouseva suora:

Täsmällisemmin kasvavuus voidaan perustella derivaatan avulla. Funktion $f$ derivaattafunktio on $f'(x) = 2$. Sen arvot ovat kaikkialla positiivisia, joten funktio $f$ on kaikkialla aidosti kasvava. Funktiolla $f$ on siis teoreeman 15 nojalla käänteisfunktio $f^{-1}$. Se löydetään muodostamalla yhtälö $f(a) = b$ ja ratkaisemalla siitä $a$: \begin{align*} f(a) &= b \\[1mm] 2a - 1 &= b \\[1mm] 2a &= b + 1 \\[1mm] a &= \frac{b + 1}{2}. \end{align*} Teoreeman 16 mukaan $f(a) = b$, jos ja vain jos $a = f^{-1}(b)$, joten yhtälön ratkaisun tuloksena on löydetty käänteisfunktion lauseke: $$ f^{-1}(b) = \frac{b + 1}{2}. $$ Normaaliin tapaan muuttujana voidaan käyttää kirjainta $x$: $$ f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{2}. $$

Tehtävänä on määrittää funktion $$f(x) = \sqrt{x} + 2$$ käänteisfunktio tai perustella, ettei käänteisfunktiota ole olemassa.

  1. Mikä on funktion $f$ määrittelyjoukko? Entä arvojoukko?
  2. Onko funktiolla $f$ käänteisfunktiota? Perustele vastauksesi teoreeman 15 avulla.
    Vinkki: voit tutkia derivaatan avulla, onko funktio aidosti monotoninen.
  3. Jos käänteisfunktio on olemassa, määritä se teoreeman 16 avulla samaan tapaan kuin edellä tehtiin. Jos käänteisfunktio on olemassa, mikä on sen määrittelyjoukko? Entä arvojoukko?
  4. Piirrä funktion $f$ kuvaaja. Jos käänteisfunktio on olemassa, piirrä myös sen kuvaaja.

  1. Funktion $f$ määrittelyjoukko on $[0, \infty\pe$. Funktion $f$ arvojoukko on $[2, \infty\pe$, sillä $f$ saa pienimmän arvonsa $2$ kohdassa $x = 0$ ja kun muuttujan arvoa kasvatetaan, myös funktion arvo kasvaa.
  2. Derivaattafunktio on $$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ ja se on määritelty kaikilla $x > 0$. Derivaattafunktion arvo on positiivinen koko määrittelyjoukossa. Funktio $f$ on siten kaikialla aidosti kasvava ja sillä on käänteisfunktio teoreeman 15 nojalla.
  3. Käänteisfunktio on $$ f^{-1}(x) = (x - 2)^2. $$ Se löydetään ratkaisemalla $a$ yhtälöstä $f(a) = b$.
    Käänteisfunktion määrittelyjoukko on $[2, \infty\pe$ ja arvojoukko on $[0, \infty\pe$.

Tehtävänä on määrittää funktion $$f(x) = 3x^2-12x$$ käänteisfunktio tai perustella, ettei käänteisfunktiota ole olemassa.

  1. Mikä on funktion $f$ määrittelyjoukko? Entä arvojoukko?
  2. Onko funktiolla $f$ käänteisfunktiota? Perustele vastauksesi teoreeman 15 avulla.
  3. Jos käänteisfunktio on olemassa, määritä se teoreeman 16 avulla samaan tapaan kuin edellä tehtiin. Jos käänteisfunktio on olemassa, mikä on sen määrittelyjoukko? Entä arvojoukko?
  4. Piirrä funktion $f$ kuvaaja. Jos käänteisfunktio on olemassa, piirrä myös sen kuvaaja.

  1. Funktion $f$ määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko $\R$. Funktion arvojoukko on $[-12, \infty\pe$.
    Arvojoukko voidaan päätellä esimerkiksi niin, että funktion $f$ kuvaaja on ylöspäin aukeva paraabeli, joka saa pienimmän arvonsa nollakohtien $x = 0$ ja $x = 4$ puolivälissä kohdassa $x = 2$.
  2. Funktiolla $f$ ei ole käänteisfunktiota, koska se saa saman arvon kahdessa eri kohdassa. Esimerkiksi $$ f(0) = f(4). $$ (Nämä kohdat voi löytää esimerkiksi piirtämällä funktion kuvaajan tai tutkimalla funktion lauseketta.)
  3. Käänteisfunktiota ei ole olemassa.

Tutkitaan funktiota $$ f(x) = \frac{1}{6}x^3 $$ ja sen kuvaajaa $y = f(x)$.

  1. Kopioi alla olevat koordinaatistot vastauspaperiisi ja piirrä niihin funktion $f(x)$ kuvaaja. Huomaa akselien merkinnät.
  2. Laske $f'(2)$ ja $(f^{-1})'(f(2))$.
  3. Perustele graafisesti kaava $$ (f^{-1})'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)} $$ kun $x \neq 0$.


[Pitkä S2017/12]

  1. Kuvat alla c-kohdassa.
  2. Koska $f'(x) = \frac{1}{2}x^2$, niin $f'(2) = 2$. Käänteisfunktio on $$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{6x},$$ joten $$(f^{-1})'(x) = 2\cdot (6x)^{-\frac{2}{3}}.$$ Lisäksi $f(2) = \frac{4}{3}$, joten \begin{align*} (f^{-1})'(f(2)) &= 2\cdot 8^{-\frac{2}{3}} \\[2mm] &= 2\cdot \frac{1}{4} \\[2mm] &= \frac{1}{2} \end{align*}
  3. $(f^{-1})'(f(x))$ on $yx$-koordinaatiston käyrän tangentin kulmakerroin, joka on alkuperäisen käyrän tangentin kulmakertoimen käänteisluku:

  1. Näytä, että funktiolla $$ f(x) = x^2 - 2x $$ on käänteisfunktio, kun $x \geq 1$.
  2. Määritä käänteisfunktion $f^{-1}(x)$ lauseke.
  3. Piirrä funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajat samaan koordinaatistoon.

[Pitkä S2011/9]

  1. Derivaattafunktion $$f'(x) = 2(x-1)$$ arvot ovat positiivisia, kun $x > 1$, ja $f'(1) = 0$, joten funktio $f$ on aidosti kasvava välillä $[1, \infty\pe$. Tällöin sillä on käänteisfunktio.
  2. Ratkaistaan $x$ yhtälöstä $f(x) = y$: \begin{align*} x^2 - 2x &= y \\ x^2 - 2x - y &= 0 \end{align*} Toisen asteen ratkaisukaavalla: \begin{align*} x &= \frac{2 \pm \sqrt{4+4y}}{2} \\[2mm] &= 1 \pm \sqrt{1 + y}. \end{align*} Miinusmerkki ei kelpaa, koska oletuksen mukaan $x > 1$. Käänteisfunktioksi saadaan näin $$ f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{1 + x}. $$

Osoita, että funktiolla $f \colon [2,5] \to [25,52]$, $$ f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 60x $$ on käänteisfunktio $g = f^{-1}$. Laske käänteisfunktion arvo $g(45)$ ja sen derivaatan arvo $g'(45)$.
[Pitkä S2007/12]

Derivaattafunktiolla $$ f'(x) = 6x^2 - 42x + 60 $$ on kaksi nollakohtaa $x_1 = 2$ ja $x_2 = 5$. Derivaatan arvot ovat negatiivisia välillä $\pa 2,5\pe$, joten funktio $f$ on aidosti vähenevä välillä $[2,5]$. Näin ollen sillä on olemassa käänteisfunktio.

Koska $f(2) = 52$ ja $f(5) = 25$ ja funktio $f$ on aidosti vähenevä välillä $[2,5]$, on sen arvojoukko tällä välillä $[25,52]$. Käänteisfunktion määrittelyjoukko on siten $[25,52]$ ja arvojoukko $[2,5]$.

Kokeilemalla huomataan, että $f(3) = 45$. Siten $g(45) = 3$.

Käänteisfunktion derivaatta on $$ g'(45) = \frac{1}{f'(3)} = -\frac{1}{12}. $$

Määritä funktion $$ f(x) = \frac{x+2}{x-3}, \quad x > 3, $$ käänteisfunktio $f^{-1}$. Millä välillä tämä on määritelty? Osoita laskemalla, että $$ f^{-1}\left(f(x)\right) = x $$ kun $x > 3$.
[Pitkä K2003/9]

Käänteisfunktion lauseke löydetään ratkaisemalla $x$ yhtälöstä $$ \frac{x + 2}{x-3} = y. $$ Käänteisfunktioksi saadaan $$ f^{-1}(y) = \frac{3y+2}{y-1}. $$ Käänteisfunktion määrittelyjoukko on funktion $f$ arvojoukko. Tutkitaan, mitä arvoja funktio $f$ saa. Oletuksen mukaan $x > 3$, joten \begin{align*} f(x) &= \frac{x+2}{x-3} \\[2mm] &= \frac{x-3 + 5}{x-3} \\[2mm] &= 1 + \frac{5}{x-3} > 1. \end{align*} Käänteisfunktion määrittelyjoukko on siis $\pa 1, \infty \pe$. \begin{align*} f^{-1}(f(x)) &= \frac{3\cdot \frac{x+2}{x-3} + 2}{\frac{x+2}{x-3} - 1} \\[2mm] &= \frac{3(x+2) + 2(x-3)}{x+2 - (x-3)} \\[2mm] &= \frac{5x}{5} = x. \end{align*}

Hyperbolinen kosini $\cosh x$ ja hyperbolinen sini $\sinh x$ määritellään kaavoilla \begin{align*} \cosh x &= \frac{1}{2} \left(e^x + e^{-x}\right) \\[2mm] \sinh x &= \frac{1}{2} \left(e^x - e^{-x}\right), \end{align*} kun $x \in \R$.

  1. Näytä, että $$ (\cosh x)^2 - (\sinh x)^2 = 1 $$ kaikilla $x \in \R$.
  2. Näytä, että hyperbolisen sinin derivaattafunktio on hyperbolinen kosini eli $$ \frac{d}{dx} (\sinh x) = \cosh x. $$
  3. Näytä, että funktiolla $\sinh x$ on käänteisfunktio, ja määritä sen lauseke logaritmin avulla lausuttuna.
  4. Mikä on c-kohdan käänteisfunktion määrittelyjoukko?

[Pitkä K2012/14]

  1. Ohje: käytä määritelmien lausekkeita ja sievennä.
  2. \begin{align*} \frac{d}{dx} (\sinh x) &= \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2} (e^x - e^{-x})\right) \\[2mm] &= \frac{1}{2} (e^x + e^{-x}) \\[2mm] &= \cosh x. \end{align*}
  3. Hyperbolinen sini on aidosti kasvava koko määrittelyjoukossaan, koska sen derivaattafunktio on kaikkialla positiivinen: $$ \frac{d}{dx} (\sinh x) = \frac{1}{2} (e^x + e^{-x}) > 0 $$ kaikilla $x \in \R$. Koska hyperbolinen sini on aidosti kasvava määrittelyjoukossaan, sillä on käänteisfunktio.
    Käänteisfunktion lausekkeeksi saadaan $$ f^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}). $$
  4. Käänteisfunktion määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko $\R$. Tämä johtuu siitä, että $$ \sqrt{x^2+1} > \left|x\right| $$ kaikilla $x \in \R$, joten $$ x + \sqrt{x^2+1} > 0 $$ kaikilla $x \in \R$.

  1. Osoita, että funktiolla $$ f(x) = \ln x + x + 1, \quad x > 0, $$ on käänteisfunktio $g = f^{-1}$.
  2. Määritä käänteisfunktion derivaatta $g'(2)$.
  3. Missä pisteissä funktion $f$ kuvaaja leikkaa käänteisfunktion kuvaajan?
  4. Kuinka suuressa kulmassa kuvaajat leikkaavat toisensa?

[Pitkä S2010/14]

  1. Derivaattafunktion $$ f'(x) = \frac{1}{x} + 1 $$ arvot ovat positiivisia, kun $x > 0$, joten funktio $f$ on aidosti kasvava määrittelyjoukossaan. Sillä on siis olemassa käänteisfunktio.
  2. Koska $f(1) = 2$, niin $g(2) = 1$. Edellisen tehtävän nojalla $$ g'(2) = \frac{1}{f'(g(2))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{2}. $$
  3. Funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajat ovat symmetrisiä suoran $y = x$ suhteen, joten ne leikkaavat tällä suoralla. Silloin on $$ x = \ln x + x + 1 $$ Leikkauspisteeksi saadaan $$ \left(\frac{1}{e}, \frac{1}{e}\right). $$
  4. Funktion kuvaajan tangentin kulmakerroin on $$ f'\left(\frac{1}{e}\right) = e + 1. $$ Koska $f\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e}$, on käänteisfunktion kuvaajan tangentin kulmakerroin tämän käänteisluku: $$ (f^{-1})'\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{f'\left(\frac{1}{e}\right)} = \frac{1}{e+1}. $$ Suuntakulmien erotus on kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella likimain $$ 74{,}94697^\circ - 15{,}05303^\circ \approx 59{,}9^\circ. $$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.